6. Sistemas oscilantes

6. Sistemas oscilantes 6.1 O oscilador harmónico simples A figura 6.1 mostra uma mola numa posição vertical com um extremo fixo. Quando uma esfera de massa m é pendurada no outro extremo, a mola estica uma distância x. O lado direito da figura mostra a força F k produzida pela mola, em função da posição x da esfera, segundo o eixo de coordenadas definido no diagrama da esquerda. A força elástica da mola é directamente proporcional ao alongamento da mola, com declíve constante k (o sinal negativo é devido a que a força é oposta ao alongamento). F x x F r x mg F k x Figura 6.1: Esfera suspensa por uma mola vertical. A força resultante, F r, obtém-se somando o peso, mg, mais a força elástica F k. Como se mostra no gráfico 6.1, F r é outra recta deslocada uma distância mg no eixo das ordenadas. Assim, em funçaõ da coordenada x, a força resultante é F r = kx. A aceleração da esfera é ẍ. A segunda lei de 7 Física dos Sistemas Dinâmicos

Newton implica mẍ = kx (6.1) Para que fique explícito o facto de que as duas constantes k e m são positivas, podemos escrever a equação na forma ẍ = ω x (6.) onde ω = k m (6.3) A solução para x em função de t esperamos que seja uma função oscilante. Podemos mostrar que de facto a solução tem a forma x = Acos(Bt+C): Derivando duas vezes em ordem a t obtemos (C1) (D1) sol1: A*cos(B*t + C); A cos (Bt + C) (C) diff(sol1, t, ); (D) AB cos (Bt + C) Que é igual à função inicial x, multiplicada por B. Independentemente dos valores das constantes A e C, se B for igual a ω, a função será solução da equação 6.. Logo a solução geral da equação 6. é: x(t) = A cos(wt + C) (6.4) onde A é uma constante, designada de amplitude, que representa o valor absoluto máximo do deslocamento x. A constante C, é designada de constante de fase. Tanto A como C dependem das condições iniciais do problema (por exemplo, deslocamento e velocidade inicial). O espaço de fase está formado pelas variáveis x e v = ẋ. autónomo de primeira ordem, equivalente à equação 6. é O sistema ẋ = v (6.5) v = ω x (6.6) Sistemas oscilantes 71

No caso particular ω = 1, este sistema já foi estudado em pormenor na secção 5.4, já que as equações 6.5 e 6.6 têm a mesma forma das equações 5.13 e 5.14. As figuras 5.5 e 5.6 mostram o espaço de fase e a evolução de x em função do tempo. Para uma constante ω qualquer, é fácil ver que a função x(t) (equação 6.4) completa uma oscilação completa quando ωt aumentar em π, e o valor máximo de v (derivada de x) é Aω. A figura 6. mostra a evolução de x e v e a trajectória do sistema no espaço de fase. v Aω x, v x(t) v(t) A x P t Figura 6.: Evolução do oscilador harmónico simples, no espaço de fase e no domínio do tempo. O período P é o tempo que oscilador demora a completar uma oscilação e verifica a equação P = π (6.7) ω A frequência angular ω tem unidades de inverso do tempo, e é definida pela equação 6.3. A trajectória no espaço de fase é uma elipse 1 com semi-eixos de comprimento A e Aω. A equação da elipse é x A + v A ω = 1 (6.8) Subsituindo a definição de ω (equação 6.3) vemos que esta equação expressa a conservação da energia mecânica: 1 kx + 1 mv = 1 ka (6.9) 1 Isto pode ser demonstrado matemáticamente, resolvendo a equação 6. pelo método descrito na secção 4.7.1. 7 Física dos Sistemas Dinâmicos

