ONTEÚDO Introdução Introdução, Objetivo e Histórico onceitos ásicos Definição, aracterísticas e Formas de Imprecisão onjuntos Fuzzy, Formas de Representação e Operações Lógica Fuzzy Relações, omposições, Modus Ponens Generalizado Fuzzy ontrol Variáveis Linguísticas Têm a função de fornecer uma maneira sistemática para uma caracterização aproimada de fenômenos compleos ou mal definidos Por eemplo: temperatura; idade. Variáveis Linguísticas Variável linguística: variável cujos valores são nomes de conjuntos fuzzy pertinência Eemplo: temperatura de um processo aia Média lta Muito lta 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 Temperatura Variáveis Linguísticas Formalismo: caracterizada por uma quíntupla N, TN, X, G, M, onde: N: nome da variável e: temperatura TN: conjunto de termos de N, ou seja, o conjunto de nomes dos valores linguísticos de N {baia, média, alta, muito alta} X: universo de discurso espaço fuzzy completo de variação de uma variável do modelo 100 a 360 o 1
Variáveis Linguísticas G: regra sintática para gerar os valores de N como uma composição de termos de TN, conectivos lógicos, modificadores e delimitadores temperatura não baia temperatura não muito alta M: regra semântica, para associar a cada valor gerado por G um conjunto fuzzy em X associa os valores acima a conjuntos fuzzy cujas funções de pertinência eprimem seus significados Funções de Pertinência os termos de uma variável linguística ou aos seus valores faz-se corresponder conjuntos fuzzy, definidos por suas funções de pertinência Podem ter formas padrão ou definidas pelo usuário Funções de Pertinência ontínuas: podem ser definidas por meio de funções analíticas 1 + a c pequeno médio grande 1 + 9 2 1 1 + 9 2 b 1 1 + 9 0,5 2 1 2 1 Funções de Pertinência Discretas: consistem em valores discretos correspondendo a elementos discretos do universo X 0,1, 2, 3,4,5,6 médio grande { } { 0,3; 0,7; 1; 0,7; 0,3; 0; 0} { 0; 0; 0,3; 0,7; 1; 0,7; 0,3} { 0; 0; 0; 0 0,3; 0,7; 1} pequeno 2
Funções de Pertinência Diferentes pessoas, ou grupos de pessoas, podem definir funções de pertinência para um mesmo conjunto de forma diferente Eemplo: estatura de pessoas ONJUNTOS FUZZY onjuntos risp Fuzzy Definição Representação Formatos Operações Hedges Funções de Pertinência Linear Trapezoidal Triangular Formato S Formato Z Formato PI Gaussiana Singleton Irregulares Formatos dos onjuntos Linear: É o conjunto mais simples, sendo uma boa escolha na aproimação de conceitos não bem compreendidos 1 0,8 0,6 0,4 0,2 rescente 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Decrescente 0 0 3
Formatos dos onjuntos Trapezoidal: Variável independente Parâmetros do formato 1.0 Rápido processamento ontém descontinuidades Trap,a,b,c,d 0 a 1 - b - /b - a a < b 1 b < c d - /d - c c < d 0 d Trap,a,b,c,d Formatos dos onjuntos Triangular: Variável independente Parâmetros do formato Mais simples que a Trapezoidal TRI,e,f,g 0 e 1 - f - /f - e e < f g - /g - f f < g 0 g 1.0 TRI,e,f,g a b c d e f g Formatos dos onjuntos Formato S: Equação Quadrática Variável independente Parâmetros do formato S,a,b,c 0 a 2 [ - a/c - a ] 2 a b 1-2 [ - c/c - a] 2 b c 1 c 1.0 S,a,b,c Formatos dos onjuntos Formato S com 2 parâmetros: Variável independente Parâmetros do formato S,a,b 0 a - b [ - a - b] 2 / 2b 2 a - b a 1 - [a + b - ] 2 / 2b 2 a < a + b 1 a + b 1.0 S,a,b b ds/d ds/d a b c a 4
