Módulo IV Capitalização Composta Danillo Tourinho S. da Silva, M.Sc. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Montante e Juro Fórmulas Derivadas Conceitos Básicos No sistema de juros compostos (regime de capitalização composta), os juros são calculados sobre o montante, isto é, os juros incidem sobre o valor principal atualizado. O regime de capitalização composta é usado nas seguintes situações:» Correção da poupança» Financiamento habitacional» Financiamento de automóveis» Empréstimos bancários 1
Fórmulas de juros compostos ( 1+ i) VF = VP j = VF VP n VF = Valor Futuro ou Montante VP = Valor Presente ou Capital Inicial i = taxa de juros compostos n = número de períodos que o capital ficou aplicado j = juros cobrados ou pagos ou rendimento de uma aplicação Exercício 1 Em que prazo um empréstimo de $ 30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de $ 51.310,18, sabendo-se que a taxa é de 5% a.m.? 11 meses Exercício A que taxa um capital de $ 43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses? 3,96% a.m.
Exercício 3 Uma pessoa empresta 80.000,00 hoje para receber 507.94,46 no final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual deste empréstimo. 8%a.m. ou 151,8%a.a. Exercício 4 Depois de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% a.m., quadruplica o seu valor? 35,35 meses Exercício 5 Certa aplicação rende 0,5% a.d. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? 308,4 dias 3
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Convenção Exponencial CONVENÇÕES LINEAR E EXPONENCIAL Até agora, nos deparamos somente com situações em que o tempo de aplicação sempre coincidiu com um número inteiro de períodos. Entretanto, é possível encontrar aplicações em que os mesmos não coincidam. CONVENÇÕES LINEAR E EXPONENCIAL 4
CONVENÇÃO LINEAR Pela convenção linear, haverá a incidência de juros compostos durante os períodos inteiros de capitalização, sendo que, a seguir, sobre o montante acumulado incidem juros simples durante o período fracionário de capitalização. M n = C( 1+ i) (1 + i. n) Exemplo Seja o capital de $ 100.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear. V f = 100000 ( 1+ 0,18) 4 = $193.877, 78 9 V f = 193.877,78 1+ 0,18 = $0.051,8 1 Ou pela fórmula: V f = 100000 9 1 4 ( 1+ 0,18) 1+ 0,18 = $0.051, 8 CONVENÇÃO EXPONENCIAL Pela convenção exponencial, haverá a incidência de juros compostos tanto nos períodos inteiros de capitalização como nos fracionários. n n M = C( 1+ i) (1 + i) 5
Exercício 01. Uma empresa contrata um empréstimo de $ 48.700,00 e prazo de vencimento de 30 meses. Sendo a taxa de juro anual de 19,5% pede-se calcular o montante a pagar utilizando as convenções linear e exponencial. Respostas: Linear: $ 76.35,44 Exponencial: $ 76.03,65 Exercício 0. Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de anos e 5 meses à taxa de 18% ao ano. Determinar o valor da aplicação sabendo-se que o montante produzido ao final do período atinge $ 4.800,00. Resolver o problema utilizando convenções linear e exponencial. Resposta: Linear: $ 16.568,35 Exponencial: $ 16.64,05 EXERCÍCIO AVALIATIVO Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa de juros aparente de 7% a.m (inflação de 1%a.m). com capitalização mensal, durante 5 meses e 0 dias. Calcule o montante ao final do período, considerando-se: a) Convenção linear; b) Convenção exponencial. 6
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Desconto Composto: Racional e Comercial Descontos O cálculo do desconto refere-se ao valor de um título numa data antes de seu vencimento; O desconto é a diferença entre o valor de resgate e o valor presente do título na data da operação. D = V f V p Aplicações Cheques pré-datados; Duplicatas 7
Situação Exemplo: Você é um fornecedor de matéria-prima para a indústria automotiva. Ao fornecer um lote de mercadorias recebe um cheque pré-datado com vencimento em 60 dias. Estando na época de pagar os seus funcionários, você precisa de capital para fazer os respectivos depósitos. Como fazer para ter dinheiro hoje? Resposta: Você pode ir até o banco e antecipar o recebimento do cheque, porém o banco irá cobrar por esta antecipação. Esta cobrança efetuada pelo banco é o que chamamos de desconto. Tipos de Descontos Desconto Simples (Bancário ou comercial) A taxa de desconto incide sobre o valor futuro do título (D = VF.id.n) Valor descontado (D=VF - VP) Desconto Composto A taxa de desconto incide sobre o valor futuro deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. VP = VF(1-id) n Valor do desconto (D) D = VF - VP 8