6. Osciladores amortecidos A figura 6.3 mostra o sistema de suspensão de um automóvel. Dentro da mola há um amortecedor, isto é, um cilindro cheio de óleo, que produz uma força oposta ao movimento, directamente proporcional à velocidade: F v = av, onde a é uma constante. x b<ω b=ω x b>ω t Figura 6.3: Oscilador harmónico amortecido. A equação de movimento, obtém-se somando F v no lado da equação 6.1. Após dividir os dois lados da equação por m, obtemos a equação diferencial do oscilador harmónico amortecido: ẍ + bẋ + ω x = (6.1) onde b = a/m. Trata-se de uma equação linear, de segunda ordem, que pode ser resolvida analíticamente usando Maxima. (C3) eq: diff(x,t,) + b* diff(x,t) + o^*x = $ (C4) ode(eq, x, t); Is (*o - B)*(*o + B) positive, negative, or zero? negative; São obtidas 3 tipos de soluções, segundo (ω b) seja nula, positiva ou negativa. O lado direito da figura 6.3 mostra os 3 tipos de soluções. Quando b < ω, dizemos que o amortecimento é fraco, e a solução é uma função que Sistemas oscilantes 73

oscila mas com amplitude que decresce rápidamente. O caso b = ω é designado de amortecimento crítico e conduz a uma solução que se aproxima para x = (com algumas condições iniciais, x pode chegar a mudar de sinal antes de se aproximar para zero). Finalmente, b > ω corresponde ao caso de sobreamortecimento, em que x decresce rapidamente para zero. Um oscilador real, por exemplo o sistema da figura 6.1, tem sempre um termo de amortecimento devido ao atrito com o ar. O que acontece é que o amortecimento pode ser muito fraco, o que faz com que a amplitude das oscilações diminuia lentamente. Assim, a equação 6.1 é mais realista do que a equação 6.. O respectivo sistema autónomo de primeira ordem é ẋ = v (6.11) v = ω x bv (6.1) A figura 6.4 mostra a evolução do sistema, no espaço de fase (x, v) e no domínio do tempo. -1 1-5 1 5 1 dy/dt=-x-.3*y, dx/dt=y 1 5 5 5 5-1 5-5 -5-5 -5-1 -5 5 1 For villate Tue Nov 11 13:4:17 WET 3 For villate Tue Nov 11 13:4:39 WET 3 Figura 6.4: Evolução do oscilador harmónico com amortecimento fraco. No exemplo do automóvel, para que este não oscile cada vez que passe sobre um obstáculo, os amortecedores são desenhados de forma a produzirem sobreamortecimento. Devido ao desgaste, o óleo do amortecedor começa a perder pressão e quando o sistema entrar no regime de amortecimento fraco, o carro oscila quando o mecânico empurra a carroceria para baixo, e estará na hora de mudar os amortecedores. 74 Física dos Sistemas Dinâmicos

6.3 Osciladores forçados Uma força externa F introduz um termo adicional no lado direito da equação linear 6.1, tornando-la não homogénea. Por exemplo, consideremos uma força externa que também oscila em forma harmónica, com amplitude C e frequência angular d ẍ + bẋ + ω x = c cos(dt) (6.13) onde c é igual a C/m. Esta equação já não é autónoma. Isso implica que o tempo t também será uma variável de estado e o espaço de fase tem três dimensões (t, x, v). O comando plotdf não permite representar espaços de fase em 3 dimensões; vamos usar o comando ode para resolver a equação diferencial num exemplo em particular. (C5) (D5) eq3: diff(x,t,) + diff(x,t)/4 + x = cos(t/); d d dt x + dt x ( ) t 4 + x = cos (C6) sol3: ic(ode(eq3,x,t), t=, x=5, diff(x,t)=)$ (C7) plotd(rhs(sol3),[t,,3]); O resultado aparece na figura 6.5. O movimento obtido é a sobreposição da oscilação forçada produzida pela força externa e a a oscilação própria do sistema. Passado um tempo suficientemente grande, a oscilação própria do sistema acaba por desaparecer, devido ao amortecimento, e o sistema oscila com a mesma frequência da força externa (regime estacionário). No entanto, a amplitude de oscilação nesse regime estacionário depende da relação entre a frequência externa d e a frequência própria ω. O valor máximo da amplitude é obtido quando d = ω. Nesse caso diz-se que existe ressonância entre a força externa e o sistema. Sistemas oscilantes 75