Formatos dos onjuntos Formato Z: Z,a,b 1 - S,a,b Formatos dos onjuntos Formato PI: Junção das curvas S e Z Variável independente Parâmetros do formato Z,a,b 1 1.0 < a - b 1 - [ - a - b] 2 / 2b 2 a - b a [a + b - ] 2 / 2b 2 a < a + b 0 a + b Z,a,b Variável independente Parâmetros do formato PI,a,b S, a - b/2, b/2 a Z, a + b/2, b/2 a PI,a,b b b a a Formatos dos onjuntos Gaussiana: - distribuição normal σ - cai a zero para valores muito maiores ou muito menores do que a média G,,σ Ponto de Infleão G 2 σ, e, σ média σ desvio padrão 2 Formatos dos onjuntos Sigmoidal: Variável independente Parâmetros do formato S,a,b 1 ρ 1 1+ e b a b θ, tgθ ~ a 5
Formatos dos onjuntos Singleton: - na verdade não é um conjunto fuzzy - Simplifica os cálculos para produzir as saídas fuzzy. Formatos dos onjuntos Irregulares: - Ocasionalmente as formas padrões não conseguem capturar a semântica de uma variável representações arbitrárias rias. 1.0 Sgl,a 1 a 0 a Tráfego Intenso Risco lto de Dirigir a 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Hora 10 20 30 40 50 60 70 80 90100Idade ONJUNTOS FUZZY onjuntos risp Fuzzy Definição Representação Formatos Operações Hedges Operações onjuntos risp Função aracterística: determina se os indivíduos do conjunto universal são ou não membros de um certo conjunto 0 1 4 Operações ásicas: União, Interseção, Negação e União Eclusiva 6
Operações onjuntos Ordinários Eemplo: X {1,2,...20} S 1 1 3 5 S 2 13 1 3 5 7 11 13 17 2 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 19 20 omplemento todos os elementos de X que S 1 1 2 3 5 7 8 11 13 17 20 União todos os elementos de X que a S 1 ou a S 2 Interseção todos os elementos de X que estão em S 1 e em S 2 1 2 3 5 8 13 20 2 7 8 11 17 20 União Eclusiva S 1 S 2 S 1 S 2 - S 1 S 2 Definições e operações onjunto Vazio se e somente se 0 X omplemento 1 X Definições e operações Definições e operações onjuntos iguais se e somente se subconjunto de X Interseção - onjuntos ordinários ontém todos os elementos que pertencem a e a f f 1 0 se e se ou se X f f f X 7
Definições e operações União - onjuntos ordinários ontém todos os elementos que pertencem a ou a Definições e Operações a eemplo dos conjuntos crisp, eistem operações para combinar e modificar os conjuntos fuzzy s operações são aplicadas às funções de pertinência f f f X um certo elemento é membro de um conjunto fuzzy se está dentro do domínio do conjunto se o grau de pertinência é 0 se está acima do limite α-cut Operações ásicas Interseção União omplemento Operadores de Zadeh Interseção: Em analogia com os conjuntos ordinários, que utilizam o operador ND, em conjuntos fuzzy geralmente se utiliza o Mínimo das Funções de Pertinência operadores de Zadeh. X 8
União: Operadores de Zadeh Em analogia com os conjuntos crisp, que utilizam o operador OR, em conjuntos fuzzy geralmente se utiliza o Máimo das Funções de Pertinência operadores de Zadeh. X Operadores de Zadeh omplemento: Em analogia com os conjuntos crisp, o complemento do conjunto fuzzy ~ contém TODOS os elementos que não estão em. Em conjuntos fuzzy geralmente se utiliza: ~ 1 - X ~ Supondo conjuntos normalizados!! Utilizando os operadores de Zadeh ma e min para a união e interseção fuzzy, verificam-se as seguintes propriedades: 9
10 1 Demonstração de 1: Para cada uma das situações seguintes, verificamse os resultados correspondentes: considerando-se os cálculos como feitos elemento a elemento d q c... e se Observando que as funções de pertinência dos conjuntos vazio e universo são 0 e 1: X X X e
