Utiliza variáveis binárias, i.e., que só podem assumir um de dois valores: {0,1}; {Low,High}; {True,False}; etc.

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Eliza Cordeiro Borja
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1 Álgebra de oole binária através do recurso à utiliação de funções booleanas (ou funções lógicas) é a principal teoria de suporte às metodologias de síntese e análise de circuitos digitais. Utilia variáveis binárias, i.e., que só podem assumir um de dois valores: {,}; {Low,High}; {True,False}; etc. Às variáveis inárias também se dá o nome de variáveis Lógicas ou ooleanas - omo só estão definidos elementos no universo da Álgebra de oole binária, o número de funções lógicas é finito, o que potencia uma abordagem algébrica bastante simples Veja-se o eemplo para uma única variável: Tabela de verdade f () f () f () f 3 () Só eistem 4 funções possíveis! f ( ) ( ) f ( ) f3 ( ) f constante identidade negação constante -

2 Negação (NOT) Das funções apresentadas, a Negação, omplemento, ou NOT, é a mais importante, e caracteria-se por transformar uma afirmação Verdadeira numa Falsa (e vice-versa) Para além da epressão algébrica e da tabela de verdade, a negação pode ser graficamente representada por um dos seguintes símbolos lógicos: f ( ) NOT Dupla Negação: Demonstração do teorema da dupla negação por indução completa: -3 Funções de duas variáveis Eistem 6 diferentes funções lógicas de variáveis. s mais importantes são denominadas ND, OR, NND, NOR e XOR onjunção (ND, Produto Lógico, ) e Disjunção (OR, Soma Lógica, ): ND OR. & -4

3 Funções de duas variáveis NND (ND negado), NOR (OR negado) e XOR (OU-Eclusivo): NND. NOR & XOR -5 Uma Álgebra de oole binária é um sistema algébrico ({,},.,) formado por um conjunto gerador e por duas operações binárias,.,, designadas por produto lógico e soma lógica, e por uma operação designada por complemento, tal que: (I) (Propriedade de Fecho), ( ) ( ) (II),, verifica-se (Propriedade omutativa) (Propriedade ssociativa) ( ) ( ).(. ) (. ). 3 (Propriedade Distributiva) 4 (Elemento neutro) 5 (omplemento) 6 (Idempotência) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [Hist.] oole, George (85-864), Matemático britânico. Em 854, publicou n Investigation of the Laws of Thought onde descreveu um sistema algébrico mais tarde designado por álgebra de oole -6 3

4 4 Propriedades ásicas da -7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) omutatividade ssociatividade Distributividade DeMorgan djacência ( ) ( ) (XOR) Princípio da Dualidade -8 Qualquer epressão válida numa álgebra de oole tem uma epressão dual, também válida nessa álgebra, que se obtém por troca do símbolo operatório com o símbolo operatório., e por troca do par de valores e Eemplo:

5 5-9 onsenso: Redundância: bsorção: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mais teoremas... - Leis de Morgan Generaliação para n variáveis Verificação por Tabelas de Verdade... n n n n Permitem transformar uma soma de produtos num produto de somas e vice-versa

6 Representação de Funções Por função ooleana: f a b c b e c são os termos da função., b e c são os literais. Por ircuito Lógico (ou Logigrama): F Por Tabela de Verdade: a b c b f - Funções mais de variáveis Eemplo de Simplificação e Representação sob a forma de Logigrama: f ( ). X Y Z X Y Z F F - 6

7 Eemplo de Simplificação (II) a d a e b d b e c d c e Realiação a níveis (soma de produtos) f ad ae bd be cd ce ( ad ae bd be cd ce ) (( a b c) d ( a b c) e ) (( a b c) ( d e )) a b c d e Realiação Multinível -3 Especificação por tabela: Importância das funções ND, OR e NOT) f f f 3 f f f f f f f f 3 3 f É sempre possível definir uma função utiliando o conjunto {ND, OR, NOT} -4 7

8 Especificação por soma de mintermos m O método anterior permitiu igualmente a passagem da representação de uma função por uma tabela para uma epressão algébrica. Essa epressão é uma soma de produtos em que todos os produtos envolvem todas as variáveis da função. f f estes produtos chama-se mintermos epressão em termos de soma de mintermos é única esta epressão também se chama ª forma canónica ou forma canónica normal disjuntiva ada mintermo corresponde a um dos s da função É usual referir cada mintermo pelo número correspondente em binário ssim: f m m m f m( 4,6, 7) Especificação por produtos de matermos Em ve de se trabalharem com s, também é possível construir a epressão da função através dos seus s M ( )( )( )( )( ) g g Essa epressão é um produto de somas em que todas as somas envolvem todas as variáveis da função. cada uma das somas chama-se matermo esta epressão também se chama ª forma canónica ou forma canónica normal conjuntiva ada matermo corresponde a um dos s da função É usual referir cada matermo pelo número correspondente em binário ssim: g M. M. M. M. M f M (,,,3, 5)

9 Especificação da ª forma canónica por logigrama f f F ada mintermo é representado por uma das portas ND Eiste uma correspondência entre cada ND, cada um dos s da tabela e cada um dos produtos da epressão -7 Importância das funções NND e NOR omo vimos, qualquer função pode ser representada como uma soma de mintermos. Por eemplo: plicando as Leis de Morgan: f plicando uma dupla negação à epressão: f f Obtém-se uma epressão em que só surgem NNDs e NOTs. omo um NOT pode ser feito com um NND, então qualquer função pode ser implementada só com NNDs O mesmo se aplica aos NORs (basta partir da ª forma canónica) -8 9

10 Manipulação e Simplificação de Funções manipulação de uma função pode ser feita para obter uma epressão mais simples ou para obter a epressão em certas formas: Simplificar f ( ) ( ) Obter epressão com operadores de variáveis e negações f D D D D ( D) D ( D) D Obter epressão só com NNDS f D D D D D D D D -9

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