Alexandre Barcinski Bernardo Calmon Ou Pin e Almeida Márcio Gomes Pino Garcia Marcos Anonio Couinho da Silveira Modelos da família Generalized Auoregressive Condiional Herocedasiciy-GARCH êm sido sugeridos como alernaiva eficiene ara a esimação da volailidade do reorno de aivos financeiros. Enreano, essa família assume que choques osiivos e negaivos no reorno dos aivos, com a mesma magniude, exercem imaco idênico sobre a volailidade, enquano a observação emírica acusa que choques negaivos aresenam imaco maior que os osiivos, fao usualmene referido na lieraura como efeio assimeria. Nese arigo, modelos que cauram esse efeio são aresenados e emregados, junamene com modelos da família GARCH, na esimação da volailidade do reorno de ações brasileiras. Teses de esecificação e simulações com séries hisóricas são realizados a fim de avaliar comaraivamene esses modelos, ermiindo assim inferir se o efeio assimeria é relevane no caso dos aivos brasileiros e, em caso afirmaivo, avaliar se esse efeio é fore o suficiene ara jusificar o emrego de modelos que o cauram no cálculo do VAR (value-a-risk). 1. INTRODUÇÃO Em arigo recene nesa revisa [veja bibliografia ao final dese arigo], os auores sugerem, aroriadamene, o emrego de modelos da família GARCH como alernaiva mais eficiene na esimação da volailidade condicional do reorno de aivos financeiros. É inquesionável que esses modelos sejam sueriores aos méodos de esimação enconrados na maioria dos acoes de gerenciameno de risco, aé orque os úlimos, em geral, resulam de resrições araméricas imosas sobre a família GARCH. Exemlo disso é o méodo do decaimeno exonencial, emregado elo oularizado RiskMerics ara a esimação de volailidades, que nada mais é que o modelo IGARCH sem consane. Enreano, a família GARCH sofre o sério inconveniene de não ser flexível o suficiene ara caurar imoranes roriedades enconradas nas séries de dados financeiros, como o imaco diferenciado de choques osiivos e negaivos, de mesma magniude, no reorno correne dos aivos sobre a volailidade de reornos fuuros, fao esilizado conhecido na lieraura como efeio assimeria. É or isso que se faz necessária a reesimação da volailidade do reorno dos aivos a arir de modelos aramericamene menos resriivos, caazes de ajusar-se mais adequadamene à base de dados exisene. Dois desses modelos são analisados nese rabalho: GJR, que resula de uma generalização direa do GARCH (1,1); e GARCH exonencial (Exonenial Generalized Auoregressive Condiional Herocedasiciy- EGARCH). Esses modelos serão esimados e seus resulados comarados com os da família GARCH. Esera-se que as aramerizações alernaivas ara a volailidade condicional, que ermiem caurar o efeio assimeria, forneçam esimaivas mais acuradas ara essa variável, embora qualquer ganho nesse senido recise ser comarado a uma rovável erda em ermos de maior esforço e comlexidade comuacionais. Resenha 116 -I
2. MODELO TEÓRICO Denoe-se or r+l a axa de variação do reço de um aivo qualquer no dia +l, ou seja: r +l = (P - )-:- +J I onde: P+le P = reços de fechameno do aivo em +l e, resecivamene. (1) Ignorando o agameno de dividendos, a variável r /+1 é o reorno diário do aivo em + 1. Assuma que rl+1 ossui uma disribuição de robabilidade condicionada a oda a informação disonível aé o dia, inclusive, cujas média e variância, denoadas or ~ e 0" 2, I I resecivamene, odem evenualmene deender desse conjuno de informação, ou seja: r +l -DIST(~ I a 2) (2) onde: 1.1 = E (r ); I I /+1 0'2= VAR(r ); I I /+1 DIST ( 0,0) = disribuição de robabilidade qualquer, não necessariamene normal. A hióese, frequenemene assumida, de que a disribuição condicional do reorno é normal, embora araiva ara fins de esimação da volailidade, revela-se irreal, uma vez confronada com a evidência emírica de que o excesso de achaameno e a as simeria (1) resenes na disribuição incondicional do reorno dos aivos financeiros são, em geral, novamene enconrados em sua disribuição condicional. O modelo se comlea com a aramerização da eserança e da variância condicionais do reorno r em (2) como função da informação disonível em, a qual, aendo-se aenas ao /+1 modelo aqui examinado, consise de odas as variáveis conhecidas aé esse dia, inclusive: o reorno correne r, a série de reornos assados (r, r,..., r) e a série de volailidades dos I 1 2 /-1 reornos correne e assados (0'2, 0'2,..., O' 2). Quano à eserança condicional, o modelo o 1 /-1 RiskMerics simlesmene sugere que essa é idenicamene nula, não deendendo, orano, da informação em, o que, ela lei das execaivas ieradas(2), imlica que a eserança incondicional ambém é nula, fao que não é corroborado elas séries hisóricas de reorno