Álgebra Linear e Multilinear

Álgebra Linear e Multilinear Prof. Roldão da Rocha, CMCC/UFABC, 25 http : //professor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha Épermitidoousoeareprodução destas notas para fins exclusivamente educacionais, COM A AUTORIZAÇÃO EXPLÍCITA DO AUTOR. U (V (W X)) Id? U ((V W ) X) - (U V ) (W X) - ((U V ) W ) X = 6 Id - (U (V W )) X

i Men wanted for hazardous journey. Low rages, bitter cold, long months of complete darkness, isolation and starvation, constant danger, safe return doubtful. Ernest Shackleton Recovery is overrated. What counts in a battle is what you do when the pain sets in. Em 29 de dezembro de 93, anúncio de um jornal britânico, convocando voluntários para viagem ao Pólo Sul. Mais de cinco mil inscritos, dentre os quais três mulheres.

Sumário Corpos e Espaços Vetoriais 3. Corpos: definições fundamentais...................... 3.2 Os corpos Z p (p primo)........................... 5.3 Isomorfismo entre corpos........................... 7.4 Outras estruturas algébricas......................... 9.5 Espaços Vetoriais................................5. Subespaços Vetoriais......................... 2.5.2 Bases de um Espaço Vetorial.................... 3.5.3 Transformações Lineares....................... 6.5.4 Bandeiras............................... 7.6 Espaço Dual e Funcionais Lineares..................... 8.7 Núcleo e Imagem............................... 22.8 Soma Direta.................................. 25.9 Espaços Quocientes.............................. 29.9. Teoremas de Isomorfismos...................... 32 2 Operadores Lineares e Dualidade 37 2. Preliminares.................................. 37 2.2 Transformações Gradiente e Contragradiente............... 39 3 Formas Bilineares 43 3. Funcionais Bilineares............................. 43 3.2 Espaços Euclidianos............................. 48 iii

Sumário 3.3 Espaços Unitários (Hermitianos)...................... 49 3.4 Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt............. 52 3.5 Normas em espaços vetoriais........................ 58 3.5. Definindo normas em matrizes................... 62 3.5.2 Correlação.............................. 65 3.6 Dualidade e Adjunta............................. 65 3.6. Aplicações Duais........................... 66 3.7 Aplicações Ortogonais, Simétricas e Antissimétricas............ 69 4 Autovalores e Autovetores 75 5 Forma Canônica de Jordan 83 5. Forma Canônica de Jordan......................... 83 5.2 Funções de Aplicações Lineares....................... 95 5.3 Outra prova da existência de uma base de Jordan............. 2 6 Álgebra Tensorial 5 6. Aplicações Multilineares........................... 6 6.2 Produto Tensorial entre Espaços Vetoriais................. 8 6.3 A álgebra tensorial de um espaço vetorial................. 6 6.3. Produtos tensoriais entre aplicações lineares............ 7 6.3.2 A Álgebra Tensorial......................... 22 6.4 Álgebra exterior............................... 28 6.4. O produto exterior.......................... 28 6.4.2 Operações dentro da álgebra exterior................ 37 6.5 Álgebra Exterior como Quociente da Álgebra Tensorial.......... 38 6.6 Contrações.................................. 39 6.7 A Álgebra de Grassmann.......................... 4 6.8 Isomorfismo de Hodge............................ 42 6.9 Operadores de Criação e Aniquilação.................... 43 Bibliografia 47

Capítulo Corpos e Espaços Vetoriais. Corpos: definições fundamentais Primeiramente apresentaremos o conceito de corpo utilizando uma notação similar ao que é usado usualmente no caso dos números inteiros que não é um corpo. Um corpo K é um conjunto não-vazio dotado de duas operações binárias + e, denominadas adição e multiplicação, satisfazendo as seguintes propriedades :. A operação de soma tem as seguintes propriedades: (a) Comutatividade: para todos a, b 2 K, a + b = b + a. (b) Associatividade: para todos a, b, c 2 K, vale a +(b + c) =(a + b)+c. (c) Elemento neutro: existeumelementoz 2 K, chamado de elemento nulo, ou zero, tal que a + z = a = z + a para todo a 2 K. (d) Inversa: para cada a 2 K existe um elemento denotado por b com a propriedade a + b = z. Esse elemento é mais comumente denotado por a em alguns casos, por exemplo, quando K = R. 2. A operação de produto tem as seguintes propriedades: (a) Comutatividade: para todos a, b 2 K vale a b = b a Anotação( )écomumenteusadaparaprodutoescalar,eaquienquantopossíveltentaremosdenotar oprodutonocorpoporjustaposição. 3

4. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 (b) Associatividade: para todos a, b, c 2 K vale a (b c) =(a b) c (c) Elemento neutro: existeumelementoe 2 K, chamado de unidade, tal que a e = a = e a para todo a 2 K. (d) Inversa: para cada a 2 K, a 6= z, existe um elemento denotado por b com a propriedade a b = e. Esse elemento no caso onde K = R é mais comumente denotado por a. 3. Distributividade: o produto é distributivo em relação à adição: para todos a, b, c 2 K vale a (b + c) =a b + a c. 4. Se a b = z, então a = z ou b = z. Alguns autores consideram conveniente incluir também a hipótese de que o elemento neutro e o elemento nulo são distintos, e 6= z, pois de outra forma teríamos K = {z} (prove!), uma situação trivial. Obs. : Um grupo é um conjunto não-vazio G munido de uma operação binária : G G! G, denominada produto, com as seguintes propriedades: (a) Elemento neutro: existe um elemento e 2 G, denominado elemento neutro, tal que g e = e g = g para todo g 2 G. (b) Elemento inverso: existe uma operação G! G (g 7! g ) bijetiva denominada inversa, tal que g g = e = g g, para todo g 2 G. (c) Associatividade: para todos a, b, c 2 G vale (a b) c = a (b c) Quando uma das três propriedades acima que definem um grupo não é satisfeita, temos outras estruturas algébricas. Quando somente (a) e (b) valem, dizemos que G é um grupóide. Quando somente a propriedade (c) é satisfeita, G é dito ser um semigrupo (alguns autores adicionam a condição (a) neste caso). Quando somente (a) and (c) são válidas G é d i t o s e r u m monóide. Um monóide é portanto um semigrupo com unidade e um grupóide é um grupo não associativo. Note-se que corpos são grupos comutativos em relação à operação de soma e monóides comutativos em relação à operação de produto. A distributividade é a única propriedade listada acima que relaciona as operações de soma e produto. Os elementos de um corpo são comumente denominados escalares. Por motivos estruturais, é importante enfatizar que um corpo depende da definição do conjunto K e das operações binárias + e nele definidas, e muitas vezes nos referiremos a um corpo como sendo uma tripla (K, +, ). É freqüente omitir-se o símbolo de produto por escalares quando não houver confusão. Em um corpo K sempre vale a z = z para todo a 2 K. De fato, como z = z + z (Prove!), segue que a z = a (z + z) =a z + a z. Somando-se a ambos os lados o elemento inverso ( a z), teremos a z +( a z) =a z + a z +( a z), ou seja, z = a z + z = a z, como queríamos provar. Pela comutatividade do produto vale também z a = z para todo a 2 K. Exercício : Mostre que o elemento neutro da adição é único, e que a identidade multiplicativa também é única.

