Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 1 / 22

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1 Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos Thaís Paiva Departamento de Estatística Universidade Federal de Minas Gerais Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 1 / 22

2 Modelo de Múltiplos Decrementos Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 2 / 22

3 Modelo de Múltiplos Decrementos Vamos retornar para o caso de uma única vida. Anteriormente, consideramos uma única contingência de morte. Agora vamos considerar um modelo de sobrevivência com múltiplos decrementos (causas para falha de uma vida). É uma extensão do modelo de mortalidade clássico para o caso onde várias causas de decrementos operam simultaneamente. Uma vida falha quando um dos decrementos ocorre. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 3 / 22

4 Modelo de Múltiplos Decrementos Exemplos: Contrato de seguro de vida termina quando o segurado morre ou quando ele sai do seguro. Um contrato de seguro que propicia cobertura para invalidez e morte, consideradas como reclamações distintas. Um plano de previdência com benefícios nos casos de morte, invalidez e aposentadoria. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 4 / 22

5 Modelo de Múltiplos Decrementos Considere o número de empregados de uma empresa. Esse número é reduzido quando um empregado: é demitido/pede demissão; se torna inválido; se aposenta; ou morre. Em muitos casos, a empresa precisa estimar apenas o número de empregados ativos em um determinado tempo. O modelo de sobrevivência que já conhecemos pode ser utilizado. Mas a variável aleatória será o tempo até a saída do empregado. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 5 / 22

6 Modelo de Múltiplos Decrementos No entanto, para a avaliação de planos de benefícios dos empregados, os benefícios podem depender da causa de saída. Por exemplo, os benefícios de aposentadoria podem diferir dos benefícios pagos em caso de morte ou invalidez. Nesse caso, o modelo de mortalidade deve incluir variáveis aleatórias para o tempo até a saída e a causa da saída de um empregado. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 6 / 22

7 Modelo de Múltiplos Decrementos Vamos considerar os mesmos métodos que utilizamos para especificar a distribuição de T (x) (tempo de vida futura). Agora vamos utilizar esses métodos para especificar a distribuição para o tempo até o término de um status. Status: emprego com um determinado empregador. Vamos usar a mesma notação T (x) para o tempo até a saída. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 7 / 22

8 Modelo de Múltiplos Decrementos Modelo de Múltiplos Decrementos O modelo de múltiplos decrementos envolve duas variáveis aleatórias: T (x) tempo de vida até a ocorrência do decremento para uma pessoa com idade x. Variável aleatória contínua: J(x) causa do decremento. Variável aleatória discreta: T (x) > 0 J(x) = 1,..., m Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 8 / 22

9 Modelo de Múltiplos Decrementos Por exemplo, para um plano de benefícios para os empregados: 1 demissão 2 invalidez J = 3 morte 4 aposentadoria No caso de um seguro de vida que pode se encerrar caso o segurado decida encerrar os pagamentos prematuramente, a v.a. J é dada por: { 1 se o segurado morre; J = 2 se decide encerrar o contrato. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 9 / 22

10 Modelo de Múltiplos Decrementos Para um seguro de invalidez que faz pagamentos regulares para segurados que satisfazem uma determinada condição de invalidez pré-determinada no contrato, o benefício pode encerrar caso: 1 o segurado morra; 2 saia do contrato; J = 3 mude a causa de invalidez; 4 a duração do contrato acabe. Para análise de causas de mortalidade para planejamento de saúde pública, a v.a. J pode assumir os valores dependendo da causa de morte: doença cardiovascular, câncer, acidente, ou outros. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 10 / 22

11 Distribuição conjunta de T e J Nosso objetivo é: descrever a distribuição conjunta de T e J, e as distribuições condicionais e marginais. Distribuição conjunta: f T,J (t, j) Distribuições marginais: f J (j) = f T (t) = 0 f T,J (t, j) dt m f T,J (t, j) j=1 Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 11 / 22

