EAD 350 Pesquisa Operacional Aula 01 Parte 2 Profa. Daielly M. N. Mantovani Profa. Adriana Backx Noronha Viana Prof. Cesar Alexandre de Souza daielly@usp.br FEA/USP Elaboração de Modelos de PO Definição do Problema e Objetivos da Solução de PO Formulação Matemática do Modelo Variáveis de Decisão (x 1, x 2,..., x n ) Parâmetros (c 1, c 2,..., c n ) ; (a 1, a 2,..., a n ); (b 1, b 2,..., b n ) Função Objetivo Z = f(x 1, x 2,...x n ) => máx, min P.ex. máx Z = c 1 x 1 + c 2 x 2,..., + c n x n Restrições g i (x 1, x 2,...x n ) <= ou = ou >= b i P.ex. a 1 x 1 + a 2 x 2,..., + a n x n <= b 1 Desenvolvimento do Procedimento Computacional (programa/planilha) Teste do Modelo / Análise de Sensibilidade Uso do modelo para a tomada de decisão 1
Elaboração de Modelos de PO Definição do Problema e Objetivos da Solução de PO Formulação Matemática do Modelo Variáveis de Decisão (x 1, x 2,..., x n ) Parâmetros (c 1, c 2,..., c n ) ; (a 1, a 2,..., a n ); (b 1, b 2,..., b n ) Função Objetivo Z = f(x 1, x 2,...x n ) => máx, min P.ex. máx Z = c 1 x 1 + c 2 x 2,..., + c n x n Restrições g i (x 1, x 2,...x n ) <= ou = ou >= b i P.ex. a 1 x 1 + a 2 x 2,..., + a n x n <= b 1 Desenvolvimento do Procedimento Computacional (programa/planilha) Teste do Modelo / Análise de Sensibilidade Uso do modelo para a tomada de decisão Variáveis de Decisão Informações esperadas como resultado de um determinado modelo. Ex.: Mix de Produção (quantidade a ser produzida de cada produto) Valor investido em cada uma de diversas opções de investimento (carteira de investimentos) Sequência de tarefas das máquinas (em que ordem serão produzidos determinados produtos) Sequência de atividades a serem realizadas em um projeto 2
Elaboração de Modelos de PO Definição do Problema e Objetivos da Solução de PO Formulação Matemática do Modelo Variáveis de Decisão (x 1, x 2,..., x n ) Parâmetros (c 1, c 2,..., c n ) ; (a 1, a 2,..., a n ); (b 1, b 2,..., b n ) Função Objetivo Z = f(x 1, x 2,...x n ) => máx, min P.ex. máx Z = c 1 x 1 + c 2 x 2,..., + c n x n Restrições g i (x 1, x 2,...x n ) <= ou = ou >= b i P.ex. a 1 x 1 + a 2 x 2,..., + a n x n <= b 1 Desenvolvimento do Procedimento Computacional (programa/planilha) Teste do Modelo / Análise de Sensibilidade Uso do modelo para a tomada de decisão Parâmetros do Modelo Todos os dados conhecidos do processo, utilizados como valores de entrada do modelo. Ex.: Custo de produção por unidade fabricada Lucro ou Receita por unidade vendida Custo estimado de cada estratégia de marketing Taxa de Retorno e Taxa de Risco de cada investimento Tempo médio de processamento de cada tarefa em cada máquina 3
Elaboração de Modelos de PO Definição do Problema e Objetivos da Solução de PO Formulação Matemática do Modelo Variáveis de Decisão (x 1, x 2,..., x n ) Parâmetros (c 1, c 2,..., c n ) ; (a 1, a 2,..., a n ); (b 1, b 2,..., b n ) Função Objetivo Z = f(x 1, x 2,...x n ) => máx, min P.ex. máx Z = c 1 x 1 + c 2 x 2,..., + c n x n Restrições g i (x 1, x 2,...x n ) <= ou = ou >= b i P.ex. a 1 x 1 + a 2 x 2,..., + a n x n <= b 1 Desenvolvimento do Procedimento Computacional (programa/planilha) Teste do Modelo / Análise de Sensibilidade Uso do modelo para a tomada de decisão Função Objetivo Uma medida de desempenho global do problema que traduza os diversos objetivos propostos em uma só expressão matemática. Ex.: Tempo total de Produção (minimizar); Receita Total(maximizar); Impacto nas Vendas (Maximizar); custo total (minimizar); lucro total (maximizar) 4
Elaboração de Modelos de PO Definição do Problema e Objetivos da Solução de PO Formulação Matemática do Modelo Variáveis de Decisão (x 1, x 2,..., x n ) Parâmetros (c 1, c 2,..., c n ) ; (a 1, a 2,..., a n ); (b 1, b 2,..., b n ) Função Objetivo Z = f(x 1, x 2,...x n ) => máx, min P.ex. máx Z = c 1 x 1 + c 2 x 2,..., + c n x n Restrições g i (x 1, x 2,...x n ) <= ou = ou >= b i P.ex. a 1 x 1 + a 2 x 2,..., + a n x n <= b 1 Desenvolvimento do Procedimento Computacional (programa/planilha) Teste do Modelo / Análise de Sensibilidade Uso do modelo para a tomada de decisão Restrições Estabelecem condicionantes entre as variáveis de decisão e a dinâmica do sistema, indicando as limitações físicas e operacionais do processo analisado. Ex.: Capacidade de produção das máquinas Estoque e mão-de-obra disponíveis Demanda prevista ou demanda máxima Limite de crédito dos clientes Taxa de retorno exigida Taxa de risco aceitável 5
