Modelos Discretizados de Dimensão Reduzida para Análise Dinâmica Não-Linear de Vigas e Pórticos Planos.

Elvidio Gavassoni Neto Modelos Discretizados de Dimensão Redzida para Análise Dinâmica Não-Linear de Vigas e Pórticos Planos. Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como reqisito parcial para obtenção do títlo de Mestre pelo Programa de Pós- Gradação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Orientadores: Palo Batista Gonçalves Deane de Mesqita Roehl Rio de Janeiro Agosto de 7

Elvidio Gavassoni Neto Modelos Discretizados de Dimensão Redzida para Análise Dinâmica Não-Linear de Vigas e Pórticos Planos. Dissertação apresentada como reqisito parcial para obtenção do títlo de Mestre pelo Programa de Pós- Gradação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Eaminadora abaio assinada. Palo Batista Gonçalves Orientador Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Deane de Mesqita Roehl Orientadora Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Ricardo Azobel da Mota Silveira UFOP Ral Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio José Egênio Leal Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro de Agosto de 7

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodção total o parcial do trabalho sem atorização da niversidade do ator e do orientador. Elvidio Gavassoni Neto Formo-se técnico em agrimensra pelo Centro Federal de Edcação Tecnológica do Espírito Santo em 996. Grado-se pela Universidade Federal do Espírito Santo em 5. Ficha Catalográfica Gavassoni Neto Elvidio Modelos discretizados de dimensão redzida para análise dinâmica não-linear de vigas e pórticos planos / Elvidio Gavassoni Neto ; orientadores: Palo Batista Gonçalves Deane de Mesqita Roehl. 7. 6 f. : il. ; cm Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 7. Incli bibliografia CDD: 6

Agradecimentos Ao escrever estas qe apesar de aparecerem no início são as últimas palavras qe acrescento a este teto povoa-me a mente ma diversidade de sentimentos qase qe contraditórios. Entretanto enqanto reflito ao ler os belos versos de Elliot a contradição desaparece e aqilo qe parecia m paradoo na verdade se mostra algo completo ma insitada manifestação de m sentimento recorrente a todas as mdanças da vida pois: What e call the beginning is often the end \ And to make an end is to make a beginning. \ The end is here e start from (Little Gidding V). O verbo agradecer sempre vem acompanhado do verbo recordar. Sigo portanto nestes parágrafos o conselho contido nos versos do Hino aos Bandeirantes Deie atrás o presente: Olha o passado à frente!. Talvez por isso a atenção ecessiva ao relógio possa nos impedir de bscar ma bússola. Deste modo se aprofnda em significado a palavra orientador pois foi jstamente por das boas bússolas qe o relógio não inviabilizo a conclsão deste trabalho. Ao me referir aos mes orientadores faz-se necessário apontar qe igalmente em importância eles permearam este tempo de dissertação. À Professora Deane pelo bom-hmor e acessibilidade desde o período em qe crsei os créditos. Por ser teimosa o sficiente para não desistir de me ensinar qe há ma stil mas real diferença entre teimosia e persistência. Pelo aílio drante me estágio de docência. Pela coragem de sempre qe oportno não ter se mantido eticamente mda ensinando-me mais do qe métodos nméricos para engenharia mas confirmando-me a lição qe a vida é mais qe ma carreira e qe certas coisas têm valor e não preço. Ao Professor Palo por ser a pessoa de maior gentileza qe já conheci. A gentileza do Palo não é linear-hierárqica mas generosamente constante. Pelo respeito e tranqüilidade. Pela boa-vontade e acessibilidade em me acdir em minhas dúvidas sempre com m sorriso. Por ter me ensinado além de sas palavras qe eistem otras coisas qe podem e devem ser redzidas além da

dimensão dos problemas dinâmicos não-lineares como o ego a impaciência e a irritação. Ao apoio financeiro da Capes e da PUC-Rio. Aos professores e fncionários da PUC-Rio e à Rita por sempre me socorrer. A mes professores qe honraram este títlo e amigos da gradação cja inflência vai além da sperfície do qe so entre eles Kátia Andréa e Jliane. A person is poor hen he is friendless bt even poorer hen he ceases being a friend. (M. J. Ashton). Àqeles qe me fazem mais rico e comigo dividem o convívio da sala 67D ( favelinha highest level ). À Bê ( top gatas Ipatinga ) pela implicância e disposição em ajdar e à Marianna pelo incentivo. À Elaine pelo companheirismo drante os créditos desde a pilha de maçã verde até hoje. Ao me amigo Edardo Arregy ( Petroboy ) pelo companheirismo em todo o caminho desde a gradação embora estejamos agora trilhando caminhos diferentes o respeito contina e a admiração perdra. Aprendi desde cedo qe a amizade nasce da admiração tenho sete grandes razões para reafirmar minha crença nesse princípio. Ainda mais porqe o número sete é desde a antigidade símbolo de completde e perfeição. Esses sete desmistificaram a afirmação de ser o mestrado ma caminhada de m só. Ao amigo Roberto ( Roinol ) por sa calma inteligência e caráter. Por conhecer a eloqüência do silêncio e a nobreza do ovir. Ao amigo Bazan pelo se entsiasmo qe só não é maior qe o número de consoantes do se pré-nome. Ao amigo Slongo ( aristocracia pra ) por fazer das diferenças entre ele e ses amigos m aprendizado e das semelhanças laços consolidados; por ter a invlgar sabedoria de saber não somente aqilo qe qer mas também o qe não qer. À peqena amiga Vivian pela alegria de viver e contentamento em servir. À amiga Amanda por sa bondade e doçra por sa sinceridade e solicitde. À Jociléia pela sa preza pela sa prontidão no servir e pela sa simplicidade qe de tão rara é se maior dom. À amiga Lorena pela sa natralidade generosidade e tremendo companheirismo.

