Função do 2 o grau: Equação e Inequação 2 a Edição do Curso de Difusão Pré-Cálculo aos alunos de graduação da ESALQ Patricia Araripe e Pollyane Vieira 15 de fevereiro de 2019
Definição (1) (Função) Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x A existe um único correspondente em y B.
Definição (2) (Função do 2 o grau) Uma função do segundo grau ou quadrática associa a cada x R o elemento ax 2 + bx + c R em que a 0. f : R R f (x) = ax 2 + bx + c Observação: O grau de uma função é determinado pelo maior expoente da variável.
Exemplo (1) 1. f (x) = x 2 3x + 2 2. f (x) = 2x 2 + 4x 3 3. f (x) = 3x 2 + 5x 1 4. f (x) = 2x 2 + 5x 5. f (x) = x 2 4 Qual o valor dos coeficientes a, b e c nas funções acima?
PARÁBOLA O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola, sendo esta com dois comportamentos diferentes.
RAÍZ DA FUNÇÃO Os valores que o gráfico da função intercepta o eixo x são chamados de raízes ou zeros da função. São os valores de x tais que f (x) = 0, ou seja, ax 2 + bx + c = 0. Temos aqui uma equação do 2 o grau e para resolvê-la utilizaremos a fórmula de Bháskara, dada por:
Deve-se considerar os casos para : > 0 A função possui 2 raízes reais.
= 0 A função possui 1 raíz real.
< 0 A função não possui raízes reais.
Exemplo (2) Determine as raízes das seguintes funções: 1. f (x) = x 2 3x + 2 2. f (x) = 4x 2 4x + 1 3. f (x) = x 2 4x + 5 Solução: 1. S = {1, 2} 2. S = { 1 2 } 3. S =
VÉRTICE DA PARÁBOLA O vértice V de uma parábola é representado pelo ponto de intersecão do eixo de simetria com a própria parábola, sendo suas coordenadas dadas por
Exemplo (3) Determine o vértice da parábola que representa as seguintes funções: 1. f (x) = x 2 3x + 2 2. f (x) = 4x 2 4x + 1 3. f (x) = x 2 4x + 5 Solução: 1. V( 3 2, 1 4 ) 2. V( 1 2, 0) 3. V(2, 1)
O ponto de intersecção da parábola com o eixo y é (0, c).
CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA O conjunto imagem da função quadrática é determinado a partir do (y V ) da parábola. Existem dois casos a se considerar: a > 0 A função apresentará um ponto de mínimo, em que y V é o valor mínimo da função.
a > 0 A função apresentará um ponto de máximo, em que y V é o valor máximo da função.
ESTUDO DOS SINAIS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Os sinais da função quadrática são estudados por meio do coeficiente a e do. Apresentam-se os possíveis casos:
INEQUAÇÃO 2 O GRAU Uma inequação é uma desigualdade, em que no lugar de um sinal de igual na sentença matemática utiliza-se sinais de: ax 2 + bx + c 0, em que a, b, c R a 0 < Menor que > Maior que Menor que ou igual a Maior que ou igual a
Por exemplo, na desigualdade x 2 + 6x + 9 > 0, tem-se: Incógnita x (expoente de x é igual a 2 ) 1 o membro x 2 + 6x + 9 2 o membro 0 Resolver a inequação é encontrar todos os valores reais de x que tornem a desigualdade verdadeira e escrever o conjunto solução.
Considere os seguintes passos: 1. Igualar a sentença do 2 o grau a zero; 2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x; 3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:
4. Escrever o conjunto solução.
Exemplo (1) Resolva as inequações: 1. x 2 2x 8 < 0. 2. x 2 3x 2 0 3. 2x 2 2x + 5 > 0 Solução: 1. S = {x R 2 < x < 4} 2. S = {x R x 2 ou x 1} 3. S = R
SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 2 O GRAU E INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Existem sistemas de inequações que aparecem uma ou mais inequações do 2 o grau. A resolução deve ser feita por: 1. Resolver cada inequação separadamente; 2. Fazer a intersecção das soluções usando as retas dos intervalos; 3. Dar a solução. Uma inequação do 2 o grau é simultânea quando aparecer duas desigualdades numa só sentença. A resolução deve ser feita da mesma maneira que em sistemas de inequações do 2 o grau.
Exemplo (2) Encontre o conjunto solução das seguintes inequações: 1. { x 2 6x + 9 0 3x 6 > 0 2. 3 < x 2 2x + 8 8 Solução: 1. S = {x R x > 2} 2. S = {x R 0 x 2}
INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO QUOCIENTE Algumas inequações apresentam o produto de funções, enquanto que algumas apresentam o quociente de funções. Neste caso: Fazer a análise de sinais de todas as funções e; Determinar a solução pela intersecção do estudo de sinais das funções das inequações. Uma observação importante na resolução da inequação quociente é que a função expressa no denominador não pode ser igual a zero.
Exemplo (3) Determine o conjunto solução das inequações: 1. ( x 2 7x + 10 ) (6x + 12) 0 2. x 2 +4x 3 x+2 0 Solução: 1. S = {x R 2 x 2 ou x 5} 2. S = {x R 1 x < 2 ou x 3}
Lista de exercícios