7 Referências Bibliográficas

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5 Apêndice A ermos das eqações diferenciais de movimento para pórticos Neste apêndice são apresentados os termos das eqações de movimento para pórticos obtidos na seção.. Os termos ij sados na forma dimensional das eqações são apresentados na seção A. enqanto qe os termos ij são apresentados por sa vez na seção A.. Em ambos os termos o índice i faz referência à eqação assim i se refere à eq. (- e i se refere à eq. (-. Enqanto j se refere à ordem da não-linearidade dos termos assim j se refere aos termos constantes j aos termos lineares j aos termos com nãolinearidade qadrática e assim por diante. A. ermos da eqação na forma dimensional ( P EA A tt c t ρ EI EA ( ( EI ( EA( EI ( 9 EI (

6 9 ( EI ( EI ( t X cos t tt EI P c A ρ ( ( EA EI ( 7 EI 9

7 ( EA ( EI ( EI ( EI 7 7 ( EI

8 A. ermos da eqação na forma adimensional ( τ ττ λ β P ( ( κ ( ( κ ( 9 ( 9 ( 7 7

9 7 ( 7 EI ( τ cos X τ ττ λ β ( ( κ ( 7 9 ( κ (

10 ( ( 7 7 (

11 Apêndice B Algoritmo tilizando método do controle do comprimento de arco O presente apêndice tem como objetivo principal descrever os comandos do Programa MAPE9 tilizado para a resolção do sistema de eqações algébricas não-lineares tilizando o método do controle de comprimento de arco. Como eemplo tiliza-se a vibração forçada amortecida de ma viga biapoiada. B. Algoritmo > ###Algoritmo tilizando o método do controle de comprimento de arco para obtenção da crva de ressonância para ma viga biapoiada### > restart: > ith(linalg: > ith(plots: > Digits:: > interface(displayprecision: #Inicializa variáveis do Problema > eta:.:# Parâmetro igal a (hpi/^ > X:.:# Amplitde adimensional da carga co-senoidal aplicada >i:.:# Fator de atrito > beta:i# Constante de atrito admensional > D:.:# Comprimento do arco >.D:DD: # Comprimento do arco ao qadrado > psi:.: # fator de escala tilizado no método do comprimento de arco #Rotinas #Rotina para calclar a fnção resído igal a eqação de eqilíbrio nm ponto (X lambdaomega # vetor de amplitdes #omega- freqüência #lambda fator de freqüência

12 7 > calcr:proc(etaxbetalambdaomegax > global r: > local rl: > > rl[]:evalf(- Xomega^lambda^PiX[]/etaPiX[]^/eta^PiX[ ]^PiX[]/eta^PiX[]X[]^/eta^PiX[]^X[] ^/etapix[]x[]^omegalambdabetapix[] > rl[]:evalf(pix[]- omega^lambda^pix[]/etapix[]^/eta^pix[]^ /eta^pix[]^x[]^/etapix[]^x[]/eta^pi X[]^X[]-omegalambdabetaPiX[]:r:matri(([rl[]rl[]]: > end proc: #Rotina para calclar a derivada de r em relação a X em m ponto (X lambdaomega > calckt:proc(etaxbetalambdaomegax > global Kt: > local K: > K[]:evalf(- omega^lambda^pi9/etapix[]^7/eta^pix[]^pi/ eta^pix[]^/eta^pix[]^x[]^/etapix[]^ >K[]evalf(/eta^PiX[]X[]^/eta^PiX[]^X []/etapix[]x[]omegalambdabetapi > K[]:evalf(/eta^PiX[]X[]^/etaPiX[]X[]/ eta^pix[]^x[]-omegalambdabetapi >K[]:evalf(Piomega^lambda^Pi9/etaPiX[]^7/ eta^pix[]^/eta^pix[]^x[]^/etapix[]^ /eta^pix[]^ > Kt:matri([[K[]K[]][K[]K[]]]: > end proc: Rotina para calclar a derivada de r em relação a lambda em m ponto (X lambdaomega > calcq:proc(etaxbetalambdaomegax

