Tópicos de Álgebra Linear

Tópicos de Álgebra Linear - 2010 Prof Dr Pedro Levit Kaufmann Lista I 1. Em R n dena as operações a b = a b e a = a. As operações à direita são as usuais. Quais axiomas, que denem um espaço vetorial, estão satisfeitos por (R n ; ;? 2. Seja V o conjunto de todas as funções f : R! C tais que f ( x = f (x para todo x 2 R. Mostre que V, com as operações (f + g(x = f (x + g(x e (cf (x = cf (x ; é um espaço vetorial sobre R. Dê um exemplo de uma função em V cuja imagem não intersecta a reta real. 3. Seja K um corpo e n 2. Quais dos seguintes conjuntos de matrizes A 2 M n (K são subespaços vetoriais? (a A invertível; (b A não-invertível; (c AB = BA, com B 2 V xada; (d A 2 = A; 4. Sejam U e V subespaços de um espaço vetorial W tal que V [ U é um subespaço vetorial de W. Mostre que U V ou V U. 5. Sejam W 1 o conjunto das matrizes da forma ( x x y z e W 2 o conjunto das matrizes da forma ( a b a c : (a Mostre que W 1 e W 2 são subespaços de M 2 (R. (b Determine as dimensões de W 1 ; W 2 ; W 1 + W 2, e W 1 \ W 2. 6. Encontre uma base fa 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 g de M 2 (R tal que A 2 j = A j para cada j. 7. (* Seja T : U! V uma transformação linear. (a Se os vetores T u 1 ; T u 2 ; : : : ; T u m 2 V são l.i., mostre que u 1 ; u 2 ; : : : ; u m 2 U também são l.i. (b Se U = V e os vetores T u 1 ; T u 2 ; : : : ; T u m geram V, mostre que u 1 ; u 2 ; : : : ; u m também geram V. (c Valem as recíprocas de (a e (b? Se V 6= U, (b é verdadeira? 8. (* Sejam T : U! V uma transformação linear e U 0 U, V 0 V subespaços vetoriais. Mostre que T (U 0 é um subespaço de V e T 1 (V 0 é um subespaço de U. 1

2 9. (* No exercício anterior, prove que se U 0 tem dimensão nita então dimt (U 0 é nita e dimt (U 0 dimu 0. Dê um exemplo de um operador não identicamente nulo T 2 L (R 2 e um subespaço U 0 R 2 tal que dimt (U 0 < dimu 0. Demonstre também que se U e V 0 tem dimensão nita e T é sobrejetiva então dimt 1 (V 0 dimv 0. Dê um exemplo em que T 6= 0 e dimt 1 (V 0 > dimv 0. Dê também um exemplo (com dimu = 1, onde dimv 0 é nita mas dimt 1 (V 0 = 1. 10. Existe uma transformação linear T : R 3! R 2 tal que T (1; 1; 1 = (1; 0 e T (1; 1; 1 = (0; 1? 11. (* Tem-se a transformação linear T : R 2! R 3. Sabe-se que T ( 1; 1 = (1; 2; 3 e T (2; 3 = (1; 1; 1. Pede-se a matriz A 2 M 3 2 (R relativamente às bases canônicas de R 2 e R 3. 12. Se x 1 = (1; 1; y 1 = (1; 0 x 2 = (2; 1; y 2 = (0; 1 x 3 = ( 3; 2; y 3 = (1; 1; existe uma transformação linear de T : R 2! R 2 tal que T x i = y i para cada i? 13. (* Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão nita. Dados os vetores v 1 ; v 2 ; : : : ; v m 2 V e w 1 ; w 2 ; : : : ; w m 2 W, a m de que exista uma transformação linear T : V! W com T v j = w j, para cada j = 1; 2; : : : ; m, é necessário e suciente que, para toda combinação linear nula a 1 v 1 + + a m v m = 0, se tenha também a 1 w 1 + + a m w m = 0. 14. Seja X = fv 1 ; v 2 ; : : : ; v m g um conjunto l.i. no espaço vetorial V, de dimensão nita. Dados arbitrariamente os vetores w 1 ; w 2 ; : : : ; w m no espaço vetorial W, mostre que existe uma transformação linear T : V! W tal que T v 1 = w 1 ; T v 2 = w 2 ; : : : ; T v m = w m. T é única se, e somente se, X é uma base de V. 15. Seja V um K-espaço vetorial n dimensional, e seja T : V! V um operador linear tal que ImT = KerT. Mostre que n é par. 16. Sejam V um espaço vetorial e T 2 L (V. Mostre que são equivalentes: (a Im(T \ Ker(T = f0g. (b Se T 2 (v = 0 então T (v = 0. 17. Sejam B = ( 1 1 4 4 e T um operador linear sobre M 2 (C denido por T (A = BA. Qual é a imagem de T? Descreva T 2. 18. Sejam T : R 3! R 2 e U : R 2! R 3 transformações lineares. Mostre que UT não é invertível. Generalize o resultado. 19. Encontre dois operadores lineares T e U sobre R 2 tais que T U = 0 mas UT 6= 0. 20. Sejam V um K-espaço vetorial T 2 L (V. Se T 2 = 0, o que se pode dizer a respeito da imagem e do núcleo de T? Dê um exemplo de um operador linear T sobre R 2 tal que T 2 = 0 mas T 6= 0. 21. (* Seja V um K-espaço vetorial com dimk 3. Mostre que uma função T : V! V é linear se, e somente se, T restrita a cada subespaço vetorial de V de dimensão 2 é linear.

