INTRODUÇÃO AO ASSUNTO PESQUISA OPERACIONAL O que é Pesquisa Operacional? Denomina-se Management Sciences (Ciência de Negócios) a área de estudos que utiliza computadores, estatística e matemática para resolver problemas de negócios. Entre os problemas comuns do dia-a-dia empresarial, a pesquisa operacional pode ajudar nos seguintes problemas de decisão: Otimização de recursos; Localização; Roteirização; Carteiras de Investimento; Alocação de Pessoas; Previsão e Planejamento. O estudo nos leva a três objetivos:. Converter Dados em informações significativas transformar dados brutos (números e fatos) em dados significativos, formar a base de dados e convertê-los em modelos para resolução;. Apoiar o Processo de Tomada de Decisão de Formas Transferíveis e Independentes dar suporte às decisões para que estas estejam independentes do decisor e assegurar que o processo seja transparente e fundamentado. 3. Criar Sistemas Computacionais Úteis para Usuários Não-Técnicos facilitar através de planilhas eletrônicas os processos de tomada de decisão operacional, gerencial e estratégico. OBJETIVOS GERAIS Utilizar a matemática com o objetivo de obter argumentos lógicos para a tomada de decisões estratégicas e táticas do cotidiano de uma empresa, auiliando o gestor em problemas de alocação e otimização de recursos, fatores preponderantes para eficiência, eficácia e efetividade. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Fazer o aluno compreender a importância da construção de argumentos lógicos, baseados em modelos matemáticos, para a resolução de situações do cotidiano empresarial, seja de planejamento bem como de problemas específicos. Por ser uma disciplina que requer a prática para melhor compreensão, a resolução de sistemas lineares de equações, através dos diversos métodos, discorrerá em conjunto com a análise de problemas e situações (formação da base de dados), propostos através de eercícios, com o intuito de obter a formulação do "Modelo" para Pesquisa Operacional (Área de estudo que utiliza a matemática aplicada à gestão de negócios), a resposta final resultante e sua interpretação e análise. Desta forma a disciplina trabalhará com o aluno os seguintes objetivos:. Auiliar na identificação e gestão dos problemas de otimização/alocação de recursos;. Identificar flutuações e restrições inerentes a qualquer processo; 3. Transformar dados brutos (números e fatos) acumulados nos diversos processos em base de dados gerenciais; 4. Criação de modelos matemáticos (Sistema de equações lineares) com a base de dados formada no item anterior (Desenvolvimento do Modelo de Pesquisa Operacional); 5. Resolução do sistema de equações lineares (Modelo de Pesquisa Operacional criado), através dos métodos:
Gráfico (resolução de problemas com duas variáveis); Analítico (resolução de problemas com mais de duas variáveis); Tabular/Simple (resolução de problemas de "Forma Padrão", "Forma Não-Padrão e com mais de duas variáveis); Ferramenta Solver - Ecel (resolução de problemas através da planilha eletrônica). 6. Interpretação dos resultados obtidos nas diversas resoluções a fim de criar o argumento lógico do processo decisório do gestor. MÉTODO GRÁFICO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PESQUISA OPERACIONAL RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO EXEMPLO N Função Objetivo: Maimizar Z = 4X + 3X Sujeito a:. X + 3X 7. X + X 8 3. X + X 3 4. X X, X 0 º Passo: Para cada uma das equações (,, 3 e 4) encontrar os dois pontos para encontrar a reta da equação no gráfico. Equação nº X + 3X 7 Se X = 0, então: 3.(0) 7 7 Se X = 0, então: (0) 3 7 7 3,33333,3 Pontos (7, 0) e (0,,3) Equação nº X + X 8 Se X = 0, então:.(0) 8 8 4 Se X = 0, então:.(0) 8 4 8 Pontos (4, 0) e (0, 4) Equação nº 3 X + X 3 Se X = 0, então: Se X = 0, então:
(0) 3 3 (0) 3 3 Pontos (3, 0) e (0, 3) Equação nº 4 X Lembrando que, este tipo de equação na verdade é 0X + X Que significa dizer que para qualquer valor que X assuma, X sempre será = Desta forma a reta desta equação será paralela ao eio X no plano cartesiano (gráfico). Pontos (,) e (,) ou outro qualquer. Note que o que acontece para esta reta onde X, aconteceria se tal fato fosse X, sendo que a reta resultante seria paralela ao eio X no plano cartesiano (gráfico). º Passo: Montar o gráfico das retas,, 3 e 4. 3º Passo: Traçar o sentido de análise das retas de acordo com os sinais das restrições (sujeito a),, 3 e 4, e identificar a área de análise da solução do problema (Área de intersecção onde todas as retas se encontram, ou seja as equações). Este local deve respeitar a todas as equações de restrição, ou seja, todas as retas devem fazer parte do local. Caso uma não esteja dentro, o problema está sem solução. Na prática nas empresas, tal fato indica que deverá ter uma alteração Lembrando que: é buscar valores para X e X que crescem a partir da reta traçada e em análise; é buscar valores para X e X que diminuem a partir da reta traçada e em análise; = é buscar valores para X e X que estão na reta traçada e em análise. Esta restrição X, X 0 deve aparecer em todos os problemas de pesquisa operacional pois sempre estamos buscando valores tanto para X, bem como para X, positivo ou zero, estes localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano. Minimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o menor valor como resultado. Maimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o maior valor como resultado.
Observação: Como queremos maimizar Z, vamos buscar os valores para X e X nos etremos a maior da figura formada, que contempla a solução para as quatro retas de restrição. Ponto nº X = 0 e X = (substitui-se na função objetivo Z) Z 4.(0) 3.() Z 6 Ponto nº X = e X = (substitui-se na função objetivo Z) Z 4.() 3.() Z 7 Ponto nº 3 X = e X = (substitui-se na função objetivo Z) Z 4.() 3.() Z Ponto nº 4 X =,5 e X = 0,5 (substitui-se na função objetivo Z) Z 4.(,5) 3.(0,5) Z,5 Ponto nº 5 X = 3 e X = 0 (substitui-se na função objetivo Z) Z 4.(3) 3.(0) Z Desta forma vemos que a melhor solução para Maimizar Z (maior) é o ponto nº 5. Resposta X = 3 ; X = 0 ; Z =
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO EXEMPLO N Função Objetivo: Minimizar Z = X + X Sujeito a:. X + X. -5X + X -0 ( -) 5X - X 0 3. 3X + 5X 5 X, X 0 º Passo: Para cada uma das equações (, e 3) encontrar os dois pontos para encontrar a reta da equação no gráfico. Equação nº X + X Se X = 0, então: (0) Se X = 0, então: (0) Pontos (, 0) e (0, ) Equação nº 5X - X 0 Se X = 0, então: 5.(0) 0 0 5 5.(0) 0 0 5 Se X = 0, então: 0 0( ) Pontos (, 0) e (0, -5) Equação nº 3 3X + 5X 5 Se X = 0, então: 3 3 5.(0) 5 5 5 3 5 Se X = 0, então: 3.(0) 5 5 5 5 5 3 5 Pontos (5, 0) e (0, 3)
º Passo: Montar o gráfico das retas,, 3 e 4. 3º Passo: Traçar o sentido de análise das retas de acordo com os sinais das restrições (sujeito a), e 3, e identificar a área de análise da solução do problema. Este local deve respeitar a todas as equações de restrição, ou seja, todas as retas devem fazer parte do local. Caso uma não esteja dentro, o problema está sem solução. Na prática nas empresas, tal fato indica que deverá ter uma alteração. Lembrando que: é buscar valores para X e X que crescem a partir da reta traçada e em análise; é buscar valores para X e X que diminuem a partir da reta traçada e em análise; = é buscar valores para X e X que estão na reta traçada e em análise. Esta restrição X, X 0 deve aparecer em todos os problemas de pesquisa operacional pois sempre estamos buscando valores tanto para X, bem como para X, positivo ou zero, estes localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano. Minimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o menor valor como resultado. Maimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o maior valor como resultado.
