Partículas: a dança da matéria e dos campos Aula 4 Simetrias - 3. Simetrias. Grupos e suas propriedades 3. Rotações no espaço-tempo
Simetrias Já discutimos o uso de simetria em arte e a importância desse conceito em conexão com as leis da mecânica clássica. No caso do mundo do muito pequeno, as leis de simetria desempenham um papel adicional, na medida em que elas determinam processos que podem ou não ocorrer, colocando ordem no aparente caos gerado pelas incertezas quânticas. Recapitulando:. Conservação da energia invariância por translações temporais.. Conservação do momento linear invariância por translações espaciais, 3. Conservação do momento angular invariância por rotações.
Simetrias As raias espectrais do átomo de hidrogênio não são aleatórias, elas apresentam uma regularidade que se manifesta na cabalística - pelo menos até o momento - expressão de Rydberg: (/l)=(f/c)=r H ((/(k²))-(/(n²))) onde n,k: inteiros; n>k. Na verdade, como veremos quando estudarmos o átomo de hidrogênio, aspectos essenciais dessa expressão estão ligados à invariância rotacional do átomo de H.
Multipletos Num outro setor do mundo do muito pequeno, o da partículas elementares, elas também se agregam em conjuntos - nome técnico correto: multipletos - de massas e demais propriedades muito semelhantes. Um exemplo: o próton e o nêutron Se desconsiderarmos o fato de que o próton tem carga e o nêutron não, eles se comportam como um multipleto de dois estados: as massas são muito parecidas (m próton =938.7 MeV/c m nêutron =939.57 MeV/c ), assim como o são diversos outros comportamentos sob a ação da interação nuclear forte.
Teoria de Grupos Antes de avançarmos na discussão sobre o papel das simetrias nas leis da Física, pode ser adequado um pequeno desvio para falar da matemática conexa à idéia de simetria, a teoria de grupos. Um grupo é definido como um conjunto de operações/ações/transformações (genericamente: elementos ou membros do grupo) que se combinam através de um produto ou lei de multiplicação. Exemplo de transformação: a rotação de uma esfera em torno de um eixo que passe pelo seu centro. Para que um conjunto de elementos constitua um grupo, a lei de multiplicação deve ser tal que as seguintes propriedades ocorram:. Se a e b pertencem ao grupo, então a b também pertence.. É associativa: a (b c)=(a b) c. 3. Existe um elemento identidade, e, tal que: a e=e a=a. 4. Para cada elemento existe um inverso, a -, tal que: a a - =e.
Teoria de grupos: alguns exemplos O conjunto dos números inteiros sob a ação da operação de adição. O conjunto das operações de simetria em um triângulo equilátero:. Rotações de π em torno dos eixos A, B e C (R A, R B e R C respectivamente);. Rotação de π/3 no sentido horário em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo baricentro do triângulo (R + ); 3. Rotação de π/3 no sentido anti-horário em torno do mesmo eixo (R - ), além do operação identidade.
Teoria de grupos: alguns exemplos Usando uma notação adequada aos nossos propósitos:. e=(3) representa a identidade (explicitando: o vértice à direita é, o o superior é e à esquerda é 3;. (3) ª R A : a rotação em torno de A (exemplificando: o vértice à direita é, aquele à esquerda é 3 e o superior continua sendo ) 3. (3) ª R B : a rotação em torno de B; 4. (3) ª R C : a rotação em torno de C; 5. (3) ª R + : a rotação horária; e 6. (3) ª R - :a anti-horária. A figura a seguir apresenta as operações de simetria do triângulo equilátero, rotulando-as com essas notações
Teoria de grupos: alguns exemplos 3 B C e R + R - (3) (3) (3) 3 3 3 A 3 Referência R C R A R B (3) (3) (3) 3 3
Referência Teoria de grupos: alguns exemplos B C (3) (3) (3) e (3) e 3 3 3 3 A 3 3 Atuando com (3) (3)(3) (3) e (3) (3) (3) 3 3
Teoria de grupos: alguns exemplos e=(3) (3) (3) (3) (3) (3) e=(3) e (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) e (3) (3) (3) (3) (3) e (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) e (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) e (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) e
Teoria de grupos: alguns exemplos O conjunto das permutações de três elementos: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Todos os grupos mencionados anteriormente são finitos (ou discretos), isto é: tem um número finito de elementos.
