Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 1 o semestre 07/08 Nome: Número: Curso: 3 o TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR LCEIC-Taguspark, LCERC, LCEGI, LCEE (2 a Fase) 25 de Janeiro de 2008 (11:00) Teste 303 O Teste que vai realizar tem a duração total de 2 horas e consiste de sete perguntas. As perguntas estão divididas em alíneas com as cotações indicadas na tabela abaixo. O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Perg 1.a) Perg 1.b) Perg 1.c) Perg 2.a) Perg 2.b) Perg 3.a) Perg 3.b) Perg 3.c) Perg 4.a) Perg 4.b) Perg 5.a) Perg 5.b) Perg 5.c) Perg 6.a) Perg 6.b) Perg 7.a) Perg 7.b) 0.5 Val 2 Val NOTA FINAL: 1
Problema 1 (3.5 valores) Considere as matrizes onde α, δ R. B = α 1 0 0 δ 1 0 0 0 0 δ 1 0 0 0 α e x = a) Determine os valores de α e δ para os quais B é uma matriz invertível. b) Para α = δ = 1, resolva a equação Bx = 2x em ordem a x R 4. Justifique que λ = 2 é valor próprio de B. c) Para α = δ = 1, verifique se existe uma base para R 4 de vectores próprios de B. x 1 x 2 x 3 x 4 Solução: a) α δ, α 0 e δ 0; b) (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 (1, 1, 0, 0) com x 2 R; λ = 2 é valor próprio de B, uma vez que Bx = 2x tem solução não-trivial; c) não existe uma base para R 4 de vectores próprios de B, uma vez que λ = 1 tem multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1. 2
Problema 2 (3 valores) a) Complete a matriz B = 2 3 0... 0 1...... 2 3......, de forma a que a característica de B seja 2, e que ( 1, 0, 0, 1) pertença ao núcleo de B. 1 2 1 3 0 b) Sendo A = 1 2 1 2 0, encontre uma base para o espaço das linhas e 0 0 0 2 1 uma base para o espaço das colunas de A. Determine a dimensão do espaço das colunas de A. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! 2 3 0 2 Solução: a) B = 0 1... 0 ; b)uma base de LinA pode ser dada pelo conjunto 2 3 0 2 {( 1, 2, 1, 3, 0), (1, 2, 1, 2, 0), (0, 0, 0, 2, 1)} e uma base de ColA pode ser dada pelo conjunto {( 1, 1, 0), (3, 0, 2), (0, 0, 1)}, donde temos dimcola = cara = 3. 3
Problema 3 (3 valores) Considere a seguinte expansão linear: W = L 1 0 1 2. a) Escreva a equação cartesiana que define o subespaço W, que constitui o complemento ortogonal de W. b) Determine uma base para o subespaço W. Qual a sua dimensão? c) Calcule a distância do vector (2, 3, 0, 1) ao subespaço W. Solução : a) W = {(x, y, z, w) R 4 : x+z 2w = 0}; b) W tem uma base dada pelo conjunto {(0, 1, 0, 0), ( 1, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 1)}, donde dim(w ) = 3; c) d(v, W ) = (2, 3, 0, 1) = 14. 4
Problema 4 (2.5 valores) Considere a transformação linear definida por T (A) = CA, em que T : M 2 2 M 2 2 C = [ 1 1 0 0 e M 2 2 representa o espaço linear das matrizes 2 2 com entradas reais. a) Fixando a base canónica B c das matrizes M 2 2, tanto no espaço de partida como no espaço de chegada, calcule a matriz que representa T nesta base. b) Determine uma base para a imagem da transformação linear T. Diga, justificando se T é invertível e/ou sobrejectiva. ] Solução: (a) [T ] = 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ; (b) Temos Im(T ) = L {[ 1 0 0 0 ] [ 0 1, 0 0 ]}, donde se tira uma base e se conclui que T não é sobrejectiva, nem consequentemente invertível. 5
Problema 5 (3 valores) Sejam v, u e w vectores do espaço linear R n com o produto interno usual, tais que v, u = 0, u, w = 1, v, w = 0, v = 0, u = 1, w = 1. Seja ainda U = L{u, v, w} o conjunto gerado por v, u e w. Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. No caso de serem verdadeiras, justifique usando a definição correspondente. No caso de serem falsas, dê um contra-exemplo. a) Os vectores v e w são colineares. b) O conjunto {u, w} é uma base para W. c) O subespaço linear U tem dimensão igual a um, i.e. dim(u) = 1. Solução: a) Verdadeiro: o vector v = 0, logo v = kw com k = 0; b) Falso: conta-exemplo: {(1, 0), ( 1, 0)} em R 2, não é base porque é L.D. ; c) Verdadeiro: das alíneas a) e b) sai que U = L{u, v, w} = L{u, w} = L{u} = L{w}, i.e. uma base para U tem um só vector. 6
Problema 6 (2.5 valores) Num dado país existem três grandes partidos nacionais: PDE, PCD e BVO. Nas eleições que decorrem de 4 em 4 anos, 20% do voto de antigos votantes no PDE deslocam-se para o PCD e 10% deslocam-se para o BVO. Dos antigos votantes no PCD, 10% mudam o seu voto para votarem no PDE e 10% passam a votar no BVO. Finalmente, entre os antigos votantes no BVO, 20% deslocam o seu voto para o PDE e 20% deslocam-no para o PCD. a) Construa a matriz M estocástica, ou de Markov, para a mobilidade do voto entre eleições. b) Determine a percentagem de população votante em cada um dos três partidos a longo termo, i.e. calcule o vector estacionário da matriz M. Solução: a) b) q = ( 3 10, 1 2, 1 5 ). M = 0.7 0.1 0.2 0.2 0.8 0.2 0.1 0.1 0.6 7
Problema 7 (2.5 valores) a) Mostre que se A n n tem entradas complexas e A = A = A T, então A só pode ter valores próprios reais. (Sugestão: comece por multiplicar, de ambos os lados, a equação aos valores e vectores próprios por x, com x vector próprio de A.) b) Mostre que se A = A T com entradas reais, então A só pode ter valores próprios reais e os vectores próprios de espaços próprios diferentes são sempre ortogonais relativamente ao p.i. usual. Resposta: a) esta demonstração pode ser consultada no [Anton 9E]; b) a primeira parte da demonstração sai da alínea a), tendo em conta que para entradas reais: a ij = a ij ; supondo agora que temos Ax = λ 1 x e Ay = λ 2 y com λ 1 λ 2. Fazendo λ 1 y T x = y T λ 1 x = y T Ax = y T A T x = (Ay) T x = λ 2 y T x, uma vez que λ 1 λ 2, facilmente se conclui y T x = y, x = 0. 8