Or intellectal and active poers increase ith or affections." (R.W.Emerson). Por isso agradeço ao Stanley cjo nome é para mim a própria definição da palavra amizade. À Beta pelo se amor e por jstificar o fato desta cidade ser chamada de maravilhosa. Ao me irmão Rodolfo cja admiração incondicional é me maior incentivo. Ao pai pelo eemplo e por se amor. Ao me padrasto pela serenidade e paciência. À vó pela sabedoria e por ser a pessoa mais inteligente qe conheço. Ao anjo qe é a minha mãe a qem devo tdo o qe so e o qe qero ser! Ao Pai celestial por ser ator e aperfeiçoador de todos estes pois sem Ele nada do qe foi feito se fez! Voltando a Elliot: Every phrase and every sentence is an end and a beginning Até porqe para agradecer não eistem pontos finais somente vírglas

Resmo Gavassoni Neto Elvidio; Gonçalves Palo Batista; Roehl Deane de Mesqita. Modelos Discretizados de Dimensão Redzida para Análise Dinâmica Não-Linear de Vigas e Pórticos Planos. Rio de Janeiro. 6p. Dissertação de Mestrado Departamento de Engenharia Civil Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Um dos resltados fndamentais na mecânica clássica é qe para sistemas lineares com n gras de liberdade eistem n modos de vibração ortogonais e qe as freqüências natrais são independentes da amplitde de vibração. Além disso qalqer movimento da estrtra pode ser obtido como ma combinação linear desses modos. No caso de sistemas não-lineares isto não mais se verifica e a relação entre freqüência amplitde e os modos de vibração precisa ser determinada. A obtenção dessas informações para estrtras se dá em geral pelo so de programas de análise não-linear baseados em ma formlação em elementos finitos. Contdo isto é m procedimento cstoso comptacionalmente. Uma abordagem mais viável é o so de modelos discretos compatíveis de baia dimensão por meio dos qais as freqüências e os modos não-lineares são obtidos. Neste trabalho é proposto m procedimento para a derivação de modelos de redção de dimensão para vigas e pórticos planos esbeltos. As eqações diferenciais de movimento são obtidas a partir da aplicação das técnicas variacionais a m fncional não-linear de energia. A obtenção do modelo se dá através do emprego dos métodos de Ritz o Galerkin para a redção espacial e do balanço harmônico para redção no tempo. Os modos lineares são tilizados como ma primeira aproimação para os modos não-lineares. As relações freqüência-amplitde são satisfatoriamente obtidas para vibrações livre e forçada (não-amortecida e amortecida). Entretanto essas crvas apresentam em geral no regime não-linear pontos limites sendo obtidas portanto com so do método do controle de comprimento de arco. Uma correção para o modo-linear é obtida com so dos métodos dos elementos finitos e da pertrbação. Um estdo paramétrico e das condições de contorno é apresentado para vigas. O comportamento não-linear de pórticos em L é também analisado. Para esses pórticos é estdada a inflência de cargas aiais e da geometria. Os resltados são comparados com solções analíticas encontradas na literatra.

Palavras-chave Vigas pórticos planos vibração não-linear controle do comprimento de arco modelo redzido.

Abstract Gavassoni Neto Elvidio; Gonçalves Palo Batista; Roehl Deane de Mesqita. Lo-Dimensional Redced Order Models for the Nonlinear Dynamic Analysis of Beams and Plane Frames. Rio de Janeiro. 6p. MSc. Dissertation Civil Engineering Department Catholic University PUC-Rio One of the fndamental reslts in classical mechanics is that linear systems ith n degrees of freedom have n orthogonal vibration modes and n natral freqencies hich are independent of the vibration amplitde. Any motion of the system can be obtained as a linear combination of these modes. This does not hold for nonlinear systems in hich case amplitde dependent vibrations modes and freqencies mst be obtained. One ay of obtaining these informations for arbitrary strctres is to se a nonlinear finite element softare. Hoever this is a cmbersome and time consming procedre. A better approach is to derive a consistent lo dimensional model from hich the nonlinear freqencies and mode shapes can be derived. In this ork a procedre for the derivation of lo dimensional models for slender beams and portal frames is proposed. The differential eqations of motion are derived from the application of variational techniqes to a nonlinear energy fnctional. The linear vibration modes are sed as a first approimation for the nonlinear modes. The Galerkin and Ritz methods are sed in the model for the spatial redction and the harmonic balance method for the redction in time domain. This allos the analysis of the free and forced (damped or ndamped) vibrations of the strctre in non-linear regime. Hoever nonlinear resonance crves sally presents limit points. To obtain these crves a methodology for the soltion of non-linear eqations based on an arc-length procedre is derived. Based on the finite element methods and sing the basic ideas of the pertrbation theory a correction for the nonlinear vibration modes is derived. The inflence of bondary conditions geometric and force parameters on the beam response is analyzed. The behavior of L frames is stdied. For this kind of frame the inflence of aial loading and geometric parameters on the response is stdied. The reslts are compared ith analytical soltions fond in the literatre.

Keyords model. Beams plane frames nonlinear vibration arc-length control redced

Smário Introdção.. Objetivo 8.. Organização do trabalho 8 Formlação geral 9.. Princípio de Hamilton.. Formlação para vigas.. Formlação para pórticos 5 Vigas biapoiadas.. Análise linear... Solção analítica... Método dos elementos finitos... Métodos de Ritz e Galerkin 5... Comparação entre os resltados 6.. Análise não-linear 8... Métodos de pertrbação 8... Método de Lindstedt-Poincaré 9... Métodos de Ritz e Galerkin 5... Método do balanço harmônico 5... Método do controle do comprimento de arco 5..5. Redção espacial tilizando a solção analítica 55..5.. Vibração livre 56..5... Inflência do parâmetro η 57..5.. Vibração forçada não amortecida 57..5... Inflência da amplitde do carregamento harmônico 59..5.. Vibração forçada amortecida 59..5... Inflência do fator de amortecimento 6..5... Inflência do parâmetro η 6..5... Inflência da amplitde da carga eterna 65

..6. Redção espacial tilizando fnções polinomiais 67..7. Correção não-linear 68..7.. Fnções trigonométricas 68..7.. Fnções polinomiais 7 Vigas com otras condições de apoio 78.. Condições de contorno 78.. Análise linear 79.. Análise não-linear 8... Vibração livre 8... Vibração forçada não-amortecida 8... Vibração forçada amortecida 85... Correção não-linear 89... Viga apoiada-engastada 89... Viga biengastada 9 5 Pórticos planos 95 5.. Análise linear 96 5.. Análise não-linear 98 5... Vibração livre 5... Vibração forçada não amortecida 5... Vibração forçada amortecida 5... Inflência da carga aial P 6 5... Inflência da geometria do pórtico 7 5... Carregamento aial em ambas as barras 6 Conclsões e sgestões 6.. Conclsões 6.. Sgestões 5 7 Referências Bibliográficas 6 Apêndice A Termos das eqações diferenciais de movimento para pórticos

Apêndice B Algoritmo tilizando método do controle do comprimento de arco 6 Aneo I Formlação em elementos finitos Aneo II Relações trigonométricas 6