3 22. Seja T um operador linear sobre um espaço vetorial V de dimensão nita. Suponha que exista um operador linear U sobre V tal que 1 T U = I. Mostre que T é invertível e que U = T 1. O que se pode dizer no caso em que V tem dimensão innita? 23. Seja V um espaço vetorial de dimensão nita e T um operador linear sobre V. Suponha que posto(t 2 = posto(t. Mostre que a imagem e o núcleo de T são disjuntos, isto é, tem apenas o vetor nulo em comum. 24. Seja W o espaço de todas as matrizes hermitianas 2 2, isto é, o conjunto das matrizes quadradas (a ij de ordem 2, com a ij 2 C, tais que a ij = a ji. Mostre que W é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais. Verique que ( x + t y + iz (x; y ; z; t 7! y iz t x é um isomorsmo de W em R 4. 25. (* Consideremos uma transformação linear T : U! V, onde U e V são K-espaços vetoriais tais que dimkv < dimku < 1. (a Prove que existe um elemento não-nulo u 2 U tal que T (u = 0. (b Se B é uma base arbitrária de U, existe sempre um vetor u 2 B tal que T (u = 0? Prove ou dê um contra-exemplo. 26. Seja T 2 L (C 2 denido por T (z; w = (z; 0. Seja B a base (ordenada canônica de C 2 de seja C = fa 1 ; a 2 g a base ordenada denida por a 1 = (1; i ; a 2 = ( i; 2. (a Qual é a matriz de T relativa às bases B e C? (b Qual é a matriz de T relativa às bases C e B? (c Qual é a matriz de T relativa à base ordenada C? (d Qual é a matriz de T relativa à base ordenada fa 2 ; a 1 g? 27. Seja T : R 3! R 2 a transformação linear denida por T (x; y ; z = (x + y ; 2z x : (a Se B é a base canônica (ordenada de R 3 e C é a base canônica (ordenada de R 2, qual é a matriz de T relativa às bases B e C? (b Se B = fa 1 ; a 2 ; a 3 g e C = fb 1 ; b 2 g, onde a 1 = (1; 0; 1; a 2 = (1; 1; 1; a 3 = (1; 0; 0; b 1 = (0; 1; b 2 = (1; 0; qual é a matriz de T relativa às bases B e C? 28. Seja V um espaço vetorial bidimensional sobre um corpo K, e seja B uma base ordenada de V. Se T é um operador linear sobre V e ( a b [T ] B = ; c d mostre que T 2 (a + dt + (ad bci = 0. 1 I é a identidade de V.