.2. OS CORPOS Z P (P PRIMO) ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 5 Exercício 2: Verifique que Q, R e C são corpos em relação às operações usuais de soma e produto. O conjunto das matrizes n n para qualquer n 2 com o produto usual de matrizes é um corpo? Exercício 3: Mostre que R[ p 2] := {a + b p 2 a, b 2 R} não é um corpo e que Q[ p 2] := {a + b p 2 a, b 2 Q} é um corpo..2 Os corpos Z p (p primo) Uma relação de equivalência R definida em um conjunto X é uma relação (i) reflexiva, (ii) simétrica e (iii) transitiva, respectivamente (i) xrx, (ii) se xry então yrx, e(iii) se xry e yrz então xrz, 8x, y, z 2 X. O conjunto de todos os elementos equivalentes a x constituem a classe de equivalência de x, denotada por [x] ={y 2 X yrx}. O conjunto dessas classes de equivalência é denotado por X = X/R = {[x] x 2 X}, e denominado espaço quociente. Uma notação muita utilizada para xry é x y. Um elemento x 2 [x] ou qualquer outro elemento em [x] é denominado representante de [x]. Tais classes de equivalência são disjuntas, no sentido de que [x] \ [y] =?. Mostraremos que se [x] \ [y] 6=?, então [x] =[y]. Supondo então que [x] \ [y] 6=?, existe c 2 [x] \ [y], e em particular c x e c y. Por transitividade, x y. Agora mostraremos que [x] [y]. Tomando um elemento arbitrário x 2 [x] temos que x x, e como x y, então y x,istoé,x 2 [y], e portanto, [x] [y]. Analogamente podemos mostrar que [y] [x], e portanto [x] =[y]. B Exemplo : Para n 2 N, no conjunto dos inteiros Z podemos definir a seguinte relação de equivalência: a b, a b = kn, k 2{, ±, ±2,...} ou seja, os inteiros a e b são considerados equivalentes se diferirem por um múltiplo de n. A classe de equivalência de a consiste portanto no conjunto [a] ={c 2 Z c = a + kn} = {a, a ± n, a ± 2n, a ± 3n,...}. O conjunto das classes de equivalência de Z módulo é o conjunto Z n = Z/, o conjunto dos inteiros módulo n. Outra notação também utilizada é Z/nZ. Lembramos que, se a, b 2 Z, dizemos que a é congruente a b módulo n e denotamos a b( mod n) sen (a b). Podemos ainda mostrar que nesse caso, a b mod n se e somente se existir um inteiro k tal que a = b + kn. Portanto definimos o conjunto das classes de equivalência a partir da relação a b, a = b mod n. C Exercício 4: Prove que a b definida por a b mod n é uma relação de equivalência Exercício 5: Dado (a, b) 2 Z Z\{}, com a, b 2 Z, defina a relação R em Z Z por (a, b)r(c, d) se, e somente se ad = cb. Mostre que R é uma relação de equivalência

6. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 Denotamos também o conjunto Z n = {[], [],...,[n ]}, com n 2 N, n 2, com a soma definida por [a] u [b] [(a + b) (modn)] = [a + b], para [a], [b] 2 Z n. Podemos também considerar em Z n uma operação de produto, definida por [a] [b] ab (mod n) =[ab]. I Teorema : Se o conjunto Z n é um corpo com as operações acima definidas, então n é um número primo. J Demonstração: As operações de soma e produto definidas acima são comutativas, associativas e distributivas (justifique!). Sempre vale que [ a] =[n a], 8[a] 2 Z n, o que implica na existência de um inverso aditivo. Resta-nos estudar a existência de elementos inversos [a]. Vamos supor que Z n seja um corpo. Então [a] 2{[2],...,[n ]} tem uma inversa em Z n, ou seja, um número [b] 2{[],...,[n ]} tal que [a] [b] =. Lembrando a definição de produto em Z n, isso significa que existe um inteiro k tal que ab = kn+. Mas isso implica b a = k n a. Como o lado esquerdo não é um número inteiro, o lado direito também não pode ser. Portanto n/a não pode ser inteiro para nenhum a 2{2,...,n }, ou seja, n não tem divisores, sendo portanto um número primo o Os conjuntos Z n têm profundas aplicações em teoria de códigos e é relevante também em outras áreas de Álgebra e Geometria. B Exemplo 2: Tome por exemplo n = 7. Neste caso, [4] u [6] = [] = [3], enquanto que [6] [6] = [6 6] = [36] = []. As tabelas de soma e produto em Z 7 são dadas por u [] [] [2] [3] [4] [5] [6] [] [] [] [2] [3] [4] [5] [6] [] [] [2] [3] [4] [5] [6] [] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [] [] [3] [3] [4] [5] [6] [] [] [2] [4] [4] [5] [6] [] [] [2] [3] [5] [5] [6] [] [] [2] [3] [4] [6] [6] [] [] [2] [3] [4] [5] [] [] [2] [3] [4] [5] [6] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [] [2] [4] [6] [] [3] [5] [3] [] [3] [6] [2] [5] [] [4] [4] [] [4] [] [5] [2] [6] [3] [5] [] [5] [3] [] [6] [4] [2] [6] [] [6] [5] [4] [3] [2] [] Os valores de [a] u [b] e[a] [b] para Z 7 são exibidos na interseção da [a]-ésima linha [b]-ésima coluna, na tabela apropriada. C Exercício 6:

.3. ISOMORFISMO ENTRE CORPOS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 7 a) Quais são os elementos invertíveis de Z com respeito à adição e à multiplicação induzidas? b) Mostre que Z e Z 6 não são corpos. c) Faça a tabela multiplicativa de Z 6, Z 8 e Z 9, identificando quais são os respectivos elementos inversíveis de tais conjuntos I Proposição : As operações u e estão bem definidas em Z n J Demonstração: Provaremos que tais operações independem da escolha de representantes nas classes de equivalência. Dados a, b, c, d 2 Z, suponha que [a] =[c] e [b] =[d] emz n. Então a = c + un e b = d + vn, para u, v 2 Z apropriados. Assim, [a + b] = [c + un + d + vn] =[c + d +(u + v)n] = [c + d]+[(u + v)n] =[c + d] + [] = [c + d] [a b] = [(c + un) (d + vn)] = [c d +(c v + u d + u n v) n] =[c d] o.3 Isomorfismo entre corpos Dois corpos (K, u, )e(k 2, +, ) são ditos serem isomorfos se existir uma aplicação bijetiva : K! K 2 que preserve as operações algébricas de K e K 2, ou seja, tal que (a u b) = (a)+ (b), (a b) = (a) (b). Podemos provar que ( K )= K2 e ( K )= K2. Acima, Kj e Kj são a unidade multiplicativa e o elemento nulo, respectivamente, de K j, j =, 2. Exercício 7: Proveque ( a) = (a) para todo a 2 K eque (a )=( (a)) para todo a 2 K, a 6= K Exercício 8: Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma a b b a, com a, b 2 R. Mostre que esse conjunto é um corpo em relação às operações usuais de soma e produto de matrizes. Mostre que esse corpo é isomorfo ao corpo dos números complexos C, através da aplicação :C! M(2, R) a b (a + ib) 7! b a (.)

8. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 Considere agora um corpo K com unidade. De acordo com a definição dada para um corpo, todo corpo possui unidade. Para um número natural n, definimos n = n vezes z } { + +. Define-se a característica de K e denotamos por char(k) como sendo o menor número natural não-nulo n tal que n =. Se um tal número não existir, dizemos que o corpo tem característica zero. Exercício 9: Prove que Q, R, C têm característica zero, e prove que Z p, com p primo, tem característica p Exercício : Prove que quando char(k) 6=, então char(k)ésempreumnúmero primo Exercício : Prove que quando char(k) = p, então para quaisquer a, b 2 K temos que (a + b) p = a p + b p. Exercício 2: Sejam a, b 2 K. Quais das seguintes relações são necessariamente verdadeiras? Prove ou justifique...a = 2. ( ) a = a 3. ( a) ( b) =a b 4. +6= 5. Se a 6= eb 6= então a b 6= que Exercício 3: Dado um isomorfismo de corpos :(K, u, )! (K 2, +, ), mostre. ( K )= K2 2. Se K denota a identidade de K, então a identidade em K 2 é dada por ( K ). 3. (a n )=( (a)) n 4. : K 2! K existe e também é isomorfismo. 5. Se (K 3,, ) é um corpo, e se :(K 2, +, )! (K 3,, ) é isomorfismo, então :(K, u, )! (K 3,, ) é também um isomorfismo

.4. OUTRAS ESTRUTURAS ALGÉBRICAS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 9.4 Outras estruturas algébricas Considere elementos a, b, c de um conjunto S, e as seguintes propriedades: A) a + b = b + a A2) (a + b)+c = a +(b + c) A3) 9z 2 S tal que z + a = a + z = a A4) para cada a 2 S, 9a 2 S tal que a + a = a + a = z M) a b = b a M2) (a b) c = a (b c) M3) 9e 2 S tal que e a = a e = a M4) para cada a 2 S tal que a 6= z, 9a 2 S tal que a a = a a = e D) a (b + c) =a b + a c e(a + b) c = a c + b c Z) Se a b = z então a = z ou b = z (ou ambos). Usamos as palavras zero e identidade para descrever os elementos z e e respectivamente. Qualquer elemento a 2 S (incluindo a = z) para o qual existe b 6= tal que a b = z é chamado de divisor de zero. Substituímos as notações,, a, a respectivamente por z,e,a,a para evitarmos atribuir mnemonicamente algumas propriedades que decorrem das definições, mas que não são axiomas, e portanto devem ser provadas. A seguinte tabela ilustra as diversas estruturas algébricas advindas do conjunto S equipado com as operações binárias + e : A A2 A3 A4 M2 D M M3 M4 Z hs, +, i anel a.c. a.u. a.c.u.s.d.z a.c.u. a.c.s.d.z. a.u.s.d.z. a.i. a.d. corpo Tabela.: usamos na última coluna a notação: anel comutativo: a.c.; anel com unidade: a.u.; anel com unidade sem divisores de zero: a.c.u.s.d.z; anel comutativo com unidade: a.c.u.; anel comutativo sem divisores de zero: a.c.s.d.; anel unital sem divisores de zero: a.u.s.d.z; anel de integridade: a.i.; anel de divisão: a.d. Um exemplo de anel bastante utilizado é o anel dos polinômios.

. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 Exercício 4: Prove que as propriedades M4 e Z não são satisfeitas para Z n quando n é um inteiro composto. Prove que todas as outras propriedades são satisfeitas I Teorema 2: Seja p um inteiro positivo primo. Então Z p satisfaz as propriedades M4 e Z J Demonstração: a) Suponha que [a] 2 Z p,[a] 6= [] e denotemos o produto em Z p por. Então p - a (isso denota que p não divide a) emz, e portanto o máximo divisor comum (m.d.c.) entre p e a, denotado por (p, a) satisfaz (p, a)=. Portanto, existem r, s 2 Z tais que rp + sa =. Então []=[rp + sa] =[sa] =[s] [a]. Logo [s] [a] =[a] [s] =, e segue-se que Z p satisfaz M4. b) Agora suponha que [b], [c] 2 Z p tais que [b] [c] =. Ou [b] = [] e não há mais nada a se provar, ou [b] 6= []. Pela parte a) da demonstração, então existe [t] 2 Z p tal que [t] [b] = []. Então, [] = [t] [] = [t] ([b] [c]) = ([t] [b]) [c] = [] [c] =[c]. Portanto quando assumimos que [b] [c] = [] concluímos ou que [b] = [] ou que [c] = [], e portanto a propriedade Z é satisfeita para Z p o.5 Espaços Vetoriais Um espaço vetorial V sobre um corpo K é um conjunto de elementos chamados vetores, munido de uma operação aditiva +: V V! V, denominada soma vetorial, e também de um produto por escalares. : K V! V com as seguintes propriedades: ) A cada par u, v de vetores em V, é associado um elemento u+v 2 V, denominado soma de u e v, com as seguintes propriedades: (a) A soma é comutativa: u + v = v + u para todos u, v 2 V. (b) A soma é associativa: u +(v + w) =(u + v)+w para todos u, v, w 2 V. (c) Existe um vetor denotado por, denominado vetor nulo, tal que u + = u para todo u 2 V. (d) A cada u 2 V existe associado um único vetor denotado por ( u) tal que u+( u) =. 2) A cada par a 2 K, u 2 V existe associado um vetor denotado por au 2 V, denominado produto de u por a, de forma que (a) O produto por escalares é associativo: a.(b.u) =(ab).u, para todos a, b 2 K e u 2 V, onde ab é o p r o d u t o d e a por b em K. (b).u = u para todo u 2 V, onde denota a unidade de K. (c) O produto por escalares é distributivo em relação à soma de vetores: a.(u + v) = a.u + a.v, para todo a 2 K e todos u, v 2 V. (d) O produto por escalares é distributivo em relação à soma de escalares: (a + b).u = a.u + b.u, para todos a, b 2 K etodou 2 V. Exercício 5: Prove que os espaços vetoriais são grupos comutativos em relação à operação de soma

.5. ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 Os elementos de um corpo sobre os quais um espaço vetorial se constitui são frequentemente denominados escalares. Usamos o símbolo + tanto para a operação de adição do corpo K quanto para a operação de adição do espaço vetorial V, ainda que se trate de operações distintas. Igualmente usamos o mesmo símbolo para designar o vetor nulo de V e para denotar o elemento nulo de K. Exercício 6: Mostre que usando os postulados acima, que.u = para todo u 2 V, onde, o elemento do lado esquerdo representa o zero do corpo K e o do lado direito o vetor nulo de V. Em seguida, prove que para todo a 2 K etodou 2 V vale ( a).u = (a.u), sendo que a denota a inversa aditiva de a em K e (a.u) denota a inversa aditiva de a.u 2 V Exercício 7: Proveque:. Se K é um corpo, então K é um espaço vetorial sobre K com as mesmas operações de soma e produto definidas em K. 2. Se K é um corpo e L é um subcorpo de K (ou seja, um subconjunto de K que é por si só um corpo com as operações definidas em K), então K é um espaço vetorial sobre L. 3. Se K é um corpo, o produto cartesiano K n = {(k,...,k n ) k j 2 K,j =,...,n} é um espaço vetorial sobre K com a operação de soma definida por (k,...,k n )+ (l,...,l n )=(k + l,...,k n + l n ) e o produto por escalares por a.(k,...,k n )= (ak,...,ak n ) para todo a 2 K. O vetor nulo é o vetor (,..., ). 4. O conjunto M m n (K), de todas as matrizes m n cujos elementos de matriz pertencem a K, é um espaço vetorial sobre K, com a soma sendo a soma usual de matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes por números escalares. O vetor nulo é a matriz com todas as entradas nulas Exercício 8: Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais:. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicação definida por a v = a 2 v, para quaisquer v 2 V e a 2 K. 2. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicação definida por a v =(Rea) v, 8v 2 V e a 2 K 3. O conjunto de todas as funções pares. 4. O conjunto de todas as funções ímpares. Exercício 9: Considere o conjunto R com a operação de soma usual, um corpo Z p, com p primo e o produto Z p R! R, a 2 Z p e x 2 R dado pelo produto usual em R. Essa estrutura define um espaço vetorial? Justifique

2. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25.5. Subespaços Vetoriais Um subconjunto U 6=? de um espaço vetorial V é d i t o s e r u m subespaço vetorial de V se dados a 2 K e u, v 2 U, au + v 2 U. Subespaços vetoriais são, neste sentido, fechados com relação a combinações lineares. Adicionalmente, o conjunto {} é elemento de todo subespaço de V. De fato, se U for subespaço vetorial de V, então sendo w é um elemento arbitrário de U, então.w 2 U, ejáque.w =, então 2 U para todo U V. Além disso, quando em particular a =, então u + v 2 U. Exercício 2: Considere V = C 3 e os seguintes conjuntos U V consistindo dos vetores de componentes (a, b, c), onde a, b, c 2 C tais que. a = 2. b = 3. a + b = 4. a + b = 5. Re a +Reb (aqui Re a denota a parte real de a) 6. a 2 R Em quais desses casos U é subespaço vetorial de V? B Exemplo 3: Considere V o espaço vetorial P(R) dos polinômios de grau n com coeficientes reais, e U i V (i =, 2, 3, 4) consistindo dos polinômios p(t) sobre um corpo K que satisfazem a propriedade i:. possuem grau três. 2. 2p() = p(). 3. p(t) semprequeapple t apple. 4. p(t) =p( t), 8t 2 R. Queremos determinar em quais desses casos U é subespaço vetorial de V e para tanto iremos analisar cada caso em separado:. O espaço dos polinômios que possuem grau três não constitui um subespaço vetorial de V. De fato, adicionando ou subtraindo dois polinômios de grau três pode resultar em um polinômio de grau menor. Por exemplo, se f(x) =x 3 3x e g(x) =x 3, então f(x) g(x) =3x e o grau de (g f) é igual a um. Uma observação mais imediata é que o polinômio identicamente nulo não pertence a U e portanto U não é um subespaço de V. 2. Aqui U é subespaço vetorial de P(R). Com efeito, p(t) satisfaz a definição 2p() = p(). Além disso, se p, q 2P(R) são tais que 2p() = p() e 2q() = q(), então para a 2 R temos 2(ap+q)() = 2ap()+2q() = ap()+q() = (ap+q)().

.5. ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 3 C 3. p(t) semprequeapple t apple. Neste caso U não é um subespaço vetorial de V pois o inverso aditivo de uma função que é não negativa é não positiva. Por exemplo se q(x) =x 2, então q 2 U mas q/2 U. 4. p(t) =p( t), 8t 2 R. Aqui U é subespaço vetorial de P(R), pois o polinômio identicamente nulo satisfaz a condição p(t) = p( t) Dado outro polinômio q 2P(R), então (ap + q)(t) =ap(t)+q(t) =ap( t)+q( t) =(ap + q)( t). Exercício 2: Prove que a interseção de subespaços vetoriais é um subespaço vetorial Exercício 22: Prove que os únicos subespaços de R, são o próprio R e o subspaço nulo. Mostre que todos os subespaços de R 2 são o próprio R 2, o subespaço nulo ou os subespaços consistindo dos conjuntos dos múltiplos de um vetor fixo em R 2 centrado na origem (retas que passam pela origem).5.2 Bases de um Espaço Vetorial Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um conjunto finito {v,...,v n } V de vetores é dito ser linearmente dependente (LD) se existir um conjunto de escalares {a,...,a n } K, nem todos nulos, tais que a v + + a n v n =. Um conjunto arbitrário de vetores é dito ser linearmente independente (LI) se não possuir nenhum subconjunto finito que seja linearmente dependente. Para um conjunto finito de vetores {v,...,v n } V e de escalares {a,...,a n } K, uma expressão como a v + + a n v n é d i t a s e r u m a combinação linear dos vetores v i. Considerando agora um conjunto de vetores U V, o espaço gerado por U e denotado por hui é o conjunto de todos os vetores de V que podem ser escritos como uma combinação linear finita de elementos de U. Denotando um conjunto arbitrário não-vazio de índices por J, umabase em um espaço vetorial V é um conjunto A = {v i i 2 J} de vetores linearmente independentes que geram V (qualquer vetor v 2 V pode ser escrito de modo único como uma combinação linear de elementos de A). Um espaço vetorial é dito ser de dimensão finita se possuir uma base finita, neste caso sendo sua dimensão é definida como sendo o número de elementos de sua base. B Exemplo 4: V = C n sobre C e V = R n sobre R são ambos espaços vetoriais de dimensão finita n, enquanto que V = C n sobre R é espaço vetorial de dimensão finita 2n. Isso mostra a dependência da dimensão com o corpo utilizado. Esse conceito será bastante utilizado quando falarmos de produto tensorial C Exercício 23: Em um corpo finito Z p, p primo, calcule o número de subespaços vetoriais de dimensão j em um Z p -espaço vetorial (Z p ) n

4. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 Exercício 24: Dois conjuntos disjuntos de R 2 podem gerar o mesmo espaço vetorial? Qual é em R 3 o espaço gerado pelo conjunto {(,, ), (,, ), (,, )}? B Exemplo 5: V = R sobre o corpo dos reais. O conjunto dos reais sobre o corpo dos reais é um espaço vetorial unidimensional, pois qualquer elemento v 2 R pode ser escrito como v = v., onde {} é o único elemento da base de R. Ao considerarmos V = R sobre o corpo Q dos racionais, tal espaço vetorial não possui dimensão finita, pois não existe um conjunto finito {x,...,x m } de números reais tais que todo x 2 R possa ser escrito como x = q x + + q m x m, onde q i 2 Q. Como Q é um conjunto contável, a coleção de números que podem ser escritos como o lado direito é uma coleção contável e tem a mesma cardinalidade de Q m, porém o conjunto R não é contável C Exercício 25: VerifiqueseP 2 (R) tem como base os vetores u (t) =+t, u 2 (t) = t +2t 2 e u 3 (t) = t 2. I Teorema 3: Se em um espaço vetorial V existir um conjunto {v i } de n vetores linearmente independentes, então a dimensão de V é maior ou igual a n J Demonstração: Suponhamos por absurdo que exista uma base B = {u,...,u k } em V com k<n. Então podemos escrever v = a u + + a k u k pois B é uma base e pelo menos a k 6=, portanto u k =(a k ) (v a u a k u k ) (.2) Analogamente temos que v 2 = b u + + b k u k e usando a Eq.(.2) escrevemos v 2 = c u + +c k u k +d v.osc i não podem ser todos nulos, senão v 2 = d v, contrariando a hipótese de que os {v i } são LI. Suponhamos que c k seja o elemento não-nulo, podemos escrever u k como uma combinação linear envolvendo {u,...,u k 2 } e os vetores v e v 2. Após k passos provamos que v k+ = v + + k v k, contrariando a hipótese de que os v i são LI. o Exercício 26: SeK é um corpo com p elementos, quantas bases existem em K n? Vimos que o espaço V tem dimensão finita se ele possui uma base finita. Duas bases quaisquer de V têm o mesmo número (finito) de elementos. Exercício 27: Prove as seguintes afirmações: a) O conjunto de vetores {e,...,e n } é LD se e somente se pelo menos um dos vetores e j for combinação linear dos outros. b) Se o conjunto {e,...,e n } é LI e o conjunto {e,...,e n,e n+ } é LD, então e n+ é combinação linear de e,...,e n Exercício 28: Considere K n [x] o espaço dos polinômios na variável x que têm grau menor ou igual a n, com coeficientes em um corpo K. Verifiqueque: a) O conjunto {,x,...,x n } forma uma base de K n [x], e também que as coordenadas de um polinômio f 2 K n [x] em tal base são seus coeficientes.