Lista de figras Figra - Elemento diferencial da viga antes e após a deformação Figra - Elemento de viga-colna sob ação de carregamento aial e transversal 7 Figra - Primeiros qatro modos de vibração de ma viga biapoiada Figra - Elemento de viga nidimensional Figra - Aproimações polinomiais para o primeiro modo de vibração linear de ma viga biapoiada efeito da discretização Figra - Aproimações polinomiais para o primeiro modo de vibração linear de ma viga biapoiada efeito do gra do polinômio elementos finitos 5 Figra -5 Crva de ressonância na forma adimensional para vibração livre η= 5 Figra -6 Interpretação geométrica da eqação de restrição 5 Figra -7 Flograma para o método do comprimento de arco 56 Figra -8 Comparação entre as respostas freqüência-amplitde para vibração livre obtida pelos métodos de Lindstedt-Poincaré e Galerkin/Balanço Harmônico 57 Figra -9 Inflência do parâmetro η na vibração livre 58 Figra - Resposta freqüência-amplitde para vibração forçada não amortecida 59 Figra - Inflência da amplitde da carga harmônica na vibração forçada não amortecida 6 Figra - Resposta das amplitdes para vibração forçada amortecida 6 Figra - Resposta freqüência-amplitde para vibração amortecida 6 Figra - Inflência do fator de amortecimento na resposta freqüênciaamplitde 6 Figra -5 Seção transversal da viga de aço 6 Figra -6 Inflência do valor de h na resposta freqüência-amplitde da vibração forçada amortecida 6 Figra -7 Inflência do valor de L na resposta freqüência-amplitde da vibração forçada amortecida 65

5 Figra -8 Inflência da amplitde adimensional da carga eterna nas crvas de ressonância para vibração amortecida 66 Figra -9 Inflência da amplitde da carga eterna na forma dimensional nas crvas de ressonância para vibração amortecida 66 Figra - Comparação entre o so de polinômio e a fnção senoidal para obtenção da relação freqüência-amplitde para vibração amortecida 67 Figra - Resposta de X para vibração amortecida com correção não-linear 7 Figra - Resposta de X para vibração amortecida com correção não-linear 7 Figra - Resposta de X para vibração amortecida com correção não-linear 7 Figra - Resposta de X para vibração amortecida com correção não-linear 7 Figra -5 Resposta freqüência-amplitde para vibração amortecida tilizando correção não-linear 7 Figra -6 Comparação da resposta freqüência-amplitde para vibração amortecida com e sem correção não-linear 7 Figra -7 Comparação entre as fnções trigonométrica e polinomial tilizada para a correção não-linear 7 Figra -8 Comparação entre as respostas com correção obtida pelo so das fnções trigonométrica e das polinomiais 75 Figra -9 Comparação entre as respostas com e sem correção 76 Figra - Comparação entre as respostas corrigidas tilizando as fnções combinadas o separadamente 77 Figra - Modos de vibração para vigas com diversas condições de apoio 79 Figra - Variação da freqüência natral de ma viga com apoios elásticos em fnção da rigidez rotacional da mola em escala logarítmica 8 Figra - Resposta freqüência-amplitde de ma viga engastada-livre 8 Figra - Resposta freqüência-amplitde de ma viga engastada-apoiada 8 Figra -5 Resposta freqüência-amplitde de ma viga biengastada 8 Figra -6 Inflência das condições de apoio na resposta freqüência-amplitde 8 Figra -7 Inflência das condições de apoio na resposta freqüência-amplitde para vibração forçada não-amortecida 85 Figra -8 Inflência das condições de apoio na relação freqüência-amplitde - X para vibração forçada amortecida 86 Figra -9 Inflência das condições de apoio na relação freqüência-amplitde - X para vibração forçada amortecida 86

6 Figra - Inflência das condições de apoio nas crvas de ressonância para vibração forçada amortecida 87 Figra - Inflência dos valores da constante da mola na relação freqüênciaamplitde - X para vibração forçada amortecida 87 Figra - Inflência dos valores da constante da mola na relação freqüênciaamplitde - X para vibração forçada amortecida 88 Figra - Inflência dos valores da constante da mola nas crvas de ressonância para vibração forçada amortecida 88 Figra - Gráficos de p () e p () para viga engastada-apoiada 89 Figra -5 Resposta freqüência-amplitde para vibração forçada amortecida para viga engastada-apoiada tilizando correção não-linear 9 Figra -6 Inflência da correção na resposta freqüência-amplitde para vibração forçada amortecida de vigas engastada-apoiadas 9 Figra -7 Resposta freqüência-amplitde para vibração forçada amortecida de viga engastada-apoiada tilizando correção não-linear com ma e das fnções 9 Figra -8 Gráficos de p () e p () para viga biengastada 9 Figra -9 Resposta freqüência-amplitde para vibração forçada amortecida para viga biengastada tilizando correção não-linear 9 Figra - Inflência da correção na resposta freqüência-amplitde para vibração forçada amortecida de vigas biengastadas 9 Figra - Resposta freqüência-amplitde para vibração forçada amortecida de viga biengastada tilizando correção não-linear com ma e das fnções 9 Figra 5- Pórtico de Roorda sem imperfeições iniciais 95 Figra 5- Elemento de viga-colna de comprimento l e 96 Figra 5- Compatibilidade de deslocamentos nodais 97 Figra 5- Seção transversal das barras do pórtico 97 Figra 5-5 Modo fndamental de vibração livre do pórtico em L 98 Figra 5-6 Fnção sada para aproimar o modo aial de vibração para barra c Figra 5-7 Fnção sada para aproimar o modo aial de vibração para barra b Figra 5-8 Variação de X com a freqüência para vibração livre Figra 5-9 Variação de X com a freqüência para vibração livre

7 Figra 5- Variação de X com a freqüência para vibração forçada não amortecida Figra 5- Variação de X com a freqüência para vibração forçada não amortecida Figra 5- Variação de X com a freqüência para vibração forçada amortecida Figra 5- Variação de X com a freqüência para vibração forçada amortecida 5 Figra 5- Variação de X com a freqüência para vibração forçada amortecida 5 Figra 5-5 Variação de ω /Ω com o parâmetro de carga λ 6 Figra 5-6 Inflência do parâmetro λ nas crvas de ressonância para vibração livre 7 Figra 5-7 Inflência do parâmetro λ nas crvas de ressonância para vibração forçada amortecida 8 Figra 5-8 Inflência do parâmetro γ nas crvas de ressonância para vibração livre 9 Figra 5-9 Inflência do parâmetro γ nas crvas de ressonância para vibração forçada amortecida 9 Figra 5- Inflência do parâmetro γ na resposta ω /ω - X para vibração livre Figra 5- Inflência do parâmetro γ na resposta ω /ω X para vibração livre Figra 5- Pórtico de Roorda com ambas as barras carregadas aialmente Figra 5- Inflência do carregamento aial nas crvas de ressonância para vibração forçada amortecida Figra 5- Inflência de λ nas crvas de ressonância para vibração forçada amortecida

