FLUXO DE CAIXA O estudo da matemática financeira é desenvolvido, basicamente, através do seguinte raciocínio: ao longo do tempo existem entradas de dinheiro (receitas) e saídas de dinheiro (desembolsos) nos caixas das empresas e nas finanças das pessoas. Essa circulação de valores é denominada, em seu conjunto, fluxo de caixa. Podemos representar em fluxo de caixa através do seguinte diagrama: (+) (+) (+) (+) 0 1 2 3 4 5... n tempo (-) (-) As receitas são sempre indicadas com setas voltadas para cima, seguidas do sinal positivo (+) e os desembolsos são sempre indicados com setas voltadas para baixo seguidas do sinal negativo (-). O eixo horizontal representa a linha do tempo iniciada a partir de uma data inicial (data zero); a unidade de tempo pode ser expressa em qualquer período (ano, mês, dia, etc). Se imaginarmos uma situação em que inicialmente foi feito um investimento R$ 10.000,00 para a compra de equipamentos para a empresa, e nos instantes 1, 2 e 3 houve receita de R$ 1.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 2.000,00 respectivamente. Posteriormente houve outro investimento de R$ 2.000,00 no instante 4 com nova receita de R$ 3.000,00 no instante 5. Poderemos representar esse fluxo nas tabelas abaixo ou pelo seguinte diagrama: Instantes Entradas Saídas 0 R$ 10.000,00 1 R$ 1.000,00 2 R$ 1.500,00 3 R$ 2.000,00 4 R$ 2.000,00 5 R$ 3.000,00 Instantes Ocorrências 0 R$ 10.000,00 1 +R$ 1.000,00 2 +R$ 1.500,00 3 +R$ 2.000,00 4 R$ 2.000,00 5 +R$ 3.000,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 31
VALOR PRESENTE LÍQUIDO VPL - (NPV Net Present Value) O cálculo do Valor Presente Líquido VPL/NPV - consiste em fazer o transporte de todas as ocorrências no fluxo de caixa para a data focal zero à taxa de juros considerada, verificando-se, nesta data, a diferença entre os valores positivos e negativos listados no fluxo. EXEMPLO RESOLVIDO Considere o fluxo de caixa que possui um investimento inicial no valor de R$ 1.200,00 proporcionando uma receita de R$ 400,00 no fim do primeiro período; R$ 450,00 no fim o segundo período e R$ 500,00 no fim do terceiro período. Calcule o Valor Presente Líquido do fluxo de caixa considerando uma taxa de 4% ao período. Resolução: Para a situação descrita anteriormente, temos o seguinte diagrama de fluxo de caixa: Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos: 400 i) 1 = R$ 384,62 (1,04) 450 ii) 2 = R$ 416,05 (1,04) 500 iii) 3 = R$ 444,50 (1,04) Valor total das entradas no caixa na data focal zero: R$ 384,62 + R$ 416,05 + R$ 444,50 = R$ 1.245,16 Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte Valor Presente Líquido: R$ 1.245,16 R$ 1.200,00 = R$ 45,16 O VPL pode ser calculado com uso de calculara financeira e planilha eletrônica Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 1200 CHS g CFo 400 g CFj 450 g CFj 500 g CFj 4 i f NPV MATEMÁTICA FINANCEIRA 32
TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR INTERNAL RATE RETURN) A Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa pode ser entendida como sendo a taxa de desconto que faz com que as Receitas Futuras descontadas a esta taxa se IGUALEM ao Investimento Inicial. Em outras palavras, é a taxa que proporciona o VPL/NPV de um investimento igual a zero. A TIR será obtida com auxílio de calculara financeira e planilha eletrônica. Considerando os dados da questão anterior, podemos calcular a TIR com auxílio da calculadora HP- 12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 1200 CHS g CFo 400 g CFj 450 g CFj 500 g CFj f IRR EXEMPLO RESOLVIDO Considerando os dados da questão anterior e sabendo que a Taxa Interna de Retorno do fluxo de caixa é igual a 5,9%, podemos calcular o seu Valor Presente Líquido que será igual a 0. Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos: 400 i) 1 (1,059) = R$ 377,72 450 ii) 2 (1,059) = R$ 401,26 500 iii) 3 (1,059) = R$ 421,02 Valor total das entradas no caixa na data focal zero: R$ 377,72 + R$ 401,26 + R$ 421,02 = R$ 1.200,00 Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte Valor Presente Líquido: R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 = R$ 0,00 FLUXOS DE CAIXA EQUIVALENTES Dois Fluxos de caixa são ditos equivalentes quando, ao transportarmos para uma mesma data e à mesma taxa de juros as entradas e saídas de cada um deles, as somas dos valores presentes encontrados for a mesma nos dois fluxos. Exemplo: Uma dívida deve ser resgatada em 4 meses por R$ 2.431,02. Entretanto, o devedor sugere a quitação da mesma em dois pagamentos, sendo o primeiro deles, daqui a três meses, de R$ 1.157,63 e o segundo, três meses depois, de R$ 1.340,10. Mostrar que o plano de pagamento proposto pelo devedor é equivalente ao original se considerarmos uma taxa de juros compostos de 5% a.m. MATEMÁTICA FINANCEIRA 33
Solução: Vamos transportar para a data focal zero cada um dos valores a serem pagos: 1º fluxo (do plano original) M = C(1+i) n 2431,02 = C (1+0,05) 4 C = R$ 2.000,00 2º fluxo (do plano sugerido pelo devedor) M 3 = C 3 (1+i) n 1157,63 = C 3 (1+0,05) 3 C 3 = R$ 1.000,00 M 6 = C 6 (1+i) n 1340,10 = C 6 (1+0,05) 6 C 6 = R$ 1.000,00 Valor Presente Líquido Total: R$ 2000,00 Como a soma dos capitais do segundo fluxo na da focal zero é igual ao capital do primeiro, na mesma data, podemos dizer que os dois fluxos são equivalentes. ATENÇÃO: No regime de juros compostos a escolha da data focal não altera a equivalência. Podemos, assim, optar pela data mais conveniente para os cálculos de cada problema. EXERCÍCIOS 01. Trace o diagrama de fluxo de caixa com as seguintes ocorrências: Uma saída de R$ 1.000,00 no início do 1º período; Uma entrada de R$ 800,00 no fim do 1º período; Uma saída de R$ 600,00 no fim do 2º período; Uma entrada de R$ 2.000,00 e uma saída de R$ 500,00 no fim do 3º período; Uma entrada de R$ 500,00 no fim do 5º período 02. Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro: Investimento inicial: R$ 1.000.000,00 Receita no final do 1º ano: R$ 300.000,00 Receita no final do 2º ano: R$ 450.000,00 Receita no final do 3º ano: R$ 620.000,00 Receita no final do 4º ano: R$ 740.000,00 Pede-se: b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 20% ao ano. c) A Taxa Interna de Retorno; MATEMÁTICA FINANCEIRA 34
03. Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro: Investimento inicial: R$ 80.000,00 Redução de custos no valor de R$ 30.000,00, porém, com despesas operacionais de R$ 10.000,00 no final do 1º ano; Redução de custos no valor de R$ 25.000,00 no final do 2º ano; Novo investimento no valor de R$ 10.000,00 no final do 3º ano, sem recuperação de receita; Duas receitas de R$ 30.000,00 ao final dos dois anos seguintes, respectivamente. Pede-se: b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 5,5% ao ano; c) A Taxa Interna de Retorno. 04. Considere o seguinte projeto de investimento com as respectivas previsões de receitas: O investimento inicial implica nas seguintes despesas: Aquisição e reforma de ponto comercial: R$ 120.000,00; Compra de móveis e utensílios e equipamentos de informática: R$ 100.000,00; Aquisição de cinco veículos ao custo unitário de R$ 25.000,00; Despesas com treinamento de pessoal: R$ 55.000,00 As projeções de faturamento líquido pretendido são: Receita no final do 1º ano: R$ 50.000,00 Receita no final do 2º ano: R$ 60.000,00 Receita no final do 3º ano: R$ 70.000,00 Receita no final do 4º ano: R$ 80.000,00 Receita no final do 5º ano: R$ 90.000,00 Receita no final do 6º ano: R$ 100.000,00 Pede-se: b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 12% ao ano; c) A Taxa Interna de Retorno. 