FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... 5 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... 5 IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 7 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE UMA FUNÇÃO... SINAL DA FUNÇÃO AFIM... INEQUAÇÕES... 7 SISTEMA DE INEQUAÇÕES... INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS... INEQUAÇÕES-PRODUTO... 7 INEQUAÇÃO-QUOCIENTE... 45 RESPOSTAS... 57 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 6 No final das séries de eercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a eercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio 5-7. Todos os eercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume. MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE Uma função f de R em R recebe o nome de FUNÇÃO IDENTIDADE quando associa a cada elemento R o próprio, isto é: FUNÇÃO LINEAR Uma função f de R em R recebe o nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa a cada elemento R o elemento a R onde a é o número real dado, isto é: f: R R f() = f: R R f() = a com a Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do º e º quadrantes. É possível demonstrar que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, mas veremos esta demonstração mais a frente, num caso mais geral. A imagem da função identidade é Im = R e isto pode ser percebido facilmente, veja: f() = a = a = a = a assim, = R, a, tal que: a A imagem da função identidade é Im = R. f() a f() a a f() CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
Construir o gráfico da função =. E.: Vamos construir o gráfico da função =. Resolução: como já sabemos que o gráfico da função linear é uma reta e que dois pontos distintos determinam uma reta, basta que encontremos dois pontos para construir o gráfico. Além disso, o gráfico da função linear passa sempre pela origem assim, já temos o ponto (; ) bastando encontrar apenas mais um ponto. Vamos, então, atribuir um valor não nulo a e calcular o correspondente =. Resolução: Analogamente, temos: Agora, P(; ) e Q(; -). Agora devemos localizar, num sistema cartesiano, os pontos P(; ) e Q(; ) e traçar a reta PQ que será o gráfico procurado. Note que Im(f) = R. Veja o gráfico na coluna a seguir. Mais a frente, vamos tratar de um assunto que já pode ser observado nestes dois gráficos. Vamos, então, de forma incipiente, aproveitar a oportunidade. No E., o termo que multiplica o é. Este fator é chamado de taa de variação. Isto significa que para cada uma unidade que o varia, há uma variação de unidades em. No E., essa taa de variação é -, ou seja, cada unidade em faz o variar em unidades. Agora vamos construir alguns gráficos. E.: MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
) Construa, num mesmo sistema cartesiano, os 4 gráfico de funções constantes a seguir. a) = b) = c) = - d) = ) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f: R R a seguir. a) = b) = c) = d) CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f: R R a seguir. a) = - b) = - c) = - FUNÇÃO AFIM Uma função f: R R recebe o nome de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada elemento R o elemento a + b R onde a, isto é: f: R R f() = a + b com a d).: = + 4 onde a = e b = 4.: = - + 5 onde a = - e b = 5.: = onde a = e b = - 4.: = onde a = e b = Observe este último eemplo. Note que, quando b =, a função = a + b assume a forma da função linear e, assim, podemos dizer que a função linear é um caso particular de uma função afim. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e isto pode ser facilmente demonstrado. A demonstração não faz parte da ementa deste curso. Caso tenha interesse ou curiosidade, ela foi acrescentada no final desta apostila. E.: Construir o gráfico da função = +. MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO º GRAU
Resolução; Sabendo que este gráfico é uma reta, vamos encontrar dois de seus pontos, localiza-los no plano cartesiano e, em seguida traçar a reta. Assim, o gráfico da função, então, é a reta que passa pelos pontos (; ) e (; ). + + + O gráfico da função, então, é uma reta que passa pelos pontos (; ) e (; ). D(f) = R e Im(f) = R É facilmente perceptível, pelo gráfico, que tanto o domínio quanto a imagem desta função são formados por todos os números reais, assim: D(f) = R eim(f) = R E.: Construir o gráfico da função = - + Resolução: De modo análogo, temos: - + - + - + 4) Construa nos planos cartesianos a seguir, o gráfico da cada uma das 8 funções apresentadas. (Dica: em cada situação siga os eemplos fazendo, inclusive, a tabela afim de que a construção fique organizada) CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