Lista de tabelas Tabela -Comparação dos resltados de freqüências (ω n /Ω) obtidos pelos métodos analíticos e nméricos 7 Tabela - Resltados de ω n /Ω obtidos pelo método dos elementos finitos e pela solção analítica para diversas condições de apoio 8 Tabela - Fnções polinomiais para vários conjntos de condições de apoio 8 Tabela 5- Freqüências natrais de vibração para o pórtico em L 98

Lista de Símbolos a Eqação de restrição ; A Área da seção transversal; c Constante de amortecimento por nidade de comprimento; c cr Constante de amortecimento crítico; c i Constantes da solção da eqação diferencial de movimento linear; e Espessra de perfis tblares; E Módlo de elasticidade; f Vetor de forças generalizadas; h Altra da seção transversal; I Momento de inércia da seção transversal; J Fncional de energia; k Rigidez rotacional de ma mola; k Rigidez rotacional de ma mola na forma adimensional; K Matriz de rigidez elástica no método dos elementos finitos; K Matriz de rigidez elástica nos métodos de Ritz e Galerkin; Kg Matriz de rigidez geométrica no método dos elementos finitos; K t Eqivalente à matriz de rigidez tangente; L Comprimento de m elemento estrtral; l e Comprimento de m elemento finito L g Lagrangeano; M Matriz de massa no método dos elementos finitos; M Matriz de massa nos métodos de Ritz e Galerkin; N i () Fnções de forma; p i () Polinômios tilizados para aproimação dos modos de vibração lineares e sas correções não-lineares; P. Carga estática de compressão; P cr Carga crítica de ma colna biapoiada; P L Carga crítica de m pórtico em L; P(t) Carregamento dinâmico; P Razão entre EA e P cr ;

q(t) Parte da solção temporal do deslocamento; q t Derivada do vetor de eqações não-lineares em relação ao parâmetro de nível de freqüência. r Raio de giração; s Coordenada ao longo do eio deformado; t Variável para indicar o tempo; T Energia cinética; T ij Termos da eqação diferencial de movimento para pórticos; T ij Termos da eqação diferencial adimensional de movimento para pórticos; Deslocamento aial; i Gras de liberdade no método dos elementos finitos; Deslocamento aial adimensional; U Energia de deformação interna; V Potencial das cargas eternas; Deslocamento transversal; Deslocamento transversal adimensional; W Trabalho realizado por forças conservativas; W nc Trabalho realizado por forças não conservativas; Eio aial do elemento estrtral; Coordenada aial de m elemento diferencial após deformação; X Vetor de amplitdes dimensionais dos modos de vibração; X Amplitde da carga harmônica eterna; X c Amplitde da parte co-senoidal da carga harmônica eterna; X s Amplitde da parte senoidal da carga harmônica eterna; X Amplitde adimensional dos modos de vibração; X Parâmetro adimensional de carregamento dinâmico; z Eio transversal ao elemento estrtral; z Coordenada transversal do elemento diferencial após deformação; α Parâmetro adimensional de freqüência; β Parâmetro adimensional de amortecimento; β ânglo entre o eio indeformado e deformado; β b Rotação nodal da barra de pórtico horizontal;

β c Rotação nodal da barra de pórtico vertical; χ Mdança de crvatra da linha netra; δ Variação drante m dado intervalo de tempo; δλ f Correção do incremento do parâmetro de nível de freqüência; δx Correção do incremento de amplitde; Encrtamento de m elemento estrtral; l Comprimento de arco. λ f Variação do parâmetro de nível de freqüência de arco. X Variação da amplitde. ε Deformação aial; φ f Ânglo de fase ; φ() Fnção qe representa a parte espacial do deslocamento transversal dimensional; φ() Fnção qe representa a parte espacial do deslocamento transversal adimensional; η Parâmetro adimensional sado para indicar esbeltez do elemento; κ Parâmetro adimensional dado pelo qadrado da razão entre L e rπ; λ Razão entre P e P cr; λ f Parâmetro de nível de freqüência ; Π Energia potencial total; θ() Fnção qe representa a parte espacial do deslocamento aial dimensional; ρ Massa específica; τ Parâmetro adimensional da coordenada temporal; ω Freqüência de oscilação do sistema; ω Freqüência natral de oscilação do sistema; Ω Freqüência natral de ma viga biapoiada; Ω Freqüência natral de m pórtico em L qando λ=; ξ Fator de amortecimento; ψ Parâmetro de escala; Ψ Vetor de eqações algébricas não-lineares; Parâmetro adimensional da coordenada aial.

"...life is not lineal bt eperiential not chronological bt developmental. We live in deeds not days; in service not seasons." (Elder N. A. Maell)

Introdção O so de sistemas estrtrais esbeltos tem se difndido grandemente em número e aplicabilidade nos diversos campos da engenharia. Esses sistemas estrtrais são geralmente formados por vigas barras pórticos treliças placas e cascas. Em face da relevância qe esses elementos têm para grande parte das estrtras modernas engenheiros devem ter m bom conhecimento do se comportamento estrtral qando sbmetidos a carregamentos estáticos o dinâmicos. No caso específico de carregamento dinâmico o emprego de estrtras com m valor cada vez mais alto na relação entre resistência e peso faz srgir ma série de fenômenos relativamente compleos no se comportamento qando comparado àqele eibido por estrtras convencionais. Este comportamento pode em geral ser matematicamente descrito por eqações diferenciais parciais de movimento. Somente a m nível relativamente alto de aproimação e m gra elevado de especificação podem-se obter solções eatas de forma fechada (Mickens 98; Kahn e Zarmi ). A perda de generalização e relativa precisão casadas pelo so dessas abordagens simplificadoras mitas vezes não correspondem às necessidades de m engenheiro em prever e lidar com fenômenos qe freqüentemente srgem qando o so de estrtras esbeltas está presente. Além disto as hipóteses feitas na obtenção destas abordagens em geral não representam em níveis aceitáveis as características e comportamento de estrtras mais leves. A representação do comportamento dinâmico-estrtral de problemas mecânicos por meio de eqações linearizadas é m eemplo da insficiente capacidade de se captrar e descrever todos os fenômenos tipicamente presentes em estrtras esbeltas. O domínio em qe são válidas as teorias lineares para estdos de vibrações é limitado a amplitdes peqenas comparadas à espessra do elemento estrtral em vibração. Entretanto com o so de estrtras cada vez mais esbeltas e máqinas modernas cada vez mais rápidas vibrações de grande

