Temas atuais de Física Notas de Relatividade e partículas

Temas atuais de Física Notas de Relatividade e partículas Marco Sampaio Departamento de Física 2º piso msampaio@ua.pt 12 de Novembro de 2011 1 Pré-relatividade No nal do século 19, o mundo da Física baseava-se em dois pilares fundamentais que se julgava poderem descrever todos os fenómenos conhecidos até à data. Um desses pilares era o conjunto de leis de Newton, que descrevia todos os fenómenos mecânicos desde o movimento dos planetas à escala do sistema solar, movimentos de projecteis, dinâmica de uidos etc... Por outro lado, a teoria do Electromagnetismo de Maxwell, era capaz de explicar todos os fenómenos elétricos e magnéticos, fornecendo também o lado direito das equações de Newton em determinados sistemas, e ainda explicando o fenómeno ondulatório da luz. A relatividade restrita vai surgir de um conito entre estes dois pilares fundamentais da Física tanto ao nível teórico como experimental. A forma como este conito surge está intimamente ligada às propriedades de cada uma das teorias do ponto de vista das transformações que as deixam invariantes. Veremos em seguida, em primeiro lugar, que as equações da mecânica Newtoniana não mudam, quando fazemos determinadas transformações das coordenadas (tempos e posições) e tranformações das velocidades, quando escritas numa classe de referências chamados inerciais (de facto as leis de Newton denem esses referências). Por outro lado, olhando para os fenómenos electromagnéticos e em particular o fenómeno ondulatório da luz, há uma tendência natural para pensar em analogia com a dinâmica de uidos, em que fenómenos ondulatórios semelhantes ocorrem. Uma vez que a dinâmica dos uidos é obtida das leis de Newton, então esperar-se-ia que analogamente, existisse um uido, que serviria de meio para a propagação destas oscilações (ou ondas) eletromagnéticas associadas à luz. Estas considerações levariam à conjetura da existência de um uído chamado éter que seria o meio onde a luz se propagava. Ao mesmo tempo, esta conjetura levantará a questão se a transformação da velocidade da luz quando mudando de referêncial, é a mesma que as transformações das velocidades da mecânica clássica (que supostamente descreveria a mecânica do éter e por isso esperar-se-ia que essas transformações se aplicassem tal com em dinâmica de uidos). Este conjunto de ideias foi então testado pelas famosas experiências de medição da velocidade da luz 1

no vácuo que deram resultados negativos para a existência do éter e criaram uma tensão entre a teoria eletromagnética de Maxwell e a mecânica clássica de Newton. Ao mesmo tempo, Albert Einstein debatia-se com questões semelhantes através da pura contemplação das duas teorias e, inspirado pelo Electromagnetismo, formula a teoria da relatividade restrita, que dá preferência às leis de Maxwell e requer uma adaptação das leis da mecânica. Nas secção seguinte, começamos por revêr as leis da mecânica clássica de Newton, analisando as suas simetrias com vários exemplos. No nal iremos perceber melhor o conceito de referencial inercial e as transformações associadas. Mais adiante olharemos então para o campo electromagnético e discutiremos as experiências de medição da velocidade da luz e como isso leva ao princípio da relatividade restrita. 1.1 Mecânica Newtoniana e referênciais inerciais As leis de Newton exprimem uma relação entre as forças aplicadas a um sistema de partículas e as trajectórias que as partículas descrevem. Na sua forma mais simples (aqui utilizamos uma letra p para denotar a partícula), a segunda lei de Newton aplicada a uma partícula do sistema é F p = m d2 r p dt 2 = md v p dt = m a p (1) onde o vector de forças aplicadas à partícula é F p = (F x, F y, F z ), o vector r p = (x, y, z) consiste na posição da particula em relação à origem do sistema de coordenadas O, e re-escrevemos também o lado direito em termos da velocidade e da aceleração. Esta lei, dene os referênciais inerciais. Por exemplo, em referênciais inerciais a primeira lei de Newton da inércia, diz que a força total a atuar num objecto em movimento uniforme com velocidade constante é zero. Esta lei pode ser obtida directamente da Lei de Newton Eq.(1), uu seja os referênciais inerciais são precisamente aqueles em que esta primeira lei (lei da inércia), é obedecida. Veremos adiante exemplos de referênciais inerciais em que a lei da inércia não se aplica, e por isso a lei de Newton contém mais termos e o referêncial é não inercial. Um exemplo é um referêncial acelerado (em relação a um referêncial inercial). De um modo geral, vamos mostrar abaixo que existe um conjunto de transformações, que quando aplicadas a um referêncial inercial, dão origem a um novo referêncial inercial (ou seja em que as leis de Newton tomam a mesma forma) e que transformações fora deste grupo nos levam para um referêncial não inercial. Essas transformações são o conjunto de translações constantes, rotações constantes, transformações de galileu e translações constantes do tempo. 1.1.1 Invariância sob translações e rotações O grupo de invariância das leis de Newton, está directamente relacionado com o facto de o lado direito das equações serem diferenciais no tempo. Por isso mesmo olhando 2

z z v=dr/dt=dr /dt r x O r0 O r y x Figure 1: Translações constantes do sistema de coordenadas para o lado direito das equações é fácil de vêr que uma transformação da forma t = t + t 0 (2) r p = r p + r 0 (3) não afeta as equações do movimento. De facto se calcularmos o lado direito das equações de Newton no referencial O d r p dt = dt d( r 0 + r p ) dt dt = d r p dt d2 r p = d² r p dt ² dt² logo o lado direito das equações de Newton é invariante relativamente a translações constantes. Em relação ao lado esquerdo das equações de Newton (as forças aplicadas à partícula) em geral poderiamos ter, para cada partícula, uma força dependente das posições, velocidades e do tempo. No entanto, na natureza, para sistemas de partículas fechados, ou seja sem forças externas a atuar, em geral, a força aplicada a uma particula depende apenas da diferença entre posições e velocidades de pares de partículas ( r q e v q representam a posição e velocidade de uma outra partícula no sistema) (4) F p ( r p r q, v p v q ) (5) Como a translação do sistema de coordenadas afeta todos os vetores de posição da mesma forma, a diferença é claramente invariante. Fisicamente, esta propriedade seria de esperar, visto que a descrição do nosso sistema físico não deve depender do ponto do espaço que estamos a considerar como origem ou do instante em que os relógios começam a contar o tempo. Um exemplo simples é a lei da gravitação de Newton em 3