Algumas considerações O desconto praticado pelo mercado é o desconto simples, por que? O desconto composto existe na teoria, porém na prática não é usado. Descontos Compostos A taxa de desconto incide sobre o valor futuro deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido através de cálculos exponenciais e praticamente não é usado em nenhum país do mundo. (Vieira Sobrinho) n VP = VF( 1 id) D = VF VP Exemplo Calcular o desconto composto efetuado sobre um título, cujo valor de face é de 1000,00, com vencimento em 90 dias à taxa de % ao mês. D1 = VF.id = 1000x0,0 = 0,00 VP1 = 1000-0 = 980,00 D = 980x0,0 = 19,60 VP = 980 19,60 = 960,40 D3 = 960,40x0,0 = 19,1 VP3 = 960,40 19,1 = 941,19 D = D1+D+D3 = $58,81 9
Fazendo as contas pela fórmula n VP = VF( 1 id) VP = 1000(1 0,0) 3 = 941,19 D = VF VP D = 1000 941,19 = 58,81 Exercício 1 Uma duplicata no valor de R$ 8.000,00 foi descontada para quatro meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto igual a 3%a.m. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo título. R$ 7.08,34 e R$ 917,66 Exercício Construa uma tabela apresentando o valor do desconto e o valor de resgate de um título de $.000,00 descontado à taxa de % ao mês, para os prazos 30, 60, 90, 10 e 150 dias, considerando descontos simples e descontos compostos. 10
Cálculo de Desconto para uma série de Títulos do mesmo valor Título 1 VF D1 = VF.id.1 Titulo VF D = VF.id. Título 3 VF D3 = VF.id.3 Título 4 VF D4 = VF.id.4... Titulo n VF Dn = VF.id.n Desconto total = D1+D+D3+...+Dn Cálculo do desconto total (Dt) Dt = D1+D+D3+...+Dn Dt = VF.id.1+VF.id.+VF.id.3+...VF.id.n Dt = VF.id(1++3+...n) Mas, (1++3+...+n) é uma P.A. 1+ n n Então (1++3+...+n) = Conclusão... ( ) Fórmula para o desconto de uma série de n títulos com vencimentos periódicos ( 1+ n) n D t = VF. id. Obs: O primeiro título vence no final do primeiro período. 11
Exemplo 1 Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 1 títulos, no valor de $.000,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de % ao mês. Solução ( ) n 1+ n D t = VF. id. ( 1+ 1) Dt = 000 0,0 1 = 3.10,00 Valor Líquido recebido: VP total = 1.000,00 3.10,00 = $0.880,00 Exemplo Cinco duplicatas, no valor de $40.000,00 cada uma, com vencimento para 90, 10, 150, 180 e 10 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto. 1
Solução Observe que o vencimento da primeira duplicata ocorre em 90 dias (3 meses). A fórmula deve ser adaptada para esta situação: ( t tn ) n 1 + Dt = VF. id. Solução D t D t ( t tn ) n 1 + = VF. id. ( 3+ 7) = 40.000 0,03 5 = 30.000,00 Exercício 1 Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, 4 duplicatas no valor de $3.600,00 cada uma, com vencimentos para 60, 10, 180 e 40 dias. Calcular o valor líquido creditado pelo banco na conta da empresa, sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de,4% ao mês. $ 114.75,00 13
Exercício Determinar o número de títulos com vencimentos sucessivos de 30 em 30 dias, descontados à taxa de 3,3% ao mês, sabendo-se que todos são do mesmo valor, igual a $13.000,00 cada um, e cujo desconto total é de $1.01,00. 7 títulos Exercício 3 Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3%a.m. mais uma taxa operacional (IOF) igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título, no regime de capitalização simples. R$ 785,00 Exercício 4 A fábrica das Medalhas Milagrosas recebeu, líquidos, R$ 16.613,00, resultantes do desconto de uma nota promissória no valor de R$ 18.500,00. Se a taxa de desconto por fora da operação foi igual a 5%a.m. e a taxa (IOF) aplicada sobre o valor nominal foi igual a 0,0%, calcule a duração da operação, no regime de capitalização simples. meses 14
Exercício 5 Um banco realiza operações de desconto de notas promissórias mediante a aplicação de uma taxa simples de desconto por fora igual a 4% a.m. Além disso, cobra a título de IOF uma taxa igual a 0,3% sobre o valor nominal. Qual será o valor líquido recebido após desconto de um título com valor nominal igual a R$ 1.500,00 e vencimento em 50 dias? R$ 11.69,17 Exercício Avaliativo O desconto bancário de um título com valor nominal igual a R$ 15.000,00 rendeu, líquidos, R$ 1.885,00. Se a taxa de desconto por fora foi igual a 3% a.m. e o prazo da operação foi igual a quatro meses e meio, estime a taxa percentual incidente sobre o valor nominal da operação, no regime de capitalização simples. 0,6% 15