.5. ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 5 b) O conjunto S = {,x a, (x a) 2,...,(x a) n } forma uma base de K n [x]. Se char(k)= p > n, então os coeficientes de um polinômio f são elementos do conjunto {f(a),f (a),..., f (n ) (a) (n )! }, em relação à base ordenada S. c) Sejam a,...,a n 2 K elementos distintos dois a dois. Seja g i (x) = Q i6=j (x a j)(a i a j ). Os polinômios g (x),...,g n (x) formam uma base de K n [x] denominada base de interpolação e as coordenadas do polinômio f nessa base é {f(a ),...,f(a n )} Obs. 2: Dado U = {e,...,e n } um conjunto finito de vetores em V,eW = {e i,...,e im } um conjunto LI de U, dizemos que W é maximal se cada elemento de U puder ser escrito como uma combinação linear dos elementos de W I Proposição 2: Qualquer conjunto {e,...,e n } S maximal LI é uma base do espaço gerado hsi de S J Demonstração: Mostraremos que qualquer vetor em hsi pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e,e 2,...,e k. Por definição, qualquer vetor em hsi pode ser expresso como uma combinação linear de vetores em S. Qualquer vetor v 2 S pode ser expresso com uma combinação linear de e,e 2,...,e k. Para v 2{e,...,e n } S, isso é óbvio. Para v/2{e,...,e n }, sabemos que um vetor v pode ser expresso como qualquer combinação linear de e,...,e n se, e somente se v, e,...,e n são LD. Portanto segue o enunciado o Aplicando as considerações do Lema anterior a S = V, obtemos o I Teorema 4: Qualquer conjunto de vetores LI em V pode ser completado a uma base J Em particular, qualquer 6= v 2 V está contido em alguma base de V, e qualquer conjunto de n vetores LI em um espaço vetorial V n-dimensional forma uma base de V. I Teorema 5: Qualquer subespaço vetorial U de um espaço vetorial de dimensão finita V também possui dimensão finita, e dim U apple dim V. Além disso, se U 6= V, então dim U<dim V J Demonstração: Seja {e,...,e k } um sistema maximal de vetores LI em U. {e,...,e k } é uma base de U edimu = k. O conjunto LI {e,...,e k } pode ser completado a uma base de V,eseU 6= V, então dim V > k o Exercício 29: Dados U, W subespaços vetoriais de V, para quais espaços vetoriais V temos válida a propriedade V \ (U + W )=V \ U + V \ W? Exercício 3: Prove que se U é um subespaço de V e dim U = dim V <, então U = V

6. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25.5.3 Transformações Lineares Considere U e V espaços vetoriais sobre um corpo K. Uma aplicação : U! V é dito ser linear se 8u, v 2 U, a 2 K, tivermos (au) =a (u) e (u + v) = (u)+ (v). Uma aplicação linear é um homomorfismo de grupos aditivos. Com efeito, () = (.) =. () = e ( u) = (( ).u) = (u). Denotamos por Hom(U, V )o conjunto dos homomorfismos entre U e V. Exercício 3: Mostre que as aplicações de homotetia f : V! V, definidos por f(u) =a.u, 8a 2 K,u2 V, são transformações lineares Dizemos que dois K-espaços vetoriais U, V são isomorfos se o homomorfismo : U! V for uma aplicação bijetiva. A aplicação é denominada isomorfismo entre U e V. Se {e,e 2,...,e n } e {f,f 2,...,f n } forem bases de U e V respectivamente, a matriz A 2 M m n (K) de em relação a tais bases acima tem elementos A ij tais que (e i )= a i f + + a mi f m, i =,...,n. (Isto é, as colunas de A são as coordenadas dos vetores (e ),..., (e n ) em relação à base {f,f 2,...,f n } V. I Proposição 3: Sejam U, V espaços vetoriais sobre um corpo K, e considere {e,...,e n } U e {h,...,h n } V dois conjuntos de vetores com o mesmo número de elementos. Então, se he,...,e n i coincide com U, existe somente uma aplicação : U! V tal que (e i )=h i,paratodoi entre e n. Além disso, se {e,...,e n } for LI e neste caso {e,...,e n } forma uma base de U então a aplicação existe, e é um isomorfismo J Demonstração: Sejam e duas aplicaçõess tais que (e i )= (e i )=h i. Considere a aplicação =, onde ( )(e i )= (e i ) (e i ). Verifique que : U! V é linear, e dada a combinação linear u = a e + + a n e n 2 U, temos que (u) =. Portanto (u) = (u), 8u 2 U, logo =. Agora, já que cada elemento de u 2 U pode ser unicamente representado na forma u = a e + + a n e n, definimos : U! V por (a e + + a n e n )=b h + + b n h n, onde b k 2 K. Prove que tal aplicação é linear o Exercício 32: Mostre que o conjunto Hom(U, V ) é um espaço vetorial Mostraremos agora que a inversa de uma aplicação linear é linear. Seja 2 Hom(U, V ) uma aplicação bijetiva. Portanto existe : V! U. Mostremos então que é l i - near. Já que é bijetiva, existem vetores unicamente definidos u,u 2 2 U tais que V 3 v i = (u i ). Das expressões (u +u 2 )= (u )+ (u 2 )e (au )=a (u ), aplicamos em ambos os lados dessas duas expressões, e portanto u +u 2 = ( (u )+ (u 2 )) e au = (a (u )). Portanto, (v )+ (v 2 )= (v +v 2 )ea (v )= (av ) Exercício 33: Mostre que se é uma aplicação linear, então n também é linear, para todo n 2 N I Proposição 4: Qualquer K-espaço vetorial V n-dimensional é isomorfo a K n J

