MAT010 - Geometria Analítica Licenciatura em Matemática 3 ā Prova - 29/06/2009 Nome: N ō USP: Instruções: 1- Preencha o cabeçalho a caneta. 2- A prova pode ser resolvida a lápis. 3- Justifique suas afirmações. 4- Boa prova! Questão 1 2 3 4 Nota Questão 1. (1,0) Prove que u + v = u v se e somente se u e v são ortogonais. Dê uma interpretação geométrica. Solução. Como a norma de um vetor é um número positivo, temos: u + v = u v u + v 2 = u v 2 ( u + v) ( u + v) = ( u v) ( u v) u u + u v + v u + v v = u u u v v u + v v u u+2 u v+ v v = u u 2 u v+ v v (o produto escalar é comutativo) 2 u v = 2 u v 4 u v = 0 u e v são ortogonais Interpretação Geométrica. A soma de vetores u+ v pode ser interpretada como uma diagonal do paralelogramo determinado pelos vetores u e v e a diferença u v é a outra diagonal. (Faça uma figura.) A afirmação demonstrada acima nos diz que os comprimentos das duas diagonais são iguais se e somente se o paralelogramo for, na verdade, um retângulo. Observações. 1- Como quase nenhum aluno percebeu qual era a interpretação geométrica, não foi atribuída nenhuma nota para ela. Foi avaliada apenas a solução algébrica. 2- A maioria dos alunos demonstrou apenas uma das implicações e não a equivalência, usando coordenadas e não as propriedades do produto escalar. Está correto, mas é mais trabalhoso e menos elegante.
Questão 2. (2,0) (a) Determine a inversa da matriz A = (b) Use o item (a) para resolver o sistema 3 0 1 2 1 3 7 1 3x + y = x + 2y + z = 1 3x + 7y + z = 0 Solução. a) [A I] = 0 1 3 1 3 0 0 1 2 0 3 1 3 0 1 0 0 3 7 1 0 0 1 3 0 1 0 0 3 7 1 0 0 1 0 1 3 1 3 0 0 0 1 6 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 2 3 3 0 1 0 2 3 3 0 0 1 1 6 1 0 0 1 1 6 1 1 1 1 Portanto, A 1 = 2 3 3 1 6 1 = [I A 1 ] b) O sistema dado pode ser escrito na forma AX = B, sendo A a matriz x dada no item (a), X = y e B = 1 z 0 Usando propriedades da multiplicação de matrizes, teremos: AX = B A 1 (AX) = A 1 B X = (A 1 A)X = A 1 B ( ) x 1 1 1 4 Logo, y = 2 3 3 7 1 = z 1 6 1, ou seja, x = 4, y = 11 0 7 e z = 11 Observação. A multiplicação de matrizes não é comutativa. Logo, é preciso ter cuidado com as equivalências em (*).
Questão 3. (2,0) (a) Prove que as retas r e s se interceptam: x = 1 + 3t r : y = 1 z = 2 + 4t x = 7 + 3t (t R) s : y = 1 2t z = 7 + t (t R) (b) Determine uma equação para o plano que contém r e s. Solução. a) Observe que queremos um ponto P cujas coordenadas satisfaçam a ambos os sistemas de equações das retas r e s, mas não necessariamente com os mesmos parâmetros! Logo, vamos iniciar mudando o parâmetro da reta s para a letra α. Igualando as equações temos: 1 + 3t = 7 + 3α 1 = 1 2α 2 + 4t = 7 + α Resolvendo o sistema teremos α = 1 e t = 1. O ponto de intersecção (P ) tem coordenadas (4, 1, 2), obtidas tanto fazendo t = 1 nas equações de r como também fazendo t = 1 nas equações de s. (Confira!) b) Sejam u = [3 0 4] T e v = [3 2 ] T respectivamente vetores diretores das retas r e s. O vetor n = u v = [8 3 6] T é ortogonal ao plano que contém as retas. Assim, uma equação para o plano pode ser: 8(x 1) 3(y 1) 6(z + 2) = 0 ou equivalentemente, 8x 3y 6z = 17.
Questão 4. (2,0) (a) Determine a equação da reta s que passa por A(6, 0, 3) e é perpendicular à reta x = 1 + t r : y = 2 2t (t R) z = 3 (b) Qual a distância de A a r? Solução 1. (Usando projeção). Considere o ponto B(1, 2, 3) pertencente à reta r e tome o vetor BA = [ 2 0] T. Seja u a projeção do vetor BA sobre o vetor d = [1 2 0] que é paralelo a r. Fazendo as contas, obteremos que u = [ 9 18 0] T. O vetor v = BA u é ortogonal à reta r e tem a direção da reta que se quer. (Faça uma figura!) Temos: v = [ 16 8 0] T Equações paramétricas para a reta s: x = 6 16t s : y = 0 8 t z = 3 (t R) b) A distância de A à reta r é a norma do vetor v, a saber, v = 26 + 64 = 320 = 8. 2 2 Solução 2. Seja Q o ponto de intersecção das retas r e s. Por pertencer a r, as coordenadas de Q são da forma (1 + t, 2 2t, 3) para algum t (a ser calculado). O vetor AQ é ortogonal ao vetor diretor de r. Logo, o produto escalar entre eles é igual a zero: (t ) 1+(2 2t) ( 2)+( 3) 0 = 0 t 4+4t = 0 t = 9 t = 9 Assim, AQ = [ 16 8 0] T. Observe que AQ é o vetor v encontrado na resolução anterior. O restante é igual.
Questão. (3,0) Em cada caso, ou demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. a) Se uma matriz quadrada é inversível então sua transposta também é inversível. b) Se u v = u w então v = w. c) A reta que passa pelo ponto P (1, 2, 3) e é paralela ao vetor d = [1 1 1] T está contida no plano 2x y + z = 3. Solução. a) Verdadeira. Seja A Uma matriz quadrada e inversível. Então existe uma matriz C de mesmo tamanho que A tal que AC = I e CA = I. Logo, (AC) T = I T e (CA) T = I T Mas a transposta do produto é o produto trocado das transpostas. Logo, C T A T = I e A T C T = I Essas últimas igualdades equivalem a dizer que A T inversa é C T, ou seja, a transposta da inversa de A. é inversível e sua b) Falso (mesmo se u 0): Exemplo: u = [1 0 0] T ; v = [2 9 89] T ; w = [2 34 31] T. Temos: u v = 2, u w = 2, mas v w. c) Há várias maneiras de provar que a afirmacão é verdaderia: uma delas: Os pontos da reta r têm coordenadas do tipo (1 + t, 2 + t, 3 t) para t R. Para mostrar que os pontos de r estão no plano de equação 2x y + z = 3 basta observar que 2(1 + t) (2 + t) + ( 3 t) = 2 + 2t 2 t 3 t = 3, para todo t. Logo, todos os pontos da reta r pertencem ao plano. Observação. Observe que eu não escrevi 2(1+2t) (2+3t)+( 3 4t) = 3 2 + 4t 2 3t 3 4t = 3 3 = 3 logo a afirmação é verdadeira, como vi muitos alunos fazerem! Para afirmar que 3 = 3 não é preciso nehuma hipótese! É até possível começar de uma afirmação falsa, chegar em 3 = 3. Ou seja, partir de qualquer afirmação e chegar em uma igualdade do tipo a = a não permite concluir que a afirmação original é verdadeira! Quem escreveu assim escreveu errado e precisa aprender e corrigir o vício!