Resoluções de Algumas Questões Prova da AMAN 997. (AMAN- 997, qcod_) Considere o triângulo ABC de área S, baricentro G e medianas CM e BN. A área do quadrilátero AMGN é igual a S S S S S ) os triângulos FGC, CGN AGN são congruentes e a área de cada um S/ S A 6 ) os triângulos AGN, AGM e BGM são congruentes e sua área S/ S A 6 ) A área do quadrilátero AMGN é S S A A + A 6. (AMAN- 997, qcod_) Se 997 996 998 998! 997?? ( n+! ) n!.[( n! ) n! ] a n então a 997 é n + ( n+ )! n! 998! 997! 998.997! 997! a n n. ( n )! + n! 997.996! + 997! 997.997 996! + 997.996! 997.997! 997! 997.996! a 997 997.997[ 998.996! ] 997. [ 998.996! ] 997. [ 998.996! ] a 997 998 [ ] [ ] [ ]
. (AMAN- 997, qcod_) A relação entre os coeficientes b e c para que a equação + b + c possua duas raízes iguais é: b + 7c ( ) b + c b + b + b c c 9c Chamando y, y e z as três raízes da equação. y + y + z z y z. y Usando as relações de Girard y. y + y. z + y. z b y + yz b y. y. z c y. z c b y + y( y) b y b y 9c b z. y. 7c b 7c + b b. (AMAN- 997, qcod_) A função f( ) / e. ( ) (, + ) (,) (,) (, + ) (,) é crescente no intervalo O crescimento ou decrescimento de uma função se faz pelo estudo do sinal da primeira derivada: ( ) / ( ) / + ( / f e f e ) e /. '... e., como e / é sempre um número positivo, vamos estudar o sinal do termo. ) f() é crescente no intervalo (, ) (, + ) ) f() é decrescente no intervalo ], [ 5. (AMAN- 997, q5cod_) Seja P o ponto da circunferência + y 6 8y + mais próimo da origem. A soma das coordenadas de P é
8 5 7 9 8 5 + y 6 8y +. + 9 + y. y + 6 + 9 6, ( ) + ( y ) nessa última equação temos o centro da circunferência C(,) e o raio r. O coeficiente da reta pelo que passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência é tg θ ) Equação da reta que passa pelo ponto P: y ( ) y. ) P?, é a intersecção da reta que passa pelo ponto P e pela circunferência + y 6 8y + + 6 8. + 5 5 + 9 8 ou 5 5 tomando-se que é a abcissa mais próima da origem, encontramos o valor de y: 5 6 y. 5 5 6 ) Coordenadas do ponto P,, somando-se essas coordenadas 5 5 6 8 soma + 5 5 5 6. (AMAN- 997, q6cod_) Considere a reta tangente ao gráfico da função yf() no ponto (, f()). Sejam f() e f (). Se r intercepta o gráfico da função g() -+7 nos pontos (,y ) e (,y ) então os valores de y e y são respectivamente a) e b) e c) e 5
d) 5 e 7 e) 7 e 9 Resolução Equação da reta tangente: y f ( ) f '( )(. ) y. ( ) y + Como essa reta intercepta a função g(), temos: + -+7 ou y g( ) 5 Os pontos de intersecção: y g 7 7. (AMAN- 997, q7cod_) Considere os conjuntos A R tal que e B { R 5 + < }. O conjunto A B é 5 Resolução A (, ] [, + ) 5 5 5 B R 5+ <. < B { } ( )( ) (,) Fazendo a intersecção A B [, [ sen 8. AMAN- 997, q8cod_) O valor de lim é sen ( ) + sen sen. sen.. Usando artifício: lim lim sen sen sen. sen.cos.. Pela regra de L Hospital: lim lim sen. sen.cos.
sen Obs.: Lembrando que o limite fundamental: lim 9. AMAN- 997, q9cod_5) O valor de tg ( ). d? 6 + 8 8 da trigonometria: + tg a sec a ( ) ( ( ) ( tg. d ( + sec ) d d + sec ( ) )(.. d) / ( ) 8 + tg + tg. 8 8 + 8 8. (AMAN- 997, qcod_) Seja a solução da equação log7 + + log7.log7. O valor de log + log 8. é 6 a) b) c) d) e) Resolução Condições de eistência log7 + + log7.log7 + > e > > Resolvendo a equação log7 + + log7.log7 log 7 +. /.log7 log7 ( + )(. ) log7 / ( ) log (. )( + ) log7 7 ou Como só pertence às condições de eistência (domínio), agora podemos encontrar o valor da epressão pedida: log + log 8. 6 é
6 log 6 log 7 + log8 + log log log 6 + 7 / + 7 + 7. (AMAN- 997, qcod_) Sendo i a unidade imaginária dos números n compleos, o valor do número natural n tal que (. i) + ( + i) 6. i é a) b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 n n. i + + i 6. i. i + + i 6. i [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) n n (. i) + [( + i ) ] 6. i (. i) + ( i) 6. i n n n 5. ( i) 6. i ( i). i ( i). i n 5. (AMAN- 997, q9cod) O valor de a para que a função, se f ( ), seja contínua em, é a, se ( ) 6 6 Calculando-se o limite da função + lim lim. lim + + lim ( + ) + 6 ( )(. ). (AMAN- 997,qcod_) A derivada da função f ( ) arctg É:
+ + + ( + ) ' u A derivada da função arco tangente: yarctg u() y ' + u. A derivada da função f ( ) arctg f '( ) + + f '( ) + +. (AMAN- 997, qcos_) Podemos observar que o gráfico de y a) cresce em ], [ ],[ b) tem (, -) como ponto de infleão. c) Tem assíntota horizontal em y e assíntota vertical em e -. d) Tem concavidade voltada para cima para qualquer ],[ e) Está definido para todo real. Resolução letra c) + c) O domínio dessa função y, são ou, que são as duas assíntotas verticais. + Assíntota horizontal: lim lim, logo a assíntota horizontal é y. ± ± Respondendo as outras a) Crescimento ou decrescimento (máimo ou mínimo): estudo do sinal da primeira derivada + ( ) ( + ) ( ) y y' ( ) ( ) ( )
+ y ' > em (,) e y ' < em (, + ) logo a função y tem máimo quando + y ma f ) de menos infinito até, a função é crescente sinal +, com assíntota vertical em -. ) De até mais infinito a função é decrescente sinal -, com assíntota vertical em. b) Ponto de infleão, estudo do sinal da segunda derivada y ' y ''. ( ) ( ) +... ( ) ( ) ( )[ + ] ( ). ( )[ ] ( ). ( )[ ] ( ) y > logo essa curva tem a concavidade voltada para cima.para todo ou c) Resolvida d) Respondida no b) D f R, e) Domínio ( ) { }