z z v=dr/dt O r x y x Figure 2: Rotação constante do sistema de coordenadas que a força entre massas teste, apenas depende na distância entre elas, assim como a força eletroestática entre cargas. De uma forma muito semelhante se pode mostrar que uma rotação constante do sistema não afeta as equações de Newton. Isto também seria de esperar visto que a escolha da orientação dos eixos em relação à origem é também arbitrária. A prova segue de forma análoga tendo em consideração que a rotação de um vetor é dada, em geral, por uma matriz de rotação R a atuar no vetor coluna r p = R. r p (6) Mais explicitamente x p y p z p = R x x R x y R x z R y x R y y R y z R z x R z y R z z x p y p z p (7) Para mostrar a invariância temos que determinar a aceleração no referêncial O, em função da aceleração no referêncial O inserir na lei de Newton e mostrar que a a lei se mantém igual quando expressa em termos da aceleração e Força no referêncial O. Se a matriz for constante, então d² r p dt 2 = R.d² r p dt 2 d² r p dt 2 = R 1. d² r p dt 2 (8) Inserindo na equação de Newton temos 4

F p = mr 1. d² r p dt 2 (9) R. F p = m d² r p dt 2 (10) F p = m d² r p dt 2 (11) onde denimos a força rodada F p = R. F p ( r p r q, v p v q ) = R. F p ( r p r q, v p v q ) e neste passo usamos o facto de a norma de vetores ser invariante quando aplicamos uma rotação (esta é de facto uma das condições que dene a matriz de rotação, sendo a outra que o seu determinante tem que ser 1 para excluir reexões). Note-se no entanto que se a rotação for dependente do tempo, em geral as equações de Newton não tomarão mais a mesma forma e o novo sistema de referência não será inercial. O mesmo acontece se escolhermos uma tranformação da coordenada temporal que não seja constante (vêr folhas de exercícios). Em relação às tranformações das coordenadas espaciais, iremos vêr na secção seguinte que existe ainda mais alguma liberdade, que está relacionada com a possibilidade de transformação das velocidades (transformações galileanas). 1.1.2 Invariância sob transformações de galileu Visto que o lado direito das equações do movimento de Newton contém segundas derivadas do vetor de posição em relação ao tempo, temos ainda a liberdade de fazer uma translação das velocidades, ou seja considerar um referêncial a mover-se com uma velocidade uniforme em relação ao referencial inicial. Uma tal transformação, designada de Galileu, escreve-se r p = r p + v 0 t (12) ou seja por exemplo se considerarmos v 0 = (v x, 0, 0) então o referêncial em movimento desloca-se para a direita com velocidade constante. Claramente o lado direito das equações do movimento é invariante. Quanto à força, novamente para um sistema fechado só depende da distância entre os vetores de posição, e da diferença entre as velocidades das partículas do sistema, logo o termo v 0 t cancela na diferença. 1.1.3 Resumo da invariância das leis de Newton e composição de transformações Em resumo, o grupo de transformações que deixam a mecânica clássica invariante podem ser separados em dois tipos de transformações: 5

1. Translações das coordenadas até ordem linear no tempo t = t 0 + t (13) r = r + r 0 + v 0 t x = x + x 0 + v0t x y = y + y 0 + v0t y z = z + z 0 + v0t z (14) 2. Rotações constantes r = R. r (15) Em particular, a composição de duas transformações ainda é uma transformação do mesmo tipo. 1.1.4 O grupo das rotações em notação matricial Uma forma conveniente (e de facto mais rigorosa) de pensar no grupo das rotações é em termos do produto escalar entre vetores. Duas propriedades essenciais do grupo das rotações são: ˆ ˆ Deixa o comprimento entre vetores invariante, ou seja se applicarmos uma rotação a um vetor a sua norma ca igual Deixa os ângulos relativos entre vetores, invariantes, ou seja o ângulo entre os dois vetores ao rodar o sistema mantém-se igual Ambas estas propriedades são controladas pelo produto escalar entre vetores. Por isso é natural denir rotações, como aquelas transformações lineares de vetores que deixam o produto escalar entre dois vetores invariante. O produto escalar entre dois vetores r e w pode ser representado numa notação matricial como o produto entre um vetor linha e um vetor coluna r w r T w = (r x, r y, r z ) Se denirmos uma matriz de rotação R que atua num vetor w dado no referêncial O, e devolve como resultado o vetor w no referêncial rodado O, então w = Rw. A invâriância do produto escalar signica que o produto escalar entre os dois vetores no sistema O é igual ao produto escalar entre os dois vetores no sistema O, ou seja r T w = r T w. (iremos denir em relatividade de Einstein também um produto escalar no espaçotempo). Usando a denição da rotação dos dois vetores no lado esquerdo então (Rr) T Rw = r T w r T R T Rw = r T w 6 w x w y w z

Logo para o produto escalar ser invariante para quaisquer dois vetores, necessariamente precisamos que R T R = 1 diz-se então que a matriz de rotação é ortogonal. A outra condição que é necessário adicionar para eliminar reexões (que também são ortogonais mas mudam a direcção dos eixos) é det R = 1. Note-se que da relação de ortogonalidade acima, se mostra que (det R) 2 = 1 det R = ±1 (16) O sinal positivo está associado a rotações e o negativo a reexões. Por exemplo uma matriz de rotação no plano xy é dada por cos θ sin θ 0 R = sin θ cos θ 0. 0 0 1 Um exemplo de uma matriz de reexão que inverte o eixo x é 1 0 0 Inv = 0 1 0 0 0 1 1.2 O conito com o electromagnetismo Como foi referido na introdução desta secção, a relatividade surge de um conito entre o electromagnetismo e a Física Newtoniana. A questão surge da forma como a teoria de Maxwell prevê ondas eletromagnéticas que explicam a origem dos fenómenos luminosos, e ao mesmo tempo dos resultados obtidos na famosa experiência de Michelson Morley quando comparados com a teoria de Maxwell e a Física Newtoniana. 1.2.1 Ondas electromagnéticas no vazio Do ponto de vista teórico, para perceber a origem do problema é instrutivo olhar para as equações de Maxwell. Estas escrevem-se B = 0 (17) E = ρ ɛ 0 (18) c 2 B = i + E ɛ 0 t E = B t onde a velocidade da luz no vácuo é dada por c² = 1/(µ 0 ɛ 0 ) e neste último denominador temos a permeabilidade magnética e eléctrica do vácuo. Estas equações prevêm a 7 (19) (20)