Observação: Como queremos minimizar Z, vamos buscar os valores para X e X nos etremos a menor em direção ao ponto (0,0) do plano cartesiano, área que contempla a solução para as três retas de restrição. Ponto nº X = 0 e X = 3 (substitui-se na função objetivo Z) Z (0).(3) Z 6 Ponto nº X =,5 e X =,5 (substitui-se na função objetivo Z) Z (,5).(,5) Z 5,5 Ponto nº 3 X =,58 e X =,45 (substitui-se na função objetivo Z) Z (,58).(,45) Z 5,48 Ponto nº 4 X = 3 e X =,5 (substitui-se na função objetivo Z) Z (3).(,5) Z 8 Desta forma vemos que a melhor solução para minimizar Z (menor) é o ponto nº 3. Resposta X =,58 ; X =,45 ; Z =5,58 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO EXEMPLO N 3 Função Objetivo: Minimizar Z = X + 3X Sujeito a:. 4X + X 30. 0X + X 0 X, X 0 º Passo: Para cada uma das equações (, e 3) encontrar os dois pontos para encontrar a reta da equação no gráfico. Equação nº 4X + X 30 Se X = 0, então: 4 (0) 30 30 4 5 Se X = 0, então: 4(0) 30 30 Pontos (5/, 0) e (0, 30)
Equação nº 0X + X 0 Se X = 0, então: 0.(0) 0 0 0 0.(0) 0 5 Se X = 0, então: 0 Pontos (, 0) e (0, 5) º Passo: Montar o gráfico das retas e. 3º Passo: Traçar o sentido de análise das retas de acordo com os sinais das restrições (sujeito a) e, e identificar a área de análise da solução do problema. Este local deve respeitar a todas as equações de restrição, ou seja, todas as retas devem fazer parte do local. Caso uma não esteja dentro, o problema está sem solução. Na prática nas empresas, tal fato indica que deverá ter uma alteração. Lembrando que: é buscar valores para X e X que crescem a partir da reta traçada e em análise; é buscar valores para X e X que diminuem a partir da reta traçada e em análise; = é buscar valores para X e X que estão na reta traçada e em análise. Esta restrição X, X 0 deve aparecer em todos os problemas de pesquisa operacional pois sempre estamos buscando valores tanto para X, bem como para X, positivo ou zero, estes localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano. Minimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o menor valor como resultado. Maimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o maior valor como resultado.
EXERCÍCIO EXEMPLO N 4 A empresa de logística Deia Comigo S/A tem duas frotas de caminhões para realizar transportes de cargas para terceiros. A primeira frota é composta por caminhões médios e a segunda por caminhões gigantes, ambas com condições especiais para transportar sementes e grãos prontos para o consumo, como arroz e feijão. A primeira frota tem uma capacidade de peso de 70.000 quilogramas e um limite de volume de 30.000 metros cúbicos, enquanto a segunda pode transportar até 90.000 quilogramas e acomodar 40.000 metros cúbicos de volume. O próimo contrato de transporte refere-se a uma entrega de 00.000 quilogramas de sementes e 85.000 quilogramas de
grãos, sendo que a Deia Comigo S/A pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga, deiando o restante para outra transportadora entregar. O volume ocupado pelas sementes é de 0,4 metro cúbico por quilograma, e o volume dos grãos é de 0, metro cúbico por quilograma. Sabendo que o lucro para transportar as sementes é de R$ 0, por quilograma e o lucro para transportar os grãos é de R$ 0,35 por quilograma, descubra quantos quilogramas de sementes e quantos quilogramas de grãos a Deia Comigo S/A deve transportar para maimizar o seu lucro. (Resolva através da análise gráfica - deslocamento da função-objetivo.). Passo Interpretação do Teto: Frota Frota Sementes Grãos Peso (kg) 70.000 90.000 Capacidade Volume (m3) 30.000 40.000 Contrato de Transporte Volume (m3/kg) Lucro R$ 00.000 0,40 0, 85.000 0, 0,35 Pergunta: " quantos quilogramas de sementes e quantos quilogramas de grãos deve transportar para maimizar o seu lucro". a Deia Comigo S/A Passo Definir as variáveis do problema (X e X ): elas tem que estar diretamente ligada ao objetivo do problema (Maimizar