FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 5 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Considere as três proposições seguintes: a: O Vasco pratica voleibol; b: O Vasco pratica surf; c: O Vasco não pratica ténis (10) 1.1. Traduza simbolicamente cada uma das seguintes proposições: a) O Vasco não pratica voleibol nem pratica ténis. R: ~ a c b) Se a Vasco não pratica surf, então pratica ténis ou pratica voleibol. R: ~ b ~ c a (10) 1.. Diga, justificando, qual é a negação da proposição: «O Vasco não pratica surf ou pratica voleibol». ou ~ b ~ c a (A) Se o Vasco pratica surf, então pratica voleibol; (B) O Vasco pratica surf e voleibol; (C) O Vasco pratica surf e não pratica voleibol; (D) O Vasco pratica surf ou não pratica voleibol. Simbolicamente, a proposição dada corresponde a ~ b a. Queremos saber qual é a proposição ~ ~ b a. Ora, esta proposição equivale a b ~ a (lei de De Morgan). Assim, a negação da proposição dada é «O Vasco pratica surf e não pratica voleibol», opção C. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/5 Versão 5
(15) 1.3. Sabe-se que a proposição ~ a b c ~ a é verdadeira. Indique o valor lógico das proposições a, b e c, e diga qual ou quais são as modalidades que o Vasco pratica. Explique todos os raciocínios efetuados. Como ~ a b c ~ a é Verdadeira, sabemos que Mas, se ~ a b V, então Assim, c ~ a c F só é Verdade se c V. Portanto, a V, b F e c V a b F, isto é, a V e b F. Logo, o Vasco pratica apenas voleibol, pois c é verdadeira. Outro processo: Construir uma tabela de verdade. Dados o conjunto U 3, 6, 9, 18 a x : x 4 b x : x x c x : x ~ a b V e c ~ a V ; e as condições a x, b x e (10).1. Indique, justificando, qual das proposições seguintes é falsa. (A) x, bx cx (B) x, cx ax (C) x, ax bx (D) x : bx cx As condições a x e bx são equivalentes em também é solução da outra. Logo, a opção C é verdadeira. Assim, qualquer número que satisfaça c x também satisfaz Todos os números inferiores a - transformam D é verdadeira. Portanto, A é falsa. Por exemplo, b c x, definidos por:, pois qualquer número real que satisfaz uma a x, ou seja, B é verdadeira. b x e cx em proposições verdadeiras. Logo, Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /5 Versão 5 3 c 3 é falsa. (15).. Classifique, em U, as condições: a x, b x e ~ ax c x. a x é universal em U, pois o quadrado de qualquer elemento de U é superior a 4. b x x x, é universal em U, pois toso os seus elementos estão entre - e. ~ a x c x ~ x 4 x elemento de U verifica pelo menos uma das condições. x 4 x é impossível em U, pois nenhum
(15).3. Indique, justificando, o valor lógico das proposições: p : x U : ~ b x q : x U, ~ c x Como ~ b x x é impossível em U, então a proposição p é falsa. Como ~ x x é universal em U, então a proposição q é verdadeira. ~ cx (10).4. Indique, justificando, qual das proposições abaixo não é equivalente à proposição: x U, ~ ax cx Temos x U, ~ ax cx (A) x U, x 4 x (B) x U, x 4 x x U, ~ x 4 x opção A x U, x 4 x opção B (C) x U, x x 4 x U, ~ x ~ x 4 opção C (D) x U, x 4 x só D é Falsa (negação da proposição dada) (10) 3. Sejam p x e Sabe-se que a condição u x duas condições definidas num universo U. u x é universal. Justifique que a condição px u x Como a condição proposição verdadeira. Assim, a proposição pa ua é universal em U. u x é universal, então qualquer elemento a de U transforma ua numa também é verdadeira, pois V q V, qualquer que seja o valor lógico de q (V é o elemento absorvente da disjunção). Desta forma, todos os elementos de U transformam pa ua pelo que a condição px u x é universal em U. numa proposição verdadeira, 4. Considere, em, os seguintes conjuntos definidos em compreensão. A x : x 5 9 x é ímpar B x : x 6 x C x : x 4 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 3/5 Versão 5