existência de ondas eletromagnéticas no vazio. Comecemos por usar a primeira e a última equação. Essas duas condições são imediatamente obedecidas se exprimirmos (verique que as equações correspondentes são obedecidas por substituição direta) B = A (21) E = φ A t em que o potencial escalar φ e o potencial vector A na verdade não estão denidos univocamente (visto que podemos fazer uma transformação entre os dois que compense na segunda equação 22 e tenha rotacional nulo de modo a não contribuir para a primeira 21). Uma escolha conveniente para resolver as equações de Maxwell no vácuo e identicar ondas electromagnéticas é a chamada gauge de Lorentz A + 1 c² (22) φ t = 0. (23) Usando as outras duas equações de Maxwell para as fontes, esta escolha de gauge e a identidade A = ( A) A (24) mostramos que no vácuo os potenciais obedecem as equações de onda φ = 1 c 2 ²φ t 2 (25) A = 1 c 2 ² A t 2. (26) As equações de onda obtidas acima são análogas às equações de onda obtidas na teoria dos uidos obtida a partir das equações de Newton. Nesses sistemas a velocidade das ondas v é relativa ao uido em repouso, por isso essa mesma velocidade transforma-se da forma usual quando aplicada uma tranformação de galileu entre referênciais inerciais, ou seja v = v 0 + v. Por isso, surgiu a ideia que para o electromagnetismo, existiria do mesmo modo um uido, o éter, que serviria de referência absoluta para as ondas electromagnéticas. Uma consequência imediata seria que a velocidade da luz medida em laboratório, iria depender do estado de movimento em relação a ao éter. Ou seja a velocidade das ondas electromagnéticas teria que se transformar (Fig. 3) c c + v 0 (27) para observadores em movimento. Como tal as leis de Maxwell teriam que ser modi- cadas no referencial em movimento. O éter seria um meio bastante peculiar, por um lado extremamente rígido para suportar a propagação de ondas electromagnéticas à velocidade de 3.10 8 ms 1 e ao mesmo tempo, muito ténue em relação à matéria para que os planetas o atravessassem sem resistência (tal que as suas orbitas fossem consistentes com as leis de Newton). 8

c 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 c 000000000000000000 111111111111111111 v 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 c 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 Figure 3: Esquerda: Velocidade c de uma onda plana no referêncial em repouso em relação ao éter. Direita: Velocidade c = c + v de uma onda plana no referêncial em movimento em relação ao éter (vento etério com velocidade v). 1.2.2 A experiência de Michelson Morley Tal como referido na secção anterior, de acordo com a teoria do éter, a velocidade de uma onda electromagnética teria que se transformar quando mudamos para um referêncial com velocidade uniforme em relação ao éter. Testar esta conjetura para velocidades pequenas em relação à Terra, usando laboratórios terrestres em movimento seria muito difícil, visto que a velocidade da luz é muito elevada, e por isso o efeito seria demasiado pequeno para detetar. Para tal é necessário utilizar um referêncial com uma velocidade elevada de modo a ser de uma ordem de magnitude mais próxima da velocidade da luz. Foi então que surgiu a ideia de usar um ponto xo na Terra como referêncial. Isto justica-se da seguinte forma. A Terra move-se em torno do sol numa órbita praticamente circular em que a velocidade linear a um determinado instante é v 3.10 4 ms 1 0.0001c. Mesmo que o sistema solar não esteja em repouso em relação ao éter, visto que a órbita é circular, ao longo de um ano iria haver uma variação da velocidade do referêncial em relação ao éter da ordem da velocidade da terra. Note-se que para pontos opostos da órbita o vetor de velocidade aponta em direção oposta. Para além disso, mesmo que num certo ponto da órbita a Terra esteja em repouso em relação ao éter, haverá certamente um outro ponto em que está em movimento (Fig. 4). Desta forma, se as leis de transformação galileanas se aplicassem às ondas eletromagnéticas, a velocidade da luz sofreria uma variação máxima de 2v, ao longo de um ano, por isso se a experiência se repetisse com várias orientações e ao longo de um ano, esperar-se-ia a observação de uma variação da velocidade de propagação das ondas. Em resumo a experiência de Michelson-Morley baseia-se nos seguntes pontos: ˆ A teoria do Éter é válida, ou seja a c = c + v. ˆ Como a Terra se move, existe um vento etério (Fig. 3) ˆ Como a órbita da Terra é elíptica está garantido que existem sempre pontos em 9

ETER v~3.10^4m/s SOL Terra Figure 4: Trajetória da Terra em torno do Sol. A velocidade da terra muda de orientação ao longo do ano, por isso haverá sempre um ponto em que estará em movimento em relação ao éter. que o vento etério é não nulo (Fig. 4). Antes de analisar o setup notemos que se a onda é emitida com vetor de velocidade c no referêncial em repouso com o éter, no referêncial em movimento (com velocidade v), tem velocidade c = c + v. Logo se o feixe de luz for emitido na mesma direção de v a velocidade vai ser c = c + v (Ou seja é como se a onda fosse arrastada com o vento nessa direção). Na direcção oposta será c = c v (ou seja a onda é travada pelo vento). Em geral, para um ângulo arbitrário, usando a denição da norma de um vetor c = c c (28) = ( c + v) ( c + v) (29) = c 2 + 2 c v + v 2. (30) Como c v = c v cos θ = cv cos θ em que θ é o ângulo entre os dois vetores, obtemos imediatamente os casos acima (onda com c na mesma direcção e na direção oposta ao vento) especializando para θ = 0 e π respetivamente. A experiência de Michelson Morley explora esta dependência angular utilizando o interferómetro de Michelson que é constituido por dois braços perpendiculares. Um bos braços é alinhado com a direcção do movimento da Terra, que supostamente (nalgum ponto da trajetória) estaria contra o vento etério, e o outro ca na direcção perpendicular. De qualquer forma, como a Terra se move ao longo da trajetória, mesmo que em algum ponto a Terra estivesse em repouso em relação ao éter, estaria certamente meses mais tarde em movimento em relação ao éter. A experiência consiste num interferómetro em que um feixe de luz é dividido em dois e viaja em cada braço em direcção a um espelho. Os braços têm o mesmo tamanho L (Fig. 5). Depois de serem reetidos de volta, são recombinados em direcção a um 10