amplitde podem ocorrer para freqüências de vibração próimas às freqüências de ressonância (Benamar et alli 99). Entre os fenômenos qe a formlação linearizada de problemas dinâmicos é insficiente para descrever encontram-se: a relação de dependência entre freqüência e amplitde saltos dinâmicos oscilações sb-harmônicas e sperharmônicas valores múltiplos na resposta freqüência-amplitde correspondendo a configrações múltiplas de eqilíbrio ressonâncias combinadas interação modal e movimentos caóticos (Nayfeh and Mook 979; Sathyamoorthy 997; Azrar et alli 999). Uma análise qe se destine então a captrar e representar adeqadamente esses fenômenos precisa levar em conta cidadosamente as fontes de nãolinearidade do problema. A metodologia mais largamente empregada para efetar ma análise deste tipo é por meio do emprego de sofares baseados em ma formlação em elementos finitos. Entretanto eistem algmas desvantagens no so de formlações baseadas em elementos finitos mesmo para modelos matemáticos relativamente simples. Como o princípio da sperposição dos efeitos não é valido para problemas não-lineares srgem nestes problemas acoplamentos (como o eistente entre deslocamentos transversais e aiais em eios e vigas de rolamento). Neste caso modelos de elementos finitos reqerem m número elevado de gras de liberdade para assegrar a obtenção de ma representação dinâmica completamente adeqada demandando m amento considerável de tempo e de esforço comptacional para obtenção de sa solção (Ribeiro e Petyt 999; Pesheck et alli ; Galvão ). Uma metodologia commente tilizada para contornar esta dificldade é determinar a solção de eqilíbrio para o modelo não-linear completo e então linearizar o modelo em torno desta solção. Dmir e Bhaskar (988) entretanto afirmam qe esta abordagem ignora termos não-lineares relevantes à análise dinâmica o qe pode levar a ma descrição imprecisa no comportamento predito do sistema estdado. Análises realizadas com softares cja formlação está baseada em elementos finitos são inapropriadas para ma análise paramétrica dos fatores mais relevantes na vibração de estrtras com comportamento não-linear já qe a solção é obtida especificamente para m conjnto de dados em particlar.

5 Uma alternativa qe visa sperar estas dificldades é o emprego de modelos de ordem redzida com pocos gras de liberdade qe sejam capazes de captrar a dinâmica essencial do sistema. Segndo Rega e Troger (5) modelagem nmérica simlação eperimental e mesmo rigorosa análise matemática mostram qe para algns sistemas ma descrição precisa do se comportamento assintótico pode ser sficientemente obtida pela redção do espaço originalmente de alta dimensão (infinita no caso de estrtras contínas) para m espaço de dimensão mito menor. Essa abordagem simplifica a análise não-linear de vibração e reqer menos tempo qe modelagens baseadas em elementos finitos. Além disto torna-se também possível m estdo paramétrico mais profndo das fontes relevantes nos fenômenos qe srgem qando o comportamento não-linear é estdado. Na redção de dimensão de m problema dinâmico de ma estrtra contína deve-se lembrar qe a redção pode ser feita tanto na parte temporal qanto na parte espacial. De acordo com Qaisi (99) no estdo de vibrações de estrtras geometricamente não-lineares das abordagens distintas são commente empregadas na redção das variáveis geométricas e temporais do problema. No primeiro os métodos de redção são empregados inicialmente na parte espacial dos problemas. Neste caso a abordagem mais freqüente assme qe os modos não-lineares de vibração têm a mesma forma dos lineares e as eqações de eqilíbrio qe governam o movimento são redzidas então a eqações diferenciais ordinárias temporais qe no caso de formlação para vigas com nãolinearidade cúbica resltam em eqações do tipo Dffing cja solção eata eiste na forma de integrais elípticas. Na segnda abordagem a parte temporal da solção é assmida como periódica redzindo assim as eqações de movimento a eqações não-lineares nas variáveis geométricas do espaço. Uma terceira abordagem é aplicar a redção da dimensão em ambas as partes temporal e espacial combinando as abordagens anteriores. Em geral pode-se classificar os métodos de redção de dimensão dos problemas não-lineares dinâmicos em analíticos e nméricos. Um resmo da literatra eistente a respeito dos métodos nméricos e analíticos mais tilizados nos estdos de vibrações não-lineares pode ser encontrado no artigo escrito por Marr ().

6 Entre os métodos nméricos mais tilizados estão os métodos de Ritz (Srinivasan 966; Leandoski 987; Leandoski 997) Galerkin (Tseng e Dgndji 97; Ling e W 987; Leandoski 997) e com ainda maior emprego o método do balanço harmônico (Benonna and White 98; Mickens98; Leng e Fng 989; Leandoski 99; Leandoski 997). O método do balanço harmônico foi empregado por Ray e Bert (969) para o estdo de vigas biapoiadas geometricamente não-lineares. Crvas de resposta amplitde-freqüência de vibrações forçadas e amortecidas de vigas contínas foram satisfatoriamente obtidas por Leandoski (99) sando ma metodologia qe combina os métodos dos elementos finitos e do balanço harmônico. Já entre os métodos analíticos os mais largamente empregados são os métodos de pertrbação. O trabalho de Kahn e Zarmi () apresenta ma introdção ao so de métodos de pertrbação para oscilações em sistemas fracamente não-lineares. A vibração não-linear de vigas com várias condições de contorno foi estdada por Evensen (968) com o so desse método. A resposta não-linear de ma viga com apoios fios sbmetida a carregamento dinâmico foi obtida por Bsby and Weingarten (97). Neste estdo os atores assmiram dois modos de vibração para a viga tilizaram o método dos elementos finitos para a obtenção da eqação não-linear de movimento e empregaram o método da pertrbação para sa solção. O método da pertrbação foi também tilizado para estdo de vibração livre de placas com não-linearidade geométrica por Rehfield (97). No trabalho de Mook et alli (985) o problema de vibração forçada e amortecida de elementos estrtrais foi formlado tilizando o método de pertrbação. A metodologia desenvolvida no trabalho de Nayfeh (998) emprega métodos de pertrbação para o estdo dinâmico de estrtras fracamente não-lineares. Essa metodologia foi aplicada para o caso de ma viga sobre base elástica. Andrianov e Danishevs kyy () saram ma abordagem baseada neste método para descrever a vibração não-linear de barras e vigas. Enqanto métodos nméricos como o balanço harmônico são apontados como de aplicação a ma grande variedade de problemas e resltam em boas aproimações para problemas com forte não-linearidade (Mickens98) vários atores concordam em afirmar qe os métodos de pertrbação prodzem