o lucro quem dá o lucro? Resposta: os dois produtos). X = Quilos de Sementes X = Quilos de Grãos 3 Passo Construir o modelo (Função-Objetivo Z + as Equações de Restrição): lembrando que tais equações saem da relação direta entre as variáveis X e X. Neste eercício temos que perceber um fato a Deia Comigo S/A pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga, deiando o restante para outra transportadora entregar. Capacidade Sementes Grãos Frota Frota Contrato de Transporte (kg) Volume (m3/kg) Lucro R$ Quanto? X Quanto? X 00.000 0,40 0, X Quanto? X Quanto? X 85.000 0,0 0,35 X Peso (kg) 70.000 90.000 Volume (m3) 30.000 40.000 Relação Direta 60.000 85.000 40000 7000 70.000 57.000 Percebam no quadro anterior que a frota está limitada em sua capacidade Peso e não em Volume. Portanto neste caso só a restrição ao Peso Transportado e escolha da quantidade a transportar de sementes e grãos. Para a definição da equação Função-Objetivo Z temos que verificar a pergunta do problema: descubra quantos quilogramas de sementes e quantos quilogramas de grãos a Deia Comigo S/A deve transportar para maimizar o seu lucro então temos: Maimizar Z = 0,X + 0,35X
Para a definição das equações de restrição temos que observar a relevância feita pelo contrato pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga, desta forma uma equação de restrição é dada pela capacidade limite da frota e outras duas pela disponibilidade das cargas no contrato:. X + X 60.000 (Capacidade Total em Peso das Frotas). X + 0X 00.000 (Disponibilidade Limite de Sementes no Contrato) 3. 0X + X 85.000 (Disponibilidade Limite de Grãos no Contrato) Desta forma definimos o Modelo de Programação Linear : Maimizar Z = 0,X + 0,35X Sujeito a:. X + X 60.000. X 00.000 3. X 85.000 X, X 0 (Para que a solução seja positiva Quadrante) 4º Passo: Para cada uma das equações (, e 3) encontrar os dois pontos para encontrar a reta da equação no gráfico. Equação nº X + X 60.000 Se X = 0, então: (0) 60.000 60.000 Se X = 0, então: (0) 60.000 60.000 Pontos (60.000, 0) e (0, 60.000) Equação nº X 00.000 Nesta equação temos uma particularidade, para qualquer valor de X, X sempre terá o valor de 00.000, ou seja reescrevendo a equação temos X + 0X 00.000 Desta forma determinamos aleatoriamente dois valores para X, afim de podermos obter dois pontos e traçar a reta da equação. Lembrando que a reta resultante será paralela ao eio X. Pontos (00.000, 0) e (00.000, 85.000) Equação nº 3 X 85.000 Nesta equação temos uma particularidade, para qualquer valor de X, X sempre terá o valor de 85.000, ou seja reescrevendo a equação temos 0X + X 85.000 Desta forma determinamos aleatoriamente dois valores para X, afim de podermos obter dois pontos e traçar a reta da equação. Lembrando que a reta resultante será paralela ao eio X. Pontos (0, 85.000) e (00.000, 85.000)
5º Passo: Montar o gráfico das retas, e 3. 6º Passo: Traçar o sentido de análise das retas de acordo com os sinais das restrições (sujeito a), e 3, e identificar a área de análise da solução do problema. Este local deve respeitar a todas as equações de restrição, ou seja, todas as retas devem fazer parte do local. Caso uma não esteja dentro, o problema está sem solução. Na prática nas empresas, tal fato indica que deverá ter uma alteração. Lembrando que: é buscar valores para X e X que crescem a partir da reta traçada e em análise; é buscar valores para X e X que diminuem a partir da reta traçada e em análise; = é buscar valores para X e X que estão na reta traçada e em análise. Esta restrição X, X 0 deve aparecer em todos os problemas de pesquisa operacional pois sempre estamos buscando valores tanto para X, bem como para X, positivo ou zero, estes localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano. Minimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o menor valor como resultado. Maimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o maior valor como resultado.