a) = c) = + b) = + d) MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU
e) = 4 g) = + f) = h) 4 CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
5) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações do º grau: 4 (A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas) 6) Resolva analiticamente e graficamente os sistemas de equações do º grau: 5 a) MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU
b) 4 8 c) 4 4 CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU 7) Resolva os sistemas: a) 4 4 Sugestão: faça b e a b) 5
8) Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (; ) e (; -). (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de respostas) c) (; -) e (; -) d) (; -) e (-; ) b) (; ) e (; 5) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 5 e 54 Eercícios a 4 CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
IMAGEM O conjunto imagem de uma função afim f: R R definida por f() = a + b com a é R. De fato, qualquer que seja R, eiste = b a a b + b =. a R tal que f() = f ( b a ) = Observe que a variação do coeficiente a faz variar a declividade da reta que representa o gráfico da função. E.: Agora você pode observar construções de funções que possuem o mesmo coeficiente angular variando, apenas, o coeficiente linear. COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM O coeficiente a da função f() = a + b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função = a + b é denominado coeficiente linear. Os coeficientes a e b tem influência sensível no gráfico da função afim. Veja os eemplos a seguir onde são mostradas variações independentes em cada coeficiente. E.: Veja a construção, num mesmo plano cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note que em todos os casos, o coeficiente b não muda. A única variação é no coeficiente a. Veja neste caso, que a variação do coeficiente b faz variar o ponto em que a reta do gráfico da função toca o eio OY. 9) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (; ) e tem coeficiente angular igual a. (A resolução desta questão pode ser vista na secção de respostas) MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; 4) e tem coeficiente angular igual a -. ) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; ) e tem coeficiente angular igual a 4. ) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-; ) e tem coeficiente angular igual a. ) Obter a equação da reta que tem coeficiente angular igual a - e passa pelo ponto (-; -) CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
4) Dados os gráficos das funções de R em R, obter a lei de correspondência dessas funções. Para tal considere cada quadradinho como referência de uma unidade. b) a) MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO º GRAU
c) d) CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
ZERO DA FUNÇÃO AFIM Zero ou raiz de uma função é todo número cuja imagem é nula, isto é, f() =. é zero de = f() f() = Assim, para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do º grau a + b = que apresenta uma única solução = b a. FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES Uma função f: A B definida por = f() é CRESCENTE no conjunto A A se, para dois valores quaisquer e pertencentes a A, com <, temos f( ) < f( ) Em termos técnicos, f é crescente quando: (, ) ( < f( ) < f( )) E.: Qual o zero da função f() =? = = = Logo, a raiz da função é. Esta epressão acima também pode ser escrita desta forma: (, ) ( f( ) f( ) > ) E. : Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eio OX. Note o gráfico da função f() =, intercepta o eio das abscissas em, isto é, no ponto ;. Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é crescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o, o valor de também aumenta. Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função crescente. MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU
Uma função f: A B definida por = f() é DECRESCENTE no conjunto A A se, para dois valores quaisquer e pertencentes a A, com <, tivermos f( ) > f( ). Em termos técnicos, f é crescente quando: (, ) ( < f( ) > f( )) Esta epressão acima também pode ser escrita desta forma: (, ) ( f( ) f( ) < ) E.: A função f() = - + é decrescente pois tomados dois valores de distintos e com <, temos: Notemos que uma função = f() pode assumir comportamentos variados (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio. É bastante comum que, inclusive, que a função seja crescente em alguns intervalos e decrescentes em outros. Veja o eemplo abaio. A função é decrescente em R e crescente em R + Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é decrescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o, o valor de diminui. Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função decrescente. 5) Com base nos gráficos a seguir, de funções de domínio e contradomínio reais, especificar onde a função é crescente e onde a função é decrescente. a) E.: A função f() = é crescente pois tomados dois valores de distintos e com <, temos: CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
b) O estudo do comportamento quanto a crescimento ou decrescimento de uma função afim é feito em relação ao coeficiente angular. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo. Dada a função f() = a + b, Se a > então f é crescente. DEMONSTRAÇÃO c) f f a b é crescente f ( a a b b a b a a b a ) Assim, podemos observar que f() = a + b é crescente a > MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU
6) Demonstre que f() = a + b se, e somente se, a <. 7) Especificar se cada uma das funções abaio é crescente ou decrescente. a) = + 8 b) = 9 c) = -4 + 6 d) = - 6 e) 5 f) CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
g) 9) Estudar, segundo os valores do parâmetro k, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaio. a) = (k ) + (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de respostas) h) 8) Para quais valores de k a função f() = (k + 5) 7 é crescente? b) = (k + 5) 7 c) = (4 k) + MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
d) = k( + ) 5 Como foi dito, não importa a posição do eio das ordenadas, então vamos retiralo e preparar um aspecto prático. SINAL DE UMA FUNÇÃO Seja a função f: A B definida por = f(). Estudar o sinal da função é determinar para que valores de temos maior, menor ou igual a zero. Graficamente, isto pode ser feito observando os intervalos em que o gráfico está acima ou abaio do eio. Note que o que realmente interessa é o comportamento do gráfico em relação ao eio OX não importando a posição do eio OY. Conclusão: f() = para = ou = ou = 4 ou = 8 f() > para < < ou < < 4 ou > 8 f() < para < ou 4 < < 8 ) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados a seguir. a) Estudar o sinal da função = f() cujo gráfico está representado na figura a seguir. CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
b) º caso: a > Neste caso a função é crescente. Como para = b temos = f ( b )=, vem: a a < b a f() < f ( b a ) f() < > b a f() > f ( b a ) f() > Considerando os valores de sobre um eio, o sinal da função da função = a + b com a >, é: c) Entende-se, com esta notação, que para valores de à direita de b, a função a retorna um valor positivo ( + ) e para valores à esquerda de b, a função retorna valores a negativos ( - ). Um outro processo de analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano. SINAL DA FUNÇÃO AFIM Como vimos, estudar o sinal de uma função = f() significa estabelecer, para cada valor de D(f), qual das sentenças é verdadeira: Já vimos que o gráfico cartesiano da função f() = a + b é uma reta e se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente. Construindo o gráfico de f() = a + b com a > e lembrando o que está sendo dito na página, que a posição do eio não importa, temos: > = < Para a função afim = a + b, temos com dois casos a considerar: MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