7 resltados satisfatórios somente qando a não-linearidade do problema é considerada fraca (Leng e Fng 989; Hamdan e Brton 99; Leandoski 99; Lacarbonara 999). De acordo com La e Yen (99) m erro commente encontrado em mitas análises dinâmicas é considerar a nãolinearidade como fraca qando na realidade ela não é. De acordo com Leandoski (99) os métodos nméricos de aproimação como o balanço harmônico são mais simples e sistemáticos o qe viabiliza sa implementação e melhora o desempenho comptacional em relação aos métodos analíticos como o método da pertrbação. Encontram-se na literatra otras abordagens para obtenção de modelos de ordem redzida. No trabalho de Ribeiro e Petyt (999) o método dos elementos finitos hierárqico foi tilizado para diminir o número de gras de liberdade necessários para obter a resposta dinâmica de vibrações não-lineares em vigas com vários tipos de condições de apoio. Qando comparada à formlação convencional em elementos finitos essa metodologia reslto mais favorável em termos da convergência alcançada com m menor número de gras de liberdade redzindo assim significativamente o tempo comptacional. O modelo redzido obtido por Lacarbonara (999) se baseia no procedimento de discretização de Galerkin retificado. Essa metodologia é aplicada a ma classe de sistemas nidimensionais com não-linearidades cúbicas e qadráticas. Nesse estdo o modelo foi capaz de captrar e condensar corretamente todas as contribições modais dos movimentos não-lineares dos problemas estdados. O ator também afirma qe o modelo redzido empregado pode ser estendido à análise de sistemas contínos com o sem ressonância interna. No trabalho de Pesheck et alli () é tilizado m modelo de ordem redzida empregando m o dois modos não-lineares normais (NNM s Nonlinear normal modes) para o estdo de ma viga de rolamento em balanço. Os resltados obtidos indicam qe o modelo redzido adotado consegi captrar com a precisão desejada o comportamento dinâmico do problema estdado. Uma metodologia empregando NNM s foi adotada por Tozé et alli () para o estdo de vibrações com grandes amplitdes em vigas sobre base elástica não-linear e ma viga biengastada geometricamente não-linear. A redção de tempo comptacional obtida nas análises empregando esta metodologia foi

8 significante e a predição do comportamento dinâmico das estrtras estdadas foi satisfatória. Tiso et alli (5) tilizaram m modelo redzido empregando o método dos elementos finitos para ma análise dinâmica não-linear de estrtras com imperfeições iniciais. A metodologia foi eemplificada com o estdo de estrtras porticadas. Resltados como esses são importantes principalmente no caso em qe se qeira analisar modos de vibração de ordem elevada o qando estes se acoplam com modos mais baios devido à ressonância interna. Eles também são relevantes para estdos em qe vários harmônicos precisam ser inclídos nas séries tilizadas para se aproimar a resposta no tempo o para estrtras compostas por múltiplos membros estrtrais (Ribeiro e Petyt 999)... Objetivo O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de metodologias para a obtenção de modelos consistentes de baia dimensão para o estdo de vibração harmônica não-linear geométrica de vigas e pórticos planos... Organização do trabalho O capítlo apresenta a formlação para a obtenção do fncional de energia para o problema não-linear a partir do Princípio de Hamilton. As técnicas variacionais são então empregadas para obtenção das eqações diferenciais parciais de movimento tanto para vigas qanto para pórticos. No capítlo o desenvolvimento da metodologia empregada é apresentado tendo como eemplo o estdo de vibração não-linear de ma viga simplesmente apoiada. No capítlo estende-se a metodologia para vigas com otras condições de contorno. A aplicação da metodologia desenvolvida no capítlo para pórticos planos é o tema do capítlo 5. Por fim no capítlo 6 são apresentadas as conclsões e sgestões para aplicação e continação deste trabalho de pesqisa.

Formlação geral No estdo do comportamento dinâmico de estrtras m dos objetivos básicos é a determinação do conjnto de posições qe as estrtras ocpam no espaço drante m intervalo de tempo. No caso de estrtras contínas qe apresentam portanto m número infinito de gras de liberdade as epressões matemáticas qe definem os deslocamentos dinâmicos são chamadas de eqações diferenciais parciais de movimento da estrtra e sa solção fornece este histórico no conjnto espaço-tempo. De acordo com Clogh e Penzien (975) a formlação das eqações de movimento é ma das fases mais importantes no procedimento de análise dinâmico-estrtral e em mitos casos a mais difícil. Em geral eistem três métodos para a formlação dessas eqações: o princípio d Alembert o princípio dos deslocamentos virtais e o princípio de Hamilton. O primeiro é o método mais direto e estabelece o eqilíbrio dinâmico das forças atantes sobre m sistema. Em sistemas compleos este eqilíbrio vetorial dinâmico pode ser inviável e métodos de energia simplificam e viabilizam esta tarefa. No princípio dos trabalhos virtais as forças atantes sobre o sistema são avaliadas eplicitamente enqanto qe as eqações de movimento são derivadas por considerações do trabalho realizado drante a aplicação de deslocamentos virtais compatíveis. O princípio de Hamilton por otro lado é ma formlação alternativa em qe os efeitos das forças atantes sobre o sistema (e não diretamente estas) são levados em conta por meio de variações de energia cinética e potencial. Essas três metodologias são completamente eqivalentes e resltam em eqações idênticas para m mesmo sistema elástico. A escolha dentre elas depende em grande parte da natreza do sistema sob consideração (Clogh e Penzien 975). Face à não-linearidade e às propriedades das estrtras a serem estdadas é tilizado nesse trabalho o Princípio de Hamilton e a partir das

técnicas variacionais as eqações de movimento serão então obtidas primeiramente para vigas e depois para pórticos... Princípio de Hamilton Como já mencionado ma metodologia para se contornar os problemas no estabelecimento de eqações de eqilíbrio vetoriais é a de se fazer so de balanço de qantidades de energia nma formlação variacional. O Princípio de Hamilton prescreve em linhas gerais qe a variação da energia cinética e potencial mais a variação do trabalho realizado pelas forças não conservativas drante qalqer intervalo de tempo de t a t deve ser nla. Isso matematicamente pode ser epresso por: t ( T Π) dt δw dt nc = t δ t (-) t onde δ é o símbolo tilizado para representar a variação das qantidades à sa direita T é a energia cinética Π a energia potencial total e W nc o trabalho realizado por forças não conservativas... Formlação para vigas A segir apresenta-se a formlação para vigas esbeltas (desprezam-se portanto as deformações provenientes dos esforços cizalhantes) elásticas isotrópicas e homogêneas. A formlação aqi tilizada se baseia na formlação Lagrangeana total. Não há restrição dos apoios ao deslocamento das vigas na direção aial. Considera-se também qe as deformações aiais são insignificantes qando comparadas às deformações transversais e serão portanto desprezadas. Assim a energia cinética para ma viga de comprimento L e área de seção transversal A é dada por: L T = ρ A t d (-) onde ρ é a massa específica da viga o deslocamento transversal e a coordenada do eio aial da viga. A energia potencial total é epressa por: Π =U V (-) onde U é a parcela dada pela energia interna de deformação elástica e V o potencial das cargas eternas atantes sobre a estrtra.

