MÓDULO II - PARTE II LÓGICA DOS PREDICADOS Quantificadores Professora Dr. a Donizete Ritter 26 de julho de 2017 Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 1 / 18
Sumário 1 INTRODUÇÃO 2 TIPOS DE QUANTIFICADORES 3 COMBINAÇÃO DE QUANTIFICADORES 4 Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 2 / 18
INTRODUÇÃO Sumário 1 INTRODUÇÃO 2 TIPOS DE QUANTIFICADORES 3 COMBINAÇÃO DE QUANTIFICADORES 4 Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 3 / 18
INTRODUÇÃO Definição de Predicados Considere as afirmações: P(x) : x > 3 Q(x,y) : x = y + 3 R(x,y,z) : x + y z é par Estas afirmações não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas enquanto os valores para as variáveis não forem especificadas. Mas, P(2) é falso Q(6, 3) é verdadeiro R(2,2,3) é falso Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 4 / 18
INTRODUÇÃO Definição de Predicados Um predicado ou função proposicional é uma afirmação envolvendo variáveis tal que qualquer substituição de cada variável por um ponto do seu domínio, torna a afirmação uma proposição. Quantificadores: Uma alternativa a atribuir valores específicos às variáveis de um predicado é utilizar quantificadores que também transformam os predicados em proposições. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 5 / 18
TIPOS DE QUANTIFICADORES Sumário 1 INTRODUÇÃO 2 TIPOS DE QUANTIFICADORES 3 COMBINAÇÃO DE QUANTIFICADORES 4 Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 6 / 18
TIPOS DE QUANTIFICADORES Quantificador Universal x P(x) Para todo o x P(x) Qualquer que seja x P(x) Para todos os valores de x pertencentes ao universo do discurso, a proposição P(x) é verdadeira. x A, afirmações sobre x x Z, x é ímpar ou x é par. O universo poderá (e deverá) ser especificado quando há ambiguidades. Exemplo: x R, x 2 0 é uma proposição verdadeira. x C, x 2 0 é uma proposição falsa. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 7 / 18
TIPOS DE QUANTIFICADORES Quantificador Existencial x P(x) Existe um x tal que P(x) Existe pelo menos um x tal que P(x) Para algum x pertencente ao universo do discurso a proposição P(x) é verdadeira. x A, afirmações sobre x x N, x é primo e par. Da mesma maneira o universo poderá ser especificado: x R, 2x = 1 é uma proposição verdadeira. x N, 2x = 1 é uma proposição falsa. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 8 / 18
TIPOS DE QUANTIFICADORES Exercício 1: Escreva as sentenças seguintes utilizando a notação de quantificador (isto é, use os símbolos e/ou ). Discuta se cada sentença é verdadeira ou falsa. 1 Todo inteiro é primo. x Z, x é primo. (F) 2 Há um inteiro que não é primo nem composto. x Z, x não é primo nem composto. (V) O número 1 não é primo nem composto, é chamado de unidade. 3 Existe um inteiro cujo quadrado é 2. 4 Todos os inteiros são divisíveis por 5. 5 Algum inteiro é divisível por 7. 6 O quadrado de qualquer inteiro é não negativo. 7 Para todo inteiro x, existe um inteiro y tal que x y = 1. 8 Existem dois inteiros x e y tais que x/y = 10. 9 Existe um inteiro que, quando multiplicado por qualquer inteiro, sempre dá o resultado zero. 10 Qualquer que seja o inteiro que escolhamos, existe sempre outro inteiro maior do que ele. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 9 / 18
COMBINAÇÃO DE QUANTIFICADORES Sumário 1 INTRODUÇÃO 2 TIPOS DE QUANTIFICADORES 3 COMBINAÇÃO DE QUANTIFICADORES 4 Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 10 / 18
COMBINAÇÃO DE QUANTIFICADORES Combinação de quantificadores e x, y, afirmações sobre x e y. y, x, afirmações sobre x e y. não são mutuamente equivalentes. Exemplo: Considere as seguintes afirmações sobre inteiros: Para todo x, existe um y, tal que x + y = 0. Existe um y, tal que para todo x, temos x + y = 0. Em símbolos, essas afirmações se escrevem: x, y, x + y = 0. (verdadeiro!) y, x, x + y = 0. (falso!) Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 11 / 18
COMBINAÇÃO DE QUANTIFICADORES Exercício 2: Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das sentenças seguintes sobre inteiros. (não é preciso provar suas afirmações) 1 x, y, x + y = 0. (F) 2 x, y, x + y = 0. (V) 3 x, y, x + y = 0. 4 x, y, x + y = 0. 5 x, y, x y = 0. 6 x, y, x y = 0. 7 x, y, x y = 0. 8 x, y, x y = 0. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 12 / 18
Sumário 1 INTRODUÇÃO 2 TIPOS DE QUANTIFICADORES 3 COMBINAÇÃO DE QUANTIFICADORES 4 Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 13 / 18
Negação do Quantificador Universal Logo, x P(x) Para ser verdadeiro, P(x) tem que ser verdadeiro para todos os valores de x. Para ser falso basta que arranjemos um exemplo para o qual P(x) é falso. ( x P(x)) x( P(x)) Exemplo: A negação de Todos os homens são honestos é Algum homem é desonesto. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 14 / 18
Negação do Quantificador Existencial Logo, x P(x) Para ser verdadeiro, basta que encontremos um exemplo de x para o qual P(x) é verdadeiro. Para ser falso teremos que mostrar que não há nenhum exemplo de um valor de x para o qual P(x) seja verdadeiro. Em outras palavras, para ser falso, P(x) tem que ser falso para todos os valores de x. ( x P(x)) x( P(x)) Exemplo: A negação de Algum homem é desonesto é Todos os homens são honestos. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 15 / 18
Exercício 3: Para cada uma das sentenças seguintes, escreva a negação correspondente. 1 x Z, x é ímpar. 2 x Z, x < 0. Negação: x Z, x 0. 3 x Z, x = x + 1. Negação: x Z, x x + 1. 4 x N, x > 10. 5 x N, x + x = 2x. 6 x Z, y Z, x > y. 7 x Z, y Z, x = y. 8 x Z, y Z, x + y = 0. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 16 / 18
Exercício 4: Sendo R o conjunto dos números reais, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições. 1 ( x R), ( x = x). 2 ( x R), (x 2 = x). 3 ( x R), ( x = 0). 4 ( x R), (x + 2 = x). 5 ( x R), (x + 1 > x). 6 ( x R), (x 2 = x). Exercício 5: Dar a negação das proposições do Exercício 4. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 17 / 18
Exercício 6: Sendo A = 1,2,3,4,5, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições. 1 ( x A), (x + 3 = 10). 2 ( x A), (x + 3 < 10). 3 ( x A), (x + 3 < 5). 4 ( x A), (x + 3 7). 5 ( x A), (3 x > 72). 6 ( x A), (x 2 + 2x = 15). Exercício 7: Dar a negação das proposições do Exercício 6. Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 18 / 18