Programação Linear A Programação Linear é um dos mais utilizados instrumentos no campo da Pesquisa Operacional. São passíveis de solução com o emprego de PL os problemas que envolvem a alocação ótima de recursos finitos entre atividades que competem entre si, com base em um critério pré-determinado Na programação linear, todas as funções matemáticas envolvidas são necessariamente lineares. Diversos tipos de problemas em Administração, Economia, Contabilidade, Finanças e Logística podem ser modelados para resolução com aplicação de Programação Linear, tais como: mix de produção, decisões de investimento, fluxos de caixa, orçamentos de capital, organização de transportes e políticas de estoque. https://www.youtube.com/watch?v=0n-o8b1hon4 Estrutura Típica de um Modelo de Programação Linear (PL) Max ou Min Z = c 1 x 1 +...+c j x j +...+c n x n a i1 x 1 + a i2 x 2 +...+a in x n x j 0 = onde x j são variáveis de decisão com j=1,..., n e i=1,..., m b i Função Objetivo Restrições 6
Problema... Vocês foram contratados pela Wyndor Glass Company para auxiliá-los em um problema de tomada de decisão A empresa produz diversos produtos que utilizam armações de metal e madeira e vidro A empresa pretende lançar dois novos produtos e assim ocupar sua capacidade de produção ociosa A Wyndor Glass Co. fabrica portas e janelas de vidro A empresa irá produzir dois novos produtos: Produto 1: Porta de Vidro com esquadrias de alumínio Produto 2: Janela de Vidro com esquadrias de madeira Produto 2 Produto 1 7
A empresa quer decidir sobre o mix de produção dos novos produtos: Quantidade a ser fabricada do Produto 1: Porta de Vidro com esquadrias de alumínio Quantidade a ser Fabricada do Produto 2: Janela de Vidro com esquadrias de madeira O objetivo a ser adotado é identificar o mix que traga o maior lucro possível considerando as restrições impostas 8
A Wyndor Glass Co possui três fábricas. A gerência de produção informou que as esquadrias de alumínio são feitas na fábrica 1 As esquadrias de madeira na fábrica 2 Na fábrica 3 é fabricado o vidro e feita a montagem A empresa ainda levantou as seguintes informações, necessárias para compor o modelo Qtde de horas consumida por lote de produto em cada fábrica (lotes de 20 unidades) Horas de produção disponíveis em cada fábrica para esses novos produtos Lucro por lote produzido de cada produto. 9
A equipe de PO organizou as informações levantadas na seguinte tabela: Tempo de Produção por Lote (horas) Produto Fábrica P1 P2 Tempo de Produção disponível por Semana F1 1 0 4 F2 0 2 12 F3 3 2 18 Lucro p/ Lote (US$ 1.000) 3 5 A divisão de marketing concluiu que a empresa poderia vender tanto quanto fosse possível produzir desses produtos. 10
Exercício Resolva pelo método gráfico: Minimizar Z=2x 1 + 3x 2 Sujeito a: x1 x2 5 5x 1 x 2 10 x 1 8 x 1 0 x 2 0 Aula 1 Enunciado 1 Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de metal. A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima. Itens / Atividades Liga Tipo A LigaTipo B Matéria-prima disponível Cobre 2 1 16 Zinco 1 2 11 Chumbo 1 3 15 Proço unitário de venda R$30,00 R$50,00 A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema B) Resolva o problema pelo método gráfico. 11
Aula 1 Enunciado 2 (Taha, 2008) A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela a seguir. Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais de uma tonelada (1t). A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t) Consumo de m.p. por tonelada de tinta Tinta para exteriores Tinta para interiores A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema B) Resolva o problema pelo método gráfico. Disponibilidad e diária de m.p. (t) M1 6 4 24 M2 1 2 6 Lucro por tonelada 5 4 12