Figure 5: Interferómetro de Michelson-Morley (esquerda). Representação esquemática da adição das velocidades na direção do vento (centro) e na direção perpendicular (direita). (Imagem extraída de Serway & Beichner) ponto de observação, interferindo um com o outro. Se os tempo relativo de viagem dos feixes em cada braço variar ao longo da experiência, então a posição das franjas de interferência deveria também variar. Por isso precisamos de determinar a diferença de tempos de propagação prevista pela teoria do éter. Por simplicidade consideremos o caso em que o vento está na direção do braço 2 (Fig. 5). Vamos analisar cada um dos braços: Braço 2 por O tempo total de ida e volta desde o divisor de feixe até ao espelho 2 é dado T 2 = T + T = L c v + L c + v = 2L c 1 1 v2 c 2 2L c + 2Lv2 c 3. (31) Braço 1 Para o espelho 1, primeiro temos que impôr a condição de que a velocidade do feixe c no referêncial de laboratório está na direcção perpendicular, ou seja c v = 0 (32) ( c + v) v = 0 (33) c v = v 2 (34) logo c 2 = c 2 v 2. (35) 11

Esquematicamente isto pode ser entendido na gura 5 (direita), em que vemos qua a direção em que temos que emitir a onda no referêncial do éter para que seja arrastada pelo vento v de modo a car na perpendicular no referêncial de laboratório, tem que ser num ângulo na direção oposta ao vento (isto está de acordo com c v < 0). O tempo total no braço 1 é L T 1 = T + T = 2 c2 v = 2L 2 c 1 1 v2 c 2 2L c + Lv2 c 3 (36) em que usamos o facto de independentemente de o feixe se movimentar para cima ou para baixo, o vento está sempre na perpendicular (ou seja a geometria é a mesma). Logo T T 2 T 1 Lv2 c 3. (37) Esta diferença de tempos entre a propagação dos dois feixes resulta numa diferença de fase que por sua vez resulta numa translação no padrão de interferência. Se rodarmos os dispositivo por 90º, os dois feixes trocam de papeis, e a diferença de tempo troca de sinal, provocando uma translação no padrão de inteferência de 2 T em relação à primeira conguração. A esta diferença temporal podemos associar uma diferença de caminho óptico que é dada por d = c(2 T ) = 2L v2 c 2 (38) Visto que uma translação de uma franja no padrão de interferência está associada a uma diferença de caminho óptico de 1 comprimento de onda, então se dividirmos esta distância pelo comprimento de onda da luz λ obtemos a translação esperada no padrão de interferência, que é dada por v 2 c 2 (39) δf = 2 L λ Na experiência de Michelson Morley o caminho óptico foi cerca de L = 11m e o comprimento de onda da luz, tipicamente 500 nm. Introduzindo estes valores e a velocidade típica da Terra e da luz, obtemos δf 0.44. A experiência de Michelson-Morley estava preparada para detetar δf 0.01 e nenhum resultado foi obtido. A experiência foi repetida desde então e algumas versões modernas de alta precisão conrmam o resultado que não existe nenhuma alteração no padrão de interferência. A conclusão é então que a velocidade da luz é independente do estado de movimento do observador, que as equações de Maxwell no vazio são independentes do referêncial e que o éter não existe. A questão que se põe é como reconciliar este resultado experimental com as leis da mecânica. 2 A teoria da relatividade restrita Na última secção descobrimos que as leis de transformação da relatividade Newtoniana, entre referênciais inerciais são incompatíveis com a teoria da propagação de ondas 12

electromagnéticas no vácuoo dada pelas equações de Maxwell. Por uma lado, as leis de transformação Newtonianas expressam o princípio que as leis da mecânica são independentes do estado de movimento uniforme entre sistemas de referência. Este princípio é chamado o princípio da relatividade de Galileu e é um dos postulados que é preservado na relatividade restrita. A relatividade restrita tenta conciliar o facto experimental e teórico de que a velocidade da luz no vácuo é constante com este mesmo princípio. Postulado 1 - Princípio da relatividade As leis da Física são as mesmas em todos os referênciais inerciais. Este postulado é em particular compatível com o facto de que as equações de Maxwell são as mesmas independentemente do movimento relativo entre uma fonte de luz e um observador. No entanto é incompatível com as leis de transformação Galileanas, visto que de acordo com a experiência de Michelson Morley a velocidade da luz não se transforma entre referênciais inerciais. Veremos abaixo que isto implica uma alteração das leis da mecânica, que no entanto, para baixas velocidades se reduzem às equações de Newton. O segundo postulado é por isso baseado na constância da velocidade da luz independentemente do movimento relativo entre referênciais. Postulado 2 - Constância da velocidade da luz constante em todos os referências inerciais. A velocidade da luz no vácuo é 2.1 Transformações de Lorentz Para recociliar as leis de transformação entre referênciais inerciais com os postulados da introdução, vamos analisar novamente a questão da propagação de uma onda de luz. Consideremos: ˆ ˆ um referêncial em repouso O em que uma onda esférica de luz que é emitida no instante t = 0 a partir de uma fonte na origem. uma fonte em movimento uniforme (referêncial O ) ao longo do eixo do x, com velocidade v e que essa fonte emite uma onda de luz também em t = 0, instante esse em que coincide com a fonte em repouso (O = O em t = 0). De acordo com o postulado da constância da velocidade da luz, a onda propaga-se nos dois referências à velocidade c. A posição da frente de onda Σ no referêncial em repouso (Fig. 6) para t > 0 depois de ser emitida, é dada pela equação de uma esfera com raio R = ct ou seja x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. (40) Para a onda emitida no mesmo ponto no referêncial em movimento, a frente de onda Σ obedece à mesma equação mas em coordenadas com linhas. Usando a transformação 13

Figure 6: Frentes de onda segundo transformação galileana (extraído de Stephani, H; Relativity) galileana obtemos a equação para a segunda esfera x = x vt (41) y = y (42) z = z (43) (x vt ) 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. (44) Por isso a segunda frente de onda esférica de luz não coincide com a primeira (Σ Σ ). No entanto isto entra em conito com o primeiro postulado, visto que os dois pulsos de luz foram emitidos simultâneamente no mesmo ponto e a sua propagação (ou seja a lei da Física associada) não pode depender do estado de movimento relativo da fonte. Isto indica: ˆ Necessidade de alterar a noção de eventos simultâneos, alterando as leis de transformação entre referênciais inerciais. Consequentemente as leis de Newton, terão também que ser alteradas de forma a permanecerem invariantes relativamente às novas transformações. Como o princípio que estamos a seguir é o de tornar a teoria compatível com o eletromagnetismo, e em particular manter a invariância das frentes de onda de luz independentemente do referêncial, é conveniente re-escrever a equação para a frente de onda de luz da seguinte forma sugestiva c 2 t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 0. (45) 14