.5. ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 7 Demonstração: Seja {e,...,e n } uma base de V. Considere a aplicação : V! K n que associa a cada vetor v 2 V,an-upla (a,...,a n ) de coordenadas do vetor v na base {e i }. Tal aplicação é bijetiva. Agora, se v = a e + + a n e n e u = b e + + b n e n, então Portanto é isomorfismo o u + v = (a + b )e + +(a n + b n )e n v = ( a )e + +( a n )e n I Teorema 6: Dois K-espaços vetoriais U, V de dimensão finita são isomorfos se e somente se eles possuem a mesma dimensão J Demonstração: O isomorfismo : U! V leva a base de U na base de V,e portanto dim U = dimv. Reciprocamente, considere dim U = dimv. Considere B U = {e,...,e n } U e B V = {h,...,h n } V respectivamente bases de U e V. A expressão (a e + + a n e n )=b h + + b n h n define uma aplicação linear de U em V, de acordo com a penúltima Proposição. Além disso é bijetiva, pois a e + + a n e n = (b h + + b n h n ) o Obs. 3: Na demonstração acima tomamos o isomorfismo : U! V, e se {e,...,e n } é base de U, então { (e ),..., (e n )} é base de V, portanto dim U =dim V. Reciprocamente, provamos no Teorema acima que qualquer K-espaço vetorial V n-dimensional é isomorfo a K n, e portanto esses espaços também são isomorfos entre si, por relação de equivalência.5.4 Bandeiras Um dos métodos usuais para se estudar conjuntos S que possuem estruturas algébricas é por meio de sequências de subconjuntos ou cadeias crescentes S S S 2. No formalismo dos espaços vetoriais, uma sequência estritamente crescente de subespaços (supondo dim V = n), correspondendo à filtração 2 V V V r em V é denominada bandeira. Onúmeror é denominado comprimento da bandeira V S V... V r. A bandeira V V... V n é d i t a s e r maximal se V = {}, n i= V i = V, e um subespaço não pode ser inserido entre V i e V i+ :sev i M V i+, então ou V i = M ou M = V i+. Quando r = n, então dim V i = i para todo i (apple i apple n), e a bandeira é denominada completa. Neste caso a bandeira é uma série de composição de V. Denominamos assinatura da bandeira V V... V n à s e q u ê n c i a {dim V,dim V,...,dimV n }. Uma bandeira de comprimento n pode ser construída a partir de qualquer base do espaço V, definindo-se V = {} e V i = he,...,e i i, para i. Tal bandeira é maximal e tal construção nos fornece todas as bandeiras maximais. 2 Uma filtração é um conjunto indexado S i de subobjetos de uma estrutura algébrica S, ondeos í n d i c e s i estão em um conjunto I totalmente ordenado, sujeito à condição de que se i apple j então S i S j.

8. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 I Teorema 7: A dimensão do espaço vetorial V é igual à dimensão de qualquer bandeira maximal de V J Demonstração: SejaV V V 2 uma bandeira maximal em V. Para todo i 2 N, tomamos um vetor e i 2 V i \V i e mostraremos que {e,...,e i } formam uma base de V i. Primeiramente, h{e,...,e i i V i e e i /2 V i, portanto segue-se por indução sobre i (já que e 6= ), que {e,...,e i } é LI para todo i. Agora, por indução em i mostramos que {e,...,e i } gera V i. Assuma que tal afirmação seja verdadeira para i esejam = he,...,e i i. Então V i M de acordo com a hipótese de indução e V i 6= M, jáquee i /2 V i. A definição de maximalidade de uma bandeira implica que M = V i. Se V V V 2... V n = V é uma bandeira maximal finita em V, então de acordo com o que já foi mostrado, os vetores {e,...,e n }, onde e i 2 V i \V i, formam uma base de V tal que dim V = n. SeV contém uma bandeira maximal infinita, então essa construção fornece um número arbitrariamente grande de conjuntos de vetores em V, e portanto V possui dimensão infinita o Exercício 34: Prove que qualquer bandeira em um espaço V de dimensão finita pode ser estendida à bandeira maximal, e seu comprimento não excede a (dim V ) Exercício 35: Mostre que em uma bandeira V V V r, verifica-se que apple dim V < dim V < < dim V r apple n Uma bandeira de qualquer comprimento pode ser obtida a partir de uma bandeira completa, quando eliminamos alguns subespaços vetoriais apropriados. Reciprocamente, qualquer bandeira pode ser completada, inserindo também subespaços vetoriais apropriados. Em geral isso pode ser feita de maneiras alternativas. Exercício 36: Complete a seguinte bandeira de R 3 : {} R 2 (plano-xy) R 3, de duas maneiras diferentes.6 Espaço Dual e Funcionais Lineares Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Uma aplicação : V! K é d i t a s e r um funcional linear se (au + bv) =a (u)+ (v), para todos u, v 2 V e a 2 K. Exercício 37: Mostre que de acordo com a definição acima, para qualquer funcional linear : V! K temos que () = K O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K é denominado espaço dual de V e denotado V. O conjunto V é um espaço vetorial sobre K, ao definirmos (a + )(u) :=a (u)+ (u), 8, 2 V,a2K,u2 V. Exercício 38: ProvequeV é espaço vetorial sobre K O vetor nulo de V é o funcional linear que associa trivialmente todo vetor de V a zero: (u) = K, 8u 2 V.

.6. ESPAÇO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 9 B Exemplo 6: Sejam a,...,a n 2 K escalares. Definimos : K n! K a aplicação (x,...,x n )=a x + + a n x n. A matriz de é dada por (a,...,a n ) em relação à base usual de K n e à base {} de K. Notamos que todas as funções lineares sobre K n são dessa forma, e se x = x e + +x n e n 2 K n, então (x) =x (e )+ +x n (e n ). Denote (e i )=a i C Exercício 39: Defina um funcional 2 (C 2 ) tal que (, ) =. Defina um funcional em (C 3 ) tal que (,, ) = e (,i,3) = Exercício 4: Considere um funcional linear sobre um C-espaço vetorial. Tal funcional pode assumir somente valores reais? Exercício 4: SejaC[a, b] o espaço das funções contínuas, f :[a, b]! R. Definimos (f) = R b f(t)dt. Proveque é um funcional linear a O seguinte teorema será implicitamente usado várias vezes no que se segue. I Teorema 8: Seja um espaço vetorial V sobre um corpo K. Se um vetor v 2 V tem apropriedade (v) =para todo 2 V, então v = J Demonstração: Seja B uma base de V. Para cada elemento u 2 B podemos associar um funcional linear u, definido como u (v) =v u, 8v 2 V (.3) onde, como todo v 2 V pode ser escrito como uma combinação linear de elementos de B, podemos sempre escrever v = v u u + v, onde v é uma combinação linear de elementos de B e v u 2 K. Além disso, v u =, caso u não faça parte na decomposição de v em uma soma finita de elementos de B). Seja então v 2 V um vetor como no enunciado do Teorema. Se (v) = para todo 2 V, vale obviamente que u (v) =, para todo u 2 B. Issoimplicaquev = o Exercício 42: Mostre que, para cada u 2 B, u : V! K dada pela Eq.(.3) é um funcional linear Exercício 43: Considere o espaço M(n, K), n 2 N, das matrizes n n sobre o corpo K. Denotando as componentes de A 2 M(n, K) por {A ij }, defina o traço da matriz como sendo o operador Tr : M(n, K)! K nx A 7! A ii = A + A 22 + + A nn i=. Mostre que Tr é um funcional linear sobre M(n, K). 2. Dado n 2 N e dadas matrizes A, B 2 M(n, K), mostre que Tr(AB) =Tr(BA).

2. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 3. Mostre que não existem matrizes A, B 2 M(n, K) tais que AB BA = I n n, n 2 N. Exiba operadores A, B 2 Hom(V,V ) tais que AB BA = I V onde V é um espaço vetorial de dimensão infinita. 4. Ainda em V como acima, suponha que AB BA =id V. Mostre que A m B BA m = ma m, m 2 N. I Proposição 5: Se dim V = n, então dim V = n e V ' V J Demonstração: Seja{e,...,e n } uma base de V. Para cada i 2{,...,n}, existe um único e i 2 V tal que e i (e j )= i j, para j 2{,...,n}. O conjunto {e,...,e n } são LI. De fato, se = e + + n e n, então (e i )= P n i= je j (e i )= i e i (e i )= i. Suponhamos que =, ou seja, dada uma combinação linear nula dos vetores {e j }, isso implica que i =, para i 2{,...,n}. Além disso, o conjunto {e,...,e n } forma uma base para V. Com efeito, mostramos que {e i } é linearmente independente e que também gera V.Se 2V, então (e i )= i,e = e + + n e n. A base {e j } é d i t a s e r a base dual de {e i } o Corolário : Utilizando a notação acima, = P n i= (e i)e i e v = P n i= ei (v)e i, para cada 2 V e v 2 V. De fato, seja = P n i= ie i. As coordenadas i são únicas, dadas por (e i )= i. Analogamente, se v = P n i= b ie i, então e j (v) =b j e j (e j )=b j Obs. 4: O isomorfismo (entre espaços vetoriais) V ' V não é canônico ou natural, no sentido que tal isomorfismo depende da escolha de bases. Se mudamos de base em V o isomorfismo também é modificado B Exemplo 7: Suponha V tal que dim V =. Para qualquer e 2 V \, o conjunto {e } é base de V. Considere a base dual {e } V, que satisfaz por definição a relação e (e ) =. Dado a 2 K\{}, tome outra base {ae } de V, portanto {a e } V é a base dual associada. Mas as aplicações lineares : e 7! e e a : ae 7! a e são diferentes no caso onde a 2 6=C A todo espaço vetorial V está associado o espaço dual V de V. Já vimos que esse espaço é o conjunto dos funcionais lineares : V! K, também denominados covetores. Além disso os covetores e i, (i 2{,...,n}) foram definidos como e i (e j )= i j =, i = j,, i 6= j. Como demonstrado na Proposição anterior, segue-se que os covetores {e i } formam uma base para V. As coordenadas de um covetor arbitrário nessa base são dadas pelo valor de na base {e i } de V. De fato, dado v = P n i= vi e i, então (v) = ( P n i= vi e i )= P n i= vi (e i )= P n i= vi i.

.6. ESPAÇO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 2 Exercício 44: Seja {e,e 2,e 3 } uma base de V = R 3 dada por e =(,, ), e 2 =(,, ) e e 3 =(,, 2).Seja 2 V o covetor dado por (e ) = 4, (e 2 ) =, (e 3 ) =. Determine (v) para v =(a, b, c) eexpresse em termos da base canônica de R 3 Como V é um espaço vetorial, é natural nos perguntarmos se podemos definir também um espaço dual ao espaço V. Isso é possível, e para tal definimos os funcionais lineares : V! (V ) v 7! v : V! K 7! v ( ) := (v) (.4) Nesse sentido, temos que v ( ) = (v). Obviamente v : V! R. A soma desses funcionais lineares é dada por u + v = v+u e a multiplicação por um escalar por a v = (av). Não é difícil vermos que dim (V ) =dimv. O resultado fundamental aqui é: I Teorema 9: Os espaços vetoriais V e (V ) são (canonicamente) isomorfos J Demonstração: Pela definição, dados a 2 K, u, v 2 V e, 2 V, então (au+v) ( ) = (au + v) =a (u) + (v) =a u ( ) + v ( ). Portanto u é e l e m e n t o de (V ) e é linear. Como dim V =dimv =dim(v ), então é isomorfismo de V em (V ) oa definição na Eq.(.4) v ( ) = (v) é a essência do isomorfismo canônico, já que (v) não depende de escolha de bases, já que é um escalar, e portanto invariante. Obs. 5: Mais geralmente, dados dois espaços vetoriais V e W, e dada uma aplicação linear : V! W, temos uma aplicação dual associada : W! V definida por ( )(v) = ( (v)), para cada 2 W e v 2 V. Além disso, temos ainda a aplicação bidual : V! W. O diagrama V V - V? W? W - W comuta. De fato, denotando por V e W respectivamente a aplicação (.4) restrita a V eaw, e dados v 2 V e 2 W, segue-se que (( V )(v))( ) = ( ( V (v)))( ) =( v )( ( )) = ( ( ))(v) = ( (v)) = ( W ( (v)))( ) = (( W )(v))( ) Exercício 45: SejadimV < e tal que ( ) = (v), 8 2 V 2 (V ). Mostre que existe um único v 2 V

22. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 Obs. 6: É bem sabido que todos os espaços vetoriais com a mesma dimensão são isomorfos, mas o resultado aqui é mais forte: existe um isomorfismo natural (canônico) entre V e(v ) dado por. Já vimos que para um espaço vetorial V e o seu dual V não existe um isomorfismo natural (no sentido discutido acima). Precisamos de uma estrutura a mais para definirmos o isomorfismo entre estes espaços, e essa estrutura adicional é chamada correlação. Para tanto precisamos munir V com uma métrica aqui a denominação para uma forma bilinear simétrica não-degenerada. Obs. 7: Com o isomorfismo canônico V ' V, muitas vezes se identifica legitimamente o espaço vetorial bidual V como sendo o próprio espaço vetorial V,a partir da identificação v 7! v. Segue-se que a seqûencia de espaços V! V! V! V! V! é essencialmente dada por V! V! V, de maneira que fundamentalmente sé precisamos dos espaços V,V e V para fins práticos. Considere agora um subespaço U V, definimos o anulador (ou aniquilador) deu: Ů = { 2 V (v) =, 8v 2 U} (.5) Exercício 46: Mostre que Ů é subespaço de V.SeU = {}, então Ů = V ;se U = V, então Ů = {} V I Lema : dim Ů = dim V dim U J Demonstração: Seja {e,...,e n } uma base de V tal que U = he,...,e k i. Se {e,...,e n } é uma base de V, então Ů = hek+,...,e n i o Já que sabemos identificar os espaços V e(v ), o aniquilador de um subespaço Z 2 V está em V. Por definição, Z = { v 2 (V ) v ( ) = (v) =, 8 2 Z}. I Teorema : Ů ' U, para todo subespaço U V J Demonstração: Ů = h e,..., ek i'he,...,e k i = U. O isomorfismo Ů é canônico o Exercício 47: Dado um K-espaço vetorial V, mostre que se U V, então V Ů Exercício 48: Sejam U e U 2 subespaços de um K-espaço vetorial V. Mostre que (U \ U 2 ) = Ů + Ů2 (aqui definimos a soma Ů + Ů2 = {u + u 2 u 2 Ů, ů 2 2 U 2 }..7 Núcleo e Imagem Considere 2 Hom(U, V ). O conjunto ker = {u 2 U (u) =} U é denominado núcleo de, e o conjunto Im = {v 2 V 9u 2 U, (u) =v} V é denominado imagem de. A dimensão da imagem de uma aplicação é denominada posto desta aplicação.