onjuntos ordinários: e onjuntos fuzzy: 1 0 1 1 X X Operações onjuntos Fuzzy Lei da Não ontradição: INVÁLID!! ~ φ Lei da Eclusão Mútua: ~ U INVÁLID!! Lei da Não-ontradição INTERSEÇÃO E. 1: Quais os membros que são de MEI- IDDE e não-mei MEI-IDDEIDDE ao mesmo tempo? E. 2: Quais os membros que são LTOS e não-ltos ao mesmo tempo? aso risp: onjunto LTO onjunto MEI-IDDE IDDE 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 25 30 35 40 45 50 55 11
aso Fuzzy: onjunto LTO 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 INTERSEÇÃO onjunto MEI-IDDE IDDE 25 30 35 40 45 50 55 Lei da Não-ontradição Quais os membros que são de MEI-IDDE IDDE e não-mei MEI-IDDEIDDE ao mesmo tempo? NOME IDDE M-I ~M-I y FUZZY bel 36.92.08.08 José 58 0 1 0 arlos 64 0 1 0 João 32.47 53.47 Pedro 40 1 0 0 Tiago 22 0 1 0 Felipe 47.74.26.26 ndré 25.10.90.10 Lei da Não-ontradição Quais os membros que são de MEI-IDDE IDDE e não-mei MEI-IDDEIDDE ao mesmo tempo? NOME IDDE M-I ~M-I y FUZZY bel 36.92.08.08 José 58 0 1 0 arlos 64 0 1 0 João 32.47 53.47 Pedro 40 1 0 0 Tiago 22 0 1 0 Felipe 47.74.26.26 ndré 25.10.90.10 4 membros têm grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos Meia-Idade e não-meia-idade Lei da Não-ontradição Quais os membros que são LTOS e não-ltos ao mesmo tempo? NOME LTUR LTO y ~LTO y FUZZY bel 1.70.84.16.16 José 1.75.92.08.08 arlos 1.65.68.32.32 João 1.78.96.04.04 Pedro 1.77.94.06.06 Tiago 1.60.39.61.39 Felipe 1.73.90.10.10 ndré 1.75.92.08.08 12
Lei da Não-ontradição Quais os membros que são LTOS e não-ltos ao mesmo tempo? NOME LTUR LTO y ~LTO y FUZZY bel 1.70.84.16.16 José 1.75.92.08.08 arlos 1.65.68.32.32 João 1.78.96.04.04 Pedro 1.77.94.06.06 Tiago 1.60.39.61.39 Felipe 1.73.90.10.10 ndré 1.75.92.08.08 TODOS os membros têm grau de pertinência diferente de zero para ambos os conjuntos LTO e não-lto Lei da Eclusão Mútua Quais os membros que são de MEI-IDDE IDDE ou não-mei MEI-IDDEIDDE ao mesmo tempo? NOME IDDE M-I ~M-I y FUZZY bel 36.92.08.92 José 58 0 1 1 arlos 64 0 1 1 João 32.47 53.53 Pedro 40 1 0 1 Tiago 22 0 1 1 Felipe 47.74.26.74 ndré 25.10.90.90 Lei da Eclusão Mútua Quais os membros que são de MEI-IDDE IDDE ou não-mei MEI-IDDEIDDE ao mesmo tempo? NOME IDDE M-I ~M-I y FUZZY bel 36.92.08.92 José 58 0 1 1 arlos 64 0 1 1 João 32.47 53.53 Pedro 40 1 0 1 Tiago 22 0 1 1 Felipe 47.74.26.74 ndré 25.10.90.90 Nem TODOS os membros têm grau de pertinência um para a união dos conjuntos Meia-Idade e não-meia-idade Lei da Eclusão Mútua Quais os membros que são LTOS ou não-ltos ao mesmo tempo? NOME LTUR LTO y ~LTO y FUZZY bel 1.70.84.16.84 José 1.75.92.08.92 arlos 1.65.68.32.68 João 1.78.96.04.96 Pedro 1.77.94.06.94 Tiago 1.60.39.61.61 Felipe 1.73.90.10.90 ndré 1.75.92.08.92 NENHUM dos membros têm grau de pertinência igual a um para a união dos conjuntos LTO e não-lto 13
Operadores Fuzzy operadores de Zadeh; operadores ompensatórios; Operadores T-norm e T-conorm. Operadores ompensatórios Utilizam formas alternativas às de Zadeh para as operações com conjuntos; ompensatórios porque atuam de forma a compensar os operadores rígidos de MÍN e MÁX de Zadeh. Desprezam as informações contidas na outra variável! Operadores ompensatórios Operadores lternativos Transformações ritméticas Simples Produto Média Soma Limitada Diferença Limitada... Transformações Funcionais mais ompleas Yager Transformações ritméticas Interseção: Operador Interseção Zadeh Mín [, ] Média [ + ] / 2 Produto * Diferença Limitada Má [0, + 1] Lukasiewicz 14