Esta expressão é bastante semelhante a um produto escalar. As coordenadas espaciais e temporais aparecem nesta expressão de uma forma semelhante a menos do sinal menos para a coordenada temporal. Por isso denimos o 4-vetor r T = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (ct, x, y, z). A expressão (45) não é mais do que um produto escalar modicado para este vetor em que em vez da matriz identidade entre o vetor linha e coluna temos uma matriz η = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A frente de onda toma então a forma matricial 1 0 0 0 r T η r = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 0 x 1 x 2 x 3 (46) = c2 t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 0. (47) Este é o produto escalar entre vetores no espaço tempo, natural na teoria relativista, que vamos requerer que seja invariante quando mudamos de referêncial inercial. Ou seja, se as novas transformações entre referênciais inerciais deixarem este produto escalar invariante, então as frentes de luz também serão invariantes. Tal como na mecânica Newtoniana investigamos transformações até ordem linear nas coordenadas. Uma boa razão para fazer tal escolha é porque queremos perturbar ao mínimo as equações de Newton, que deverão ser ainda de segunda ordem na versão relativista e se deverão reduzir às equações de Newton usuais a baixas velocidades. Consideremos por isso uma transformação linear genérica das coordenadas do referêncial O para um referêncial O (para já ignoramos translações) representada por uma matriz L que transforma um 4-vetor r no referêncial O para um 4-vetor r = Lr (48) no referêncial O. Para a frente de onda ser independente do referêncial, então requeremos r T η r = r T η r (49) (Lr) T η Lr = r T η r (50) r T L T ηlr = r T η r. (51) Tal como zemos para o produto escalar quando denimos o grupo das rotações, para isto ser válido para qualquer x, temos a condição 1 0 0 0 1 0 0 0 L T ηl = η L T 0 1 0 0 0 0 1 0 L = 0 1 0 0 0 0 1 0. (52) 0 0 0 1 0 0 0 1 15

Logo as transformações de Lorentz consistem no conjunto de matrizes que são ortogonais em relação a η. Por exemplo se considerarmos transformações independentes do tempo, ou seja na forma ( ) 1 0 L = (53) 0 R obtemos novamente a condição para o grupo de rotações. Ou seja o grupo de Lorentz contém também o grupo das rotações. A lei de transformação das velocidades, contendo velocidades, terá que ser dependente do tempo (tal como as transformações de Galileu). Ou seja alguns termos da primeira linha e coluna não podem ser zero. Por simplicidade vamos considerar transformações na direção x, ou seja uma transformação x x = C(ct) + Dx e x 0 = ct ct = A(ct) + Bx, em que os coeciente são indeterminados para já. De facto isto será sucientemente geral para derivar toda a informação que precisamos sobre transformações das velocidades. Ou seja a matriz de transformação é L = Inserindo na condição de ortogonalidade A C 0 0 1 0 0 0 B D 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 obtêm-se 3 condições A B 0 0 C D 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A B 0 0 C D 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (54) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (55) C 2 A 2 = 1 (56) D 2 B 2 = 1 (57) CD = AB (58) Estas condições podem ser resolvidas com um único parâmetro de forma análoga às rotações espaciais num plano A = D = cosh φ (59) C = B = sinh φ (60) e por isso chamamos-lhes pseudo-rotações. Este resultado pode ser interpretado sicamente usando a denição de velocidade no referêncial O. Vamos primeiro escrever novamente as transformações ct = cosh φ ct sinh φ x (61) x = sinh φ ct + cosh φ x (62) 16

ct ct v O x O x Figure 7: Referêncial O em movimento em relação ao referêncial O. posição da origem do referencial O está por denição em x = 0. Note-se que a Consideremos a posição da origem do referêncial O vista pelo referêncial O (Fig. 7). A equação desse ponto é x = 0 (63) sinh φ ct + cosh φ x = 0 (64) x = tanh φ ct (65) Logo o referêncial O moves-se com velocidade v = c tanh φ visto por um observador no referêncial O. Resolvendo para v camos com a forma convencional da transformação de Lorentz ct = 1 ct 1 v2 c 2 x = v c2 v ct + 1 2 v c2 v 2 x (66) 1 v2 c 2 x (67) No limite de baixas velocidades isto reduz-se a uma transformação de galileu. Notemos neste ponto, mais uma vez a semelhança destas pseudo-rotações com o grupo das rotações: A pseudo-rotação é feita num plano xt do espaço tempo (analogamente com a rotação espacial no plano xy discutida anteriormente num exercício). Em forma matricial podemos então escrever L = onde denimos γ = cosh φ sinh φ 0 0 sinh φ cosh φ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 v2 c² = γ γ v c 0 0 γ v c γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (68). Neste ponto notamos que a velocidade aparece sempre com um fator de c. A representação da esquerda é particularmente útil quando efetuamos duas transformações de Lorentz, isto porque tal como para o grupo das rotações, 17