º caso: a < Neste caso a função é decrescente. Também para = b temos = f ( b )=, vem: a a para a >, f() > se > b a f() = se = b a < b a f() > f ( b a ) f() > > b a f() < f ( b a ) f() < para a <, { f() < se < b a f() > se < b a f() = se = b a Considerando os valores de sobre um eio, o sinal da função da função = a + b com a <, é: { f() < se > b a E.: Estudar o sinal da função f() = +. Resolução Entende-se, com esta notação, que para valores de à direita de b a função a retorna um valor negativo ( - ) e para valores à esquerda de b, a função retorna valores a positivo ( + ). Também podemos analisar com a construção do gráfico lembrando que para a >, a função é decrescente. Podemos fazer um resumo do estudo do sinal da função afim como está no quadro em destaque na coluna ao lado. Observe: f() = + = = Como a > (a = ), temos que f é crescente, assim: f() > se > f() = se = { f() < se < Note que, de fato, quando procuramos, pela função acima, a imagem de um número qualquer maior que, encontraremos um valor positivo. A imagem de é zero e a imagem de qualquer valor menor que é um número negativo Só para eemplificar, vamos encontrar os valores de f() e de f( 5) f() = + = 7 f( 5) = ( 5) + = 9 Como previsto, a imagem de é positiva e a imagem de -5 é negativa CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
E.: Estudar o sinal da função f() = +. Resolução: + = = ) Estudar os sinais das seguintes funções definidas em R: a) f() = + Como a < (a = ), temos que a função f é decrescente, assim: f() > se < f() = se = { f() < se > Mais uma vez vamos verificar a resposta com um valor maior que a raiz ( 5 ) e outro menor que a raiz ( ). f f f 5 5 f 7 b) f() = - + MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO º GRAU
c) f() = 4 f) f d) f() = 5 + g) f 4 h) f() = - e) f ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 6 Eercícios 8 a CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
) Seja f: R R a função definida por f() = 4 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que (zero). Resolução: Vamos resolver a inequação: 4 + 4 + + 5 4 Solução: 4 5 S = { R 4 5 } Esta solução pode ser verificada de fato quando você substitui em ambas as funções valores iguais. Vamos testar completando a tabela abaio. Os dois primeiros valores são menores que 4 e os dois últimos são maiores. 5 f() g() Qual é maior? INEQUAÇÕES O último eercício apresentado () é um eemplo de inequação. Vamos agora resolver outras inequações. E.: Seja f: R R a função definida por f() = 4 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que. Resolução: Note que este eemplo é bem parecido com o último eercício. Para encontrar a solução, basta resolver a inequação 4 5 4 Este mesmo eemplo pode ter uma solução gráfica. No plano cartesiano abaio, você pode ver os gráficos das duas funções. 4 5 > 4 > 8 > Logo a solução é S = { R > } E.: Considerando as funções f() = 4 e g() = +, determine os valores de para os quais temos f() g(). MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU
Note que em = 4, as funções são 5 iguais (é o ponto onde elas se cruzam). Para valores menores que 4, a função f é menor 5 que a função g e isto pode ser verificado pois à esquerda de = 4. o gráfico de f está 5 abaio do gráfico de g. Esta situação se inverte à direita de = 4. 5 5) Dadas as funções f() = +, g() = e h() = 4 definidas e, R, para quais valores de tem-se: a) f() > g() ) Para que valores reais de a função f() = é negativa? b) g() < h() 4) Para que valores do domínio da função de f: R R definida por f() = a imagem é menor que 4? CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
c) f() h() b) g() h() c) f() h() 6) d) g() > 4 Dados os gráficos das funções f, g e h definidas em R e considerando cada quadrinho como uma unidade, determine os valores de R, tais que: a) f() > g() e) f() MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU
7) Dado um número real k, a função f: R R definida por f() = k é chamada de função linear (pág. ). a) Prove que o gráfico da função linear passa pela origem do sistema de ordenadas. 8) Uma grandeza é diretamente proporcional a uma grandeza quando é uma função linear de. Se é diretamente proporcional a e quando = 4 temos =. Então, para =, qual é o valor de? b) Prove que se f é linear então f(a + b) = f(a) + f(b) R CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