.7. NÚCLEO E IMAGEM ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 23 Exercício 49: SejaA 2 End(R 3 ) definida por: A(x,x 2,x 3 )=(x x 2 +2x 3, 2x + x 2, x 2x 2 +2x 3 ). Verifique que A é uma transformação linear e determine a imagem e o posto de A Exercício 5: Mostre que ker eim são respectivamente subespaços vetoriais de U e V I Teorema : 2 Hom(U, V ) é injetiva se e somente se ker = {} J Demonstração: Suponha que ker = {}. Então (u )= (u 2 ) ) (u u 2 )= (u ) (u 2 )= e u u 2 2 ker,oqueimplicaqueu u 2 =, ou seja, u = u 2. Reciprocamente, suponha que seja uma transformação linear injetiva e, se u 2 ker, então (u) = = () ) u =, logo ker = {} o Exercício 5: Mostre que 2 Hom(U, V ) é injetiva se, e somente se, leva vetores LI em U em vetores LI de V Obs. 8: Vimos que um homomorfismo : U! V é uma aplicação que preserva estruturas algébricas, no sentido de que 8u, v 2 U, a 2 K, (au + v) =a (u)+ (v). Um homomorfismo que possui o núcleo trivial e portanto injetivo é denominado monomorfismo (ou imersão). No caso em que (U) =V, e portanto é sobrejetivo, é denominado um epimorfismo. Ainda, denominamos por endomorfismo todo elemento 2 Hom(V,V )= End(V ), e por automorfismo um isomorfismo : V! V (isomorfismo do mesmo espaço) Exercício 52: No espaço K n+ [x] dos polinômios na variável x, considere as aplicações, 2 End(V ) definidas por (a + a x + + a n x n ) = a + a 2 x + + a n x n (a + a x + + a n x n ) = a x + a x 2 + + a n x n+ Mostre que = I e 6= I. A aplicação possui inversa? I Teorema 2: (Teorema do Núcleo e da Imagem) Seja U um espaço vetorial de dimensão finita e 2 Hom(U, V ). Entãoker e Im têm dimensão finita e J dim ker +dimim =dimu Demonstração: ker tem dimensão finita, já que ker é um subespaço vetorial de U. Tome então uma base {e,...,e m } de ker e estenda essa base a uma base {e,...,e m,e m+,...,e m+n } para todo o espaço U. Mostraremos que o conjunto (e m+ ),..., (e m+n ) forma uma base de Im. Qualquer vetor em Im possui a forma m+n X i= a i e i! = m+n X i=m+ a i (e i ), (.6)

24. CORPOS E ESPAÇOS VETORIAIS ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 pois P m j= a j (e j )=, jáque{e,...,e m } ker, o que significa que (e )= = = (e m )=. Portanto o conjunto { (e m+ ),..., (e m+n )} gera a Im. Seja agora, isto é, a combinação linear P m+n i=m+ a ie i pode ser ex- j= a j e Pm+n j, pois {e,...,e m } é base de ker. Mas i=m+ a ie i = só é possível se todos os coeficientes a i,a i forem nulos, pois {e,...,e m,e m+,...,e m+n } é base de U. Portanto o conjunto de vetores { (e m+ ),..., (e m+n )} é, pois em particular os coeficientes a i são nulos o a combinação linear nula P m+n i=m+ a i significa que P m+n i=m+ a ie i 2 ker pressa como P m (e i )=. Então, Pm+n i=m+ a ie i =, oque Corolário 2: Temos que dim U =dimim se e somente se dim ker =, isto é, ker = {}. Neste caso, é uma aplicação injetiva e também sobrejetiva, ou seja, é isomorfismo Exercício 53: Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, verifique o resultado do Teorema do Núcleo e da Imagem e determine se T é b i j e t i v a.. T : R 3! R 2, T (a, b, c) =(a b, 2c). 2. T : R 2! R 3, T (a, b) =(a + b,, 2a b). 3. T : P 2 (R)! P 3 (R), T (p(t)) = tp(t)+p (t). 4. T : M(2, R)! R, T (M) =trm. Exercício 54: SejaP (R) o conjunto dos polinômios reais. Mostre que T : P (R)! P (R) dada por T (p) = R p(s)ds é injetiva, mas não é sobrejetiva. Exercício 55: Dê exemplos de transformações lineares T,T 2 : V! W tais que ker T =kert 2 eimt =ImT 2, mas T 6= T 2. Exercício 56: Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita e T : V! W linear. Prove que se dim V < dim W então T não pode ser sobrejetiva. Prove que se dim V > dim W então T não pode ser injetiva Exercício 57: Seja T : R 3! R. Descreva geometricamente as possibilidades para o núcleo de T Um subespaço de dimensão n deumk-espaçovetorial V de dimensão n é denominado hiperplano ou subespaço de codimensão. Se 6= 2 V esedim V = n, então dim Im =edimker = n, pois Im = K, edimk =. O Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que dim ker = n. Obs. 9: Quando a dimensão de V é infinita, um hiperplano é um subespaço U V tal que U 6= V,eseW é um subespaço tal que U W V, então W = V ou W = U, o que caracteriza U como um subespaço próprio maximal de V

.8. SOMA DIRETA ROLDÃO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 25 25 I Teorema 3: Se 2 V \{}, então (ker ) é hiperplano em V. Reciprocamente, todo hiperplano de V é o núcleo de um funcional 2 V ( não é único). J Demonstração: Dado 2 V \{}, existev 2 V tal que (v) 6=. Seja u 2 V, definamos a = (u)/ (v). Então w = u av 2 ker, pois (w) = (u av) = (u) a (v) =. Portanto u = w + av 2 (ker + hvi), e (ker ) é um hiperplano, já que u é um elemento arbitrário de V. Reciprocamente, seja (ker ) um hiperplano em V,esejav2V\(ker ). Então, já que (ker ) é subespaço próprio maximal de V, temos que V =ker + hvi, e cada u 2 V tem a representação u = w + av, a 2 K e w 2 (ker ). Se tivéssemos u = w + a v, a 2 K e w 2 ker, então (a a )v = w w. Se a a 6=, temos v 2 ker, o que não é possível. Portanto a = a e w = w o Exercício 58: SejaV =M(n, K). Prove que End(V ) ' (End(V )) (Dica: Prove que para qualquer 2 V existe uma única matriz A 2 V com a propriedade de que (X) =Tr(AX), 8X 2 V )..8 Soma Direta Considere um conjunto {V i } n i= de subespaços vetoriais em um K-espaço vetorial V. Dizemos que V é soma direta de V,...,V n se todo v 2 V puder ser representado da forma v = P n i= v i, onde v i 2 V i e v i /2 V j, para cada j 6= i. Se isso ocorrer, escrevemos V = V V 2 V n = n i=v i B Exemplo 8: Considere {e,...,e n } uma base de V esejav i = he i i. Então V = n i= V i. É claro que quando V = n i= V i segue-se que V = P n i= V i.arecíproca não é verdadeira. C Seja V um espaço vetorial e U, W subespaços de V. Definimos a soma de U e W por U + W = {u + w 2 V u 2 U, w 2 W } Se U \ W = {}, denotamos U + W por U de U e W. W. Este conjunto chama-se soma direta Exercício 59: Mostre que U + W é subespaço de V. Mostre que se V = U \ W, então todo elemento de V se escreve de maneira única como soma de um elemento de U com outro elemento de W. Mostre que se B é base de U e B 2 é base de W e V = U + W e U \ W 6= {}, então V = hb [ B 2 i, mas B [ B 2 não é base de V. Mostre que se B é base de U e B 2 é base de W e V = U + W e U \ W = {}, então V = hb [ B 2 i,eb [ B 2 é base de V Exercício 6: Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V = U W :. V = R 2 e U, W são retas distintas que passam pela origem. 2. V = R 3 e U, W são planos distintos que passam pela origem.