INTERSEÇÃO Transformações ritméticas Eemplo: Operador Zadeh MÍN 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 0.25 0.50 0.50 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.75 1.00 0.25 0.50 0.75 1.00 Diferença Limitada Má [0, + - 1] 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.25 0.50 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 1.00 0.25 0.50 0.75 1.00 União: Operador União Zadeh Má [, ] Média {2 * mín[, ] + 4 * má[, ]} / 6 Soma Probabilística [ + ] [ * ] Soma Limitada Mín [1, + ] UNIÃO Transformações Funcionais Eemplo: Operador Zadeh MÁX 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.25 0.25 0.25 0.50 0.75 1.00 0.50 0.50 0.50 0.50 0.75 1.00 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 Soma Limitada Mín [1, + ] 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.25 0.25 0.50 0.75 1.00 1.00 0.50 0.50 0.75 1.00 1.00 1.00 0.75 0.75 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 Funções Yager: Os operadores compensatórios anteriores envolvem simples manipulações algébricas Os operadores Yager envolvem uma família parametrizada de operadores 15
INTERSEÇÃO T,y 1 - MÍN { 1,[1 - p + 1 - y p ] 1/p 1/p }p }p 0 UNIÃO,y MÍN [1, p + y p 1/p ] p 0 Operadores Fuzzy Para esses dois contetos, tem-se os seguintes tipos de operadores: operadores de Zadeh; operadores ompensatórios; Operadores T-norm e T-conorm. Generalização Operadores operadores norma-t e co-norma norma-t norma-s Operações binárias de [0,1] [0,1] [0,1], tal que,, y, z, w [0,1], determinadas propriedades são satisfeitas. 16
Operadores T-NORMT Definição: Seja T uma função de duas variáveis e y no intervalo [0,1]. Se, para qualquer, y, e z em [0,1], as seguintes condições forem satisfeitas T é dita uma operação T-norm T,1 T0,0 0 Se, então T,y T,y T,y Ty, TT,y,z T,Ty,z monotônica comutativa associativa Norma-t s seguintes propriedades são satisfeitas: y y y z y z se y, w z, então 0 0 e 1 w y z Operadores T-NORMT Eemplos: Mínimo Produto Lukasiewicz T-norm degenerada M,y mín,y P,y * y W,y má 0, + y -1, se y 1 Z,y y, se 1 0, caso contrário Operadores T-ONORMT Definição: Seja S uma função de duas variáveis e y no intervalo [0,1]. Se, para qualquer, y, e z em [0,1], as seguintes condições forem satisfeitas S é dita uma operação T-conorm S,0 S1,1 1 Se, então S,y S,y S,y Sy, SS,y,z S,Sy,z monotônica comutativa associativa 17
o-norma norma-t s seguintes propriedades são satisfeitas: y y y z y z se y, w z, então w y z 0 e 1 1 Operadores T-ONORMT Eemplos: Máimo Soma Probabilística Soma Limitada T-conorm degenerada M,y má,y P*,y + y - * y W*,y mín 1, + y, se y 0 Z*,y y, se 0 1, caso contrário Outras Operações ásicas é subconjunto de X é igual a X é subconjunto próprio prio de X < para pelo menos 1 elemento de X de onjuntos Fuzzy Dominância: 1 1 0 1 0 0 1 função de pertinência com 1 X 0 função de pertinência com 0 X 18
de onjuntos Fuzzy de onjuntos Fuzzy ssociatividade: omutatividade: [ ] [ ] [ ] [ ] E: HOT WRM OOL HOT WRM OOL E: HOT OOL OOL HOT de onjuntos Fuzzy de onjuntos Fuzzy Distributividade: De Morgan: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] E: HOT WRM OOL HOT WRM HOT OOL E: NOT HOT OOL NOT-HOT NOT-OOL 19