Como as deformações aiais são desprezadas somente se considera a parcela de energia interna devido à fleão da viga. Tem-se desse modo: U = EI L χ d (-) onde χ é a mdança de crvatra da linha netra E o módlo de elasticidade e I o momento de inércia da seção transversal. Para obtenção da epressão para a mdança de crvatra m elemento diferencial da linha netra da viga é isolado. Este elemento está inicialmente paralelo ao eio na posição e z apresentado na Figra -. Após a fleão da viga o elemento sofre ma deformação no plano z e apresenta m comprimento ds e ocpa a posição (z) descrita pelas segintes relações: = ; (-5) z = z (-6) onde e são os deslocamentos aiais e transversais respectivamente. Diferenciando-se as eqações (-5) e(-6) em relação a tem-se: d d = d d (-7) dz = d d d (-8) Como conseqüência da hipótese de serem desprezíveis as deformações aiais tem-se qe d é igal a ds. Da Figra - retiram-se as segintes relações geométricas: Logo: dz d sen ( β ) = = = (-9) ds d ( ) β (-) = arcsen O ânglo β nessas epressões representa o ânglo entre a linha netra da viga nas configrações indeformada e deformada. A mdança de crvatra é dada por: / [ arcsen ( ) ] = ( ) = β = χ (-)

Z d d dz ds z z Figra - Elemento diferencial da viga antes e após a deformação Considerando-se a última parte da eq. (-) como prodto de das fnções e epandindo a segnda em série de Taylor até os termos de segnda ordem chega-se à seginte epressão para a mdança de crvatra: χ (-) A aproimação obtida pela epressão (-) é sbstitída na eq. (-) resltando na seginte epressão para a energia de deformação interna: U EI L d (-) O so desta epressão não-linear em algns trabalhos anteriores (Andrade 99; Sampaio ; Serebrenick ) demonstro qe ela é sficientemente precisa para descrever adeqadamente o comportamento não-linear de estrtras com grandes deslocamentos. Os sistemas forçados aqi estdados consideram a ação de ma carga harmônica com a mesma freqüência ω do sistema e amplitde X e admitindo-se sa forma como co-senoidal tem-se: P ( t ) X cos( ω t ) = (-) O trabalho realizado por esta força pode ser escrito como: X

( t ) W = L P d (-5) As eqações (-) e (-5) são combinadas e o potencial das cargas eternas é descrito do seginte modo: V = W = L ( t) X cos ω d (-6) O amortecimento considerado neste estdo é assmido de tal forma qe as forças de amortecimento qe srgem sejam proporcionais ao módlo da velocidade tendo c como constante de proporcionalidade chamada constante de amortecimento. Este tipo de amortecimento é conhecido como amortecimento viscoso. De acordo com Paz (997) ainda qe algmas características dissipativas dos sistemas reais não sejam captradas por esse modelo de amortecimento em mitos casos o mecanismo de dissipação é aproimadamente viscoso. Além disso esta abordagem leva à ma análise matemática relativamente simples. O trabalho realizado por essa força de amortecimento é dado por: W nc = c L t d (-7) Sbstitindo-se as epressões (-) (-) (-6) e (-7) na eq. (-) chega-se ao Lagrangeano para a viga: L g = L ρ A t EI X cos ω t ( t) c d O fncional de energia não-linear J para a viga tem a seginte forma: J t = L t L g ( t) d dt t (-8) (-9) Aplicando-se as técnicas variacionais obtém-se a seginte eqação de Eler-Lagrange: L g L g L t g t L g = (-) Sbstitindo (-8) em (-) e efetando as respectivas derivações chegase à eqação de movimento da viga: tt c t EI EI ( ρ A (-)

= X cos ( ω t ) A fim de tornar mais fácil a análise do problema e mais eficiente o estdo paramétrico a eq. (-) será adimensionalizada. As variáveis independentes serão alteradas pela inclsão dos segintes parâmetros: π = (-) L τ = ω t (-) onde é o parâmetro adimensional da coordenada aial e τ o parâmetro adimensional da coordenada temporal t. O deslocamento transversal é escrito na forma adimensional da seginte maneira: = (-) h onde h é altra da seção transversal da viga. Otro parâmetro inserido é η definido como : π h η = (-5) L A primeira freqüência natral de ma viga biapoiada Ω e o parâmetro adimensional de freqüência α são dados por: como: EIπ Ω = ; (-6) ρ AL α = ω (-7) Ω Além desses o parâmetro adimensional de amortecimento β é definido ξω β = (-8) Ω onde ω é a primeira freqüência natral do sistema linearizado e ξ é o fator de amortecimento definido por: c ξ = (-9) c cr onde c cr é a constante de amortecimento crítico epressa pela seginte epressão:

5 c cr = ρ Aω (-) O último parâmetro inserido é o qe se relaciona à amplitde da carga harmônica aplicada X ; X X = ρ AhΩ (-) Inserindo-se os parâmetros dados pelas eqações de (-) a (-) na eq.(-) e efetando-se as simplificações necessárias chega-se à eqação de movimento para a viga na sa forma adimensional: α ττ α β τ η ( ) η =.. Formlação para pórticos ) X cos( τ ) (-) Considera-se neste trabalho pórticos planos elásticos isotrópicos e homogêneos sjeitos a vibrações de grande amplitde. As alterações mais relevantes na derivação das eqações de movimento para pórticos em relação à formlação obtida para vigas resltam da inclsão das deformações aiais para barras de pórticos. Esta inclsão somada à não-linearidade do problema faz srgir os acoplamentos entre deslocamentos transversais e aiais o qe leva a m sistema acoplado de eqações diferenciais parciais não-lineares. A derivação da eqação diferencial de movimento para cada barra de pórtico pode ser obtida a partir de ma formlação para viga-colna como o da Figra -. A energia cinética de m elemento de ma viga-colna de comprimento L é epressa por: ( ) L T = ρ A t t d (-) A energia de deformação interna é formada pela contribição devida à fleão e à deformação aial dos elementos sendo matematicamente epressa por: U = L ( E A EIχ ) ε d (-) onde ε é a deformação aial e χ a mdança de crvatra da viga-colna. As relações cinemáticas para estas qantidades podem ser determinadas