12 Distribuição conjunta de T e J Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 12 / 22

13 Distribuição conjunta de T e J A distribuição de probabilidade conjunta de T e J pode ser vista como m folhas paralelas (para m causas de decremento). Há uma folha separada para cada uma das m causas de decremento do modelo. Temos as seguintes relações: m f J (j) = 1 j=1 0 f T (t) dt = 1 A função de densidade conjunta f T,J (t, j) pode ser usada para encontrar probabilidades de eventos definidos por T e J. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 13 / 22

14 Cálculo de probabilidades 1 Probabilidade de que um decremento devido à causa j ocorra entre t e t + dt: P [(t < T t + dt) (J = j)] = f T,J (t, j) dt 2 Probabilidade de que um decremento devido à causa j ocorra antes do tempo t: t P [(0 < T t) (J = j)] = f T,J (s, j) ds 3 Probabilidade de que um decremento devido a qualquer uma das causas ocorra entre os tempos a e b: m b P [a < T b] = f T,J (t, j) dt j=1 a 0 Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 14 / 22

15 Cálculo de probabilidades 4 Probabilidade de decremento antes do tempo t pela causa j: tq (j) x = t 0 f T,J (s, j) ds t 0, j = 1, 2,..., m. 5 Probabilidade de que o decremento ocorra pela causa j em algum momento futuro: q (j) x = 0 f T,J (s, j) ds = f J (j) j = 1, 2,..., m. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 15 / 22

16 Cálculo de probabilidades Para f T (t) e F T (t), temos que para t 0: f T (t) = F T (t) = m f T,J (t, j) j=1 t 0 f T (s) ds Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 16 / 22

17 Probabilidade Totais Podemos estender as notações para as funções de distribuição de T para considerar o tempo até o decremento. Vamos usar o sobrescrito (τ ) para indicar que a função se refere a todas as causas de decremento (ou força total). Probabilidade de que o decremento ocorra antes do tempo t por todas as causas: tq (τ ) x = P (T t) = F T (t) = t 0 f T (s) ds Probabilidade de que o indivíduo não sofra nenhum decremento até o tempo t: tp x (τ ) = P (T > t) = 1 t q x (τ ) Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 17 / 22

18 Força total de decremento Força total de decremento no tempo t: µ (τ ) x (t) = f T (t) 1 F T (t) = 1 = 1 tp (τ x ) = d dt log (. d dt t p (τ ) x tp (τ x ) tp (τ x ) ). d dt t q (τ ) x Portanto, tp (τ ) x { t = exp 0 } µ (τ x ) (s) ds Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 18 / 22

19 Força de decremento Força de decremento pela causa (j): µ (j) x (t) = f T,J(t, j) 1 F T (t) = f T,J(t, j) tp (τ x ) Podemos interpretar µ (j) x (t) como uma probabilidade condicional: a probabilidade de que o decremento pela causa (j) ocorra entre t e t + dt, dado que nenhum decremento tenha ocorrido antes de t. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 19 / 22

20 Força de decremento Explicando o resultado anterior: f T,J (t, j) dt = P [(t < T t + dt) (J = j)] = P [(t < T t + dt) (J = j) T > t]. P (T > t) De onde temos: P [(t < T t + dt) (J = j) T > t] dt = f T,J(t, j) P (T > t) = f T,J(t, j) tp (τ x ) µ (j) P [(t < T t + dt) (J = j) T > t] x (t) = lim dt 0 dt Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 20 / 22

21 Força de decremento Assim podemos reescrever: f T,J (t, j) dt = t p (τ ) x para j = 1, 2,..., m, e t 0. µ x (j) (t) dt Explicando em palavras: probabilidade de decremento por = causa j entre t e t + dt probabilidade que (x) se mantenha no status até o tempo t probabilidade condicional que o decremento ocorra pela causa j entre t e t + dt, dado que o decremento não ocorreu antes do tempo t Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 21 / 22

22 Força de decremento Podemos encontrar que: µ (j) x (t) = 1 tp (τ x ). d dt t q (j) x Matematicamente, essas funções são iguais às fórmulas que já vimos antes. A diferença vai estar na interpretação em cada aplicação. Técnicas Atuariais II 15. Múltiplos Decrementos 22 / 22