4 29. Seja T um operador linear sobre R 3 cuja matriz na base canônica é 1 2 1 A = 0 1 1 : 1 3 4 Encontre uma base para a imagem e uma base para o núcleo de T. 30. Seja T um operador linear sobre R 2 denido por T (x; y = ( y ; x. (a Qual é a matriz de T na base canônica ordenada de R 2? (b Qual é a matriz de T na base ordenada B = f(1; 2; (1; 1g? (c Mostre que, para todo 2 R, o operador T I é invertível. (d Mostre que, se B é uma base ordenada qualquer de R 2 e [T ] B = A, então a 12 a 21 6= 0. 31. Seja T o operador linear de R 3 denido por T (x; y ; z = (3x + z; 2x + y ; x + 2y + 4z : (a Qual é a matriz de T na base canônica ordenada de R 3? (b Qual é a matriz de T na base ordenada B = fa 1 ; a 2 ; a 3 g, onde a 1 = (1; 0; 1, a 2 = ( 1; 2; 1, e a 3 = (2; 1; 1? (c Mostre que T é invertível e determine T 1. 32. (* Seja T : P 2 (R! P 2 (R a função dada por T (a; b; c B = (2c 2b; a + c; a + b + c C ; onde C é a base f1; x; x 2 g e B é a base f1; x + x 2 ; 1 + x 2 g. (a Verique que T é uma transformação linear. (b Calcule [T (2 x 2 ] B e [T (2 x 2 ] C. (c Existem um vetor u 2 P 2 (R não-nulo tal que T (u = u? Justique sua resposta. 33. (* Sejam U um K-espaço vetorial e T um operador linear sobre U tal que T 2 = T. Seja W = fx 2 U ; T (x = xg e V = fx 2 U ; T (x = 0g. Prove que (a U = W V ; (b T (U = W ; (c T (V = f0g. 34. Seja um número real. Mostre que as seguintes matrizes são semelhantes sobre C. ( ( cos sen e i 0 ; sen cos 0 e i : 35. Seja V um espaço vetorial de dimensão nita sobre K e sejam S e T operadores lineares sobre V. Quando existem bases ordenadas B e C de V tais que [S] B = [T ] C? Mostre que estas bases existem se, e somente se, existe um operador linear invertível U sobre V tal que T U = US. 36. Sejam V um K-espaço vetorial n dimensional e B = fx 1 ; x 2 ; : : : ; x n g uma base ordenada de V. (a Mostre que existe um único operador linear T sobre V tal que T x j = x j+1, para j = 1; 2; : : : ; n 1, e T x n = 0.

5 (b Qual é a matriz A de T na base ordenada B? (c Mostre que T n = 0 mas T n 1 6= 0. (d Seja S um operador linear qualquer sobre V tal que S n = 0 mas S n 1 6= 0. Mostre que existe uma base ordenada C de V tal que a matriz de S nesta base é a matriz A. 37. (* Seja B = fv 1 ; : : : ; v n g uma base do espaço vetorial V. Para cada i = 1; 2; : : : ; n, seja f i : V! R o funcional linear determinado pelas condições f i (v i = 1 e f i (v j = 0 se i 6= j. Mostre que ff 1 ; f 2 ; : : : ; f n g é uma base de V = L (V; R (chamada a base dual de B. Prove que se tem f i (v = x i para todo v = n i=1 x i v i 2 V. 38. (* Seja V um espaço vetorial de dimensão nita. Dada uma base F = ff 1 ; f 2 ; : : : ; f n g V, mostre que existe uma base fv 1 ; v 2 ; : : : ; v n g V da qual F é dual.