Programação Linear Dualidade
Dualidade Já vimos em sala que para cada PPL existe um outro PL chamado dual, que consiste em modelar um problema que utiliza os mesmos dados que o original, mas alterando a função objetivo, ou seja, o foco. Para facilitar a compreensão, vimos como exemplo o problema da dieta, que após modelado ficava no formato a seguir:
Dualidade Para esse mesmo PPL, mudando o foco da narrativa, conseguimos obter a formulação do seu problema dual: max b T w s.a A T w c w 0 (*) Observe que o vetor de variáveis duais pode ter várias representações (letras) diferentes dependendo do livro onde estejam olhando; a única coisa importante é que as variáveis duais são DIFERENTES das variáveis primais; assim, não é recomendável utilizar a letra 'x' para representar.
Dualidade O par de problemas primal-dual nesse formato é conhecido como forma canônica : Primal: Dual: min c T x max b T w s.a A x b s.a A T w c x 0 w 0 Independente do formado dos PPLs, as observações abaixo são válidas: * O número de variáveis de um PPL é igual ao número de restrições do outro PPL. * Se um PPL é min o outro é max (e vice-versa) * O tipo de restrição de um PPL influencia no tipo de variável do outro PPL. * O tipo de variável de um PPL influencia no tipo de restrição do outro PPL. * Se um PPL tem A como matriz nas restrições, o outro tem a matriz A T * Entre o primal e o dual, os vetores b e c trocam de posição.
Exemplo Primal: Dual:
Forma padrão da dualidade Para qualquer formato de PPL é possível escrever o dual. Para isso, basta pegar o primal, colocar no formato de minimização com restrições de maior ou igual, e escrever o dual conforme o slide anterior. Por exemplo, o para de problemas primal dual abaixo está no formato padrão : Primal: Dual: min c T x max b T w s.a A x = b s.a A T w c x 0 w irrestrito
Exemplo Primal: Dual:
Dualidade Para facilitar, é possível utilizar a tabela abaixo que ajuda a escrever o dual de acordo com as características (tipos de restrições e tipos de variáveis) do primal.
Dupla dualidade Os PPLs primal-dual possuem propriedades que os relacionam; a primeira propriedade é o lema abaixo, facilmente verificável (basta tomar um PPL original, escrever seu dual (D) e depois escrever o dual de (D), retornando ao PPL original). LEMA O dual do dual é o primal O primal do primal é o dual
Teorema Fraco de Dualidade TEOREMA FRACO DE DUALIDADE Considere o par de problemas primal-dual na forma canônica. Se x é um ponto viável para o problema primal e w é viável para o problema viável, então: Dem. Como x é viável-primal e w é viável-dual, temos e Juntando as duas desigualdades O que encerra a demonstração.
Teorema Fraco de Dualidade O teorema fraco vale para qualquer par de problemas primaldual, desde que o primal seja de minimização. Ou seja, se temos um ponto viável no primal e um ponto viável no dual, podemos comparar as imagens e assegurar que a imagem do dual é SEMPRE menor ou igual que a imagem do primal.
Teorema Fraco de Dualidade COROLÁRIO - TEOREMA FRACO DE DUALIDADE Se x é um ponto viável para o primal e w é viável para o dual, tais que as imagens coincidam: Então x é solução do primal e w é solução do dual. Dem. Seja x* SBV-primal e w* SBV-dual tais que b T w* = c T x*. Sabemos, do teorema, que: b T w c T x*, para todo w. Assim b T w c T x* = b T w* E portanto a imagem de w* é a maior possível no PPL dual w* é ótimo dual Sabemos, do teorema, que: b T w* c T x, para todo x. Assim c T x* = b T w* c T x E portanto a imagem de x* é a menor possível no PPL primal x* é ótimo primal
Teorema Forte de Dualidade Vimos que se as imagens são iguais, então temos as soluções primal-dual. Mas o contrário da afirmação também é verdade? TEOREMA Se o primal tem pelo menos uma SBV ótima x*, então o respectivo dual também tem pelo menos uma SBV ótima w*, e os correspondentes valores ótimos (imagens) coincidem. Dem. Considere o PL primal escrito na forma padrão. Se x* é uma SBV ótima do primal, então Como ela é ótima, sabemos que todos os custos reduzidos são menores ou iguais a zero
Teorema Forte de Dualidade Denotando por, temos Onde a j são as colunas da matriz A. Como a desigualdade acima é válida para todas as colunas, então: E portanto, verificamos que w* é ponto viável dual.
Teorema Forte de Dualidade Observe também que Ou seja, x* tem a mesma imagem que w*. Pelo corolário, sabemos então que w* é solução ótima dual.
Teorema Forte de Dualidade Ou seja, o que esse Teorema nos diz é que, se temos uma SBV ótima de um dos problemas (x*), podemos garantir que o outro PPL também tem pelo menos uma solução, dada por w*: Ou seja, além de garantir que o outro PPL também tem solução, podemos exibir uma solução usando c B e B. Isso nos indica que o número de bases ótimas é igual no dual e no primal.
Teorema Fund. de Dualidade Obs: No teorema abaixo, dizemos que um PPL tem valor ótimo finito se a imagem não tende a menos infinito (no caso de minimização) ou mais infinito (no caso de maximização). Ou seja, um PPL tem valor ótimo finito se existe pelo menos uma SBV ótima. TEOREMA (1) Um PPL tem valor ótimo finito se existem soluções viáveis para os problemas primal-dual. (2) Se algum dos problemas não tem ótimo finito, então o outro não possui soluções viáveis. Dem. (1) Sabemos que b T w c T x para quaisquer pontos x (viável primal) e w (viável dual). Em particular, para a solução x* do primal b T w c T x* E portanto a imagem de x* é limitada inferiormente, e não pode tender a menos infinito.
Teorema Fund. de Dualidade Dem. (1) Analogamente: Sabemos que b T w c T x para quaisquer pontos x (viável primal) e w (viável dual). Em particular, para a solução w* do dual b T w* c T x E portanto a imagem de w* é limitada superiormente, e não pode tender a mais infinito. Obs: * Se um PPL tem ponto viável, a solução do outro não tende a menos infinito. * Se um PPLtem solução ilimitada, então o outro PPL não tem ponto viável.
Teorema Fund. de Dualidade Dem. (2) Suponha que o primal não tem ótimo finito (ou seja, a imagem da função objetivo tende a - infinito ). Vamos supor por absurdo que, simultaneamente, o problema dual tem pontos viáveis; seja w um desses pontos. Sendo assim, teríamos que nos indica que o valor da função objetivo primal é limitado inferiormente, o que é um absurdo. De forma análoga, é possível demonstrar que se o dual não tem ponto ótimo finito, então o primal não tem pontos viáveis.
Conclusões Pode-se concluir que, para os problemas primal-dual, verificase uma e só uma das seguintes situações: Ambos têm soluções ótimas x* e w* e os valores ótimos coincidem: Se um problema não tem ótimo finito, então o outro é impossível; Ambos os problemas são impossíveis.
Exemplos Ambos têm solução ótima
Exemplos Primal: ótimo infinito; Dual: inviável;
Exemplos Ambos são impossíveis.