ct ct ct v1 v2 v=(v1+v2)/(1+v1v2/c/c) O x O x O x Figure 8: Composição de duas transformações de Lorentz. Note as linhas ponteadas que ligam os vetores de velocidade à origem relativamente à qual os medimos. Por isso v 1 é a velocidade de O em relação a O, v 2 a velocidade de O em relação a O e a velocidade composta v de O em relação a O. a composição de duas pseudo-rotações no mesmo plano (xt neste exemplo), é dada por uma pseudorotação em que somamos o pseudo-ângulo. Consideremos por isso duas pseudo-rotações com pseudo-ângulos φ 1, φ 2 e velocidades associadas v 1 e v 2. Ou seja, consideramos um referêncial O em movimento em relação a O com velocidade v 1 = c tanh φ 1 (69) e um referêncial O em movimento em relação a O com velocidade v 2 = c tanh φ 2 (70) (Fig. 8) então a operação composta tem pseudo-ângulo φ = φ 1 + φ 2 e velocidade v = c tanh(φ 1 + φ 2 ) = v 1 + v 2 1 + v 1v 2 c 2. (71) (verique isto fazendo o produto das duas matrizes de tranformação). Uma consequência imediata destas expressões é que a velocidade da luz não pode ser ultrapassada visto que 1 < tanh φ < 1. Em particular, se a velocidade do referêncial O em relação a O for v 2 = c, então é também v = c em relação a O (novamente isto expressa a invariância dos raios de luz, que se propagam à velocidade c em relação a todos os referênciais). A velocidade da luz toma por isso o papel de velocidade limite na teoria. É de notar ainda que podemos adicionar a este grupo de transformações, o grupo das translações espaciais constantes sem entrar em conito com os postulados da relatividade restrita. Tais translações correspondem apenas a uma escolha diferente de origem para o referêncial inercial. 2.2 Consequências das novas leis e diagramas espaço-tempo Na secção anterior, re-analisamos a questão da lei de transformação entre referênciais em movimento relativo uniforme, e adaptamos essa lei para ser consistente com a ex- 18

Figure 9: Espaço tempo de Minkowski (Figura extraida de Stephani, H. Relativity) periência de Michelson-Morley. Deste modo, a nova lei de transformação de Lorentz é tal que a velocidade da luz é constante para todos os observadores inerciais (i.e. em movimento relativo uniforme). Então se dois raios de luz são simultâneos (no espaço e no tempo) num dado referêncial inercial, então são simultâneos em todos os referênciais inercias (foi essa a premissa na derivação das transformações de Lorentz, quando impusemos que as frentes de onda das duas ondas de luz emergentes de um ponto coincidente num referêncial, assim o tinham que ser em qualquer outro referêncial em movimento uniforme). Também referimos que no limite de baixas velocidades v, as leis de transformação de Lorentz se aproximam das leis de transformação de Galileu. No entanto visto que as novas leis de Lorentz também se vão aplicar à mecânica, surge a questão de quais serão as consequência para partículas movendo-se a velocidades comparáveis com a da luz. Como veremos na próxima secção, existem inúmeras situações experimentais/observacionais no domínio da Física de partículas, em que partículas sub-atómicas se movem a velocidades elevadas, ou seja as correcções às leis de transformação Galileanas são absolutamente necessárias para descrever o seu comportamento. Antes de continuar, no entanto, vamos primeiro introduzir o conceito de diagrama de espaço-tempo de Minkowski, que é muito útil para visualizar as diversas situações a tratar. Nas secções anteriores, denimos um vetor no espaço-tempo em que adicionamos às componentes espaciais a componente temporal r T = (x 0, x 1, x 2, x 3 ). As transformações de Lorentz foram obtidas assumindo uma invariância do produto escalar relativista para este vetor de posição no espaço-tempo. Este vetor pode ser visualisado num diagrama espaço-tempo em que representamos o tempo no eixo vertical e as direcções espaciais na direção horizontal (Fig. 9). Neste tipo de diagrama, um observador em repouso segue linhas verticais ( r = constante) e por exemplo dois ob- 19

Figure 10: Transformação dos eixos numa transformação de Lorentz (extraido de Stephani, H. Relativity) servadores separados espacialmente em t = 0 em pontos r 1 e r 2, ocupam dois pontos num plano horizontal. Com vimos na secção anterior, neste diagrama, um raio de luz emergente da origem é representado pelo conjunto de pontos tais que r T η r = (x 0 ) 2 + (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 = 0 (72) (x 0 ) 2 + R 2 = 0 (73) R = ± x 0 (74) Se representarmos uma projecção x 0, R então estas duas soluções correspondem as duas retas que intersetam a origem com um ângulo de π/4 com a horizontal. Se por exemplo suprimirmos uma das direcções espaciais isto corresponde a um cone. Por isso mesmo o conjunto de pontos no diagrama espaço tempo correspondente a uma frente de onda de luz são designados o cone de luz do ponto de onde a luz foi emitida (neste caso a origem). Neste diagrama as linhas verticais com ct variavel e as coordenadas espaciais constantes x = y = z = constante representam observadores em repouso neste referêncial. Observadores para t = 0 em pontos com diferente localização espacial r 1, r 2 estão claramente separados espacialmente. Consideremos um observador no plano (x 0, x) = (ct, x) movendo-se ao longo de uma reta x = vt (75) = v c x0 (76) = tanh φ x 0 (77) Como v = tanh φ < 1 esta reta encontra-se no interior do cone de luz e é uma c trajetória do tipo tempo. A interpretação desta reta é imediata. Como se encontra dentro do cone de luz, se ao mesmo tempo que a partícula passa pela origem O um raio de luz é emitido, a partícula vai-se mover ao longo do eixo x positivo antes da frente de onda que se propaga à velocidade da luz. Esta reta corresponde ao eixo x 0 = ct 20

ct Evento no futuro de P P Evento espacialmente separado de P Evento espacialmente separado de P O Evento no passado de P x Figure 11: Cones de luz em torno de vários pontos. Eventos temporalmente e espacialmente separados de P. (representada no diagrama da gura 10) no referêncial O em que a partícula estaria em repouso (tal como mencionado acima uma partícula em repouso move-se ao longo do eixo temporal). Do mesmo modo, podemos descobrir qual a reta correspondente ao eixo espacial x 1 neste referêncial. Para tal, basta novamente olhar para a transformação de Lorentz entre os dois referênciais, e notar que da mesma forma que o eixo temporal é denido pela condição x 1 = 0, o eixo espacial é denido pela condição x 0 = 0 (ou seja tempo constante e igual a zero). Obtemos então 1 1 v2 c 2 x 0 = 0 (78) x 0 v c2 v 2 x1 = 0 (79) x 1 = c v x0 = 1 tanh φ x0 (80) Esta reta é dada por uma reexão relativamente ao cone de luz, da reta obtida para o eixo x 0 (porque o seu declive é o inverso). Como consequência, qualquer trajetória espacial está fora do cone de luz. A análise acima foi feita para trajetórias em torno da origem. No entanto a teoria é invariante por translações, por isso podemos generalisar estas conclusões em torno de qualquer ponto P (Fig. 11). Podemos por isso desenhar um cone de luz para qualquer ponto P neste diagrama e classicar os pontos no interior do cone de luz como causalmente ligados, ou equivalentemente, temporalmente ligados a esse ponto, visto que é sempre possivel emitir uma partícula com velocidade física (v < c) que chega a esse ponto. Os pontos no interior do cone de luz futuro são o futuro do ponto P e os pontos no cone de luz passado são o passado do ponto P. Por outro lado, pontos fora do cone de luz estão espacialmente separados, visto que não é possível desenhar uma reta de uma partícula com velocidade física (v < c), que passe por esse ponto. Estas conclusões podem ser sistematizadas notando que: 21

