Variabilidade Módulo 3
O boi almiscarado revisitado 750 Núm indivíduos 500 250 A taxa de incremento anual é constante? 0 1930 1940 1950 1960 1970 1980 Anos
Variabilidade em A taxa = N t+1 /N t variou todos os anos em torno do valor médio (a tracejado) 1.3 1.2 1.1 1 0.9 1945 1950 1955 1960 1965 1970 Ano
Pressupostos na projecção de N t para N t+1 1. Em N t+1 = N t, podemos usar o valor médio de ( variabilidade de não é demasiado alta) Podemos negligenciar a variabilidade ambiental que afecta 2. A população é suficientemente grande para se poder ignorar a incerteza inerente aos processos de nascimento e morte. Podemos negligenciar a estocasticidade demográfica
Estocasticidade Demográfica (ED) O nascimento e morte de indivíduos tem características aleatórias. Não é possivel dizer exactamente quantos indivíduos vão nascer e morrer entre t e t+1. Aleatoriedade inerente aos processos de nascimento e morte designa-se por: Estocasticidade Demográfica
Quando é que tenho de me preocupar com a ED? Se a população é muito pequena risco de extinção por razões aleatórias aumenta. População pode-se extinguir mesmo se > 1! Explos: Colonização Populações nas margens da distribuição da espécie Populações exploradas (caça e pesca)
Modelos determinísticos e estocásticos Determinísticos Usam parâmetros constantes (explo: constante) Em geral, as mesmas condições iniciais conduzem ao mesmo resultado (N 0, n) ( N n ) Estocásticos, aleatórios ou probabilísticos Usam parâmetros que variam. em geral de acordo com uma distribuição de probabilidades pré-definida. As mesmas condições iniciais não conduzem ao mesmo resultado (N 0, n) ( N n, N n, N n,...) DISTRIBUIÇÃO DE RESULTADOS
Fontes de incerteza sobre N t+1 Variações ambientais físicas Variações ambientais biológicas N t Erros de medição Estocasticidade Demográfica Incerteza sobre a estrutura do modelo biomatemático
Probabilidades de sobreviver e numero descendentes por individuo entre t e t+1 = S t (1+b t ) Referem-se ao individuo S t b t b t St t t+1
Parâmetros do boi almiscarado S t = 0.921 Probabilidade sobreviver entre t e t+1 b t = 0.246 Probabilidade de ter 1 filho em t b t S t = 0.227 Probabilidade do filho estar vivo em t+1 Nunivak Island 31 indivíduos (1936)
Simulação de ED (sobrevivência) X é um npa retirado duma distrib. uniforme se X > 0.921 se X < 0.921 Não sobrevive sobrevive t t+1 Repetir para os 31 animais
Simulação de ED (natalidade) Repetir, simultâneamente, para os 31 animais: Y é um npa retirado duma distrib. uniforme se Y > 0.227 se Y < 0.227 Sem descendente 1 descendente sobrevive t t+1
Repetições Para 31 animais Este animal deixa descendente? Sobrevive? Repetir 10, 100, 1000,... vezes Cada repetição origina um número diferente de indivíduos em t+1!
Simulações: N t =31, 50 réplicas Modelo determinístico: N t = 31 N t+1 = N t = (1.148 31) = 35.6 10 8 Modelo estocástico 50 réplicas Média do histograma = 35.02 Frequência 6 4 2 0 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 Núm indivds em t+1
Questões a que o modelo estocástico responde Por exemplo: Probabilidade de N t+1 31 indivíduos? Probabilidade de a população crescer 10% ou mais? Probabilidade de extinção? Etc.
Curva de risco de t para t+1 Probabilidade de sobreviverem Z ou menos indivíduos 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Frequências Frequências N t+1 absolutas Relativas Cumuladas 28 1 0.02 0.02 29 0 0.00 0.02 30 3 0.06 0.08 31 4 0.08 0.16 32 2 0.04 0.20 33 6 0.12 0.32 34 6 0.12 0.44 35 3 0.06 0.50 36 7 0.14 0.64 37 9 0.18 0.82 38 3 0.06 0.88 39 2 0.04 0.92 40 3 0.06 0.98 41 1 0.02 1.00 2342 25 270 29 310.0033 351.0037 39 41 43 50 número 1.00 em N t+1 (Z) Probabilidade ou risco" de N t+1 31
Risco Risco = Probabilidade (em geral de um acontecimento adverso) ocorrer num intervalo de tempo Ex plos : A população descer abaixo de x indivíduos nos proximos 3 anos Uma praga ultrapassar a densidade Y antes de 2010 A população extinguir-se em 100 anos
Simulação de ED (natalidade) Repetir, simultâneamente, para os 31 animais: X é o número de filhos por indivíduo em (t, t+1) b é Y o número é um npa médio retirado de filhos duma por distrib. indivíduo uniforme em (t, t+1) P(X =K) Distr Poisson(b) Sem descendente X se é obtido Y > 0.227 gerando n.p.a s de Poisson(b) X = 0, 1, 2, 3,... (Há 1 descendente sobrevive se Y algoritmos < 0.227 próprios para isto) t t+1
E se S t e b t também variam? Até aqui: S t e b t constantes Na realidade: FACTORES AMBIENTAIS afectam S t, b t e, portanto,
A variação ambiental torna função de t Recorde-se que N t+1 =N t Admitamos que pode variar em cada (t, t+1), então: N t+1 =N t t passa a ser função de t Como atribuir valores a t em cada intervalo (t, t+1)?