05. Uma empresa estuda a possibilidade de abrir uma filial. Para isto está analisando as seguintes projeções: O investimento inicial implica nas seguintes despesas: Aquisição e reforma de ponto comercial: R$ 90.000,00; Compra de móveis e utensílios e equipamentos de informática: R$ 50.000,00; Diversas outras despesas iniciais: R$ 40.000,00; Projeções de faturamento: Receita no final do 1º ano: R$ 55.000,00 Receita no final do 2º ano: R$ 55.000,00 Receita no final do 3º ano: R$ 60.000,00 Receita no final do 4º ano: R$ 65.000,00 Receita no final do 5º ano: R$ 70.000,00 Receita no final do 6º ano: R$ 75.000,00 A partir do 1º ao 6º ano, irá pagar encargos no valor de R$ 15.000,00 ao ano. Assim sendo, pede-se: b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 12% ao ano; c) A Taxa Interna de Retorno. 06. Calcule a Taxa Interna de Retorno para as seguintes alternativas, a partir de um investimento inicial de R$ 50.000,00: MATEMÁTICA FINANCEIRA 35
ALTERNATIVA RETORNO PRAZO A R$ 2.500,00 24 MESES B R$ 1.500,00 38 MESES C R$ 2.000,00 30 MESES 07. Três dívidas: a primeira no valor de R$ 1.500,00 vencível em 2 meses; a segunda de R$ 2.060,00 com vencimento para 6 meses e a terceira igual a R$ 2.652,25 a vencer em 7 meses. Qual o valor do título único, com vencimento para 5 meses, que substitui os três anteriores, sendo a taxa de juros compostos utilizada na negociação igual a 3% ao mês? 08. Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. 09. Considere uma nota promissória no valor de R$ 24.333,06 a ser resgatada em 5 meses. Desejase substituí-la por outras três com vencimentos respectivamente para trinta, noventa e cento e cinqüenta dias. Depois de alguns cálculos com taxa de juros de 4% ao mês, o credor propõe nas respectivas datas, o pagamento de R$ 7.000,00, R$ 8.500,00 R$ 6.950,45, sob o argumento de que a proposta atual é equivalente à anterior. Verifique se as duas opções de pagamento são realmente equivalentes e justifique sua resposta. 10. Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$ 30.000,00 vence em 6 meses. À taxa de juros compostos de 5% ao mês e considerando um desconto racional, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de 3 meses. 11. Tem-se um título no valor de R$ 20.000,00 vencível em 7 meses. Deseja-se substituí-lo de maneira equivalente, por outros três de igual valor, com vencimento para 2, 4 e 6 meses respectivamente, com taxa de 2% ao mês de juros compostos. Assim sendo, qual deverá ser o valor desse pagamento? 12. Tem-se um título no valor de R$ 30.000,00 vencível em 5 meses. Deseja-se substituí-lo de maneira equivalente, por outros três de igual valor, com vencimento para 1, 3 e 7 meses respectivamente, com taxa de 3% ao mês de juros compostos. Assim sendo, qual deverá ser o valor desse pagamento? 13. Tem-se um título no valor de R$ 40.000,00 vencível em 3 meses. Deseja-se substituí-lo de maneira equivalente, por outros três de igual valor, com vencimento para 2, 4 e 6 meses respectivamente, com taxa de 5% ao mês de juros compostos. Assim sendo, qual deverá ser o valor desse pagamento? 14. Uma pessoa tem uma dívida no valor de R$ 50.000,00 vencível em 6 meses. Verificando suas contas, constatou dificuldade para efetuar o pagamento da mesma na data marcada. Por isso, deseja substituí-la de maneira equivalente, por outros quatro pagamentos, sendo, três iguais, com vencimento para 2, 4 e 8 meses, e outro de valor igual a R$ 3.500,00 com vencimento para 10 meses. Em todas as negociações será adotada a taxa de juros compostos igual a 2% ao mês. Assim sendo, qual deverá ser o valor igual dos três pagamentos? 15. Uma pessoa tem uma dívida no valor de R$ 50.000,00 vencível em 5 meses. Verificando suas contas, constatou dificuldade para efetuar o pagamento da mesma na data marcada. Por isso, deseja substituí-la de maneira equivalente, por outros quatro pagamentos, sendo, três iguais, com vencimento para 2, 3 e 10 meses, e outro de valor igual a R$ 5.000,00 com vencimento para 7 meses. Em todas as negociações será adotada a taxa de juros compostos igual a 2% ao mês. Assim sendo, qual deverá ser o valor igual dos três pagamentos? MATEMÁTICA FINANCEIRA 36