Observação: Como queremos maimizar Z, vamos buscar os valores para X e X nos etremos a maior, afastando da direção do ponto (0,0) do plano cartesiano, área que contempla a solução para as três retas de restrição. Maimizar Z = 0,X + 0,35X Ponto nº X = 0 e X = 85.000 (substitui-se na função objetivo Z) Z = 9.750 Ponto nº X = 75.000 e X = 85.000 (substitui-se na função objetivo Z) Z = 38.750 Ponto nº 3 X = 00.000 e X = 60.000 (substitui-se na função objetivo Z) Z = 33.000 Ponto nº 4 X = 00.000 e X = 0 (substitui-se na função objetivo Z) Z =.000
Desta forma vemos que a melhor solução, menor Z (maimizar) é o ponto nº 3. Resposta X = 75.000 ; X = 85.000 ; Z = 38.750 INTERPRETAÇÃO O que significa que devemos transportar ao mesmo tempo 75.000 kg sementes e 85.000 kg de grãos para obtermos o maior lucro, portanto não dá para transportar tudo, mas nos faz obter a melhor quantidade, e nos orienta que para o futuro devemos aumentar a frota a fim de termos maior capacidade de transporte. EXERCÍCIO EXEMPLO N 5 A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energética muito consumida pelos freqüentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizados - solução Red e solução Blue - e que provêem os principais ingredientes ativos do energético: etrato de guaraná e cafeína. A companhia quer saber quantas doses de 0 mililitros de cada solução deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer às eigências mínimas padronizadas de 48 gramas de etrato de guaraná e gramas de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por acelerar o batimento cardíaco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de cafeína seja de, no máimo, 0 gramas por lata. Uma dose da solução Red contribui com 8 gramas de etrato de guaraná e grama de cafeína, enquanto uma dose da solução Blue contribui com 6 gramas de etrato de guaraná e gramas de cafeína. Uma dose de solução Red custa R$0,06 e uma dose de solução Blue custa R$0,08. (Resolva pela análise gráfica - deslocamento da função-objetivo). Obs.: a construção da função objetivo e das equações de restrições é obrigatoriamente uma relação direta das variáveis do problema (X e X ). º Passo Definir quem são as variáveis do problema. Neste problema a empresa quer saber quanto ela deve misturar de duas soluções da forma mais econômica para produzir uma bebida energética. Significa que ela quer minimizar o custo desta produção, desta forma: X = dose de solução Red; X = dose de solução Blue. º Passo Construir o Modelo, ou seja, as equações. Guaraná Cafeína Custo RED 8 0,06 X BLUE 6 0,08 X Eigência Mínima Padronizada Eigência Máima por Problema Interpretação do Teto 48. Eigências mínimas padronizadas de 48 gramas de etrato de guaraná e gramas de cafeína. Daqui saem duas equações de restrições, lembrado que é falado em no mínimo, então os sinais das restrições são. Cada restrição se refere a uma mistura de soluções (Red e Blue) que tem que ter no mínimo uma valor de um produto (º etrato de guaraná e º cafeína). Uma dose da solução Red contribui com 8 gramas de etrato de guaraná e grama de cafeína; 0