Distribuição de frequências de A taxa 1.3 = N t+1 /N t variou todos os anos 1.2 1.1 1 0.9 10 1945 1950 1955 1960 1965 1970 Ano 8 Frequência 6 4 2 0 0.9 a 0.94 0.95 a 0.99 1.00 a 1.04 1.05 a 1.09 1.1 a 1.14 1.15 a 1.19 1.2 a 1.24 1.25 a 1.29 taxa de crescimento
Atribuiçao de valores a t Frequencias absolutas 10 8 Frequência 6 4 2 0 0.9 a 0.94 0.95 a 0.99 1.00 a 1.04 1.05 a 1.09 1.1 a 1.14 1.15 a 1.19 1.2 a 1.24 1.25 a 1.29 1.0 Frequencias relativas cumuladas 0.952 1.000 0.8 0.810 Probabilidades 0.6 0.4 0.2 0.0 0.048 0.048 0.9 a 0.94 0.95 a 0.99 0.095 0.095 1.00 a 1.04 1.05 a 1.09 0.381 1.1 a 1.14 1.15 a 1.19 1.2 a 1.24 1.25 a 1.29 npa t 0.00 a 0.048 0.9 a 0.99 0.049 a 0.095 1.00 a 1.09 0.096 a 0.381 1.1 a 1.14 0.382 a 0.810 1.15 a 1.19 0.811 a 0.952 1.2 a 1.24 0.953 a 1.00 1.25 a 1.29 Intervalos de
Simulação dos próximos anos: uma réplica Fazer muitas réplicas! N t npa 1 1 npa 2 2 npa 4 4 npa 3 3 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 mínimo
Projecções estocasticas da população Baseado em 1000 réplicas maximos 1 desvio-padr. minimos
Curvas de risco a prazo N minimo Frequências Frequências Nos proximos 10 anos absolutas Relativas Cumuladas 15 0 0.00 0.00 16 0 0.00 0.00 17 2 0.00 0.00 18 3 0.00 0.01 19 11 0.01 0.02 20 8 0.01 0.02 21 15 0.02 0.04 22 16 0.02 0.06 23 35 0.04 0.09 24 61 0.06 0.15 25 84 0.08 0.24 26 111 0.11 0.35 27 136 0.14 0.48 28 159 0.16 0.64 29 152 0.15 0.79 30 71 0.07 0.86 31 44 0.04 0.91 32 40 0.04 0.95 33 26 0.03 0.97 34 17 0.02 0.99 35 6 0.01 1.00 36 3 0.00 1.00 37 0 0.00 1.00 1000 1.00
Curvas de risco a prazo N minimo Frequências Frequências Nos proximos 10 anos absolutas Relativas Cumuladas 15 0 0.00 0.00 16 0 0.00 0.00 17 2 0.00 0.00 18 3 0.00 0.01 19 11 0.01 0.02 20 8 0.01 1.0 0.02 21 15 0.02 0.9 0.04 22 16 0.02 0.06 23 35 0.04 0.8 0.09 24 61 0.06 0.15 0.7 25 84 0.08 0.24 26 111 0.11 0.6 0.35 27 136 0.14 0.48 28 159 0.16 0.5 0.64 Probabilidade de nos 29 152 0.15 0.4 0.79 30 71 0.07 proximos 0.86 10 anos 31 44 0.04 0.3 0.91 N 25 32 40 0.04 0.95 0.2 33 26 0.03 0.97 34 17 0.02 0.1 0.99 35 6 0.01 1.00 0.0 36 3 0.00 1.00 37 0 0.00 15 16 17 1.00 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 1000 1.00 Populaçao minima Probabilidade