(15) 4.1. Represente em extensão cada um dos conjuntos. A = x : x 7 x é impar = 1, 3, 5 c.a. x 5 9 x 14 x 7 B = x : x 6 x = 3, 1 15 1 5 c.a.: x 6 x x x6 0 x x x 3 x C = x : x 4 = 3,, 1, 0, 1,, 3 (15) 4.. Defina, em extensão, cada um dos conjuntos: a) A C R: A C b) B C \ A R: B C B = 1, 3, 5 3,, 1, 0, 1,, 3 = 13, =, 3 3,, 1, 0, 1,, 3 = 3,, 1, 0, 1,, 3 C \ A=3,, 1, 0, 1,, 3\ 1, 3, 5 = 3,, 1, 0, c) A\C R: A\C = 1, 3, 5\ 3,, 1, 0, 1,, 3 = 5 (10) 4.3. Indique, justificando, qual das proposições seguintes é verdadeira: (A) x, xb x A Falsa, pois B A (B) x, xc x B Falsa, pois C B (C) x, xb x C Verdadeira pois B C (D) x, xc x A Falsa, por exemplo, 5 C e 5 A, isto é,, 3 3,, 1, 0, 1,, 3 5. Considere as proposições: a: Qualquer número real é menor ou igual ao seu dobro. b: Há números racionais não negativos cujo quadrado é não positivo. (15) 5.1. Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições e indique o seu valor lógico. a: x, x x b: é uma proposição falsa, pois 1 1 é falso. x. x : x 0 x 0, é uma proposição verdadeira, para 0 Ou x 0: x 0 (15) 5.. Escreva a negação de cada uma das proposições dadas, em linguagem simbólica e em linguagem natural, sem utilizar o símbolo ~, nem a expressão «Não é verdade que». x : x x ~ a : ~ x,x x Existe pelo menos um número real que é maior do que o seu dobro. ~ b : x,~ x 0 x 0 x,~ x 0 x 0 x, x 0 x 0 Todo o número racional é negativo ou o seu quadrado é positivo. Ou x, x 0 0 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 4/5 Versão 5
(15) 5.3. Sem recorrer a tabelas de verdade, mostre que a proposição seguinte é uma tautologia: a a b a ~ b Temos de mostrar que a proposição é verdadeira usando as propriedades das operações lógicas: a a b a ~ b a ~ a b ~ a ~ b a ~ a b ~ b a ~ a F a ~ a V c.q.m. 6. Considere a proposição seguinte, definida no conjunto dos números naturais. «Se n é um número primo, então não é um quadrado perfeito.» (5) 6.1 Escreva a proposição dada em linguagem simbólica. Temos n, n é primo n não é quadrado perfeito (15) 6. Indique o valor lógico da proposição dada, apresentando um contraexemplo, no caso de ser falsa, ou provando-a por contrarrecíproco, caso seja verdadeira. Esta implicação só é falsa se houver algum número que seja quadrado perfeito e que seja primo, pois só V F F. Por exemplo, 1 é quadrado perfeito, mas 1 não é primo (1 não é contraexemplo) 4 é quadrado perfeito, mas 4 não é primo (4 não é contraexemplo) Estes exemplos apontam para a veracidade da proposição dada. Vejamos se a contrarrecíproca é verdadeira: Queremos provar que n, n é quadrado perfeito n não é primo Ora, se n é quadrado perfeito então n k, para algum k. Para k 1 temos Para k 1 temos n 1 1 não é primo, pois tem apenas um divisor (o próprio 1). n k k k não é primo, pois é divisível por k, com 1k n. Neste caso, n tem pelo menos 3 divisores 1,k,n, o que significa que não é primo. Portanto, n k não é primo, para qualquer k. Como a contrarrecíproca é verdadeira, então a proposição dada é verdadeira. BOM TRABALHO Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/5 Versão 5