SISTEMA DE INEQUAÇÕES Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente o que equivale a inequações em separadas pelo conectivo e. O conjunto solução do sistema de inequações é a INTERSECÇÃO dos conjuntos-solução das diversas inequações que a formam. E.: Resolver o sistema de inequações { 5 Resolução: De, E.: Resolver o sistema { + 4 + 4 De, 4 4 6 4 5 4 9 9 De, De, 5 6 Vamos, agora, fazer a interseção entre as soluções: Solução: S = { R 9} INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Logo, a solução é: S = { R } Uma dupla desigualdade f() < g() < h() pode ser decomposta em duas desigualdades simultâneas, isto é, equivale a uma sistema de duas inequações em separadas pelo conectivo e, aquele mesmo da intersecção entre conjuntos que estudamos na primeira apostila. MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU
Por isso, para resolver uma situação com inequações simultâneas, devemos gerar um sistema de duas (ou mais) inequações e fazer a intersecção entre as soluções de cada inequação. Assim: f g h f g g h 9) Resolver os sistemas a seguir: a) Indicando por S o conjunto solução da primeira inequação e por S o conjunto solução da segunda inequação, o conjunto solução das inequações simultâneas é: S = S S E.: Resolver + < + + 4 Resolução: + < + { + + 4 De, De, 4 4 4 A intersecção desses dois conjuntos é S = { R < 4 } CÁSSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO
MATEMÁTICA I FUNÇÃO DO º GRAU b) 4 8 6 5 c) 5
d) 5 7 ) Resolver as inequações em : 6 a) - < < 4 b) -4 < 4 CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
c) - < < e) + 4 < 5 <6 d) 7 f) < + < 4 + MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO º GRAU
) Com base nos gráficos das funções f, g e h definidas em, determinar os valores de, tais que: b) g() f() h() a) f() < g() h() c) h() f() < g() CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
INEQUAÇÕES-PRODUTO Sendo f() e g() duas funções na variável, as inequações f() g() > f() g() < f() g() f() g() são denominadas inequações-produto. Vejamos, por eemplo, como determinamos o conjunto solução S de uma inequação do tipo f() g() >. De acordo com a regra dos sinais do produto de números reais, um número é solução da inequação f() g() > se, e somente se, f( ) e g( ), não nulos, têm o mesmo sinal. Assim, são possíveis dois casos: º: f() > e g() > Se S e S são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então S S é o conjunto solução do sistema. Também no caso de f() g() ou f() g(), podemos agir da mesma forma sendo possível, neste caso, marcar os pontos que anulam cada função. E.: Resolver em R a inequação ( + ) ( ) >. Resolução Como estamos procurando valores para que tornem o produto ( + ) ( ) positivo, então sabemos que ( + ) e ( ) devem ter o mesmo sinal. A forma mais prática de encontrar os intervalos onde isto acontece é fazer um estudo dos sinais de cada parte e montar num quadro como você verá. f() = + + = = - Como a função é crescente, º: f() < e g() < Se S e S4 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então S S4 é o conjunto solução do sistema. Daí concluímos que o conjuntosolução da inequação produto f() g() > é: g Esta função também é crescente, então, S = (S S ) (S S4 ) Um raciocínio análogo poderia ser feito para f() g() < porém buscando intervalos onde as funções possuem sinais diferentes. Vamos agora montar um quadro para o estudo do sinal da inequação produto: MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO º GRAU
Quando uma inequação-produto apresenta ou, devemos lembrar que as raízes de cada uma das funções que formam a inequação-produto zeram toda a inequação e, desta forma, devem fazer parte da solução. Assim temos a solução: S = { R < ou > } E.: Resolver em R a inequação ( ) ( + ) ( ) < Resolução: f g Veja no eemplo. E.: Resolver, em R, a inequação ( + ) ( ) f() = + + = = - g h O próimo passo é montar o quadro de sinais onde a linha S é a solução obtida de f g h Assim temos a solução: S = { R ou } Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações do tipo: n f f n E temos a solução: S = { R < < ou > } n n f f CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO
MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO º GRAU Para resolver estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e epoente inteiro: toda potência de base real e epoente par é um número real não negativo, isto é: N n, a, a n toda potência de base real e epoente ímpar conserva o sinal da base, ou seja: N n a a a a a a n n n Assim sendo, temos as seguintes equivalências: se n é par f se n é ímpar f f n se n é par se n é ímpar f f n se n é par D f se n é ímpar f f n se n é par f se n é ímpar f f n E.: S E.: 4 4 4 6 S E.: 5 5 S E.4: S 4 E.5: 4 8 8 7 S E.6: S E.7: 4 4 8 4 8 4 S
c) 5 4 ) Resolver em R as inequações a seguir: a) 5 b) 4 5 d) 4 6 CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
e) 6 7 g) 4 5 f) 5 7 h) 5 7 4 MATEMÁTICA I 4 FUNÇÃO DO º GRAU
) Resolver em R as inequações a seguir: 4 a) e) 5 f) 5 b) 8 g) 4 4 c) 4 5 6 d) 7 5 h) 8 5 CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO
4) Resolver em R a inequação 5 6 (Esta questão está resolvida na seção de Respostas) 5) Resolver em R as inequações: 4 5 4 7 a) MATEMÁTICA I 4 FUNÇÃO DO º GRAU
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG CAMPUS OURO PRETO b) 4 5 8 5 c) 5 4 6 6 4 7
8 6 d) 5 6 4 6 INEQUAÇÃO-QUOCIENTE Sendo f() e g() duas funções de variável real, as inequações do tipo f g f g f g f g são denominadas inequações-quociente. Considerando que regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto observando o fato de que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo. 4 E.: Resolver em R a inequação. Resolução: Inicialmente devemos transformar a desigualdade de forma a compará-la a (zero). ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 64 Ver R.7 4 4 4 4 5 MATEMÁTICA I 45 FUNÇÃO DO º GRAU
CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG CAMPUS OURO PRETO 5 5 5 f g Fazendo o quadro-quociente para o estudo dos sinais, temos: Solução: S = { R 5 ou > } 6) Resolver em R as inequações: a) b) c) 8 4
d) 5 b) 4 7) Resolver em R as inequações: 5 a) 4 MATEMÁTICA I 47 FUNÇÃO DO º GRAU
c) 5 d) 4 CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG CAMPUS OURO PRETO
MATEMÁTICA I 49 FUNÇÃO DO º GRAU 8) Resolver em R as inequações: a) 4 4 b) 5 5
c) 5 4 4 5 4 d) 5 CÁSSIO VIDIGAL 5 IFMG CAMPUS OURO PRETO
9) Resolver em R as inequações: a) 4 b) MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO º GRAU
c) 4 d) 5 5 CÁSSIO VIDIGAL 5 IFMG CAMPUS OURO PRETO
e) 5 4 5 4 5 f) MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO º GRAU
g) 4) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = g() = + h() = - ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 68 Análise de Resolução CÁSSIO VIDIGAL 54 IFMG CAMPUS OURO PRETO
4) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = - g() = - + h() = - - 4) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaio. f() = - 4 g() = - 4 h() = - - 4 MATEMÁTICA I 55 FUNÇÃO DO º GRAU
CÁSSIO VIDIGAL 56 IFMG CAMPUS OURO PRETO 4) Construa o gráfico da função: 6 para para f 44) Construa o gráfico da função: 4 5 4 para para para f
RESPOSTAS ) b) ) c) ) d) e) 4) a) MATEMÁTICA I 57 FUNÇÃO DO º GRAU
f) g) SOLUÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro passo para resolver pelo método geométrico é escrever um sistema equivalente àquele dado porém isolando em ambas as equações. 4 4 Agora vamos construir os gráficos de cada umas das funções afins e o ponto de intersecção entre os dois gráficos será a solução do sistema. 4 Y 4 4-4 4-4 -4 4 h) 6) a) S = {(; )} Solução: S = {( ; )} 5) Resolução: SOLUÇÃO ANALÍTICA. Eistem diversas formas de se resolver analiticamente esta questão como, por eemplo, por substituição, por adição ou por comparação. Aqui vou resolver apenas por adição, mas você pode [e deve] escolher outra forma. = ( ) + = 6 { + = 4 + = 4 Fazendo + encontramos: 5 = = Substituindo em + = 4 = b) S = {( ; 4)} Solução: S = {( ; )} CÁSSIO VIDIGAL 58 IFMG CAMPUS OURO PRETO