Teoria de grupos: alguns exemplos Existem também grupos contínuos:. O grupo de translações em uma dimensão: x x+a. O grupo de rotações em duas dimensões: x y = x = x + cosθ senθ a senθ cosθ x y
Teoria de grupos: alguns exemplos Alguns grupos são equivalentes entre si (isomorfos): p q=r e P Q=R. Exemplos:. Os inteiros 0 e sob a operação de adição módulo. Os inteiros + e - sob a operação de multiplicação. 3. As permutações de dois objetos:
Teoria de grupos: alguns exemplos = 0+0=0 = 0+= (-)= +0= - =- +=0 - -= = = =
Mais exemplos Mais um exemplo de grupos isomorfos:. O grupo das permutações de três elementos e o grupo das operações de simetria de um triângulo eqüilátero. Usando a notação que definimos para as operações de simetria do triângulo eqüilátero e comparando essas operações com as do grupo de permutações de três elementos, pode-se ver claramente que ambos grupos são isomorfos. Na verdade, a maior razão para ter introduzido a notação (3), (3), etc, foi tentar facilitar essa comparação. Há grupos tais que a b=b a (isto é, vale a propriedade comutativa).. Esses grupos recebem o nome de grupos abelianos.. Um exemplo de grupo não abeliano: o grupo de rotações em 3D (note que rotações em duas dimensões são comutativas!).
Rotações 3D como grupo não abeliano O caráter abeliano das rotações bi-dimensionais e o não abeliano das tridimensionais. Rotações formam um grupo.
Mais propriedades de grupos Grupos são entidades matemáticas abstratas e admitem representações, i.e. uma particular realização do grupo. Matrizes são, em geral, representações convenientes; por exemplo, a matriz é uma representação do grupo de rotações em duas dimensões cosθ senθ senθ cosθ
Mais Grupos As representações são elas mesmas utilizadas para caracterizar o comportamento de sistemas sob a ação das operações de simetria do grupo. Em outras palavras, as propriedades de simetria do sistema são rotuladas pelas representações do grupo. Exemplificando no caso do grupo de rotações: uma esfera é um singleto sob rotações espaciais (em outras palavras, a esfera é um invariante sob rotações).
Classificação dos Grupos Os matemáticos trataram de classificar todos os grupos contínuos:. Simetrias rotacionais de esferas com dimensões em N coordenadas reais: O(), SO(3) [o grupo de rotações em 3D], SO(4), SO(5)..., SO(N). Simetrias rotacionais de esferas que vivem em N coordenadas complexas: U() [ O()], SU() [ SO(3)], SU(3),..., SU(N) SU(): Grupo especial unitário em duas dimensões; uma representação particular deste grupo está associada a uma característica dos constituintes do núcleo atômico (próton e nêutron), que é o isospin: se não levarmos em conta que o próton é carregado e o nêutron não é, ambas partículas podem ser encaradas como estados de uma mesma partícula denominada núcleon. Além disso, é também o grupo associado ao spin. SU(3): Grupo especial unitário em três dimensões; associado à interação forte, que age entre os quarks, mediada pelos glúons. 3. Simetrias de osciladores harmônicos em N dimensões (nada terão com as discussões que travaremos ao longo da disciplina): Sp(), Sp(4),..., Sp(N) 4. Grupos Excepcionais: G, F 4, E 6, E 7, E 8. Alguns destes grupos excepcionais têm nexos com aspectos da teoria de cordas.
Rotações no espaço-tempo Uma característica importante da rotações e que ficou mascarada na discussão anterior é o conceito de invariante: a quantidade D²=x²+y²+z² é o que se chama de um invariante sob rotações (já discutimos isso no caso de rotações no plano). A este invariante está associada a idéia de que a esfera é um escalar (i.e., invariante) sob rotações, pois uma esfera é definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um dado centro é constante. Sob um ponto de vista mais formal, o grupo de rotações pode ser definido como o conjunto de operações que deixam inalterada a quantidade D²=x²+y²+z². Falaremos mais sobre isso na próxima aula.