de muios aivos financeiros, inclusive de ações brasileiras. Uma alernaiva simles, que ermie uma hióese menos irreal, embora coninue assumindo uma eserança condicional indeendene da informação em, consise em assumir que: ~ = E (r )=c (3) +l (1) Sem muio rigor, ode-se dizer que uma disribuição de robabilidade aresena excesso de achaameno quando observações disanes da média são mais frequenes do que no caso da disribuição normal. Uma disribuição aresena assimeria osiiva (negaiva) quando observações à direia (esquerda) de sua média são mais frequenes. Assimeria é inexisene no caso da disribuição normal. (2) Para um variável aleaória qualquer X, a lei das execaivas ieradas esabelece que: E[X] = E[E,(X») Resenha 116-2
ara odo, onde c é uma consane não necessariamene nula. Dado seu maior realismo, esa será a hióese adoada nese rabalho. Resa, enfim, selecionar um modelo aramérico adequado à variância condicional do reomo dos aivos. De forma geral, odos os modelos analisados nese rabalho enquadramse na forma: 0'2 = {(E I O' 2 I e) (4) ou seja, a variância condicional do reomo em + 1, dada or 0'2, é uma função dos seguines I ermos: 1) a variância condicional do reomo em, dada or O' 2; /-1 2) o choque no reomo em, denoado or E e definido como E= r-u (3) ara odo ; " I I I /-1 3) o veor de arameros 8. Enconra-se abaixo uma sucina descrição dos modelos analisados, bem como de suas rinciais roriedades. P ARAMETRIZAÇÕES ALTERNATIVAS DA VARIÂNCIA CONDICIONAL 1. GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HEROCEDASTICITY-GARCH (, q) (J2=A+BE2+BE 2+...+BE 2+C O' 2+C O' 2+...+C O' 2; (5) 2 /-1 1 -+l 1 1-1 2 1-2 q -q e = (A, B, B,..., B, C, C,,c ) 2 Ao conrário dos modelos da classe ARCH, os da classe GARCH ermiem caurar movimenos ersisenes na volailidade dos aivos, rovocados or choques no reomo, sem er de esimar um grande número de arâmeros(4). Dado o limiado amanho das séries de reomo dos aivos, essa roriedade revela-se crucial ara garanir que os arâmeros sejam esimados de forma razoavelmene recisa. Condição suficiene ara que a variância condicional seja semre osiiva é que A seja osiivo e que os ouros (3) Como ~ = E (r ), E é roriamene inerreado como a are do reorno r não aneciado em -l. I-I I-I 1 1 1 (4) O modeloarch (P) assume a forma: a2=a+be2+b E 2+...+B E 2 I I 1 2 1-1 '-1'+1 Ao conrário do modelo GARCH, em que choques no reorno se roagam indefinidamene no fuuro, no modeloarch(p) choques no reorno defasados em mais de eriodos não em qualquer imaco sobre a volailidade condicional do reorno resene. O modelo GARCH ode, enão, ser viso como um ARCH(00). Resenha 116-3
arâmeros sejam não negaivos. O modelo GARCH mais usado na lieraura é o GARCH (1,1), o qual assume a forma: que ode ser reescria como: 0'2 = A +A E.2 + A O' 2 o I 2 /-1 (6) a2 = A +A (E2-O" 2)+(A +A )a 2 \ (7) I O 1 I /-1 1 2 /-1 Segue-se de (2) e da definição de E que a exressão (E 2-0" 2) em disribuição I I /-1 condicional (à informação em -1) com média zero. Esse resulado, or sua vez, imlica que a eserança condicional de a 2 é dada or: I E (a2) =A +(A +A )a 2 -l o 2 -l (8) Logo, com base em (7) e (8), o ermo do meio em (7) ode ser inerreado como um choque em 0" 2- com relação à eserança dessa variável condicionada à informação em -1, exressa em (8) -rovocado or um choque em r. O coeficiene A mede a exensão em que um choque no reorno hoje afea a volailidad~ do reorno do dia seguine, enquano a soma A +A mede a axa cujo imaco de um choque no reorno hoje se I 2 roaga ao longo do emo sobre a volailidade de reornos fuuros. Um alo valor ara essa soma significa que choques no reorno êm imaco foremene ersisene sobre a volailidade, ou seja, um choque no reorno hoje deverá afear significaivamene a volailidade em um ono razoavelmene disane do fuuro. Essa roriedade é melhor ilusrada quando a eserança da volailidade em um dia fuuro, condicionada à informação disonível em, é derivada a arir de (7) e (8), obendo-se ara i(i = 1,2,3,...) dias à frene a exressão: onde a consane R, dada or: E (a 2) = (A +A )i (a2-b)+b (9) +i 2 B =A 7(1-A -A (10) o 1 i é a eserança incondicional de 0" 2 no caso aricular em que A +A <1. Quando essa +i J 2 desigualdade é saisfeia, segue-se de (9) que a eserança da volailidade no dia + i, condicionada à informação disonível em, converge ara sua eserança incondicional, a uma axa A +A, à medida que esse dia se siua mais disane no fuuro, ou seja, 1 2 quando i aumena. Duas resrições ao modelo GARCH (1,1) são de esecial imorância ara ese rabalho, uma vez que esão associadas ao méodo de esimação de volailidade modelo RiskMerics. usado no Resenha 116-4
1.A. IGARCH com consane (J2=A+AE2+(1-A)(J 2;8=(A,A o I -l o Aqui, os coeficienes A e A em (6) somam I e a consane A ode assumir valor diferene I 2 o de zero. Para efeio de revisão da volailidade de reornos fuuros, isso imlica que: E (O' 2) = O' 2+iK 1+1 onde K é uma consane e i = 1,2,3, 1.B. IGARCH sem consane (RiskMerics} 0"2 = A c2+(1-a I ] 0" 2;e=A 1-1 1 Nesse modelo, além dos coeficienes A e A em (6) somarem 1, a consane A é nula. d 2 Esse modelo é equivalene ao méodo do ecaimeno exonencial emregado elo RiskMerics na esimação da volailidade. 2. GJR(5) 0'2 = A +A e2+a e21(e <O)+A 0' 2; e = (A,A, A,A I O 1 I 2 I I 3 1-1 O 1 2 ~ Ao conrário dos aneriores, esse modelo ermie que choques no reomo com sinais oosos aresenem imaco diferenciado -em ermos de magniude (valor absoluo) e direção (osiiva ou negaiva) -sobre a volailidade. Quando resene e relevane, essa assimeria é refleida no modelo GJR or um coeficiene A significaivamene diferene 2 de zero. Essa roriedade do modelo o ermie caurar imorane fao esilizado, documenado na lieraura como leverage effec, ou efeio assimeria, segundo o qual a magniude (valor absoluo) do imaco de um choque negaivo no reomo do dia sobre a variância do reomo do dia + 1 é maior que a de um choque osiivo com a mesma magniude, resulando, assim, num coeficiene A significaivamene osiivo. Como no modelo GARCH (1,1), ersisência coninua sendo caurada elo coeficiene da volailidade do eríodo anerior. É imorane observar que quando A é nulo, o modelo 2 GJR se ransforma num GARCH (1,1). Assim, esse úlimo nada mais é que um caso aricular do modelo GJR e, orano, nada se erde, em ermos de esimação, com o uso do modelo GJR no lugar do GARCH. Novamene, resrições sobre o veor de (5) O nome do modelo deve-se ao fao de er sido inicialmene rooso em Lawrence R Glosen, Ravi Jagannahan e David Rankle, "Relaionshi beween he Execed Value and he Volailiy of he Nominal Excess Reum on Socks", Journal of Finance, 48 (1993), 1779-1881. Também é conhecido na lieraura como Threshold Model. Resenha 116-5
arâmeros 8 são necessários ara assegurar o sinal osiivo da variância condicional: A >O; A,A ~O;A +A ~O. o 3 3. EXPONENTIAL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HEROCEDASTICITY-EGARCH log O" = A +A ( I (E +O" /-1' ) 1-(2/7)1/2)-A,, (E +O" I+A log (5 ; 8 = (A, A, A, A 'o. I i 3' 2 -l 3 /-1 Como no modelo anerior, efeio assimeria e ersisência são novamene caurados elos arâmeros denoados or A e A, resecivamene. Uma vanagem desse modelo 2 3 diane do anerior é que o uso da função logarímica assegura a osiividade da volailidade, sem a necessidade de qualquer resrição sobre o veor de arâmeros e. Ao conrário do que ocorre com o GJR, o GARCH (1,1) não ode mais ser derivado como um caso aricular do EGARCH or meio de resrições sobre os arâmeros desse modelo. Dessa forma, mesmo quando o efeio assimeria é significaivo, não é ossível concluir, com base aenas nesse resulado, que o EGARCH seja mais eficiene na esimação da volailidade, uma vez que sua forma aramérica ode rover um ajusameno aos dados inferior ao da família GARCH. Mais dealhes sobre esse modelo são enconrados em Nelson (1991). (15) 3. ESTIMAÇÃO O modelo é esimado elo méodo de máxima verossimilhança, assumindo-se que a disribuição condicional do reomo seja normal. Como foi argumenado acima, embora al hióese seja irrealisa, Weiss (1984,1986) demonsra que, se a média e a variância condicionais são correamene esecificadas no modelo, esse méodo rovê esimadores consisenes e assinoicamene normalmene disribuídos, embora não assinoicamene eficienes, ara o veor de arâmeros e em (4). Cosuma-se chamá-los, na lieraura, de esimadores de quasi-máxima verossimilhança, uma vez que não são derivados a arir da maximização da verdadeira função de verossimilhança. Assim sendo, em grandes amosras, a esimação consisene da volailidade do reorno não requer a correa esecificação da verdadeira disribuição condicional do reomo, mas aenas de seus dois rimeiros momenos. Logo, analisas de risco devem concenrar seus esforços na seleção de um modelo aramérico saisfaório ara a média e a variância condicionais. Além disso, a normalidade da disribuição condicional do reomo é basane conveniene ara fins de esimação, ois muios rogramas esaísicos, como RATS e TS, ossuem roinas ronas ara a maximização da função de verossimilhança derivada a arir dessa hióese. Mais dealhes sobre o rocedimeno de esimação odem ser enconrados em Hamilon (1994). Uma vez esimados os arâmeros do modelo, a série esimada de volailidade condicional ara o eríodo amosral é obida recursivamene, or meio da exressão: Resenha 116-6
onde(6): O'2e = a esimaiva da volailidade em + I; ), = 1,2,3,..., T (16) E = a esimaiva do choque no reorno em i definido como E = r-c I onde c é a esimaiva e e e e da média condicional c em (3); e= a esimaiva de quasi-máxima verossimilhança do veor de arâmeros e. qmv 4. BASE DE DADOS O modelo dese rabalho é esimado com base nas séries hisóricas de reorno diário de seis ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo-Bovesa: Elerobrás ON (ELE3), Elerobrás PN (ELE6), Perobrás PN (PET4), Telebrás ON (TEL3), Telebrás PN (TEU), Vale do Rio Doce PN (VAL4). Essas séries são obidas a arir do reço de fechameno desses aivos, como definido em (1). Todas as séries de reomo consisem de 704 observações, abrangendo odos os dias úeis no eríodo de 4.1.94 a 8.11.96. 5. RESULTADOS Como aresenado na seção 1, o modelo eórico dese rabalho é descrio elas hióeses (1), (2), (3), (4), e or uma das cinco aramerizações sugeridas acima ara a variância condicional. Logo, exisem ao odo cinco modelos eóricos alernaivos, cada um dos quais será ajusado à série de reorno de seis ações (blue chis) negociadas na Bovesa. Isso significa, basicamene, enconrar esimaivas de quasi-máxima verossimilhança ara o veor de arâmeros 8(7) em (4) ara cada ação em cada um dos cinco modelos alernaivos. Essas esimaivas são aresenadas nas abelas (1)-(5), acomanhadas das resecivas esaísicas e valores (8). Tabela 1 Modelo IGARCH sem consane -Bolsa de Valores de São Paulo Período amosral: 4.1.94 a 8.11.96 ELE3 ELE6 PET4 TEL3 TEL4 VAL4 Al TR TRP 0,0840865 8,5274863 0,1066856 0,0568990 0,0776597 10,3444639 0,1066856 0,0512091 0,0717012 6,9814107 0,1009957 0,0483642 0,0739822 8,2892456 0,1024182 0,0440967 0,1004550 11,1342634 0,0967283 0,0526316 0,0739706 7,8422601 0,1024182 0,0497866 (6) U'm valor adequado recisa ser arbirado ara a 2, a fim de que a 2 ossa ser obido. o 1, (7) O arâmero c em (3) é esimado junamene com 9 or quasi-máxima verossimilhança. (8) Ese é definido como a robabilidade que a esaísica de ese excederá seu valor realizado (comuado como função dos dados) se a hióese nula é verdadeira. Em ouras alavras, é o nível marginal de significância do ese, ou seja, o menor nível de significância sob o qual a hióese nula será rejeiada, dada o valor assumido ela esaísica de ese. Desa forma, arbirado um nível de significância (1 qualquer, como or exemlo 0,01 (1 %) ou 0,05 (5%), a hióese nula será rejeiada a ese nível se < a. Resenha 116 - ~
AO Al A2 TR TRP Modelo IGARCH Tabela 2 com consane -Bolsa de Valores de São Paulo Período amosral: 4.1.94 a 8.11.96 Tabela 3 Modelo GARCH -Bolsa de Valores de São Paulo Período amosral: 4.1.94 a 8.11.96 0,0000168 2,7044697 0,0068414 0,0923571 6,1011774 0,8975051 62,5873489 0,0881935 0,0426743 0,0000166 2,3784429 0,0173859 0,0990010 5,7447471 0,8912809 54,4937642 0,0981508 0,0483642 ELE6 ELE3 PET4 TEL3 38,6947329 62,4586060 0,8825858 0,9147629 4,8684141 0,0000011 5,3457723 0,0000001 0,1083448 0,0821197 0,0289784 0,1563611 2,1837805 1,4174168 0,0000160 0,0000057 0,0967283 0,0440967 Tabela TEL4 0,0000238 2,6418451 0,0082456 0,1623093 6,4449792 0,8295909 30,0098098 0,0825036 0,0426743 0,0896159 0,0355619 VAL4 0,0000077 1,5680434 0,1168710 0,0936934 5,2539045 0,0000001 0,9010152 48,8913524 0,0881935 0,0398293 4 Modelo GJR -Bolsa de Valores de São Paulo Período amosral: 4.1.94 a 8.11.96 ELE3 AO AI A2 A3 TR TRP ELE6 0,0000127 1,7166970 0,0860345 0,0730503 3,7866330 0,0001527 0,0524141 2,2961990 0,0216645 0,8943741 51,1269642 0,0953058 0,0440967 PET4 TEL3 0,0440967 0,0412518 0,0967283 0,0910384 60,9545787 54,8870688 0,9156497 0,9021542 0,0317825 0,8394110 0,0083118 2,1471358 0,2026470 2,6391328 0,0043838 0,0589993 0,0000417 0,0016761 4,0978390 3,1423283 0,0791305 0,0605920 0,0573066 0,2030197 0,0212902 1,9009652 1,2729953 2,3027979 0,0000143 0,0000055 0,0000141 0,0822786 3,1688045 0,0015307 0,0616526 0,8806696 35,7027797 0,0910384 0,0384068 TEL4 0,0000212 2,1685264 0,0301187 0,1058304 3,3007962 0,0009641 0,0947253 3,4377785 0,0005865 0,8388988 26,3765129 0,0867710 0,0426743 VAL4 0,0000048 1,0022796 0,3162086 0,0688603 3,5898073 0,0003309 0,0447162 2,1190252 0,0340883 0,9064626 49,1020689 0,0910384 0,0426743 Resenha 116-8
Tabela 5 Modelo EGARCH -Bolsa de Valores de São Paulo Período amosral: 4.1.94 a 8.11.96 ELE3 ELE6 PET4 TEL3 TEL4 VAL4 AO Al A2 A3 TR TRP -{J,0572039 1,6309345 0,1029041 0,1874937 6,1677348 0,0286753 2,1121394 0,0346745 0,9916730 187,0567232 0,0924609 0,0440967 --0,0565961 1,8368896 0,0662262 0,1737278 5,9735651 0,0287954 2,0770437 0,0377975 0,9917229 210,8914314 0,0938834 0,0398293-0,0569961 1,5802182 0,1140569 0,1874632 5,6026208-0,0036095 0,2404063 0,8100153 0,9917124 184,1329236 0,0953058 0,0426743-0,1026859 1,9984671 0,0456660 0,2088932 5,1238151 0,0000003 0,0438945 2,4885507 0,0128265 0,9850851 131,0557053 0,0967283 0,0426743 -Q,1262203 1,9746908 0,0483033 0,2540365 5,7236900 0,0503297 3,5053805 0,0004560 0,9817477 106,0388918 0,0839260 0,0440967-0,0594617 1,1957856 0,2317802 0,1873901 5,3498195 0,0000001 0,0180706 1,1865204 0,2354168 0,9916624 137,8541312 0,0953058 0,0440967 Alguns imoranes resulados qualiaivos ficam logo evidenes a arir de uma análise das abelas. Em rimeiro lugar, com exceção de PET4, no caso das ouras ações, o coeficiene que caura assimeria nos modelos GJR e EGARCH, denoado or A2, é osiivo e em geral significaivamene diferene de zero ao nível de 5%. Em relação a ELE6 e TEL4, esse coeficiene é significaivo mesmo em níveis abaixo de 1 %. Esse resulado significa que o imaco de um choque negaivo no reorno do dia sobre a variância do reorno do dia + 1 é mais fore que o de um choque osiivo com o mesmo valor absoluo, fao comumene ressalado em esudos emíricos com séries de reornos de ações de ouros aíses. Quano à ação da Perobrás (PET4), o efeio as simeria não é significaivo. A hióese de que o coeficiene A é zero não ode ser rejeiada nem ao nível de 10% ano no GJR como no " 2 EGARCH. E ineressane noar que ações de uma mesma emresa aresenam resulado igual quano à exisência ou não de assimeria, confirmando assim sua robuseza. Em segundo lugar, no caso das ações ara as quais o efeio assimeria é significaivo, é naural que ese seja quaniaivamene muio mais evidene e exressivo ara choques de elevada magniude. Choques de magniude muio equena com sinais diferenes não deverão er imaco consideravelmene disino sobre a volailidade, o mesmo já não aconecendo no caso de choques de grande magniude, quando, enão, modelos que ermiem caurar assimeria, como o GJR e o EGARCH, roverão esimaivas de volailidade muio mais acuradas que os modelos sem essa roriedade, como o GARCH (1,1) e o IGARCH. Esse resulado fica bem ilusrado nas figuras (1) e (2), as quais são exlicadas a seguir. Em ambas as figuras, a linha conínua em reo é o gráfico da série de reorno diário da ação TEL 4 no eríodo enre 3.7.95 e 8.11.96. Para comreender os ouros gráficos nas duas figuras, suonha-se inicialmene que a disribuição condicional do reomo Resenha 116-9
Figura 1 I-reomo -IGARCH semce ---GJR Figura I 2 Reorno de TEL4 e Inervalo de Confiança (90"!. ) ara o Reorno de TEL4 IGARCH sem consane (RiskMerics) e EGARCH 0.1 0.08 0.06 - -'. ---: -1~ "- ~..:..~\.:."...""\ \. ~ 0,04 0,02 o.0,02 '", -, "..'r',...:o,... -\ -" "'"rv'.,..r.,~.i,.,,'.",.0.04, -0.06,." '.' ~..: ',./, ',..., ;.,...-,...,/ I. -,~ ',,..~...1 ~ - ~.'J. " -0.08 00.1 Resenha 116-10
diário de TEL 4 seja normalmene disribuída, com média igual à esimaiva do arâmero c em (3) (9), denoada or c, e desvio adrão esimado com base em um dos cinco modelos e araméricos aresenados na seção 1 do rabalho, ou seja: -N(c I 0"2 (17) onde o subscrio e significa que se raa de arâmero esimado. Assumindo-se (17), os limies suerior e inferior de um inervalo de confiança de 90% ara r, denoados, nessa +l ordem, or Is e, são dados, resecivamene, or c+ 1,650' e c -1,650'. e e e e Conseqiienemene, a robabilidade de r -o reorno de TEL4 no dia + 1 -ocorrer enre esses dois limies é 90%. Nas figuras (1) e +~ \2), as linhas conínuas acima e abaixo do eixo horizonal são, resecivamene, as séries de Is e P ara o eríodo comreendido enre 3.7.95 e 8.11.96, em que O' é o desvio adrão de r esimado aravés do IGARCH sem e +l consane (RiskMerics). Por sua vez, as linhas racejadas acima e abaixo do eixo horizonal são, resecivamene, as séries de Is e P ara o eríodo comreendido enre 3.7.95 e 8.11.96, em que O' é o desvio adrão de r esimado aravés do GJR no gráfico da figura (1) e e d+1 aravés do EGARCH no gráfico afigura (2). Conseqiienemene, afigura (1) ermie comarar duas séries de inervalos de confiança de 90% ara o reorno diário de TEL 4, esimados ara o eríodo amosral esabelecido acima: uma em que a volailidade é aramerizada conforme o modelo RiskMerics e a oura conforme o modelo alernaivo GJR. O mesmo exercício é efeuado na figura (2), com a única diferença de que o modelo alernaivo é o EGARCH. Em cada uma das figuras fica evidene um dos resulados que se reende demonsrar nese rabalho: as duas séries de inervalos de confiança -uma esimada com base no RiskMerics e oura com base num modelo alernaivo ara a volailidade - endem a se afasar nos eríodos marcados or choques no reorno de elevada magniude, aconecendo exaamene o inverso nos eríodos marcados or choques de equena magniude. Em erceiro lugar, os coeficienes que cauram o grau de ersisência, ao longo do emo, de um choque no reorno sobre a volailidade, dados or (l-a ) no IGARCH (com e 1 sem consane), A no GARCH e A no GJR e no EGARCH são osiivos e significaivos mesmo em níveis ~em abaixo de 18/o. Esse resulado vale ara odas as ações em odas as aramerizações da variância condicional. Dessa forma, a hióese de ausência de ersisência no imaco de choques no reorno sobre a volailidade ode ser foremene rejeiada, no caso das rinciais ações negociadas na Bovesa. Além de esaisicamene significaivos, os coeficienes de ersisência são elevados (acima de 80% em qualquer caso), sugerindo que choques no reorno endem a se roagar com força no fuuro(10). (9) Ver noa de rodaé 7. (10) Noa-se ainda que, em odos os casos, o coeficiene de ersisência no modelo EGARCH é maior que o do modelo GJR. Esse resulado arece decorrer meramene da forma funcional não linear assumida elo EGARCH, ao conrário dos demais modelos. Resenha 116-11
Em quaro lugar, eses são realizados ara averiguar o desemenho relaivo dos modelos sob a hióese de normalidade da disribuição condicional do reorno. Com esse fim, as duas úlimas linhas em cada uma das cinco abelas do rabalho aresenam as esaísicas TR (axa de rejeição) e TRP (axa de rejeição osiiva), calculadas a arir da amosra de reornos diários ara odos os dias úeis comreendidos enre 4.1.94 e 8.11.96, as quais servem de base ara um ese de sress ara o resecivo modelo de volailidade analisado na abela. Esse ese ermie dizer, ara cada ação, qual o modelo mais aroriado ara a variância de seu reorno diário, se ese é normalmene disribuído como em (17). A esaísica TR é a roorção de dias úeis no eríodo amosral considerado em que r (a observação do reorno no dia úil +1) siua-se fora do inervalo [IS, P] (o 1+1 I I inervalo de confiança de 90% relaivo a r, o qual é derivado a arir de (17) e cujos limies 1+1 suerior e inferior são definidos acima nesa seção ). A esaísica TRP é a roorção de dias úeis no eríodo amosral considerado, em que r é maior que Is e, orano, esá fora do 1+1 I inervalo [IS, ]. Quando se assume que a hióese de normalidade em (17) é verdadeira, I I um modelo alernaivo ara a volailidade é considerado mais aroriado o mais róximo os valores de TR e TRP esão róximos de 10% e 5%, resecivamene. O resulado referene à TRP segue, obviamene, da roriedade de assimeria da disribuição normal. O ese acima baseia-se, orano, numa simulação hisórica em que uma série de reornos diários observados no assado é usada na esimação da série de volailidades e de inervalos de confiança desses mesmos reornos, ossibiliando assim avaliar comaraivamene o grau de ajusameno aos dados enre modelos araméricos alernaivos ara a volailidade. Como se infere elos resulados da abela, o modelo IGARCH sem consane (RiskMerics) seria a melhor alernaiva de aramerização da volailidade se a hióese de normalidade condicional do reorno fosse verdadeira: no caso de odas as ações, os valores de TR e TRP ara esse modelo são, em geral, levemene mais róximos a 10% e 5% que os dos ouros modelos. A ação TEL 4, or exemlo, aresena TR e TRP iguais a 9,67% e 5,26%, enquano odos os ouros modelos aresenam TR e TRP inferiores a 8,7% e 4,5%. No enano, como a evidência emírica é foremene conrária à hióese de normalidade(ll), não se ode concluir desse resulado que esse modelo consiua a melhor alernaiva no caso mais geral de uma disribuição condicional do reorno diferene da normal. Finalizando os resulados dese rabalho, revese-se de fundamenal imorância recisar, em ermos quaniaivos, a conribuição dos méodos alernaivos de esimação de volailidade aqui examinados ara a aividade de gerenciameno de risco. Isso é feio or meio de um exemlo eórico que se aroxima basane da roina emregada or gerenes de risco em seu esforço de esimar diariamene a erda máxima eserada da careira das (II) Os auores disõem de resulados, não aresenados nese rabalho, que confirmam esa afirmação ara o caso das ações aqui examinadas. Resenha 116-12
insiuições financeiras. o exercício consise em simular o comorameno ao longo do emo de uma careira eórica comosa elas rês ações mais negociadas na Bovesa no segundo semesre de 1996: TEL 4, ELE 6 e PET 4. Esecificamene, um invesimeno inicial de R$1.000.000,00 é efeuado no dia 10.6.96 nessa careira, com ariciação(12), em valor, de 77,32% em TEL4, 12,54% em PET4 e 10,14% em ELE6, rocedendo-se a um acomanhameno do valor dessa careira e de sua comosição aé o dia 8.11.96. Como, or hióese, a comosição física da careira (número de ações de cada emresa) ermanece inalerada ao longo de odo o eríodo considerado, o valor oal da careira, bem como sua comosição financeira (a ariciação de cada ação nesse valor), varia diariamene de acordo com a renabilidade das rês ações que a comõem. Com base na comosição financeira ara um dia úil qualquer, um inervalo de confiança de 90% -sob a hióese de normalidade ara o reorno da ações individuais -ode ser calculado ara o valor da careira no dia úil imediaamene oserior. A diferença enre o valor da careira no dia e o limie inferior dese inervalo é comumene conhecida como value-a-risk (VAR), o qual esabelece a erda máxima eserada, no horizone de um dia, ara o invesimeno, realizado no dia, de valor igual ao da careira nese mesmo dia. Uma avaliação reliminar dos méodos alernaivos de esimação da volailidade, aqui aresenados, baseia-se na consrução, ara o eríodo acima considerado, das séries de diferença enre o VAR em que a volailidade do reorno dos aivos individuais é esimada com base no IGARCH sem consane (RiskMerics) e o VAR em que essa volailidade é esimada com base em um dos quaro modelos alernaivos sugeridos. As figuras (3)-(6) aresenam os gráficos desas séries (linha conínua), bem como os gráficos das séries daquela diferença como roorção do VAR relaivo ao RiskMerics (linha racejada). As médias das séries de diferença são, resecivamene, R$3.391.04, R$3.533,40, R$4.049,04 e R$4.674,29, ao asso que as médias das séries de diferença como orcenagem do VAR relaivo ao RiskMerics são, resecivamene, 14,70%, 15,31 %, 17,61 % e 20,59%. Nenhuma das quaro séries de diferença aresena valor suerior a R$11.000,00, enquano as séries da diferença como roorção do VAR relaivo ao RiskMerics sueram muio frequenemene o nível razoavelmene elevado de 25%, chegando mesmo a 50% em alguns dias úeis. Dessa forma, embora a subsiuição do modelo da RiskMerics (IGARCH sem consane) or um alernaivo ossa resular numa variação ercenual basane significaiva do VAR, em ermos absoluos essa diferença ode ser irrisória diane da ordem de grandeza do valor da careira, em orno de R$1.000.000,00. No que ange aos objeivos dese rabalho, muio mais informaivas são as figuras (7)- (10), cada qual aresenando os gráficos das séries de VAR, nas linhas sueriores (as duas linhas acima do eixo horizonal), e de seu valor (12) Essa ariação baseia-se na careira eórica do Ibovesa de janeiro de 1997. Resenha 116-13
Figura 3 Figura 4 Resenha 116-14
~ Figura 5 Figura 6 Diferença em Reais e Diferença COnXl Porcenagem do VaR (RiskMerics) enre VaR (EGARCH) e VaR (RiskMerics) Invesimeno Inicial: R$1.000.000.00 10000 45"!0 9000 40% 8000 35% 3000 2000 1000 y~ 15% 10"!0 5"/0 111111111111111111111111111111111I1111I1IIIIIIIIIIII1I111111111111111111111111 111111111111111111111111111 : ~ ~,...1.1 DI DI ~ ~ ~ ~ ~ ~ cl cl ~ C ~ ~ 9 "' 9 NNC') "' 9 9 N N iâ O ~ m ~ NO c. N..,0"'. 0% --Diferença em reais DIferença con» orcenagem do VaR (RiskMerics) Resenha 116-1,5'
Figura 7 60000 40000 20000 o -20000-40000 -80000 -a0000 Figura 8 Resenha 116-16
Figura 10 Re...enha 116-17
simérico (o ganho máximo eserado), nas linhas inferiores (as duas linhas abaixo do eixo horizonal), quando a volailidade é esimada com o RiskMerics e com um modelo alernaivo, bem como o gráfico da série de erda efeiva da careira(13). Como se observa nos gráficos, a erda efeiva ende, em geral, a suerar o VAR associado ao RiskMerics nos mesmos dias em que assim o faz em relação ao modelo alernaivo. Assim sendo, no que diz reseio à aividade de gerenciameno de risco, ode-se afirmar que o méodo do decaimeno exonencial sugerido elo RiskMerics aresena desemenho saisfaório erane os modelos alernaivos aqui sugeridos, devendo, assim, qualquer discussão quano a sua evenual subsiuição levar foremene em cona criérios relaivos à comodidade e raidez comuacionais. 6. CONCLUSÃO Esudos emíricos, com base em séries hisóricas de reorno de ações de ouros aíses, chamam a aenção ara o fao de que um choque no reorno do dia (a diferença enre o reorno do dia e seu valor eserado no dia -l) em um imaco assimérico sobre a variância do reorno do dia + 1: choques negaivos êm um imaco osiivo sobre a volailidade maior que o de choques osiivos de mesma magniude (valor absoluo). Esse resulado, conhecido como efeio assimeria, não ode ser caurado ela família GARCH, ois esa consise numa aramerização da volailidade que imõe a resrição de que choques osiivos e negaivos de mesma magniude exercem o mesmo imaco sobre aquela variavél. É devido a essa limiação da família GARCH que se faz necessário esar modelos araméricos alernaivos ara a volailidade das ações que sejam flexíveis o suficiene ara caurar o efeio assimeria, ou seja, modelos em que choques osiivos e negaivos de mesmo valor absoluo ossam er imaco diferenciado sobre a volailidade, inclusive com sinais oosos. Dois modelos com essa caracerísica, conhecidos como GJR e EGARCH, foram examinados nese rabalho e comarados com rês modelos da família GARCH: o IGARCH sem consane e com consane e o GARCH (1,1). A arir dos resulados dese rabalho, é ossível afirmar que a maioria dos aéis aqui analisados (ações brasileiras com elevado volume de negócios em bolsa) aresenam efeio assimeria foremene significaivo, o que, a rincíio, sugere a subsiuição de modelos da família GARCH -inclusive o méodo do decaimeno exonencial usado elo RiskMerics (IGARCH sem consane) -elo GJR ou EGARCH nos modelos de gerenciameno de risco. Em esecial, esse efeio será basane exressivo no caso de choques no reorno de grande magniude, quando enão as esimaivas de volailidade obidas com os modelos que cauram assimeria (GJR e EGARCH) diferirão mais exressivamene das esimaivas obidas com os modelos que não cauram assimeria (IGARCH e GARCH). A simulação com dados hisóricos do comorameno de uma careira eórica de ações da Bovesa ao longo de um eríodo esecificado mosra claramene que as erdas efeivas dessa careira, em geral, sueram o VAR (a erda máxima eserada) relaivo ao RiskMerics -em que a volailidade do reorno dos aivos é esimada or meio do méodo do decaimeno exonencial (IGARCH sem consane) -nos mesmos dias úeis em que assim o faz em relação ao VAR alernaivo -em que essa mesma volailidade é esimada or inermédio de um dos méodos alernaivos sugeridos no rabalho. Logicamene, ese resulado é um argumeno a favor de se coninuar usando o méodo do decaimeno (13) Logicamene, valores negaivos dessa série indicam ganho da careira. Resenha 116-18
exonencial na esimação da volailidade dos aivos financeiros. Além disso, à medida que os rocedimenos em voga de análise de risco assumem a hióese de normalidade condicional do reorno dos aivos, aesar de refuada ela evidência emírica, um segundo argumeno a favor do méodo do RiskMerics ode ser levanado: eses de sress aonam ara o melhor desemenho do IGARCH sem consane diane dos ouros modelos aqui sugeridos se aquela hióese é assumida verdadeira, sugerindo, assim, que esse modelo é mais comaível com a hióese de normalidade condicional ara o reorno dos aivos. Tais resulados desencorajam o uso do GJR e do EGARCH no rabalho de gerenciameno de risco das insiuições financeiras, em subsiuição ao méodo do decaimeno exonencial, que ossui a vanagem de ser comuacionalmene basane ráido (14). Enreano, seria reciiado concluir que os ganhos auferidos com a esimação mais recisa da volailidade do reorno dos aivos com o uso daqueles dois modelos não sejam suficienemene exressivos face à comodidade comuacional oferecida elo méodo do decaimeno exonencial, uma vez que, ara algumas aividades imoranes, como a recificação de oções, reduzidas melhorias na esimação das volailidades são de grande valor.. 7. BIBLIOGRAFIA BOLLERSLE~ Tim. I'Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciyll, Journal of Economerics 31 (1986),307-327. DUARTE JR., Anonio Marcos, Taiana B. B. HEIL e Marcelo de A. PINHEIRO. "Previsão da Volailidade de Aivos e fndices Brasileiros", Resenha BM&F, 112 (agoso/seembro 1996),15-27. ENGLE, Rober F. " Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion", Economerica, 50 (1982),987-1007. e Vicor K. Ng. "Measuring and Tesing he Imac of News on Volailiy", Journal offinance, 48 (1993),1749-1778. GLOSTEN, Lawrence R., Ravi JAGANNATHAN e David RANKLE. "Relaionshi beween he Execed Value and he Volailiy 6f he Nominal Excess Reum on Socks", Journal offinance, 48 (1993),1779-1881. HAMILTON, JamesD. (1994)."Time Series Models of Heeroskedasiciy", in Time Series Analysis. Princeon, Pricenon Universiy Press,. 657-676. NELSON, Daniel. " Condiional Heeroskedasic in Asse Reums: A New Aroach", Economerics, 59 (1991),347-370. WEISS, Andrew A. " ARMA Models wih ARCH Errors", Journal oftime Series Analysis, 5 (1984), 129-143. _." Asymoic Theory for ARCH Models", Economeric Theory, 2 (1986), 107-131. (14) É reciso ressalvar, no enano, que essa vanagem relaiva do RiskMerics vem sendo gradaivamene reduzida à medida que o desenvolvimeno de sofwares esaísicos mais sofisicados incorora muios dos modelos alernaivos, simlificando, assim, sua uilização. Alexandre Barcinski é economisa do gruo de Gerenciameno de Risco do Banco Icau e mesrando em Economia ela PUC!RJ. Bemardo Calmon Du Pin e Almeida é economisa do gruo de Gerenciameno de Risco do Banco Icau. Márcio Gomes Pino Garcia é rofessor do Dearameno de Economia da PUC!RJ e consulor do Banco Icau. Marcos Anonio Couinho da Silveira é economisa do gruo de Gerenciameno de Risco do Banco Icau e douorando em Economia ela Universidade de Harvard/EUA. Resenha 116-19