5 5 1 5.5.5 1 5 5 -.5 1 -.5 Figura 6.5: Oscilações forçadas. 6.4 O pêndulo simples Outro exemplo de sistema oscilante é o pêndulo simples (figura 6.6). Consiste num objecto pequeno, pendurado por um fio ou por uma barra rígida muito leve. As forças que actuam sobre o objecto são a tensão no fio, T, e o peso do objecto, mg. Convém usarmos um sistema de coordenadas polares para analisarmos o movimento do objecto. O lado direito da figura 6.6 mostra as coordenadas polares (r, θ) do objecto, e os versores ortogonais u r e u θ que apontam na direcção em que as duas coordenadas aumentam. Os versores polares não permanecem constantes, mas dependem do ângulo θ. Em função dos versores i e j, na direcção dos eixos x e y, temos u r = cos(θ) i + sin(θ) j (6.14) u θ = sin(θ) i + cos(θ) j (6.15) derivando essas expressões em função de t, e tendo em conta que θ depende de t e a sua derivada é a velocidade angular θ, obtemos u r = θu θ (6.16) u θ = θu r (6.17) 76 Física dos Sistemas Dinâmicos

y θ T θ r u θ mg x u r Figura 6.6: Pêndulo simples e coordenadas polares. O vector de posição pode ser escrito como r = ru r (6.18) A primeira derivada em função do tempo, dá a velocidade v; usando as relações 6.16 e 6.17, obtemos v = ṙ u r + r θ u θ (6.19) e derivando novamente em função do tempo, obtemos a aceleração em coordenadas polares. ( a = r r θ ) ( u r + r θ + ṙ θ ) u θ (6.) A única força que actua na direcção do versor u θ é a componente tangencial do peso, mg sin θ, com sinal negativo. Assim, aplicando a segunda lei de Newton para as componentes da força resultante e da aceleração na direcção de u θ, obtemos r θ + ṙ θ = g sin θ (6.1) Para ângulos comprendidos entre π/ e π/, o fio permanecerá esticado e, por tanto, r = l (comprimento do fio) e ṙ =. O mesmo resultado será válido para qualquer valor de θ, se em vez de fio o objecto estiver pendurado de uma barra rígida que pode rodar livremente. A equação obtida é θ = ω sin θ (6.) Estamos a usar letra negrita para representar vectores e distinguí-los de escalares, que são representados em letra itálica. Assim, r é um vector, mas r é a sua norma. Sistemas oscilantes 77

onde a frequência angular está definida por ω = g l (6.3) Se o ângulo for pequeno, sin θ pode ser aproximado por θ (em radianos) e obtém-se a equação de um oscilador harmónico simples. Em geral, a equação não é linear e as oscilações do ângulo θ não são funções harmónicas simples. No espaço de fase (θ, Ω), as equações de evolução são: θ = Ω (6.4) Ω = ω sin θ (6.5) 5.5.5 dy/dt=-sin(x), dx/dt=y 5 1 15 θmax.5.5 θ = 15 Ω 1 -.5 -.5 5 For villate Tue Nov 11 14:41:1 -.5 -.5 5 1 15 For villate Tue Nov 11 14:4:39 WET 3 Figura 6.7: Algumas trajectórias do pêndulo simples, no espaço de fase e no domínio do tempo. A figura 6.7 mostra algumas trajectórias no espaço de fase, para um pêndulo que possa rodar livremente mantendo o comprimento l constante. Oscilações com amplitudes não muito grandes dão resultados parecidos ao oscilador harmónico simples: elipses no espaço de fase e função sinusoidal para θ(t). Inclusivamente para amplitudes maiores, como o caso θ max = 15, θ(t) parece ser uma função sinusoidal; mas a velocidade angular, Ω(t), já é claramente uma função não harmónica, como se pode apreciar no lado direito da figura. Se a velocidade angular inicial for muito elevada, o pêndulo pode continuar sempre às voltas, num sentido ou no outro (as duas curvas abertas no campo de direcções 6.7). Os dois pontos singulares (onde há curvas que se cruzam) que aparecem no diagrama do espaço de fase, correspondem a θ = ±18, Ω =. 78 Física dos Sistemas Dinâmicos

