CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 018.1 Trigonometria 1 Danielly Guabiraba- Engenharia Civil
Definição A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triangulo e Metrein = Mensuração Relação entre ângulos e distâncias; Origem na resolução de problemas práticos relacionados principalmente à navegação e à Astronomia.
Aplicações Encontramos aplicações diversas da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, entre outras; Exemplos: Altura de um prédio através de sua sombra; Largura de rios e montanhas; Distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo. 3
Classificação dos triângulos Quanto aos tamanhos dos lados Equilátero: 3 lados de mesmo comprimento; Isósceles: lados de mesmo comprimento; Escaleno: 3 lados de comprimentos diferentes. 4
Classificação dos triângulos Quanto as medidas dos ângulos: Acutângulo: 3 ângulos agudos (menores que 90 ); Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (maior que 90 ); Retângulo: 1 ângulo reto (90 ). 5
Trigonometria no Triangulo Retângulo Soma dos ângulos internos do triângulo retângulo: α + β + 90 = 180 α + β = 90 6
Trigonometria no Triangulo Retângulo Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Teorema de Pitágoras: a = b + c 7
Trigonometria no Triangulo Retângulo Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo: Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulo define-se 6 razões trigonométricas: seno = cateto oposto hipotenusa cosseno = cateto adjacente hipotenusa tangente = cateto oposto cateto adjacente 8
Trigonometria no Triangulo Retângulo Com base nas relações, verifica-se que: sen α = cos β; cos α = sen β; tg α = cotg β; cotg α = tg β. cossecante = hipotenusa cateto oposto secante = hipotenusa cateto adjacente cotangente = cateto adjacente cateto oposto 9
Exercício 1 Dado os triângulos abaixo, classifique-os quanto aos lados, aos ângulos e encontre os valores das incógnitas. y x 6 m b 7 m R.: X=8,m; Y=4,8m; =58,56. =45 ; a=43,84m; b=43,84m. a 10
Algumas relações encontradas 30 45 60 90 180 70 360 sen 1 3 1 0-1 0 cos 3 1 0-1 0 1 tg 3 3 1 3 0 0 11
Exercício Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a 100m da base, e obtém um ângulo de 30º,conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70m do solo, qual é aproximadamente a altura da torre? (Dados: sen(30º) = 0,5 ; cos(30º)= 0,87 e tg(30º)= 0,58. ) R.: h=58m; htotal=59,7m. 1
Exercício 3 Na construção de um telhado foram usadas telhas do tipo francesa e o seu caimento é de 0 em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa.(dados: sen(0º)=0,34 ; cos(0º)= 0,94 e tg(0º)=0,36). R.: X=,04m; htotal=5,04m. 13
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 018.1 Trigonometria Danielly Guabiraba- Engenharia Civil
Identidades Trigonométricas Definição: Equações envolvendo funções/relações trigonométricas verdadeiras para todas as variáveis envolvidas. São úteis para simplificar expressões que contenham funções trigonométricas 15
Identidades Trigonométricas sen β = c a c = sen β. a cos β = b a b = cos β. a dividindo os membros por a : b a + c a = 1 Teorema de Pitágoras a = b + c a = b + c a cos β + sen β = 1 16 TEOREMA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA
Identidades Trigonométricas tg β = c b tg β = a. sen(β) a. cos(β) tg β = sen(β) cos(β) cos(β) 0 cotg β = b c cotg β = a. cos(β) a. sen(β) cotg β = cosβ) sen(β) = 1 tg(β) sen(β) 0 sec β = a b sec β = a a. cos(β) sec β = 1 cos(β) cos(β) 0 cossec β = a c cossec β = a a. sen(β) cossec β = 1 sen(β) sen(β) 0 17
Identidades Trigonométricas tg²( ) + 1 = sec ²( ) Demonstração da identidade Trigonométrica: 1 sen²( ) cos ²( ) sec ²( ) = = + cos ²( ) cos ²( ) cos ²( ) sec(β) = tg(β) + 1 (c. q. d) 18
Identidades Trigonométricas 1 + cotg² ( β) = cossec² (β) Demonstração da identidade Trigonométrica: cossec ²( ) = 1 sen²( ) = sen²( ) sen²( ) cos ²( ) + sen²( ) cossec²(β) = cotg²(β) + 1 (c. q. d) 19
Exercício 4 a) Simplifique a expressão:. 1 + cot g cot g( x) y = 1+ cotg ( x) ( x) y = tg(x) b) Sendo cos( x) = 3 m e sen( x) = m, determine o valor de m. m= 0
Exercício 5 PROBLEMA!! Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica numa fazenda, precisou colocar dois postes em lados opostos de um lago. Contudo, um problema surgiu: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, mas a presença do lago impedia a medição direta. Realidade 1
Exercício 5 Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes. Com aparelhos apropriados, mediu-se o ângulo entre a linha de visão dele e os postes ( 10 ); a distâncias entre o poste mais afastado e o engenheiro (100m) e o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha entre os postes ( 45 ). Com essas informações o engenheiro pode calcular a distância desejada. Modelo Matemático COMO?
