INTRODUÇÃO Faz alguns anos que cogitamos da elaboração de um trabalho de Matemática Financeira, exclusivamente pelo raciocínio, com o objetivo de proporcionar ao estudante um processo claro, prático e racional. O aprendizado, por meio de fórmulas, sempre nos apresentou um obstáculo intransponível, não obstante aos esforços que se envidaram, nesse sentido, a que por força das circunstâncias fôramos obrigados. Ansiosos pelo ingresso no funcionalismo público, quer federal, quer estadual, quer pela gradativa melhoria de ocupações, submetemo-nos a nove concursos públicos, dotando-nos, com eles, de vasta experiência, conhecendo-lhes as mínimas e as máximas exigências. O inconformismo pelas fórmulas, em conseqüência das dificuldades que nos deparamos nos primeiros concursos, à solução de problemas neles propostos, nem sempre de natureza complexa, impeliu-nos à luta, visando a descobrir as causas por que ocorria tal fenômeno. Passamos, de início, a solucionar problemas, a que os chamam de regra de três composta sem a observância de quaisquer regras. Com o decorrer de algum tempo, vimos que haveríamos de colher os frutos, a que aspirávamos. Aos poucos, chegamos à conclusão de haver atingido o caminho certo. As dificuldades desapareceram, as soluções tão-somente pelo raciocínio faziam-se com enorme facilidade e admirável clareza. Em última análise, a batalha, nesse campo, estava definitivamente vencida. Transportamo-nos, em seguida, aos estudos relacionados com porcentagem, juros, etc. Empenhamo-nos, é lógico, durante inúmeros anos, à solução de questões, desprezando totalmente as fórmulas. A exemplo da regra de três composta, obtivemos todos os êxitos almejados, e assim nos demais casos. Esperamos que nossa contribuição, no campo da Matemática Financeira, seja utilíssima, o que, por certo, confirmará o estudante.
ÍNDICE ª PARTE 2ª PARTE 3ª PARTE 4 PARTE 5ª PARTE 6ª PARTE Divisibilidade Frações ordinárias (começa em mínimo múltiplo comum) Divisão por cancelamento Frações decimais Alterações das frações, através da vírgula Números complexos Sistema métrico (noções) Problemas diversos Problemas diversos Juros simples (apenas os fáceis) Regra de três composta Regra de sociedade Falsa posição Divisão proporcional Juros simples (problemas complexos) Questões práticas sobre juros Questões de lucro sobre o preço de venda e sobre preço de custo Questões sobre descontos por dentro e por fora Taxa média e vencimento comum Sistema métrico Problemas diversos (revisão geral) Juros compostos
ª PARTE Parece-nos que a quase totalidade dos candidatos já possui boas noções de divisibilidade, frações ordinárias e decimais, números complexos e sistema métrico, de que trataremos nesta parte. Não obstante esse aspecto, julgamos de todo conveniente expô-los, neste trabalho, levando-se em conta as muitas questões enumeradas aqui que merecem especial atenção, notadamente, quanto às divisões de frações ordinárias e decimais. Além disso, há necessidade de que sejam bem compreendidas, dado seu emprego às soluções de problemas, tidos como de natureza complexa e constantes de nosso trabalho. Apresentaremos uma série de problemas com que possa o estudante familiarizarse, preparando se, nesta parte, para vencer todo e qualquer obstáculo que as outras partes poderiam oferecer. DIVISIBILIDADE A divisibilidade tem por fim ensinar-nos se um número qualquer é ou não divisível por outro, sem que, para tanto, efetuemos a divisão. Daremos a esse respeito somente o que nos parece suficiente à solução de casos que nos apresentam de vez em quando. POR 2 Caso: Todo número par é divisível por 2, incluindo-se o zero. Exemplos: 56, 00, 60, 84, 2000. Todos estes números, divididos por 2, não deixarão resto.
POR 3 2 Caso: Todo número, cujos algarismos somados se dividam por 3, também será divisível por 3. Exemplos: 63: (6 + 3) = 9. 9 divido por 3 não deixará resto. Logo: 63, dividido por 3, também não deixará resto. 444: (4 + 4 + 4) = 2. 2 dividido por 3 não deixará resto. Logo: 444 dividido por 3 também não deixará resto. 74205: (7 + 4 + 2 + 0 + 5) = 8. Ora, 8 divido por 3 não deixará resto. Logo: o número 74205 também não deixará resto, se dividido por 3. POR 4 3 Caso: Se os dois últimos algarismos, à direita de um número, forem divisíveis por 4, esse número será divisível por 4. Exemplos: 36, 26428, 6640. Os dois últimos algarismos à direita são: do primeiro número: 6, do segundo: 28, do terceiro: 40. Ora, dividindo-se 6, ou 28, ou 40 por 4, não haverá resto. Isto prova que os números 36, 26428 e 6640, divididos por 4, não deixarão resto. POR 5 4 Caso: Todo número terminado em 5 ou 0 será divisível por 5. Exemplos: 375, 5650, 2695, 45, 46920, 2460, 705. POR 6 5 Caso: Se um número for divisível por 2 e por 3, também o será por 6. Exemplos: 324, 268, 556488, 450. Estes números são divisíveis por 2, porque terminam em algarismos pares e em zero. Dividem-se por 3 porque, somando-se e dividindo-se o resultado da soma por 3, não deixarão resto. Logo: os números 324, 268, 556488 e 450, divididos por 6, não deixarão resto.
POR 9 6 Caso: Se somarmos os algarismos de um número e seu resultado for divisível por 9 sem deixar resto, esse número será divisível por 9. Exemplos: 45, 468, 9657, 2006802. 45: (4 + 5) = 9. Ora, 9 dividido por 9 não deixará resto. 648: (6 + 4 + 8) = 8. Ora, 8 dividido por 9 não deixará resto. 9657: (9 + 6 + 5 + 7) =27. Dividindo-se 27 por 9 não haverá resto. Logo: os números 45, 648, 9657 e 2006802, divididos por 9, não deixarão resto. POR 0 7 Caso: Todo número terminado em 0 será divisível por 0. Exemplos: 00, 80, 40, 0000, 000000, 240. POR 2 8 Caso: Se um número for divisível por 3 e por 4, também o será por 2. Exemplos: 408, 80, 6624, 345204. (4 + 0 + 8) =2. Na divisão de 2 por 3, não haverá resto. Logo: o número 408, dividido por 3, não deixará resto. Da mesma forma, os números: 80, 6624 e 345204. (0 + 8) = 8. A soma dos dois algarismos finais, à direita do número 408, dá 8. Ora, 8 dividido por 4 não deixará resto. Da mesma forma, os demais números já relacionados. Logo: se os números 408, 80, 6624 e 345204, divididos por 3 e por 4, não deixam resto, também não o deixarão por 2. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 2 é o mínimo múltiplo comum de 3 e 4. Por que? Porque o número 2 divide 3 e 4, sem deixar resto. Exemplos: Em ambos os casos, não houve resto. Não encontraremos outro número menos que 2, capaz de dividir por 3 e por 4, sem deixar resto. Por isso que 2 é o mínimo múltiplo comum de 3 e 4.
24 é o mínimo múltiplo comum de 8, 6 e 4, visto que divide os três números, sem deixar resto. Exemplos: Logo: 24 é o mínimo múltiplo comum de 8, 6 e 4. Nenhum outro número menor do que 24 dividirá 8, 6 e 4, sem que deixe resto. PROBLEMA n : Qual o mínimo múltiplo comum entre 4, 6 e 8? Solução: Colocam-se os números 4, 6 e 8, pondo-se um traço debaixo deles, tudo como está exposto ao lado. Procura-se o menor número que os divida. O menor número é o 2. Põe-se este número à direita. Comecemos com as divisões. 4 dividido por 2 dá 2. Coloquemos este 2 embaixo do número 4. Agora, 6 dividido por 2 dá 3. Coloquemos 3 embaixo de 6. Continuemos: 8 dividido por 2 dá 4. Coloquemos 4 embaixo de 8. Terminada a primeira divisão, passemos outro traço, porém, agora, embaixo de 2, 3 e 4. O menos número que divide 2, 3 e 4 é 2. Coloquemos 2 à direita. 2 dividido por 2 dá. Este coloca-se embaixo do número 2. Passemos para o seguinte: 3 dividido por 2 demonstra que um não pode ser dividido pelo outro, porque deixa resto. Então, é preciso repeti-lo. Por isso, coloquemos 3 embaixo de 3. Em seguida, vem o número 4. Este número dividido por 2 dá 2. Coloquemos 2 embaixo de 4. Passemos outro traço sob, 3 e 2. Neste ponto, tanto podemos dividir por 3 como por 2. Mas vamos dividir por 2. Comecemos por. Para não há mais divisão, pois não se pode dividir por 2. Então, coloquemos embaixo de. Passemos para o número 3. 3 não é divisível por 2. Coloquemos 3 embaixo de 3. Passemos para o seguinte. 2 dividido por 2 dá. Coloquemos embaixo de 2. A seguir, passemos outro traço sob, 3 e. O único que ainda se pode dividir é o número 3. 3 dividido por 3 dá. Coloquemos embaixo de 3 e 3 à direita. Não devemos continuar mais a divisão, visto que, dividindo-se por, colocaríamos à direita. Isso não alteraria a multiplicação à direita. Exemplo: 2 x 2 x 2 x 3 x = 24.
Por esse meio, procuraremos o MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM, até que tenhamos adquirido bastante prática, salvo em casos especiais de que dele somos forçados a valernos. Se quiséssemos encontrar o denominador comum nas frações seguintes: 4, 6 e 8, faríamos como no exemplo acima. O menor denominador comum das três frações seria 24. Vamos colocar estas frações ao mesmo denominador comum. Quando diversas frações têm o mesmo denominador, diz-se que os denominadores são comuns, isto é, iguais. Para esclarecermos mais o caso, vamos dar o mesmo denominador comum às frações: 4, 6 e 8. Os números:, e chamam-se numeradores. Os números 4, 6 e 8, denominadores. 6 4 3, e =, e 4 6 8 24 24 24 Solução: O mínimo múltiplo comum dos denominadores 4, 6 e 8 é, segundo já vimos no quadro acima, 24. Os denominadores das 3 frações são, portanto, 24. Por isso, colocamos 24 como denominadores das 3 frações. Para acharmos os numeradores, procedemos assim: 24 dividido por 4 dá 6. Coloquemos 6 como numerador da primeira fração. Passemos para a fração seguinte. 24 dividido por 6 dá 4. Coloquemos este 4 como numerador da segunda fração. A outra fração, 24 dividido por 8 dá 3. Este 3 como numerador da terceira fração. 6 Nota: As frações e são iguais. Ambas representam. O mesmo diríamos 4 24 4 com relação às outras duas. Logo que o estudante adquirir prática, saberá, mentalmente, encontrar os denominadores comuns, sem recorrer ao quadro a que nos referimos, salvo casos especiais. Entretanto, recomendamos os seguintes exercícios, valendo-se do referido quadro:
PROBLEMA n 2: Achar o mínimo múltiplo comum dos números abaixo: ) 6, 8 e 9 (Resp.: 72) 2) 3, 4 e 5 (Resp.: 60) 3) 3 e 5 (Resp.: 5) 4) 0, 2 e 5 (Resp.: 60) 5) 5 e 7 (Resp.: 35) 6) 6 e 8 (Resp.: 24) 7) 3, 4, 5 e 6 (Resp.: 60) 8) 8, 0 e 2 (Resp.: 20) 9) 7, 0 e 2 (Resp.: 420) Nota: Estes exercícios são de absoluta necessidade. Com eles, o estudante não encontrará dificuldade alguma, quando for forçado mais adiante a procurar os denominadores comuns das frações. Convém-nos repetir que, na prática, na quase totalidade dos casos, não se usa o quadro já mencionado. Os denominadores comuns são achados mentalmente. Exemplo: Qual o mínimo denominador comum de 3 e 4? Sem que nos utilizemos do quadro, sabemos mentalmente e, com rapidez, que é o número 2. Por que? Porque não há outro número menor que 2, capaz de dividi-los, sem deixar resto. Comecemos com as frações ordinárias. Que é fração? Fração, conforme a expressão o indica, é a parte em que se divide a unidade. Vamos aos casos: Caso: Um queijo, dividido em 2 partes, significa que se transformou em 2 metades. Metade, em fração, escreve-se assim: 2 que se lê: um meio. 2 Caso: Se o queijo fosse dividido em 3 partes iguais, cada parte representaria um terço do queijo. Escreve-se assim: 3 que se lê: um terço. 3 Caso: Supomos que dividíssemos uma melancia, em 4 partes iguais. Cada parte representaria um quarto da melancia. Um quarto escreve-se assim: 4 que se lê: um quarto.
4 Caso: A uma mesa acham-se 6 pessoas. Nela havia um pão que se dividiu em 6 partes iguais. Cada pessoa recebeu um sexto do pão. Um sexto escreve-se assim: que se lê: um sexto. 6 5 Caso: Dividiram um bolo entre 7 meninos. Cada menino recebeu quanto? Um sétimo. Um sétimo escreve-se assim: que se lê: um sétimo. 7 Como vimos, a fração ordinária consta de dois números, separados por um traço horizontal. Exemplo: 4 O de cima chama-se numerador, o de baixo, denominador. casos: numerador 4 denominador Para que o estudante se acostume com a leitura das frações, apresentaremos dois Caso: um terço um sexto um décimo 3 6 0 um quarto um quinto um onze avos 4 5 4 um meio um sétimo quatro onze avos 2 7 um oitavo um nono um doze avos 8 9 2 6 3 2 seis doze avos três vinte e quatro avos dois trinta e três avos 2 24 33
2 Caso: 3 2 40 três terços doze terços quarenta quintos 3 3 5 5 0 20 cinco quartos dez um meio cento e vinte quartos 4 2 4 Outro Caso: 3 um terço dividido por cinco 5 4 2 quatro e um meio, dividido por cinco e um terço 5 3 terço 4 6 um quarto dividido por seis 4 quatro dividido por cinco e um 5 3 Nota: No primeiro caso, as frações chamam-se próprias, porque o numerador é menos que o denominador. No segundo caso, impróprias, porque o numerador é igual ou maior que o denominador. Em outro caso, composta, porque a fração é constituída de números inteiros e fracionários. Desejamos chamar a atenção do estudante para os seguintes sinais aritméticos: Os três sinais significam a mesma coisa. Têm o mesmo valor. O resultado que se obtém por qualquer um dos três é o mesmo. PROBLEMA n 3 Dividiu-se um queijo entre 3 meninos. Que fração (do queijo) tocou a cada um? Solução: O queijo foi partido em 3 pedaços. Logo, cada menino recebeu 3. O numerador representa a parte do queijo, o denominador 3, os meninos.
PROBLEMA n 4 Dividiram 3 queijos, por 9 pessoas, em partes iguais. Que fração coube a cada uma? Solução: Os queijos vão para o numerador, as pessoas, para o denominador. Logo: a cada uma couberam 9 3 ou 3, porque 9 3 e 3 são iguais, isto é, não há diferença entre uma fração e a outra. Este ponto será estudado, com pormenores mais adiante, no lugar competente. No entanto, vamos dar aqui uma demonstração nesse sentido. O denominador é 3 vezes maior que o numerador. Logo: o numerador é 3 do denominador. A fração, pois, 3 é igual a. 9 3 PROBLEMA n 5 Dividiram-se 3 melancias, por 6 pessoas, que fração tocou a cada uma? Solução: Se as melancias vão para o numerador, as pessoas, para o denominador, a resposta é 6 3. Vimos que cada pessoa recebe exatamente a metade de uma melancia, porque 6 3 significa metade. O numerador é a metade do denominador. 3 é metade de 6. dividido por 7 = 7 3 3 dividido por 8 = 8 4 4 dividido por 9 = 9 6 6 dividido por 7 = 7 7 dividido por 9 = 9 7 9 dividido por 2 = 2 9 dividido por 4 = 4 60 60 dividido por 70 = 70
PROBLEMA n 6 Paulo deu 7 chocolates a 2 meninos. Que fração recebeu cada menino? Solução: Feita a divisão de 7 por 2, o quociente é 3. Há ainda um resto. Que significa esse resto? Exatamente um chocolate. De fato, dando-se 7 chocolates a 2 meninos, a cada um tocam 3, restando um. chocolate, dividido por 2 meninos, dá meio para cada um. 3 inteiros e meio que se escrevem: 3. Conforme já aprendemos, os chocolates vão para o numerador, 2 os meninos, para o denominador. PROBLEMA n 7 Francisco comprou 8 maçãs e deu-as a 5 meninos em partes iguais. Quantas maçãs recebeu cada menino? Solução: Procedida à divisão, o quociente é 3. Ainda restam 3. Que significa esse resto? O resto são 3 maçãs. Dividindo-se 8 por 5, encontram-se 3 maçãs. 3 maçãs inteiras para cada um dos 5 meninos. As 3 que restaram, divididas pelos 5 meninos, dão 5 3 a cada um. As maçãs vão para o numerador, os meninos, para o denominador. 3 Resposta: Cada menino recebeu 3 maçãs. 5 Nota: Não se esquecer dos sinais aritméticos. Assim, são iguais: EXERCÍCIOS Efetuar as divisões abaixo relacionadas: ) 7 3 = 2) 9 4 = 3) 6 = 4) 4 9 = 5) 3 = 6) 6 3 = 7) 7 6 =
Respostas: ) 2 3 2) 2 4 5 3) 6 5 4) 9 5) 3 6) 5 3 5 7) 2 6 REDUZIR FRAÇÕES À SUA EXPRESSÃO MAIS SIMPLES PROBLEMA n 8 Reduzir a fração 4 2 à sua expressão mais simples. Solução: Dividindo-se o numerador e o denominador por um mesmo número, a fração torna-se mais simples. O valor da fração continua o mesmo, porque 4 2 e 2 são iguais. O numerador, tanto de uma fração, como da outra, é exatamente a metade do denominador. Portanto, ambas as frações são iguais. Resposta: 2 2 2 = 4 2 Assim, as seguintes frações significam 2 um meio = metade: 2 3 4 5 6 7 8 5 50 200 2000,,,,,,,,,,,. 2 4 6 8 0 2 4 6 30 00 400 4000
Os numeradores de todas elas são exatamente a metade dos denominadores. Por isso, não há diferença entre si. Simplificadas, tornar-se-ão 2. 50 Vamos verificar, por exemplo, a fração. Ambos são divisíveis por 5, assim: 00 50 00 0 20 5 0 =. Podemos, com mais uma divisão, reduzi-la à expressão mais simples: 5 20 0 =. Não há mais redução a ser feita. 0 2 PROBLEMA n 9 Transformar a fração 2 4 à sua expressão mais simples. Solução: Se dividirmos o numerador e o denominador por um mesmo número, neste caso, por 4, acharemos, com uma só divisão, o resultado pedido no problema, conforme se vê abaixo: Resposta: 3 4 2 4 = 4 3 Nota: O estudante não poderá esquecer-se de que 2 4 e 3 significam a mesma coisa. Nos dois casos, os denominadores são três vezes superiores aos numeradores. Reduzir as frações adiante expostas à sua expressão mais simples: 6 = 2 2 3 = 9 3 30 3 = 80 8 40 2 = 60 3 3 = 2 4 4 2 = 0 5 4 7 = 20 0 5 = 5 3 8 2 = 2 3 2 = 2
5 PROBLEMA n 0 Quantas unidades há em (quinze terços)? 3 Solução: A fração denominador, o divisor: 5 5 indica que o numerador é o dividendo, o 3 3 = 5 ou Resposta: cinco unidades ou 5 inteiros. Nota: A unidade é composta de 3 3 (três terços). 3 3 =. Ora, se uma unidade é 5 igual a três terços, serão iguais a 5 unidades. Não há diferença entre unidade e inteiro. 3 Unidade e inteiro significam uma coisa só. PROBLEMA n Quantos inteiros se encontrarão em 22? 4 Solução: O numerador é o dividendo, o denominador, o divisor. Logo: 22 4 = 5 4 2 ou 5 2, porque a fração 4 2 significa 2. Resposta: 5 2 (cinco inteiros e um meio). Nota: Neste caso, uma unidade seria 4 4 (quatro quartos). 4 4 =. Se o problema mencionasse, por exemplo, 20, teríamos exatamente 5 unidades, porque 20 4 = 5. 4 Entretanto, temos mais 4 2, o que totaliza 5 2 (dois quartos = meio).
PROBLEMA n 2 Em, quantas unidades há? Solução: Em, há uma só unidade, porque =. Resposta: unidade. Nota: Este caso pode comparar-se a uma pessoa que possua uma maçã e a dá a um menino. O menino irá receber naturalmente uma maçã. A maçã vai para o dividendo, o menino, para o divisor. 20 PROBLEMA n 3 Achar as unidades contidas em. 60 20 Solução: Em, há 2 unidades, porque 20 60 = 2. 60 Resposta: 2 unidades. 2. Nota: Vamos lembrar: 20 60 = 2. Lê-se: cento e vinte, dividido por 60, igual a 80 PROBLEMA n 4 Quantas unidades tem a fração? 80 80 Solução: Em, há somente uma unidade, porque 80 80 = unidade. 80 Resposta: unidade. VERIFICAR QUANTOS INTEIROS EXISTEM NAS FRAÇÕES ABAIXO 6 26 28 50 64 33 400 6 2,,,,,,,, e 4 5 7 50 8 3 400 3 2 3 Respostas: 4, 5 5, 4,, 8,,, 2, e 3 3 2
PROBLEMA n 5 Transformar 5 inteiros a quartos. Solução: Quando se divide uma unidade a quartos, entende-se, desde logo, por assim dizer, que a unidade foi partida em 4 pedaços iguais. Cada um destes pedaços passa a ter a denominação de quartos. Então cada unidade tem 4 quartos ou 4 4. As unidades ou inteiros de que nos fala o problema hão de ter 20 fato, são 5 inteiros: 20 4 = 5. 4 20 20 (vinte quartos), porque 5 4 =. De 4 4 Resposta: 20 4 PROBLEMA n 6 Transformar 2 inteiros a sextos. Solução: Quando se diz que uma unidade vai ser convertida a sextos, entende-se que ela se dividirá em 6 partes iguais, cada uma das quais chamadas sextos. Então, uma unidade terá 6 6. Ora, se uma unidade tem 6 sextos, 2 unidades terão 2 vezes mais, isto é, 2 2, porque 2 6 =. 6 6 PROBLEMA n 7 Transformar 4 a terços. 3 Solução: Na transformação a terços, cada unidade é dividida em 3 partes iguais, chamadas terços. A unidade é representada em forma de fração imprópria, assim: 3 3. Imprópria, porque o numerador é igual ao denominador. Quando o numerador é maior que o denominador, a fração também é imprópria. Ela só é própria quando o numerador for menor que o denominador, segundo explicamos atrás. Continuando o problema, voltamos a 3 2 2 dizer que uma unidade são. Logo: 4 unidades serão, porque 3 4 =. A estes, 3 3 3 2 3 acrescentaremos a parte fracionária: + =. 3 3 3 3 Resposta: (treze terços). 3
PROBLEMA n 8 Reduzir 8 a quintos. 5 Solução: Passando a unidade a dividir-se em quintos, compreende-se que ela se repartirá em 5 pedaços iguais. Se uma unidade se transforma em 5 pedaços, 8 unidades transformar-se-ão em 40 pedaços, chamados quintos, porque estamos convertendo a 40 unidade a quintos. Então, os 40 pedaços são. A parte fracionária consta de. 40 5 5 quintos, com mais um quinto, somam 5 4. 3 PROBLEMA n 9 Transformar 5 a quartos. 4 Solução: Para que a unidade se converta em quartos, é preciso que ela a unidade se divida em 4 pedaços iguais, 5 unidades serão partidas em 60 pedaços iguais, porque 60 3 4 5 = 60. Os 5 inteiros transformar-se-iam em. A parte fracionária tem. 4 4 63 63 Neste caso, somaremos 60 quartos com 3 quartos, resultando daí, porque 60 + 3 =. 4 4 63 Resposta: 4 Nota: À solução do problema acima, emprega-se o seguinte meio: multiplicam-se os números inteiros pelo denominador da parte fracionária, assim: 5 4 = 60. A essas 60 63 partes, acrescenta-se o numerador da fração, assim: 60 + 3 =. 4 O modo como vimos ensinando, a nosso ver, é intuitivo, isto é, o estudante vai raciocinando, compreendendo o que está fazendo, razão por que seguimos este, desprezando aquele.
TRANSFORMAR AS SEGUINTES FRAÇÕES: A Terços A Quintos A Sétimos ) 6 4) 0 7) 4 2) 8 5) 8 4 8) 3 7 6 3) 3 6) 5 9) 8 3 5 7 Respostas ) 2) 3) 8 3 24 3 0 3 4) 5) 6) 50 5 40 5 76 5 7) 8) 9) 28 7 25 7 62 7 PROBLEMA n 20 Reduzir as frações 3 e 4 a um mesmo denominador comum. Solução: Quando o estudante ainda não tem prática, procurar valer-se do que aprendeu, através do quadro e ensinamentos constantes do problema n, para encontrar um mesmo denominador comum. Além disso, poderá achar por meio de outros dois modos:
º) Multiplicando os denominadores das frações entre si, assim: 3 4 = 2. 2º) Por forma mental. Com rapidez, saberemos que o número 2 divide os números 3 e 4, sem deixar resto. Da mesma forma, os números 24, 36, 48, 60, etc. Como o número 2 divide 3 e 4, sem deixar resto, coloquemo-lo como denominador comum das frações. Vamos colocar ambas as frações, com denominadores iguais, isto é, denominadores comuns: 4 3 e = e 3 4 2 2 De que modo encontramos os numeradores 4 e 3? Assim: 2, dividido por 3, dá 4. Este 4 coloca-se em cima de 2. Agora, dividindo-se 2 por 4, temos 3. Este 3 põe-se sobre o outro 2. A operação resolveu-se com exatidão. Tanto é assim que, simplificando as frações 2 4 e 2 3, voltarão à sua forma primitiva, isto é, 3 e 4. comum. PROBLEMA n 2 Reduzir as frações, e ao mesmo denominador 4 6 8 Solução: O mínimo múltiplo comum das frações é 24, porque é o menor número que divide 4, 6 e 8 sem deixar resto. Assim, temos: 6 4 3, e =, e 4 6 8 24 24 24 Para acharmos os numeradores 6, 4 e 3, façamos como no problema anterior: 24 dividido por 4 dá 6. Este 6 colocamos sobre o primeiro número 24. Passemos para o segundo. 24 dividido por 6 dá 4. Coloquemos 4 sobre o segundo 24. Prossigamos. 24 dividido por 8 dá 3. Ponhamos este 3 sobre o último número 24. 6 4 3 Resposta:, e. 24 24 24
comum. PROBLEMA n 22 Reduzir as frações 2 3 4, e ao mesmo denominador 4 5 6 Solução: Como se vê, no quando ao lado, o denominador comum é 60, porque 2 2 3 5 = 60. 2 3 4 30 36 40, e =, e 4 5 6 60 60 60 De que forma se encontram os numeradores 30, 36 e 40? Procedemos assim: O denominador comum das três frações é 60. Comecemos naturalmente pela primeira fração. 60 denominador comum, dividido pelo denominador da primeira fração dá 5. Este número 5 multiplicado pelo numerador da mesma fração dá 30. (60 4) 2 = 30. Colocam-se 30 sobre 60. Passemos para a segunda fração. 60 dividido pelo denominador da segunda fração dá 2 que multiplicado pelo numerador da mesma dá 36. (60 5) 3 = 36. Põem-se 36 sobre 60. Transportemo-nos para a terceira fração. 60 dividido pelo denominador da terceira fração dá 0 que multiplicado pelo numerador 4 dá 40. (60 6) 4 = 40. Põe-se este 40 em cima do 60 da terceira fração. 30 36 40 Resposta:, e. 60 60 60 Nota: As frações passaram a ter os denominadores iguais, facilitando, 60 consideravelmente, sua compreensão. A unidade divide-se em 60 partes: =. A 60 primeira fração apresenta 30 partes; a segunda fração, 36 partes e a terceira fração, 40. Convém notar que as três frações, reduzidas à sua expressão mais simples, voltam a tomar sua forma primitiva, isto é, 4 2, 5 3 e 6 4.
REDUZIR AS SEGUINTES FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR COMUM ) 4 e 6 2) 3 e 5 3) 7 e 8 4) 4 3, 5 2, 3 4 e 6 5 Respostas: ) 2 3 e 2 2 2) 5 5 e 5 3 8 7 3) e 56 56 45 24 80 50 4),, e 60 60 60 60 EFETUAR A SOMA DE FRAÇÕES PROBLEMA n 23 Somar 3 2 e 3. Solução: Os denominadores são iguais. Se uma fração é 3 2, a outra 3, a soma de ambas é de 3 3, porque 2 + = 3 3. Nota: Somadas as frações, que obtivemos? Exatamente uma unidade, porque 3 3 =. Se pegássemos um queijo, cortando-o em 3 pedaços iguais e déssemos a 2 pessoas: a uma, 2 pedaços, a outra, pedaço, daríamos o queijo inteiro = unidade. Portanto, daríamos a uma pessoa 3 2 do queijo, a outra 3, a ambas, o queijo inteiro, isto é, 3 3.
PROBLEMA n 24 Proceder à soma de 3, 4 e 2. Solução: Neste caso, os denominadores são diferentes. Por isso, precisamos reduzir as 3 frações ao mesmo denominador comum. O mínimo múltiplo comum é 2. Então as frações ficarão assim: 4 3 6, e 2 2 2 Agora só somemos os numeradores, assim: 3 4 + 3 + 6 = ou 2 3 Resposta: ou. 2 2 Nota: Não se esquecer de que não há diferença alguma entre 3 e 2 4. Nos dois casos, o denominador é 3 vezes maior que o numerador, e entre 4 e 2 3, porque os denominadores são 4 vezes maiores, e entre 2 e 2 6, porque os denominadores são 2 vezes maiores que os numeradores. PROBLEMA n 25 Efetuar a soma de 4 2 e 5 3. 0 2 Solução: Reduzidas as frações ao mesmo denominador comum, temos: e. 20 20 Agora, somemos os numeradores, assim: 22 0 e 2 = ou 20 22 2 Resposta: ou. 20 20
PROBLEMA n 26 Efetuar a soma de 4, 2 3 6 e 4 2 8. 3 Solução: Em primeiro lugar, vamos reduzi-las a uma fração imprópria. Fração imprópria, segundo já explicamos, é aquela que tem o numerador igual ou maior que o denominador, assim: 9 2 Em segundo lugar, transformemo-las ao mesmo denominador comum: 54 2 8 2 04 2 27 4 26 3 Por último, somemos os numeradores, assim: 239 54 + 8 + 04 = ou 2 Resposta: 9. 2 Nota: Como vimos, na soma, apenas os numeradores são somados. Por que? Porque 2 cada unidade é formada por doze doze avos, assim:. Ora, a primeira fração tem 54 2 doze avos, a segunda, 8 doze avos, a terceira, 04 doze avos, totalizando 239 doze avos. Poderíamos ter achado a solução do problema de outro modo: primeiro, somando os números inteiros, assim: 4 + 6 + 8 = 8. Segundo, somando-se as partes fracionárias, assim: 3 2 6 9 8 23 + + = + + = ou 2 4 3 2 2 2 2 2 Ora, 8 + = 9 2 2 SOMAR AS SEGUINTES FRAÇÕES ) 4 + 4 2 2) 3 2 + 5 4 3) 6 5 + 5 4 + 3 4) 5 + 7) 4 3 7 + 4 5) 6 + 5 8) 8 + 6) 4 + 2 5 4 9) 9 + 3 5 5 3 5 + 4 8 6 0 2 5 + 4 2 6 3
) 4 3 2) Respostas: 4) 7 5) 5 29 3) 6) 30 6 7) 4 9 2 20 7 8) 20 5 20 9 6 9) 2 20 2 EFETUAR SUBTRAÇÕES PROBLEMA n 27 Se de 4 2 tirarmos 4, quanto restará? Solução: Os denominadores são iguais. Uma unidade seria composta de 4 4 (4 partes iguais). De 2 partes, tirando-se parte, resta parte ou 4. ( 4 2 4 ) = 4. PROBLEMA n 28 Tirando-se 3 de 5 4, o resto é? Solução: Temos denominadores diferentes. Não há possibilidade de dedução, nessas condições. Então, vamos reduzi-las ao mesmo denominador comum, assim: 5 5 e 2 5 5 A unidade, no caso, compõe-se de 5 partes iguais:. No entanto, em uma fração 5 há 2 partes, na outra, 5 partes. Logo, de 2 partes, tirando-se 5 partes, restam 7 partes, isto é, 5 7. 2 5 = 5 7. Resposta: 5 7
PROBLEMA n 29 Subtrair Solução: 3 de 4 5. 2 a) reduzamos a uma fração imprópria, assim: 3 7 e 4 2 b) reduzamos, agora, a um mesmo denominador comum, assim: 26 68 e 8 8 A unidade ou inteiro é constituído de 8 partes iguais: 8 8. Cada unidade ou inteiro representa 8 partes iguais. A primeira fração equivale a 26 partes, a segunda, a 68 partes. Resposta: 5 4 PROBLEMA n 30 De + 6, tirar 4 2 3 2. 4 Solução: Quando se soma ou quando se subtrai, só podemos faze-lo, depois de reduzidos os denominadores ao mesmo denominador comum. Preliminarmente, devem converter-se os números mistos a uma fração imprópria (mistos são os números inteiros acompanhados de parte fracionária), assim: 3 + 4 2 4 Agora reduzimo-las ao mesmo denominador comum, assim: 2 52 22 + 8 8 8 Primeiro, somemos as frações, para a seguir, a dedução: Resposta: 4 unidades. 2 52 54 22 32 + = = ou 32 8 = 4 8 8 8 8 8
PROBLEMA n 3 De 4 5 + 8 5 6, subtrair 6 2 + 3 7. 2 Solução: Em primeiro lugar, reduzamos todas as frações, que são mistas, a frações impróprias: 44 4 7 5 + + 8 6 3 2 Em segundo, transformemo-las ao mesmo denominador comum: 32 64 56 80 + + 24 24 24 24 Em terceiro, somemos as frações: 32 64 296 56 80 236 + = + = 24 24 24 24 24 24 296 236 A soma das duas primeiras frações deu, a das outras duas,. Atingido este 24 24 ponto, agora só diminuímos uma da outra, assim: 296 236 60 = ou 24 24 24 Resposta: 2. 2
REALIZAR AS SEGUINTES SUBTRAÇÕES ) 4 3 4 2) 8 6 3 2 3) 6 3 3 5) 7 5 7) 0 + 3 Respostas: 4) 4 6) 6 2, tirar 4 8 + 5 9 4 2 7 4 2 2 2 3 3 4 ) 2 2) 2 3) 6 4) 5 6 5) 3 30 3 6) 4 2 7) 5 5 EFETUAR MULTIPLICAÇÕES PROBLEMA n 32 Qual o resultado de 4 multiplicado por 6? Solução: Acharemos o resultado, multiplicando simplesmente os numeradores entre si, fazendo-se o mesmo com relação aos denominadores, assim: Resposta: 24 4 6 24
Nota: Multiplicando-se as frações, tem-se a impressão de que o resultado não seja exato, visto a resposta ser menor que qualquer uma das frações, porém o é. Se multiplicarmos uma unidade por outra, o resultado será igual a própria unidade, exemplo: =. Não seria possível, por exemplo, multiplicar meio por meio e encontrar a unidade, mas sim: 2 = 2 4 Portanto, multiplicando-se uma fração por outra, o resultado é sempre menor do que qualquer uma delas, desde que sejam menores que a unidade. 3 5 PROBLEMA n 33 Achar o resultado de. 4 6 Solução: A exemplo do problema anterior, multiplicam-se numeradores e denominadores entre si, assim: 3 4 5 5 5 = ou 6 24 8 Resposta: 8 5 PROBLEMA n 34 Multiplicar 6 por 4 Solução: A fim de que possamos facilitar a operação, transformemos o número inteiro a uma fração imprópria. Para tanto, vamos dar a unidade como denominador, assim: 6. Não houve qualquer alteração. Os 6 inteiros continuam a conservar seu valor, porém 6 agora em forma de fração, porque =
Alcançado este ponto, a solução do problema passou a ser a mesma da dos dois problemas anteriores: 6 6 = ou 4 4 2 Resposta: 2 PROBLEMA n 35 Multiplicar 5 4 por 3. 0 Solução: Procedemos à redução de frações impróprias: 45 3 e 0 Agora, faz-se a multiplicação dos numeradores e denominadores entre si, segundo já aprendemos: 45 0 3 35 = ou (35 0) = 3 0 2 Resposta: 3. 2 PROCEDER ÀS SEGUINTES MULTIPLICAÇÕES ) 4 6 4) 4 3 6 8 7) 8 3 4 5 2) 6 7 5) 4 8 2 8) 5 0 6 3) 4 2 3 7 6) 7 3
Respostas: ) 24 3) 4 3 5) 7) 5 2) 42 4) 6 9 6) 2 8) 3 5 50 6 DIVISÕES DE FRAÇÕES PROBLEMA n 36 Dividir 0 8 por 2. Solução: Se a unidade se divide em décimos, é porque se reparte, por assim dizer, em 0 pedaços iguais. No problema, temos 8 desses pedaços a serem divididos por 2. Ora, dividindo-se 8 por 2, temos 4, chamados décimos, isto é, 0 4. Resposta: 0 4. PROBLEMA n 37 Efetuar a divisão de 0 8 por 8. Solução: A unidade divide-se em 0 décimos, como a do problema anterior. Vamos 0 desdobrar a unidade: + + + + + + + + + =. No 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 entanto, devem dividir-se 8 partes das 0 em que se divide a unidade. Dando-se 8 partes, para maior compreensão, a 8 pessoas, a cada uma só poderemos dar parte, isto é, 0. Se dermos um queijo a 8 pessoas, por exemplo, não seria possível dá-lo a uma só pessoa, mas parte do queijo, que é representada pela fração. Resposta: 0.
PROBLEMA n 38 Dividir 8 por 4. assim: Solução: Ensinaremos, primeiro, como a maioria dos estudantes já tenha aprendido, a) Converte-se o número inteiro em uma fração imprópria: 8. b) Inverte-se a parte fracionária, por estar à direita, assim: 4. c) Atingindo este ponto, faz-se como em multiplicações: 8 4 32 = ou (32 )=32. Resposta: 32. Efetuaremos a divisão por forma que tem total aplicação, em problemas de raciocínio, expostos, em nosso trabalho, nos quais, é claro, haja emprego de frações, sem necessidade da inversão do último termo. Primeiro, reduz-se o número inteiro a uma fração imprópria, assim: 8. Segundo, reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum: 8 32 e = e. 4 4 4 Por serem iguais os denominadores, desprezemo-los, ficando só os numeradores: 32 e Agora, dividindo-se 32 por, temos 32. O mesmo resultado encontrado anteriormente.
PROBLEMA n 39 Dividir 4 por 8. Solução: Transformemos o número inteiro em uma fração imprópria, assim: 8. Agora temos 4 e 8. Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum: 32 e 4 4 Os denominadores são iguais. Por isso, deles não precisamos mais, eliminemo-los permanecendo só os numeradores: e 32 Feita a divisão de por 32, temos. 32 Resposta:. 32 Nota: Para esclarecermos bem o problema, supomos que se dividiu por 8 4 pessoas ( 4 de queijo). O queijo inteiro é representado em 4 partes 4 4. Um quarto do queijo seria cortado em 8 pedaços iguais, porque foi dividido entre 8 pessoas. Ora, o queijo inteiro seria cortado em 32 pedaços, porque 4 quartos são 4 vezes maior que quarto. Por isso que, cada pessoa não poderia receber mais que do queijo. 32
PROBLEMA n 40 Dividindo-se cada uma quanto tocará? 7 queijos, por 5 pessoas, em partes iguais, a 2 Solução: Vamos, em primeiro lugar, adotar a solução por meio da inversão do último termo, naturalmente. Para isso, reduzamos tudo a fração imprópria, assim: 5 5 e 2 Invertamos os termos da última fração, se bem que a inversão só ocorre com a última fração: 5 e 2 5 Agora, efetuemos como multiplicações: Resposta: 2. 5 2 5 = ou 5 30 2 Resolveremos, agora, pelo modo que nos parece o único aconselhável, dada a sua aplicabilidade, segundo nos manifestamos, em problemas, tidos como complexos, dados em nosso trabalho, nas últimas cinco partes. Tomemos as frações já na sua forma imprópria: 5 5 e 2 Reduzamo-las ao mesmo denominador comum: 5 30 e 2 2 São iguais os denominadores, motivo por que deles não precisamos mais, ficando só os denominadores, assim: 5 e 30 Agora, dividindo-se 5 por 30, temos 2, chegando à mesma conclusão.
um? PROBLEMA n 4 Dividiram 9 maçãs por 4 indivíduos. Quanto recebeu cada 4 Solução: Transformemos em fração imprópria, tanto o número misto, como o número inteiro, assim: 77 4 e 4 Convertamos ao mesmo denominador comum: 77 6 e 4 4 Sendo iguais os denominadores, deles não precisamos mais, eliminemo-los, permanecendo só os numeradores: 77 e 6 Estamos aptos para proceder à divisão: Resposta: 3 4. 6 77 6 = 3 4 6 PROBLEMA n 42 Dividindo-se quantidade tocará a cada uma? 4 33 de certa mercadoria por 8 pessoas, que 5 Solução: Como vimos, a divisão só se processa, finalmente, quando os denominadores sejam iguais. Para isso, reduzamos o número misto e o número inteiro a frações impróprias, assim: 69 8 e 5 Cabe-nos, a seguir, transforma-las ao mesmo denominador: 69 40 e 5 5
Aqui temos o caso dos denominadores iguais. Deles não precisamos mais. Por isso, só permanecerão os numeradores, assim: 69 e 40 Por último, dividamos 69 por 40, encontrando Resposta: 9 4. 40 9 4. 40 Nota: Por que desprezamos os denominadores, quando iguais? Porque as partes de cada fração estão definidas. No presente problema, uma tem 69 partes, a outra, 40 partes. Portanto, uma tem 69 quintos por 40 quintos. Ora, dividindo-se 69 quintos por 40 9 quintos, haveremos de encontrar 4. Se procedermos à inversão do último termo, embora 40 com denominadores iguais, chegaremos ao mesmo resultado, assim: Agora, efetuemos a multiplicação: 69 5 e 5 40 69 5 5 845 9 = ou 4 40 200 40 Em problemas de raciocínio, só aquele nos interessa, por isso não adotamos este sistema. PROBLEMA n 43 Dividir 5 + 4 por 6 + 3. Solução: Convertamos as frações ao mesmo denominador comum: 2 5 + 60 60 0 20 + 60 60
Efetuemos as somas, assim: 27 60 30 60 Eliminemos os denominadores, pois deles não precisamos, ficando só os numeradores: 27 e 30 Finalmente, procedamos à divisão recomendada: Resposta: 0 9. 27 9 27 30 = ou 30 0 27 30 Nota: A fração é menor que a fração. Logo: a resposta teria forçosamente 60 60 que ser inferior à unidade. Se dermos 27 maçãs, por exemplo, a 30 meninos, a cada um daremos menos do que uma maçã, isto é, 0 9 da maçã. PROBLEMA n 44 Dividir 8 + 4 3 por 2 3 + 5 6. 4 assim: Solução: Segundo já aprendemos, vamos reduzir todas as frações impróprias, 33 7 + 4 2 6 25 + 5 4 Transformemos as frações ao mesmo denominador comum: 65 70 + 20 20 64 25 + 20 20
Procedamos agora às somas, assim: 235 20 89 20 Como os denominadores são iguais, desprezemo-los, porque não há mais necessidade deles; permanecendo, é natural, os numeradores: Dividindo-se 235 por 89, temos Resposta: 46. 89 235 89 46. 89 PROBLEMA n 45 Proceder à divisão de 4 + 2 3 por 3 Solução: Transformemos todas em frações impróprias: 8 4 3. 5 9 0 + 2 3 33 6 4 5 Agora, ao mesmo denominador comum: 270 200 + 60 60 495 92 60 60 Efetuemos as somas, bem como as deduções: 470 60 303 60 Alcançado este ponto, compete-nos eliminar os denominadores, por serem iguais, ficando só os numeradores, assim: 470 e 303 Feita a divisão de 470 por 303, temos: Resposta: 67. 303 67. 303
Nota: A princípio, o estudante pode encontrar alguma dificuldade para entender a razão do desprezo dos denominadores, segundo vimos fazendo. Vamos dar 2 exemplos bastante simples, capazes de esclarecer bem o caso: Exemplo: Dividir 4 8 por 4 4. Conforme já aprendemos, desprezam-se os denominadores, quando iguais, quando não haja multiplicações ou deduções a serem feitas, assim: Resposta: 2 inteiros. 8 4 = 2 De fato, nota-se que a operação encontra-se exata. Por que? Porque o dividendo 4 8 é exatamente o dobro do divisor 4 4. O dividendo representa 2 inteiros, o divisor, inteiro. Ora, dividindo-se 2 por, o resultado será obrigatoriamente 2. 60 20 2 Exemplo: Dividir por. 0 0 Aqui também os denominadores iguais. Ocorre por isso a sua eliminação, ficando, segundo já repetimos só os numeradores: 60 e 20 Efetuando-se a divisão de 60 por 20, temos: 3 inteiros. 60 20 A fração equivale a 6 inteiros e a fração, a 2 inteiros. Ora, dividindo-se 6 0 0 por 2, encontram-se, sem dúvida, 3 inteiros.
PROBLEMA n 46 Dividir 6 4 5 3 por 3 6 4. 2 Solução: O problema está a pedir-nos que reduzamos as 3 frações mistas a frações impróprias, assim: 25 0 5 por 4 3 6 9 2 Tratando-se de subtrações, somas ou divisões, sempre somos forçados a transformar as frações ao mesmo denominador comum. Isto, porém, não acontece com as multiplicações, segundo já verificamos. Por isso, vamos converter a parte, relativa a subtrações, ao mesmo denominador comum: 75 40 5 por 2 2 6 9 2 Faremos, agora, as deduções e as multiplicações: 35 2 45 2 Sendo iguais os denominadores, eliminemo-los, permanecendo, é claro, os numeradores, assim: 35 e 45 35 7 Procedida à divisão de 35 por 45, encontraremos: ou. 45 9 2 ) 6 6 2) 8 3) 9 6 4) 4 9) 6 5 QUESTÕES PROPOSTAS 2 5) 6 4 6 6) 5 4 4 6 5 3 9 4 3 4 5 5 6 7) 4 3 8) 4 5 4 6 2 3
Respostas: 3 ) 4) 20 7) 7 8 3 2 49 2) 5) 8) 8 3 65 3 67 3) 2 6) 9) 50 258 FRAÇÃO COMPOSTA PROBLEMA n 47-5 3 4 2 4 4 2 3 Solução: A interpretação dessas frações é exatamente a seguinte: 5 3 4 divididas por 2 4 4 2 3 Reduzindo-as a frações impróprias, encontraremos: 6 3 9 7 divididas por 2 4 7 3
Daí, ao mesmo denominador comum: 64 2 54 5 divididas por 2 2 28 2 Desprezemos os denominadores, por serem iguais, visto deles não precisarmos mais, assim: 64 54 divididas por 5 28 Faremos agora as duas divisões: 64 54 = 5 23 divididos por 5 28 = 27 28 Para dividirmos, finalmente, uma pela outra, temos que reduzi-las a uma fração imprópria, assim: 32 27 5 28 Agora, transformemo-las ao mesmo denominador comum: 896 756 377 756 Por serem iguais os denominadores, desprezemo-los: 896 896 377 = 377 896 Resposta: 377
2 PROBLEMA n 48 3 4 4 4 3 2 5 Solução: Transformemos as frações do dividendo a frações impróprias, subtraindo e somando as questões do divisor: 7 3 7 dividida por 4 Efetuemos conversão para denominadores comuns, assim: dividida por 6 24 Eliminemos os denominadores das frações, mas só os do dividendo, porque o do divisor consiste em divisão à parte: 6 56 02 dividida por 24 56 28 Dividindo-se 56 por 02, temos: ou. 02 5 Reduzamos, a seguir, ao mesmo denominador comum, quer o resultado encontrado 28 6 no dividendo, quer no divisor: (resultado do dividendo: ; resultado do divisor: ). 5 24 224 408 02 408 Eliminemos os denominadores, efetuando a divisão, assim: 224 02 = 20 2 ou 02 0 2 5 Resposta: 0 2. 5
QUESTÕES PROPOSTAS 5 ) 2 4 3 2) 4 5 5 6 3) 8 6 4 2 8 4) 3 4 4 6 8 Respostas: ) 7 24 2) 26 25 3) 2 4) 94 2 53 ACHAR FRAÇÃO DE OUTRA FRAÇÃO PROBLEMA n 49 Achar 5 de 6 5. Solução: A fração 6 5 tornar-se-á 5 vezes menos, porque dela iremos encontrar a sua quinta parte. Procede-se, para isso, tal qual em multiplicações, assim: 5 5 5 = ou 6 30 6 Resposta: 6. Nota: De fato, a fração 6 5 tornou-se cinco vezes menor. De 5 sextos, passou para sexto.
6 PROBLEMA n 50 Achar de. 4 4 Solução: A exemplo do problema anterior, acharemos o resultado multiplicando-se numeradores e denominadores entre si, assim: 4 6 6 = ou inteiro. 4 6 Resposta: inteiro. 6 Nota: equivalem a 4 inteiros. Ora, quarto de 4 inteiros é igual a inteiro. 4 2 2 PROBLEMA n 5 Encontrar de. 4 3 Solução: Encontra-se o resultado, através da multiplicação dos numeradores e denominadores, entre si: 2 4 2 24 = ou 2 unidades. 3 2 Resposta: 2 unidades. Nota: A primeira fração significa meio, a segunda, 4 unidades. Ora, a metade de 4 unidades são 2 unidades. PROBLEMA n 52 Encontrar 0 de 2. Solução: 0 =. 2 20 Resposta:. 20 Nota: A fração tornou-se 0 vezes menor, porque 2 20 representa a décima parte de. Tanto é que, somando-se 0 vezes a fração, encontraremos, assim: 2 20 2 0 + + + + + + + + + = =. 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 2
QUESTÕES PROPOSTAS ) Achar 3 de 4 2) Achar 8 de 2 9 30 3) Achar de 3 5 4) Achar de 4 3 Respostas ) 2 2) 32 3 3) 2 4) 2 DIVISÃO POR CANCELAMENTO PROBLEMA n 53 Efetuar a seguinte divisão: 5 6 7 9 9 7 5 = 6 Solução: No numerador e no denominador, há 3 números iguais. Quais são esses números? São os seguintes: 5, 7 e 9. Vamos cancelá-los, colocando a unidade em cima dos que estão no numerador e embaixo dos que estão no denominador, assim:
Como se vê, cancelaram-se 3 números do numerador e 3 do denominador, observando-se o que segue: ) riscamos o número 5, do numerador e do denominador, pondo o número (um) em cima e embaixo. 2 ) riscamos o número 7 do numerador e do denominador, pondo, também, o número, embaixo e em cima de cada um deles. Agimos da mesma forma para com o número 9. A razão de se colocar o número (um) é a seguinte: (5 5) =. (7 7) =. (9 9) =. Concluída a operação de cancelamento, tudo ficou reduzido a: 6 = 6 Resposta: 6. PROBLEMA n 54 Proceder à divisão seguinte: 5 0 30 60 30 60 0 = 5 Solução: Temos 3 números no numerador e 3 no denominador iguais que podem ser cancelados. Vamos cancelá-los: Concluídos os cancelamentos, a operação ficou assim: 5 = 5 Resposta: 5. PROBLEMA n 55 Proceder ao cancelamento da seguinte divisão: 00 0000 000000 000000 0000 = 00 Solução: Há 2 números no numerador e 2 no denominador. Vamos cancelá-los:
Terminado o cancelamento, resumiu-se a operação, assim: 00 = 00 Resposta: 00. Nota: Se, no numerador e no denominador, há 2 números iguais, podemos considerá-los como se não existissem, uma vez que um anula o outro totalmente, mas isto só no caso de não ocorrer o cancelamento para um dos números. Exemplo: 00 0 00 Cancelando-se, temos: = 0. Resumindo-se assim: 0 = 0 Se não tivéssemos posto 00 no numerador e 00 no denominador, o resultado não se modificaria. Seria 0. 00 no numerador e 00 no denominador não podem ser anulados, porque 00 dividido por 00 dá. Se anulássemos, o resultado seria 0. PROBLEMA n 56 Achar o resultado da seguinte divisão, adotando-se o cancelamento: 60400 400500 09504000 = 209 50 09504 00000 200
Solução: Não há, no presente problema, no numerador e no denominador números iguais. Como procedemos aos cancelamentos? Primeiro, vamos cancelar os zeros que ficam à direita, tendo o máximo cuidado de cancelar tantos zeros no numerador quantos no denominador. Por sinal, temos 7 zeros no numerador (só os que ficam à direita, não os intercalados) e 7 no denominador (também só os que estão à direita, não os intercalados) assim: Com esses cancelamentos, reduziu-se para: 604 4005 09504 09504 2 = 209 50 No numerador e no denominador também há um número igual. Vamos cancelá-los também, assim: Após esse cancelamento, resumiu-se assim: 604 4005 2 = 209 50 Resposta: 209 50. PROBLEMA n 57 Efetuar o seguinte cancelamento: 50000 50000 000000 50000 = 50000 000000
Solução: Os mesmos números que estão no numerador também estão no denominador. Cancelamos todos, assim: Feitos os cancelamentos, a divisão ficou assim: = = Resposta:. PROBLEMA n 58 Proceder à divisão, por meio de cancelamento: 40000 40000 4000 4000 34000 3400 = Solução: Não existem números iguais a serem cancelados, mas sim zeros ou cifras. No numerador há zeros, no denominador, 8 zeros, todos à direita. Cancelaremos 8 zeros do numerador e 8 do denominador. Findo esses cancelamentos, a operação resumiu-se assim: 4000 4 4 34 4 34 Outros cancelamentos ainda podem ser feitos: Resposta: 000.
PROBLEMA n 59 Efetuar a operação adiante, por meio do cancelamento: 5 6 7 8 6 5 8 = 7 Solução: Os mesmos números existentes no numerador acham-se também no denominador. Por isso, podemos cancelá-los todos, assim: Resumiu-se a operação assim: = Resposta:. PROBLEMA n 60 Proceder às multiplicações abaixo: 0 5 5 7 7 0 4 = 3 assim: Solução: Temos 3 números no numerador e 3 no denominador. Vamos cancelá-los, As 3 frações primeiras foram não só canceladas, como anuladas. Por que, anuladas? Porque uma das frações não o foi. Se todas fossem canceladas, então não poderia haver anulação, visto que a resposta, no caso de todas serem canceladas, ser (um). Anulando-se todas, não haveria (um) como resposta. 4 A operação resumiu-se então a ou. 3 3 Resposta:. 3
PROBLEMA n 6 Efetuar a seguinte operação, adotando o cancelamento: 30000 240000 20000 Solução: No numerador, há o número 240000 que corresponde a duas vezes ao denominador 20000. À vista disso, coloquemos 2 sobre 240 000 e sob 20 000, assim: = Resposta: 60000. PROBLEMA n 62 Proceder à operação que se segue, por meio do cancelamento: 50000 80000 500000 Solução: Cancela-se a mesma quantidade de zeros, no numerador e no denominador, cancelando, ainda, os números 5 constantes do numerador e do denominador, assim: = Resposta: 8000. PROBLEMA n 63 Realizar a operação seguinte:
Solução: Primeiro, começamos com 40. Sendo 40 o dobro de 20, colocamos 2 sobre 40 e sob 20. A seguir, 60 é também o dobro de 80. Pomos 2 embaixo de 60 e sobre 80. 20 é 60 vezes maior do que 2. Por isso, pomos 60 sobre 20 e embaixo de 2. Depois, passamos para 90. Este número é 3 vezes maior do que 30. Daí a razão de termos posto 3 sobre 90 e embaixo de 30. Concluídos todos estes pormenores, a operação resumiu-se da seguinte forma: 2 60 3 = 360 Resposta: 360. FRAÇÕES DECIMAIS A expressão decimais está indicando que a unidade se reparte em décimos, isto é, de 0 em 0, ou potência de 0, como: 0, 00, 000, 0000, etc. A fração ordinária, entretanto, divide-se em 3, 5, 0, 2, etc. Ela é, como se vê, partida segundo as conveniências. A fração decimal é colocada à direita do número inteiro, separada por uma vírgula. Exemplo: 4,5 que se lê: quatro inteiros e cinco décimos. Acontece, porém, que a fração decimal pode estar desacompanhada de número inteiro. Neste caso, vem precedida de cifra, isto é, ZERO. Exemplo: 0,6 que se lê: seis décimos. O zero, é lógico, não tem valor algum. Segundo dissemos, a fração decimal divide-se de 0 em 0. Para esclarecer bem este ponto, vamos enumerar diversas significações, para que com elas possa o estudante familiarizar-se: 3,2 Lê-se: três inteiros e dois décimos 3,20 Lê-se: três inteiros e vinte centésimos 3,200 Lê-se: três inteiros e duzentos milésimos 3,2000 Lê-se: três inteiros e dois mil décimos milésimos 3,20000 Lê-se: três inteiros e vinte mil centésimos milésimos 3,200000 Lê-se: três inteiros e duzentos mil milionésimos
Nota: A primeira fração 3,2 e a última 3,200000 têm o mesmo valor. Os zeros, colocados à direita, não lhe modificaram a importância. Mesmo que puséssemos 20 zeros, em uma delas, não o pondo nas demais, os valores não se alterariam (zeros à direita). Organizemos as somas da seguinte forma: 3,2 3,20000000 3,20 3,20000000 3,200 3,20000000 3,2000 3,20000000 3,20000 3,20000000 3,200000 3,20000000 3,2000000 3,20000000 3,20000000 3,20000000 28,800000000 28,800000000 A soma, de fato, demonstrou que os zeros, postos à direita não lhe alteram o valor. Tanto é assim que ambas as somas são iguais, têm a mesma significação. Mais adiante, darse-ão exemplos suficientes à compreensão do estudante. PROBLEMA n 64 O estudante lerá as seguintes frações: ) 0,5 4) 0,30 7) 0,0005 0) 0,000000 2) 0,5 5) 0,6050 8) 0,00007 ) 0,00000240 3) 0,60 6) 0,89640 9) 0,000009 2) 0,00000200 Resposta: ) 5 décimos 2) 5 centésimos 3) 60 milésimos 4) 30 centésimos 5) 6050 (seis mil e cinqüenta décimos milésimos) 6) oitenta e nove mil, seiscentos e quarenta centésimos milésimos 7) cinco décimos milésimos 8) sete centésimos milésimos 9) nove milionésimos 0) dez décimos milionésimos ) duzentos e quarenta centésimos milionésimos 2) mil e duzentos bilionésimos
REDUZIR FRAÇÕES À MESMA DENOMINAÇÃO PROBLEMA n 65 Transformar as seguintes frações à mesma denominação: ) 0,7 3),05 5) 0,450 7) 0,8 2) 0,5 4) 0,5 6) 3,69540 8) 8,4964 Respostas ) 0,70000 3),05000 5) 0,45000 7) 0,80000 2) 0,50000 4) 0,5000 6) 3,69540 8) 8,4964 Nota: Todas as frações passaram à mesma denominação, isto é, a centésimos milésimos. Como a fração da questão número 8 é de centésimos milésimos, as demais foram transformadas, também, em centésimos milésimos. Os zeros postos à direita não lhes modificaram o valor. Só se modificou a denominação, não o valor, repitamos. Vamos explicar por que os zeros, colocados à direita, não alteram o valor da fração. Exemplo: 0,5 (lê-se cinco décimos). Em fração ordinária, cinco décimos 5 escrevem-se assim:. Cinco décimos significam um meio ou metade, porque o 0 5 5 numerador é exatamente a metade do denominador. Simplificação: =. As 0 5 2 frações decimais e ordinárias são iguais, equivalentes à metade da unidade. 2 Exemplo: 0,50 (lê-se: cinquenta centésimos). Em fração ordinária escrevem-se 50 assim:. O numerador é exatamente a metade do denominador. A fração significa, pois, 00 meio ou metade; 3 Exemplo: 0,500 (lê-se: 500 milésimos). Em fração ordinária escrevem-se assim: 500. O numerador, sendo a metade do denominador, a fração significa, também, meio ou 000 metade.