6.5 Osciladores acoplados Vamos estudar nesta secção as oscilações de dois sistemas oscilantes acoplados. Um exemplo é um sistema de duas molas, com a mesma constante elástica k, ligadas a duas esferas de massa m, como se mostra na figura 6.8. x 1 x Figura 6.8: Dois osciladores acoplados. As coordenadas x 1 e x medem-se a partir da posição de equilíbrio de cada esfera e vão representar a posição de cada esfera, em função do tempo. Assim, o alongamento da mola de cima, a partir da posição de equilíbrio, será igual a x 1, enquanto que o alongamento da mola de baixo será x x 1. Na esfera de cima actuam as forças das duas molas, enquanto que na esfera de baixo só actua a força da segunda mola. As equações de movimento das duas esferas são mẍ 1 = kx 1 + k(x x 1 ) (6.6) mẍ = k(x x 1 ) (6.7) ou, em forma matrizial, ẍ = Mx, onde x e M são as matrizes x = ( x1 x ) ( ω ) ω M = ω ω (6.8) Sistemas oscilantes 79

com a definição habitual ω = k/m. É possível combinar as duas equações e redefinir duas novas variáveis y 1 e y de forma a que na primeira equação não apareça y e na segunda não apareça y 1. Dito de outra forma, uma rotação do sistema de coordenadas (x 1, x ) corresponde a multiplicar x por uma matriz ortogonal A, que resulta na matriz y = Ax com coordenadas y 1 e y. Multiplicando os dois lados do sistema de equações diferenciais por A, se transforma em ÿ = AMx, ou ainda ÿ = AMA 1 y. Existe sempre um a matriz A que faz com que AMA 1 seja diagonal: ( ) AMA 1 λ1 = (6.9) λ e o sistema de equações ÿ = AMA 1 y será simplesmente ÿ 1 = λ 1 y 1 (6.3) ÿ = λ y (6.31) que são duas equações independentes que podem ser resolvidas em forma independente. As constantes λ 1 e λ designam-se de valores próprios da matriz M existem vectores próprios v 1 e v que verificam as equações Mv 1 = λ 1 v 1 (6.3) Mv = λ v (6.33) Voltando ao nosso caso das duas molas, os valores e vectores próprios da matriz M (equação 6.8) podem ser calculados usando o comando eigenvectors do Maxima: (C8) m: matrix([-*w^, w^], [w^, -w^]); (D8) ( w w ) w w (C9) eigenvectors(m); (D9) [[[ ( ) ( ) ] ] [ ] [ ]] 5 + 3 w 5 3 w 5 1 5 + 1,, [1, 1], 1,, 1, 8 Física dos Sistemas Dinâmicos

A primeira lista mostra os dois valores próprios, ( 5 + 3)ω/ e ( 5 3)ω/. A segunda lista indica que cada um desses valores próprios aparece uma vez na diagonal da matriz diagonal. Finalmente há outras duas listas que são as coordenadas dos dois vectores próprios. Aparece aqui o número φ (relação áurea) que já tinha sido introduzido no problema 1. Em função desse número, os dois vectores próprios são (C1) (D1) v1: [1, 1-%phi]; [1, 1 φ] (C11) (D11) v: [1, %phi]; [1, φ] Cada linha da matriz de transformação, A, será um dos vectores próprios após terem sido divididos pela sua norma, para ficarem vectores unitários. Em Maxima o produto escalar é representado por um ponto; os vectores normalizados serão: (C1) v1: v1/sqrt(v1.v1)$ (C13) v: v/sqrt(v.v)$ E a matriz de transformação é (C14) A: matrix(v1,v)$ (C15) (D15) A, numer; (.856588354 ).557311111913.557311111913.856588354 Podemos conferir que AMA 1 é de facto uma matriz diagonal. A matriz inversa obtém-se com o comando invert Sistemas oscilantes 81

(C16) I: A.m.invert(A)$ (C17) (D17) map(ratsimp, I); ( ( φ 1) w ) (φ ) w Em função das variáveis y 1 o sistema de equações é ÿ 1 = (1 + φ)ω y 1 (6.34) ÿ = ( φ)ω y (6.35) que são dois osciladores harmónicos simples, com frequências angulares φω e (φ 1)ω. As condições iniciais para (y 1, y ) obtém-se a partir das condições iniciais para (x 1, x ), multiplicando pela matriz de transformação (C18) (D18) A.[x1, x], numer; ( ).856588354 x1.557311111913 x.856588354 x +.557311111913 x 1 Se as duas esferas são largadas, a partir do repouso desde posições com a relação x 1 /x =.56/.85, y 1 será nula, e só existirá o segundo modo de oscilação, onde y oscila com frequência angular ω =.38 ω. Se a relação inicial entre os deslocamentos for x 1 /x =.85/.56, o segundo modo y anula-se, ficando unicamente o primeiro modo normal y 1, com frequência angular ω 1 =, 6 ω. 6.6 Problemas 1. Uma esfera de 3 gramas está sujeita a uma força resultante, F, que depende da posição da esfera, x, de acordo com a equação F = x 3 6x + 3x + 1, onde F é medida em newtons e x em metros. 8 Física dos Sistemas Dinâmicos