Exercício 5 O Triângulo AOB é obtusângulo e a resolução deste problema consiste em determinar a medida do lado AB. Para resolvê-lo vamos usar: Modelo Matemático LEI DOS SENOS 3
Lei dos Senos Relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. 4
Exercício 5 PROBLEMA!! (Resolução) 100 d 100 d = = d sen45º sen10º 3 100 3 d = Racionalizando: d = 50 6m = 100 3 5
Lei dos Cossenos Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras. Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles. 6
Exercício 6 Determine a medida do lado AC e a medida do ângulo com vértice em A da figura a seguir 7
Exercício 6 8
ARCO E ÂNGULO Arco: parte da circunferência delimitada por dois pontos. A Arco AB Ângulo central: todo arco possui um ângulo que o subtende. B Ângulo central AÔB Comprimento de circunferência: C = r 9
GRAUS Quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um grau (1º). B A A B 1 ângulo reto = 90 ângulos retos = 180 3 ângulos retos = 70 4 ângulos retos = 360 1 = 60 e 1 = 60 30
Exercício 7 Se α e β são arcos que medem, respectivamente, 83 30 39 e 1 43 45, determine a medida de α + β: Resposta: α + β = 96 14 4 31
Radianos B B Equivalência: rad = 180 o O R A 3
Exercício 8 Na circunferência da figura, de raio 9 cm, determinou-se, com os lados do ângulo central α, um arco de comprimento 10,8 cm. Calcule, em radianos, a medida de α: Resposta: α = 1,rad 33
Ciclo Trigonométrico 34
Seno e Cosseno 35
Seno e Cosseno 36
Tangente 37
Redução ao primeiro quadrante 38
Redução ao primeiro quadrante 39
Redução ao primeiro quadrante 40
Exercício 9 41
FÓRMULA DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS sen (a + b) = sen (a) + sen (b)? cos(a + b) = cos(a). cos(b) sen (a). sen (b) cos(a b) = cos(a). cos(b) + sen (a). sen (b) sen (a + b) = sen (a). cos(b) + sen (b). cos(a) sen (a b) = sen (a). cos(b) sen (b). cos(a) 4
Exercício 10 Usando as fórmulas de adição, determine: a) cos(135º) b) sen(5º) Resposta = cos(90+45)= - / Resposta = sen(180+45)= - / 43
ARCO DUPLO cos a = cos a sen a sen(a) =. sen a. cos a 44
ARCO METADE cos a = ± 1 + cos a a sen = ± 1 - cos a tg a = ± 1-1 + cos a cos a 45
TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO sen x + sen y =. sen x + y. cos x y sen x sen y =. sen x y. cos x + y cos x + cos y =. cos x + y. cos x y cos x cos y =. sen x + y. sen x y 46
Exercício 11 1) Transforme em produto a expressão sen(60 ) + sen(30 ). Resposta =.sen(45).cos(15) ) Transforme em produto a expressão cos(5x) + cos(3x). Resposta =.cos(4x).cos(x) 47
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