c) S = Ø ) =. 4) a) = + b) = + 4 c) = d) = + 7) a) S = {(; )} b) S = {(; )} 8) Resolução Se estamos procurando uma equação de reta, então esta equação assumirá a forma de uma função afim do tipo = a + b. Desta forma, considerando que o ponto (, ) pertence à reta de equação = a + b, temos a sentença verdadeira = a + b a + b = Analogamente, para o ponto (, -) obtemos: - = a + b a + b = - Resolvendo, agora, o sistema a b a b encontramos a = - e b = 4. Substituindo a e b em = a + b, encontramos a equação procurada que, neste caso, é: = - + 4 b) = + c) = 5 d) = 9) Resolução A equação procurada é da forma = a + b. Se o coeficiente angular é, então a =. Substituindo =, = e a = em = a + b, vem: = + b b = Logo, a equação procurada é ) = ) =. ) = 4. = + 5) a) Crescente: ] - ; -7[, ]-6; -4[ e ]; [ Decrescente: ]-7; -6[ e ]-4; [ b) Crescente: ] -; [ e ]; [ Decrescente: ] - ; -[ e ]; [ c) Crescente: ] - ; [ e ]; [ 6) Demonstração 7) Crescente: a, b, e, f, g. Decrescente: c, d, h. 8) k > 5 9) a) Crescente para k > k > Constante para k = k = Decrescente para k < k < b) Cresc.: k > -5 Const.: k = -5 Decresc.: k < -5 c) Cresc.: k < 4 Const.: k = 4 Decresc.: k > 4 d) Cresc.: k > Const.: k = Decresc.: k < ) a) f() = para = - ou = ou = 4 ou = 7 f() > para < - ou < < 4 ou > 7 f() < para - < < ou 4 < < 7 b) f() = para = -4 ou = ou = 6 f() > para -4 < < MATEMÁTICA I 59 FUNÇÃO DO º GRAU
) a) f() < para < -4 ou < < 6 ou > 6 c) f() = para = - ou = ou = f() > para < - ou > f() < para - < < ou < < b) > para > = para =. { < para < > para < = para =. { < para > > para < 4 c) { = para = 4. < para > 4 > para > 5 d) { = para = 5. < para < 5 > para < 6 e) { = para = 6. < para > 6 > para > 9 f) = para = 9. g) { < para < 9 > para > = para =. { < para < > para < h) { = para =. < para > ) > 5 4 ) > 4 4) < 5) a) 5 b) > c) R 6) a) > b) c) R d) < e) 7) (Demonstração) 8) = 5 9) a)s = { R < < 4} b) S = { R < < } c) S = { R 4 } d) S = ) a) S = { R < < 5 } b)s = { R < 4} c)s = { R < < } d)s = e)s = { R < } f)s = { R > } ) a) S = { R < 4} b) S = { R } c) S = ) a) S = { R < ou > 5 } b) S = { R < 5 ou > } c) S = { R < ou < < } 4 5 d) S = { R < < 4 ou > 6} e) S = { R 7 ou } 6 f) S = { R 7 5 } g) S = { R 5 ou 4 } h) S = { R 4 5 ou 7 } ) a) S = { R } b) S = { R < 8 } c) S = CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
d) S = { R < 7 } e) S = R f) S = { R 5 } g) S = { 4 } h) S = { R 8 } 4) Solução: Estudaremos, separadamente, os sinais das funções f() = ( ) 5 e g() = ( + ) 6. Lembrando que potência de epoente ímpar e base real tem sinal da base então o sinal de ( ) 5 é igual ao sinal de, isto é: A potência de epoente par e base real não nula é sempre positiva, então ( + ) 6 é positivo se e é nulo se, isto é: Montando o quadro para estudo de sinais, temos: c) S = { R 6 ou = ou = 5 4 } d) S = { R ou = } 5 6) a) S = { R < ou > } b) S = { R < ou > } c) S = { R 5 < 4 } d) S = { R ou > } 7) a) S = { R < 7 8 ou > 4 } b) S = { R < ou > 4 } c) S = { R < } d) S = { R < } 8) a) S = { R < < ou > 4} 4 b) S = { R < 5 ou < < } 5 c) S = { R 4 5 ou 4 < 5 4 } d) S = { R < ou > 5} 9) a) S = { R < < 4 ou > } b) S = { R < < ou > } c) S = { R 4 < < } d) S = { R < 5 9 ou < } 4 e) S = { R 5 < < 9 ou > } 4 4 4 f) S = { R < ou < < ou > } g) S = { R < ou < 4) < ou } Assim, S = { R < ou } 5) a) S = { R } 7 b) S = { R < < } 5 MATEMÁTICA I 6 FUNÇÃO DO º GRAU
4) 4) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São Paulo, Ática, 4 MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 988 IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos da Matemática Elementar, Volume. São Paulo, Atual, 5ª edição Links para as vídeos-aulas sugeridas 4) Pág. 6 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ graficofg/ Pág. 5 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ estudosinalfg 44) Pág. 9 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ inequacao-produto/ CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO
MATEMÁTICA I 6 FUNÇÃO DO º GRAU Demonstração: Sejam A, B e C três pontos quaisquer distintos pertencentes ao gráfico cartesiano da função = a + b com a e (; ), (; ) e (, ), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos. Para provar que os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta, vamos mostrar, em princípio, que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Note que : b a f ; b a f ; b a f ; Fazendo, temos: 4 a b a b a Fazendo, temos: 5 a b a b a De 4, a a De 5, a a Assim, a Logo os triângulos ABD e BCE são semelhantes e assim, os ângulos e são iguais e, consequentemente A, B e C estão alinhados. Daí está provado que o gráfico da função afim é uma reta. Sabendo, agora, que o gráfico da função afim é uma reta e que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos, vamos usar deste recurso para construir tais gráficos. Veja nos eemplos a seguir.