(a) Encontre a posição x dos pontos de equilíbrio (onde a força resultante é nula). (b) Desenhe um gráfico da força resultante, mostrando os 3 pontos de equilíbrio. Identifique o ponto de equilíbrio estável; isto é, o ponto onde a força passa de positiva para negativa e, portanto, aponta para o ponto de equilíbrio. (c) Obtenha os primeiros termos da série de Taylor para F, à volta do ponto de equilíbrio estável. O primeiro termo determina o comportamento da força perto do ponto de equilíbrio e, por ser semelhante à força num oscilador harmónico simples, produzirá oscilações harmónicas. Calcule o período de oscilação da esfera, perto do ponto de equilíbrio estável. (d) Qual acha que será o valor máximo da amplitude de oscilação da esfera à volta do ponto de equilíbrio estável?. Considere o oscilador harmónico amortecido com equação de movimento: ẍ + aẋ + 3x = onde a é a constante de amortecimento. (a) Desenhe os gráficos do campo de direcções e de x(t) no caso a = 3, com condições iniciais x() = 4, ẋ() = 1. (b) Repita a alínea anterior para a = 6 3. A equação de movimento de um oscilador forçado em particular é: ( 11ẍ + 4ẋ + 891x = 1555 cos at π ) 9 sin(bt) 4 onde a = 11 e b = 9. Encontre a solução da equação com condições iniciais x() = ẋ() = (as constantes a e b só devem ser substituidas depois de resolver a equação, para evitar um erro numérico do programa ode de Maxima). Desenhe o gráfico da solução entre t = e t = 1 (a flutuação da amplitude é chamada de batimento ou pulsação). 4. A equação diferencial do pêndulo simples θ + g l sin θ = é uma equação autónoma. Usando o método descrito na secção 4.7.1, substituia θ por θ = Ω dω dθ Sistemas oscilantes 83

onde Ω = θ é a velocidade angular. (a) Encontre a solução geral da equação diferencial obtida para Ω em função de θ (b) Calcule a solução particular para as condições iniciais θ = θ e Ω =, para t =. (c) A solução particular obtida representa a trajectória no espaço de fase (θ, Ω). Desenhe a trajectória usando os seguintes valores numéricos: g = 9.81 m/s, l = 3 cm, θ = 7 5. As equações de um sistema de osciladores acoplados particular são: ẍ 1 = 1x 1 + 5x ẍ = 5x 1 1x (a) Encontre os valores e vectores próprios da matriz do sistema. (b) Escreva as equações diferenciais dos dois modos normais de oscilação, y 1 e y, e encontre a solução geral de cada equação. (c) Defina a matriz de transformação onde cada linha é um dos vectores próprios, normalizados. (d) Com as condições iniciais x 1 =, x = 1, x 1 = x =, em t =, encontre os valores iniciais de y 1, y, y 1 e y, e encontre as soluções particulares para os modos normais y 1, y em função do tempo. (e) As variáveis iniciais x 1 e x obtêm-se a partir dos modos normais y 1, y multiplicando pela matriz de transformação inversa. Encontre a solução particular x 1 (t), x (t). 6. Uma mola está suspensa na vertical. Pendura-se um objecto de massa m, que estica a mola uma distância x até uma nova posição de equilíbrio. A partir da posição de equilíbrio, um deslocamento adicional do objecto produz um movimento harmónico simples. Demonstre que o período de oscilação é x P = π g onde g é a aceleração da gravidade. Pode concluir que o período de oscilação é independente da massa m do objecto? 84 Física dos Sistemas Dinâmicos