6 geometricamente com ajda mais ma vez da Figra -. Do triânglo retânglo formado pelos lados ds d e dz e pelo teorema de Pitágoras tem-se: chega-se a: ds = d dz (-5) Dividindo-se a eq. (-5) por d e sando as epressões (-7) e (-8) ds d = d d d = d d d Sendo a deformação aial epressa por: Pode-se escrever: (-6) ds d ds ε = = (-7) d d ds ε ε = (-8) d Como os problemas aqi estdados se limitam àqeles sbmetidos somente à peqenas deformações de (-6) tem-se: ds ε = ( ) (-9) d A relação cinemática para a mdança de crvatra pode ser obtida de forma eqivalente à eq. (-9) para vigas o seja: tan dz dz d β (-) d d d ( ) = = Utilizando-se as eqações (-7) e (-8) obtém-se: Logo: ( ) tan β = (-) ( ) χ = β = arctan (-) Após a derivação tem-se: [ ( ) ] ( ) [ ] χ (-) =

7 Considerando-se o lado direito da eq. (-) como prodto de das fnções e epandido-se a segnda em série de Taylor até termos de segnda ordem tem-se para a crvatra a seginte epressão: χ ( ) ( ) (-) A sbstitição das relações (-9) e (-) na eq. (-) reslta na epressão da energia de deformação interna para ma viga-colna. Na avaliação do potencial das cargas eternas deve-se acrescentar ao trabalho realizado pela força harmônica dado pela eq. (-5) o trabalho realizado por ma carga estática aial P de compressão sobre o encrtamento da vigacolna resltando em: W L = P P ( t ) d (-5) Um elemento típico de viga-colna sob ação dessas forças pode ser visto na Figra -. Tem-se então qe o encrtamento é epresso por: L = ε d (-6) P P(t) L P Figra - Elemento de viga-colna sob ação de carregamento aial e transversal

8 Logo das eqações (-)(-9) (-5) e (-6) escreve-se o potencial das cargas eternas V como: ( ) ( ) = = L d P t X W V cos ω (-7) O trabalho realizado pela força de amortecimento viscoso é agora dado por: ( ) = L t t nc d c W (-8) Sbstitindo-se as epressões (-) (-) (-7) e (-8) na eq. (-) chega-se a: ( ) ( ) = L t t g E A A L ρ ( ) [ I E ( )] ( ) P ( ) ( ) d c t X t t cos ω (-9) Tem-se assim para ma viga-colna m fncional de energia não linear do tipo: ( ) dt d t L J t t L t t g = (-5) Aplicando-se as técnicas variacionais obtêm-se as segintes eqações de Eler-Lagrange: = g t g g g L L t L L ; (-5) = g t g g g L L t L L (-5) Já qe o desenvolvimento dessas eqações contém mitos termos ma forma de apresentá-las de modo a facilitar sa visalização é separar os ses termos de acordo com a ordem de não-linearidade. Para tal far-se-á so dos símbolos T ij para estes termos onde i faz referência à eqação assim i= se refere à eq. (-5) e i= refere-se à eq. (-5). O índice j refere-se à ordem da nãolinearidade dos termos assim j= se refere aos termos constantes j= aos termos

9 lineares j= aos termos com não-linearidade qadrática e assim por diante. Desse modo são reescritas as eqações (-5) e (-5) na forma: T = ; (-5) T T T T5 T6 T7 T T = (-5) T T T T5 T6 T7 T onde os Termos T ij são apresentados por conveniência no Apêndice A. Para a obtenção da forma adimensional das eqações (-5) e (-5) serão tilizados os mesmos parâmetros do procedimento de adimensionalização de vigas descritos pelas epressões (-) a (-) com a eceção do parâmetro η qe agora será descrito por: π h η = (-55) L e pela inserção de novos parâmetros como λ definido como: onde: P cr P λ = (-56) P cr EIπ = (-57) L é a carga crítica de ma colna biapoiada com as mesmas propriedades geométricas e de material qe a viga-colna. Um otro parâmetro adimensional tilizado é: L κ = (-58) r π onde r é o raio de giração da seção transversal epresso por: I r = (-59) A Define-se P como a razão entre a rigidez aial do pórtico e P cr. E A P = P cr Além disso o deslocamento aial adimensional é: = h (-6) (-6) Após a inserção destes parâmetros nos termos das eqações (-5) e (-5) chega-se à sa forma adimensional:

T η η η η η η = ; (-6) 5 6 T T T T5 T6 T7 T T η η η η η η = (-6) 5 6 T T T T5 T6 T7 T onde os termos T ij são os eqivalentes adimensionais dos termos T ij e são também apresentados no Apêndice A.

Vigas biapoiadas Vigas biapoiadas estão entre as estrtras esbeltas mais simples e comns nas aplicações em problemas de engenharia. Se comportamento dinâmico nãolinear é satisfatoriamente bem conhecido e de acordo com Evensen (968) a maioria dos estdos de vibrações não-lineares em vigas trata daqelas simplesmente apoiadas. Ainda de acordo com Evensen (968) vigas sob essas condições de contorno apresentam solções lineares e não-lineares de forma e tratamento mais simples qe aqelas com otros tipos de apoio. Isso viabiliza ma comparação entre modelos nméricos e modelos analíticos o semi-analíticos de forma mais detalhada e clara. Por essas características os modelos de redção de dimensão serão desenvolvidos a partir do tratamento de vigas biapoiadas. Este desenvolvimento é o tema deste capítlo... Análise linear Os modelos redzidos para estdo de vibrações não-lineares em geral sam a hipótese qe os modos lineares podem ser empregados como ma primeira aproimação do modo não-linear em problemas de vibrações com grandes amplitdes (Mook et alli 985; Bennona e White 98). Desse modo m conhecimento do comportamento linear do sistema em estdo é necessário antes do desenvolvimento e da aplicação de metodologias para sa análise não-linear. Nesta seção o comportamento linear é estdado primeiramente com a obtenção da solção eata da eqação de movimento linearizada e depois por métodos nméricos de aproimação finalizando com ma comparação entre os resltados obtidos por ambas as abordagens.... Solção analítica A forma linear da eq. (-) no caso de vibração livre não amortecida é epressa por: