O número é algo abstrato que representa a idéia de quantidade, expressos através de símbolos previamente acordados.

Transcrição

1 Sistemas Numéricos Nos primórdios os homens primitivos não tinham a necessidade de contar, porém este conceito foi se transformando com o decorrer da história, o surgindo a escrita e do comércio nas civilizações mais antigas impulsionaram a necessidade de se trabalhar com números, surgindo os primeiros sistemas de numeração de que se tem notícia. No mundo atual diariamente trabalhamos com números, seja a quantidade de açúcar que colocamos em nosso café da manhã, o quanto estamos atrasados para o trabalho ou ainda quanto dinheiro teremos que deixar para as verduras da feira. Pense, seria possível viver na sociedade atual sem um sistema de numeração?

2 Sistemas Numéricos Creio que sua resposta é não. Sendo partidário desta opinião, nos deparamos com a necessidade de dominarmos os sistemas de numeração existentes, facilitando nossos relacionamentos no dia a dia. O número é algo abstrato que representa a idéia de quantidade, expressos através de símbolos previamente acordados. O sistema de numeração é o conjunto desses símbolos, destacando as regras que definem a forma de representação e correlação entre eles.

3 Sistemas Numéricos Em geral, os sistemas de numeração definem dois grupos de regras para representação de quantidade, os sistemas posicionais e os não posicionais. Nos sistemas não posicionais como o sistema de algarismos romanos frequentemente encontrados na atualidade, cada símbolo tem um valor fixo, não importando a posição ocupada no número. Já em sistemas posicionais, o valor de cada símbolo é obtido de acordo com a sua posição no número. O sistema decimal amplamente difundido em nossa sociedade baseia-se na posição do símbolo dentro do número para determinar o seu valor.

4 Sistemas Numéricos Base A base em um sistema de numeração determina a quantidade de símbolos disponíveis para utilização. Ex: Base 10 (Decimal) é composto por 10 símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

5 Binário Muito utilizado para representar circuitos eletrônicos, visto uma associação natural existente entre seus dois símbolos (0 e 1) com presença ou não de pulsos elétricos no circuito. Em geral, a presença de pulsos é representada pelo elemento 1 e a falta deste, ou um pulso em menor voltagem, ou ainda voltagem negativa são representadas pelo 0. Base 2 - Composto pelos símbolos 0 e 1.

6 Octal A representação com apenas dois símbolos como acontece no sistema binário é trabalhosa, para representar grandes quantidades, necessitados de diversos 0s e 1s. Para facilitar a representação de grandes quantidades, o Sistema Octal é uma alternativa interessante, visto que conseguimos representar qualquer número Binário de 3 dígitos com um único em Octal. Ex: 000 (Binário) = 0 (Octal) 111 (Binário) = 7 (Octal) Base 8 - Composto pelos símbolos 0,1,2,3,4,5,6 e 7.

7 Decimal Sistema de Numeração mais difundido e utilizado pelo homem, possui grande facilidade de manipulação e regras simples de posicionamento de símbolos. Base 10 - Composto pelos símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

8 Hexadecimal Utilizado com a mesma finalidade do Sistema Octal, facilitar a representação de grande quantidades oriundas do Binário. Porém neste, conseguimos representar números Binários de até 4 dígitos com um único em Hexadecimal. Ex: 0000 (Binário) = 0 (Hexadecimal) 1111 (Binário) = F (Hexadecimal) Base 10 - Composto pelos símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9,A,B,C,D,E e F.

9 Conversão de Binário/Decimal Para conversão de Binário para Decimal pode ser aplicado o Teorema Fundamental da Numeração (pesquisar). Qualquer número Binário pode ser convertido para Decimal multiplicando-se todos os dígitos binários por 2 (n- 1) e ao final somando os resultados obtidos. (onde n é igual a posição do digito no número) Ex: 101 (Binário) = 1x x x2 0 = 5 Decimal 1111 (Binário) = 1x x x x2 0 = 15 Decimal

10 Conversão de Binário/Decimal (Fracionários) Para conversão de Binário fracionário para Decimal também aplicamos o Teorema Fundamental da Numeração. Qualquer número Binário fracionário pode ser convertido para Decimal, separando-se a parte inteira da fração. Para a parte inteira do número, utilizar o método anterior, já para a fração devemos multiplicar todos os dígitos binários por 2 (-n) e ao final somando os resultados obtidos. (onde n é igual a posição do digito no número após a virgula) Ex: 101,01 (Binário) = 1x x x2 0, 0x x2-2 = , + = 5,25 (Decimal)

11 Conversão de Decimal/Binário A conversão do sistema Decimal para o Binário é realizado por sucessivas divisões por 2, ou seja, pegar um número em decimal e dividi-lo sucessivamente por 2 até que o quociente seja igual a 0. O número Binário correspondente é obtido ao coletar todos os restos obtidos nas operações, iniciando-se pelo resto da última divisão até o resto da primeira. Ex: (Decimal) = 111 (Binário) 22 (Decimal) = (Binário)

12 Conversão de Decimal/Binário Para conferir se a conversão está correta: 7 (Decimal) = 111 (Binário) 1x x x 2 0 => = 7 (Decimal) 22 (Decimal) = (Binário) 1x x x x x2 0 => = 22 (Decimal)

13 Conversão de Decimal/Binário (Fracionários) Qualquer número Decimal fracionário pode ser convertido para Binário separando-se a parte inteira da fração. Para a parte inteira do número, utilizar o método anterior de divisões sucessivas por 2, já para a fração devemos multiplicar sucessivamente todo o valor fracionário por 2. Quando o resultado atingir o número 1, e a parte do número após a virgula não for nula, separamos esta última e reiniciamos todo o processo, até que a parte após a virgula seja nula. O número Binário correspondente é obtido ao coletar todos os números inteiros obtidos nas operações, do primeiro para o último. Ex: 7,625 (Decimal) 7 2 Parte Inteira => (Decimal) = 111 (Binário)

14 Conversão de Decimal/Binário (Fracionários) Parte Fracionária => 0,625 x 2 1,250 0,250 x 2 0,500 0,625 x 2 1,000 Coletando os inteiros do último para o primeiro temos 101=0,625, agora é só agrupar o resultado da parte inteira com a fracionária, logo temos: 7,625 = 111,101

15 Conversão de Decimal/Binário (Fracionários) Existirão casos onde o valor após a virgula nunca será nula, deste modo perceberemos que repetitivamente estaremos passando pelos mesmos valores, isso é equivalente a uma dizima periódica. Ex: Converter 0,8 Decimal em Binário. 0,8 x 2 1,6 0,6 x 2 1,2 0,4 x 2 0,8 0,8 x 2 1,6 Começou a repetição, a mesma será infinita. 0,2 x 2 0,4 Portanto, quando nos deparamos como a repetição que indica uma dizima, podemos parar e aceitar o resultado da seguinte maneira: 0,8 (Decimal) = 0, (Binário)

16 Conversão de Octal/Decimal Para conversão de Octal para Decimal pode ser aplicado o Teorema Fundamental da Numeração. Qualquer número Octal pode ser convertido para Decimal multiplicando-se todos os seus dígitos por 8 (n-1), somando ao final os resultados obtidos. (onde n é igual a posição do digito no número) Ex: 66 (Octal) = 6x x8 0 => = 54 Decimal 123 (Octal) = 1x x x8 0 => = 83 Decimal Obs- Para números fracionários, multiplicar cada digito da parte fracionária por 8 (-n), conforme visto na conversão de Binário fracionário para Decimal.

17 Conversão de Decimal/Octal A conversão do sistema Decimal para o Octal é realizado por sucessivas divisões por 8, ou seja, pegar um número em decimal e dividi-lo sucessivamente por 8 até que o quociente seja igual a 0. O número Octal correspondente é obtido ao coletar todos os restos obtidos nas operações, iniciando-se pelo resto da última divisão até o resto da primeira. Ex: (Decimal) = 175 (Octal) 725 (Decimal) = 1325 (Octal)

18 Conversão de Hexadecimal/Decimal Para conversão de Hexadecimal para Decimal também podemos aplicar o Teorema Fundamental da Numeração (pesquisar). Qualquer número Hexadecimal pode ser convertido para Decimal multiplicando-se todos os seus dígitos por 16 (n-1), somando ao final os resultados obtidos. (onde n é igual a posição do digito no número) BABA (Hexa) = Bx Ax Bx Ax16 0 => 11x x x x1 => = (Decimal) 25 (Hexa) = 2x x16 0 => = 37 (Decimal) Obs- Para números fracionários, multiplicar cada digito da parte fracionária por 16 (-n), conforme visto na conversão de Binário fracionário para Decimal.

19 Conversão de Decimal/Hexadecimal A conversão do sistema Decimal para o Hexa é idêntico ao processo realizado de Binário e Octal para Decimal, porém as sucessivas divisões são por 16. Neste, além de coletar todos os restos obtidos nas operações, iniciando-se pelo resto da última divisão até o resto da primeira, os restos com valores entre 10 e 15 deverão ser convertidos da seguinte maneira: 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F (Decimal) = 8C (Hexal) 1547 (Decimal) =60B (Hexa)

20 Conversão de Binário/Hexa Como sabemos, o sistema Hexadecimal procura facilitar a representação de grandes quantidades em binário. Para cada 4 dígitos Binários temos um único Hexa. Devido a relação citada, a conversão de Binário para Hexa é simples e rápida, basta separar o número Binário de quatro em quatro dígitos, começando do dígito menos significativo. Após a separação, cada dígito terá seu equivalente em Hexa de acordo com a tabela ao lado: Ex: (Binário) => => 3 4 C D (Binário) = 34CD (Hexa) Binário Hexa A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

21 Conversão de Hexadecimal/Binário Visto a relação existente entre os sistemas, basta utilizar a tabela anterior para conversão de qualquer Hexadecimal em Binário, lembrando-se de que para cada dígito Hexa, teremos 4 em Binário. 7B (Hexa) => 7 = 0111 e B = 1011, logo: 7B (Hexa) = (Binário) 66C (Hexa) => 6 = 0110 e C = 1100, logo: 66C (Hexa) = (Binário) Obs Este método de conversão é válido também para conversões entre Binário e Octal, atentar-se apenas ao fato da tabela ir de 0 até o número 7 ao invés do F do Hexadecimal.

22 Exercícios 1) Converter o número Binário para Decimal. 2) Qual o valor do número Binário em Hexadecimal? 3) O número 0x600 equivale a qual número em Decimal? 4) Quanto vale o número 30 Decimal em Octal? 5) Converter base 10 em Hexadecimal. Obs- Utilizar a calculadora apenas para conferir os resultados, os métodos de conversão apresentados devem compor sua resposta.

23 Respostas (Exercício 1) 1- Passo um, utilizar o Teorema Fundamental da Numeração, multiplicando todos os dígitos Binários por 2 (n-1), onde n é igual a posição do dígito dentro do número: (Binário) = 1x2 5, 0x2 4, 0x2 3, 0x2 2, 1x2 1 e 1x2 0 => 32, 0, 0, 0, 2 e 1 2- Passo dois, somar a seqüência de números obtida: = 35 (Decimal) Resposta = O Binário é igual ao Decimal 35.

24 Respostas (Exercício 2) 1- Passo um, quebrar o número Binário de quatro em quatro dígitos, começando do dígito menos significativo: => Passo dois, utilizar a tabela para converter grupos de 4 Binários em Hexadecimal: 0010 (Binário) = 2 (Hexa) 1001 (Binário) = 9 (Hexa) 3- Passo três, agrupar os números obtidos: Resposta = O Binário é igual ao Hexadecimal

25 Respostas (Exercício 3) 1- Passo um, utilizar o Teorema Fundamental da Numeração, multiplicando todos os dígitos Binários por 2 (n-1), onde n é igual a posição do dígito dentro do número: 600 (Hexa) = 6x16 2, 0x16 1 e 0x16 0 => 1536, 0 e Passo dois, somar a seqüência de números obtida: = 1536 (Decimal) Resposta = O Hexadecimal 600 é igual ao Decimal 1536.

26 Respostas (Exercício 4) 1- Passo um, dividir sucessivamente o número Decimal por 8, até que o quociente seja igual a 0: Passo dois, agrupar os números obtidos: 36 Resposta = O Decimal 30 é igual ao Octal 36.

27 Respostas (Exercício 5) 1- Passo um, dividir sucessivamente o número Decimal por 16, até que o dividendo seja menor que 16: Passo dois, coletar os resultados começando pelo resto da última divisão até o resto da primeira: 15, 10, 12 e Converter os dígitos entre 10 e 15 para suas respectivas letras em Hexadecimal: 15 15=F, 10=A e 12=C Agrupar os números obtidos: FACA Resposta = O Decimal é igual ao Hexadecimal FACA.