P2 ct r P1 r w ct vetor temporal P1 P2 P2 vetor nulo P2 vetor espacial O x O x Figure 12: Vetores no espaço-tempo (esquerda). nulo e espacial (direita). Classicação de vetores, temporal, ˆ O espaço-tempo de Minkowski é um espaço vetorial com um produto escalar η, invariante por transformações de Lorentz. Deste modo podemos em geral denir vetores neste espaço em torno de qualquer ponto, tal como fazemos no espaço euclideano 3-dimensional usual. Por exemplo, dados dois pontos P 1 e P 2 com 4-vetor de coordenadas r T e w T podemos denir um vetor apontando de P 1 para P 2 como (Fig. 12, esquerda) ( r 0, r 1, r 2, r 3 ) r T = r T w T = (r 0 w 0, r 1 w 1, r 2 w 2, r 3 w 3 ) (81) Usando o produto escalar classicamos este (ou qualquer) vetor da seguinte forma ( r 0 ) 2 + ( r 1 ) 2 + ( r 2 ) 2 + ( r 3 ) 2 r T η r = 0 nulo (82) r T η r < 0 temporal (83) r T η r > 0 espacial (84) Que corresponde ao vetor apontando na mesma direcção que o cone de luz (a um ângulo de π/4 no diagrama espaço-tempo), para dentro do cone de luz e para fora do cone de luz respetivamente (Fig. 12, direita). Para vetores temporais, à sua norma chamamos o tempo próprio para a partícula viajando entre os dois eventos. Ou seja se r T η r < 0 denimos o tempo próprio τ tal que r T η r = c 2 τ (85) Esta designação deve-se ao facto de no referêncial onde a partícula está em repouso ser esse o tempo de viagem entre os dois eventos. Nesse referêncial, o vetor temporal está ao longo do eixo temporal (Fig. 13, esquerda). De um modo semelhante, para vetores espaciais, denimos a distância própria entre os dois eventos associados como o comprimento próprio do vetor. Ou seja se r T η r > 0, a distância própria d é denida como r T η r = d (86) 22

ct ct ct ct vetor temporal r x x O x O r vetor espacial x Figure 13: Vetor temporal (esquerda) ao longo do seu eixo temporal no referêncial em repouso. Vetor espacial (direita) ao longo do seu eixo espacial no referêncial em repouso. Esta separação espacial é a medida num referêncial em que os dois eventos estão ao longo de um eixo espacial, ou seja os eventos nesse referêncial são simultâneos (Fig. 13, direita). Note-se que esta classicação dos vetores está intimamente ligada às seguintes propriedades: ˆ ˆ ˆ Eventos separados por um vetor temporal: Não é possível nunca fazer uma tranformação de Lorentz tais que se tornem simultâneos. No entanto existe sempre um referêncial (através de uma transformação de Lorentz), onde os eventos ocorrem no mesmo ponto do espaço separados pelo tempo próprio. Eventos separados por um vetor espacial: Não é possível nunca fazer uma tranformação de Lorentz tais que se tornem espacialmente coincidentes. No entanto existe sempre um referêncial (através de uma transformação de Lorentz), onde os eventos são simultâneos e separados por uma distância espacial dada pela distância própria. Eventos separados por um vetor nulo: Estes eventos são nulos em qualquer referêncial. Dilatação do tempo Neste formalismo podemos observar imediatamente o fenómeno da dilatação dos tempos (Fig. 14, esquerda). Consideremos dois eventos que num referêncial ocorrem no mesmo ponto mas em tempos diferentes. Podemos descrever esses dois eventos por um vetor de separação no espaço tempo dado por r T = (ct, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) = (ct, 0, 0, 0) (87) Onde enfatizamos os dois eventos escrevendo explicitamente os vetores de posição no espaço tempo dos dois eventos. Podemos vêr como um observador em movimento 23

ct ct ct ct T x r x r O x O r d x Figure 14: Construção para derivar a dilatação dos tempos (esquerda) e contração do espaço (direita). observa estes dois eventos aplicando uma transformação de Lorentz com velocidade v γ γ v 0 0 ct γct c r = L r = γ v γ 0 0 c 0 0 0 1 0 0 = γ v c T (88) 0 0 0 0 1 0 0 Observamos imediatamente que a distância temporal passa a ser T = γt = T 1 v2 c 2 (89) Ou seja um observador em movimento vê o tempo entre os dois eventos a abrandar. Contração do espaço Neste formalismo, é também simples de observar o fenómeno da contração do espaço. Este fenómeno consiste na contração do comprimento medido entre dois eventos separados espacialmente, quando medido por observador num referêncial em movimento (Fig. 14, direita). Consideremos para isso um vetor r T = (0, d, 0, 0) r T η r = d 2 > 0 (90) ou seja em que a distância entre os dois eventos é dada por d, neste referêncial em que são simultâneos. Podemos associar a estes eventos separados espacialmente uma barra rígida, com duas linhas de mundo temporais (linhas verticais no diagrama). A linha de mundo do extremo que começa na origem é representada por um vetor w e a linha de mundo do outro extremo é representada por um vetor r, ou seja o vetor de separação entre os dois eventos é r T = r T w T = (t, d, 0, 0) (t, 0, 0, 0) = (0, d, 0, 0) (91) 24

Para medir a distância num referêncial em movimento, precisamos de determinar a interseção das linhas de mundo de cada extremo com o eixo espacial do referêncial em movimento. Primeiro transformamos o vetor associado a cada trajetória r = L r = w = L w = γ γ v c 0 0 γ v c γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 γ γ v c 0 0 γ v c γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 t d 0 0 = t 0 0 0 = γt γ v c d γ v c t + γd 0 0 γt γ v c t 0 0 (92) (93) Agora precisamos que t = 0 para os dois eventos (ou seja, a posição dos exremos da barra é medida simultâneamente no referêncial de um observador em movimento). Ou seja para o vetor r precisamos que t = 0 (94) γt γ v c d = 0 (95) t = v c d (96) e para w γt = 0 t = 0 (97) O vetor espacial neste referêncial passa então a ser r T = r T (t = v c d) wt (t = 0) = (0, γ v c (v c d)+γd, 0, 0) (0, 0, 0, 0) = (0, 1 v2 d, 0, 0) c2 (98) ou seja o comprimento da barra é menor (foi contraído). Uma observação importante desta construção, que é observável nos diagramas da gura 14, é que eventos que são simultâneos num referêncial, deixam de ser simultâneos num referêncial em movimento. 2.3 Leis da mecânica relativista Tal como temos vindo a mencionar, visto que mudamos as transformações que deixam as leis da Física invariante, e visto que a mecânica Newtoniana é invariante mediante transformações de Galileu, temos que modicar as leis da mecânica para serem invariantes mediante transformações de Lorentz. Como vimos na secção anterior o conceito de espaço-tempo e 4-vetores é bastante útil e garante que construimos quantidades que são invariantes de Lorentz. Por isso mesmo, para formular as leis da mecânica de uma partícula, consideremos o 4-vetor no espaço tempo que descreve a trajetória da 25

Figure 15: Trajetorias de partículas no espaço-tempo., (a) trajetória de uma partícula em repouso, (b) partícula acelerada, (c) colisão de duas partículas. (Adaptado de Stephani, H. Relativity) partícula x T = (x 0, x) = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) (Fig. 15). Na mecânica Newtoniana, a trajetória da partícula é descrita com um 3-vetor espacila r, que é uma função do tempo. No entanto, como vimos nas secções anteriores, o tempo medido por um observador não é uma propriedade invariante. Por isso, alternativamente, visto que temos usado repetidamente o produto escalar no espaço tempo que é um invariante relativista, vamos usar o tempo próprio que designamos de τ. Ou seja se x T (τ) = (x 0 (τ), x(τ)) = (x 0 (τ), x 1 (τ), x 2 (τ), x 3 (τ)) (99) e considerarmos um passo innitesimal dx da trajetória temporal da partícula, denimos o passo associado o tempo próprio dτ tal que dx T η dx c 2 dτ 2 (100) (dx 0 ) 2 + (d x) 2 = c 2 dτ 2 (101) c 2 dt 2 + (d x) 2 = c 2 dτ 2 (102) dt 2 (1 v2 c ) = dτ 2 2 (103) 1 dt = dτ (104) 1 v2 c 2 onde usamos a relação d x = vdt e conseguimos obter uma relação entre o intervalo de tempo coordenado dt e o intervalo de tempo próprio dτ. Esta relação não é mais que a dilatação do tempo coordenado em relação ao tempo próprio. Para formular as equações do movimento, visto que estamos a trabalhar com um espaço-tempo, o mais natural é considerar generalizações 4-dimensionais das quantidades cinemáticas usuais (velocidades, acelerações, etc...). Tal como o 4-vetor de 26

posição, podemos denir uma 4-velocidade, que será o vetor tangente à trajetória no espaço-tempo u T dxt dτ (105) em que usamos o tempo próprio como parâmetro da trajetória. Usando o produtoescalar no espaço tempo e a denição de tempo próprio, podemos mostrar que dx T η dx = c 2 dτ 2 (106) dxt dτ η dx dτ = c 2 (107) u T η u = c 2 (u 0 ) 2 = c 2 v 2. (108) Ou seja, existe uma restrição que relaciona as 4-componentes. Do mesmo modo podemos denir uma 4-aceleração a T dut dτ = d2 x T dτ 2 (109) Diferenciando a relação anterior podemos mostrar que d ( u T η u ) = d( c2 ) dτ dτ a T η u = 0. Finalmente, escrevemos a lei de Newton relativista usando a 4-aceleração e denindo uma 4-força F que teremos que interpretar F = m 0 a = dp dτ (110) onde denimos um parâmetro m 0 que chamamos a massa em repouso, e denimos um 4-momento P m 0 u. Note-se que P T η P = m 2 0c 2 (111) A relação da 4-força com a força Newtoniana pode ser motivada usando o limite de baixas velocidades. Nesse limite temos que recuperar as leis de Newton para a parte espacial da Força e da aceleração. No entanto isso não nos xa a parte temporal da Força. Para isso precisamos de notar que usando a T η u = 0 podemos obter F 0 u 0 + F v = 0 (112) F 0 = F v u 0 F v c (113) Logo a baixas velocidades, ou num referêncial em que a partícula está momentaneamente em repouso F = ( F v u 0, F ) F (0, F N ) (114) 27

Onde identicamos a força Newtoniana no referêncial em repouso. Agora se transformarmos para um referêncial com velocidade v relativista a partícula vai adquirir essa mesma velocidade e a força, sendo um 4-vetor, transforma-se de acordo com as tranformações de Lorentz (note-se que como estamos a observar a partícula no referêncial em movimento temos que usar a transformação inversa ou seja substituir v v, ou seja o referêncial em repouso está a mover-secom velocidade v em relação ao nosso referêncial). Logo concluimos que em geral F = (γ F N v c, γ F N ) (115) Usando esta forma, podemos escrever a parte espacial da equação do movimento d 2 r m 0 = γf dτ 2 N (116) dt d 2 r m 0 = γf dτ dtdτ N (117) m 0 γ d ( ) dt d r = γf dt dτ dt N (118) d dt (γm 0 v) = F N (119) d dt (m(v) v) = F N (120) Esta equação é semelhante à forma Newtoniana com a diferença que a massa m(v) depende da velocidade. Como consequência, esta massa efetiva da partícula aumenta à medida que nos aproximamos da velocidade da luz e vai para innito nesse limite, ou seja a inercia da partícula cresce indenidamente, impedindo-a de alcançar a velocidade da luz. Em relação à componente F 0, obtemos m 0 dt dτ d dt d 2 x 0 m 0 = γf dτ 2 N v ( ) c d(ct) = γf dτ N v c m 0 cγ d dt (γ) = γ F N v c m 0 cγ d dt (γ) = γ F N v c (121) (122) (123) (124) d dt ( mc 2 ) = F N v (125) Esta equação é semelhante à equação para a variação da energia cinetica da partícula, E cinética = mv 2 /2, em mecânica Newtoniana, com a substituição mc 2. Esta quantidade, descreve a variação da energia total da partícula que em relatividade restrita é 28