Uma dose da solução Blue contribui com 6 gramas de etrato de guaraná e gramas de cafeína. Então temos: I. Para o etrato de guaraná 8.X + 6.X 48 II. Para a cafeína.x +.X. Por acelerar o batimento cardíaco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de cafeína seja de, no máimo, 0 gramas por lata. Daqui sai uma equação de restrição, lembrando que se está falando em no máimo, então o sinal da restrição é. Ela está dizendo que na mistura das soluções (Red e Blue) não se deve passar de um valor máimo de um produto (cafeína). Uma dose da solução Red contribui com grama de cafeína; Uma dose da solução Blue contribui com gramas de cafeína. Então temos: I. Para a cafeína.x +.X 0 3. Agora é definir a Função Objetivo Z do problema. Uma dose de solução Red custa R$0,06 e uma dose de solução Blue custa R$0,08. Sabemos que a bebida energética vendida pela empresa Have Fun S/A é produzida a partir da mistura das soluções Red e Blue, e estas duas soluções tem um custo de aquisição ou preparação para a empresa Have Fun S/A, e a empresa quer saber qual a forma mais econômica de produzir a bebida energética, então ela pede para minimizarmos os custos com as soluções Red e Blue. Desta forma: I. Função Objetivo: Minimizar Z = 0,06.X + 0,08.X Modelo: Minimizar Z = 0,06.X + 0,08.X Sujeito a:. 8X + 6X 48. X + X 3. X + X 0 X, X 0 3º Passo: Para cada uma das equações (, e 3) encontrar os dois pontos para encontrar a reta da equação no gráfico. Equação nº 8X + 6X 48 Se X = 0, então: 8 8 6.(0) 48 48 48 8 6 Se X = 0, então: 8.(0) 6 6 48 48 6 8 48 Pontos (6, 0) e (8, )
Equação nº X + X Se X = 0, então:.(0) (0) 6 Se X = 0, então: Pontos (, 0) e (0, 6) Equação nº 3 X + X 0 Se X = 0, então:.(0) 0 0 Se X = 0, então: (0) 0 0 0 0 Pontos (0, 0) e (0, 0) 4º Passo: Montar o gráfico das retas, e 3. 5º Passo: Traçar o sentido de análise das retas de acordo com os sinais das restrições (sujeito a), e 3, e identificar a área de análise da solução do problema. Este local deve respeitar a todas as equações de restrição, ou seja, todas as retas devem fazer parte do local. Caso uma não esteja dentro, o problema está sem solução. Na prática nas empresas, tal fato indica que deverá ter uma alteração. Lembrando que: é buscar valores para X e X que crescem a partir da reta traçada e em análise; é buscar valores para X e X que diminuem a partir da reta traçada e em análise; = é buscar valores para X e X que estão na reta traçada e em análise. Esta restrição X, X 0 deve aparecer em todos os problemas de pesquisa operacional pois sempre estamos buscando valores tanto para X, bem como para X, positivo ou zero, estes localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano. Minimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o menor valor como resultado. Maimizar é buscar valores para X e X que quando aplicados na Função Objetivo Z se obtenha o maior valor como resultado.
Observação: Como queremos minimizar Z, vamos buscar os valores para X e X nos etremos a menor em direção ao ponto (0,0) do plano cartesiano, área que contempla a solução para as três retas de restrição. Ponto nº X = 0 e X = 8 (substitui-se na função objetivo Z) Z 0,06.(0) 0,08.(8) Z 0,64 Ponto nº X =,4 e X = 4,8 (substitui-se na função objetivo Z) Z 0,06.(,4) 0,08.(4,8) Z 0,44 0,384 Z 0,54 Ponto nº 3 X = 8 e X = (substitui-se na função objetivo Z) Z 0,06.(8) 0,08.() Z 0,48 0,6 Z 0,64 Ponto nº 4 X = e X = 0 (substitui-se na função objetivo Z) Z 0,06.() 0,08.(0) Z 0,7 Desta forma vemos que a melhor solução, menor Z (minimizar) é o ponto nº. Resposta X =,4 ; X = 4,8 ; Z = 0,54 INTERPRETAÇÃO Para termos o menor custo com a aquisição das duas soluções, e respeitando a legislação, devemos usar,4 doses da solução RED e 4,8 doses da solução BLUE para produzirmos a bebida energética.