13 > global q: > local ql: > ql[]:evalf(omega^lambdapix[]omegabetapix[]: > ql[] :evalf(-omega^lambdapix[]-omegabetapix[]: > q:matri([ql[]ql[]]: > end proc: #Rotina qe calcla o preditor para o incremento do fator de freqüência (Deltalambda para m comprimento de arco dado (Dl e m fator de escala escolhido psi (psi comprimento de arco cilíndrico > dlambdainic:proc(etaxbetalambdaomegaxpsidl > global Dlambdadf > local deterkqkq: > Kq:matri(:Kq:matri(: > calcq(etaxbetalambdaomegax: > calckt(etaxbetalambdaomegax: > deter:det(kt: > df:inverse(kt:kq:mltiply(dfq:kq:mltiply((transpose(kqk q: >Dlambda:sign(deterabs(Dl/(sqrt((Kq[]^psi^lambda^omega ^: > end proc: #Rotina para Resolver ma eqação qadrática AX ^AXA - #e fornecer IFAI #IFAI - das raízes compleas #IFAI - A mito peqeno solção linear ma só raiz #IFAI - das raízes reais > QSOV:proc(AAA > local SMAFAC: > global RRRIN IFAI: > SMA:..^(-: > IFAI:: > if (A <>. then > RIN:-A/A:

14 9 > fi: > FAC:AA-.AA: > if (FAC <. then #Não tem raízes reais > IFAI:: > else #Raízes reais > FAC:sqrt(FAC: > if (A. then > if (A <>. then > R:RIN: > IFAI:: > else > stop > fi: > else > R:-.(FACA/A: > R:.(FAC-A/A: > fi: > fi: > end proc: #Rotina qe calcla nma iteração do processo corretor m ponto #(X[k]lambda[k]omega a partir de m ponto (X[k]lambda[k]omega e #m preditor #Entrada: #D - Deslocamento correspondente a ma freqüência fia omega solção tangencial #DEBAR - Deslocamento a m nível fio de freqüência deltalambda #DX - Incremento de Amplitde #D - D ao qadrado #DAMBDA - Fator de freqüência total #Saída: #FAC - Novo fator de freqüência total #P - Nova amplitde

15 > ARC: proc(ddebardxddambdapsiomega > local icoscossoaaaaadpbar: > global FACP: > A:psi^omega^: > A:.DAMBDApsi^omega^: > A:-DDAMBDA^psi^omega^: > A:.: > A:.: > for i from to do > A: AD[i]D[i]: > DPBAR[i]:DX[i]-DEBAR[i]: > A:A-.D[i]DPBAR[i]: > A:ADPBAR[i]DPBAR[i]: > A:ADPBAR[i](DX[i]: > A:A- D[i](DX[i]: > od: > QSOV(AAA: > if (IFAI then retrn: fi: > if (IFAI then > SO: R: > else > COS:AAR: > COS:AAR: > SO:R: > if (COS > COS then > SO:R: > fi: > fi: > FAC:DAMBDASO: > for i from to do > P[i]:DX[i]-DEBAR[i]-SOD[i]: > od: > end proc:

16 #Encontrar Ponto Inicial com freqüência próimo a zero - correspondendo a ma solção inicial >X:vector(:X:vector(:dX:matri(:DXp:matri(:df:m atri(:debar:matri(:d:matri(:p:matri(: > omega:.: lambda:.:x[]:.:x[]:.: #Ponto inicial para o processo iterativo #Neton- Haphson com freqüência constante - até convergir para X tol tolerância > niter::erro:.:tol:.: > hile (niter< and (erro>tol do > niter:niter: >calcr(etaxbetalambdaomegax:calckt(etaxbetalambdaome gax: > df:inverse(kt: > dx:mltiply(dfr: > X[]:X[]-dX[]:X[]:X[]-dX[]: > erro:abs(evalf(sqrt( ((dx[]/x[]^((dx[]/x[]^: > od: print(xerro: # Incremento preditor e corretor > Nma::nincrp::tniter::niterd:: hile (nincrp<nma do > nincrp:nincrp: > dlambdainic(etaxbetalambdaomegaxpsid: > calckt(etaxbetalambdaomegax:df:inverse(kt: > calcq(etaxbetalambdaomegax: > DXp:(mltiply(dfq: #Cálclo da direção do incremento de amplitde > dx[]:-dlambdadxp[]:dx[]:dlambdadxp[]: #Resltado da Fase preditora > X[]:X[]dX[]:X[]:X[]dX[]: > lambda:lambdadlambda: > Dlambda:Dlambda:

17 > niter:: tol:.:erro:.: #Iteracoes para correção > hile (niter < and (erro > tol do > niter:niter: > calcr(etaxbetalambdaomegax: > calckt(etaxbetalambdaomegax:df:inverse(kt: > calcq(etaxbetalambdaomegax: > DEBAR:(mltiply(dfr: > D:(mltiply(dfq:D:DD: > ARC(DDEBARdXDDlambdapsiomega: > dx[]:p[]:dx[]:p[]: X[]:X[]dX[]:X[]:X[]dX[]: Dlambda:FAC:lambda:lambdaDlambda: > calcr(etaxbetalambdaomegax: > erro:abs(sqrt(r[]^r[]^: > od: > X[]:X[]:X[]:X[]:lambda:lambda: XGRAFp[nincrp]:sqrt(h^X[]^h^X[]^: > WGRAFp[nincrp]:omegalambda:DGRAFp[nincrp]:D: > XGRAF[nincrp]:hX[]: XGRAF[nincrp]:hX[]: > tniter:tniterniter: > od: #Plotar crvas >a:plot({[seq([wgrafp[i]xgrafp[i]]i.. nincrp]}color'black': > c:plot({[seq([wgrafp[i]xgraf[i]]i..nincrp]}color'black': > d:plot({[seq([wgrafp[i]xgraf[i]]i..nincrp]}color'black': > display(a > display(c > display(d

18 Aneo I Formlação em elementos finitos Neste aneo apresentam-se as fnções de forma tilizadas para a obtenção das matrizes de massa M e rigidez elástica K e rigidez geométrica K g para vigas e pórticos. I. Elementos de vigas Desprezando-se os efeitos de deformação por esforços cortante e aial as fnções de forma cúbicas N( são dadas por: N ( (I- N ( (I- N (I- ( N ( (I- Interpolando-se os deslocamentos no elemento pelos deslocamentos nos nós ( e e tilizando-se as fnções de forma acima chega-se a matriz de massa M: (I- A M ρ E a matriz de rigidez elástica K: K EI (I- Detalhes da derivação das matrizes aqi apresentadas encontram-se no trabalho de Meirovitch (97.

19 I. Elementos de viga-colna As fnções de forma N( para elementos de viga-colna tilizadas para análise de pórticos planos pelo método dos elementos finitos são dadas por: N ( (I-7 N ( (I- N ( (I-9 N N ( (I- (I- ( N ( (I- Interpolando-se os deslocamentos no elemento pelos deslocamentos nos nós ( e e tilizando-se as fnções de forma acima chega-se a matriz de massa M: A M ρ 7 7 E a matriz de rigidez elástica e geométrica são respectivamente: (I- K A / I EI A / I A A / I / I (I-

20 P Kg (I- Detalhes da derivação das matrizes para análise de pórticos aqi apresentadas encontram-se no trabalho de Paz (997.

21 Aneo II Relações trigonométricas Neste aneo são apresentadas as relações trigonométricas (Beyer 97 tilizadas no método do balanço harmônico para linearizar as potências e prodtos de co-seno e seno resltantes da aplicação deste método. sen sen n cos ( n n cos cos ( n n n n n n k n n n n n k n k k ( cos[ ( n k ] n k ( cos[ ( n k ] ( n ( n n n k n k k ( sen[ ( n k ] n n n k k ( cos[ ( n k ] ( cos( n cos[ ( n ] cos[ ( n ] (II- (II- (II- (II- (II- sen( cos( n cos[ ( n ] cos[ ( n ] (II- n Nas epressões acima os símbolos representam os coeficientes k binomiais calclados eplicitamente pela epressão: n k onde z! denota o fatorial de z. n! ( n k! k! (II-7