Práticas Atuariais em Seguros e Pensões. 5. Provisões Técnicas Thaís Paiva

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1 Práticas Atuariais em Seguros e Pensões 5. Provisões Técnicas Thaís Paiva thaispaiva@est.ufmg.br

2 Provisões de Prêmios para Seguros de Longo Prazo Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 1 / 18

3 Provisões de Prêmios para Seguros de Longo Prazo Como já vimos, as provisões de prêmios correspondem à parcela do prêmio que deve ser colocada em provisão para fazer face aos compromissos futuros da empresa. As provisões de prêmios podem ser classificadas em matemáticas ou não matemáticas: Provisões não matemáticas utilizadas nos seguros de curto prazo, estruturados no regime financeiro de Repartição. Provisões matemáticas utilizadas nos seguros de longo prazo, estruturados no regime financeiro de Capitalização, onde os cálculos de provisão são mais complexos. Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 2 / 18

4 Provisões de Prêmios para Seguros de Longo Prazo A provisão de prêmios para seguros de longo prazo é chamada Provisão Matemática de Benefícios a Conceder. Após o final do pagamento de prêmios, esta provisão passa a ser denominada de Provisão Matemática de Benefícios Concedidos (na verdade, ela é classificada como uma provisão de sinistros, mas é calculada similarmente à Provisão de Benefícios a Conceder). Vamos utilizar o método de cálculo prospectivo, adequado para situações em que haja alteração nas premissas de cálculo das provisões. Pelo método prospectivo, a provisão matemática é a diferença entre o valor presente dos compromissos futuros da empresa e o valor presente dos compromissos futuros dos seus segurados. Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 3 / 18

5 Fórmula de Cálculo Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 4 / 18

6 Fórmula de Cálculo: ( f V = Desc.(t) Prob. sin.(t) VP(t) + onde: t=c ) n Prob. desp. i (t) desp. i (t) Prob. prêmio(t) Prêmio(t) i=1 c período inicial do fluxo de compromissos futuros; f período final do fluxo de compromissos futuros; Desc.(t) fator de desconto financeiro para trazer os valores da época t para a época em que se calcula a provisão matemática. Prob. sin(t) probabilidade de um sinistro ocorrer na época t; VP(t) valor presente dos sinistros gerados na época t; Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 5 / 18

7 Fórmula de Cálculo: ( f V = Desc.(t) Prob. sin.(t) VP(t) + onde: t=c ) n Prob. desp. i (t) desp. i (t) Prob. prêmio(t) Prêmio(t) i=1 n quantidade de despesas a serem consideradas; Prob. desp i (t) probabilidade da i-ésima despesa ser paga na época t; desp. i (t) valor dos gastos com a i-ésima despesa geral (despesas administrativas, financeiras, margem de lucro, etc) na época t; Prob. prêmio(t) probabilidade do prêmio ser pago na época t; Prêmio(t) valor do prêmio a ser pago na época t; Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 6 / 18

8 Fórmula de Cálculo A fórmula do slide anterior é genérica e pode ser utilizada tanto para calcular a provisão pura (são considerados os gastos com sinistros e os prêmios puros) quanto a provisão carregada (são consideradas as despesas gerais e os prêmios comerciais), podendo ser aplicada para qualquer tipo de cobertura de longo prazo (sobrevivência, morte, invalidez, saúde, etc.). A fórmula padrão também se aplica tanto para o cálculo da Provisão Matemática de Benefícios a Conceder, quanto para o cálculo da Provisão Matemática de Benefícios Concedidos. Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 7 / 18

9 Fórmula de Cálculo A Provisão Matemática de Benefícios Concedidos é calculada para os benefícios pagos sob a forma de renda, quando cessa o pagamento de prêmios. Enquanto há o pagamento de prêmios, a provisão matemática constituída é de Benefícios a Conceder (a fórmula de cálculo é a mesma, mudando apenas o valor do Prêmio). A unidade de tempo a ser considerada depende da disponibilidade computacional; quanto menor a unidade de tempo, maior o grau de precisão da provisão matemática. Os componentes da fórmula devem ser projetados para o futuro, considerando a evolução esperada. Por exemplo, a diminuição da mortalidade (improvement) nos planos de aposentadoria, ou o aumento real de custos de sinistros nos planos de saúde. Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 8 / 18

10 Fórmula de Cálculo O ideal é que os valores dos pagamentos sejam inflacionados, aplicando-se as taxas de juros corretamente. Para facilitar o cálculo com essas considerações, são desenvolvidos os softwares atuariais, que usam projeções financeiras a partir de modelos pré-definidos para calcular o valor presente dos pagamentos. Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 9 / 18

11 Exemplo Calcular a provisão pura de um plano de aposentadoria vitalícia com o pagamento de uma renda mensal de $1000, para uma pessoa que se aposentou com idade x meses, e hoje possui a idade x + k meses. A renda mensal é antecipada, corrigida mensalmente pela inflação e a taxa real de juros acima da inflação é igual a i por mês (utilizar a unidade de tempo mensal). V = + ( f Desc.(t) Prob. sin.(t) VP(t) t=c ) n Prob. desp. i (t) desp. i (t) Prob. prêmio(t) Prêmio(t) i=1 Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 10 / 18

12 Exemplo Nesse caso já não há mais o pagamento de prêmios, e o segurado já está aposentado, logo, vamos calcular a Provisão Matemática de Benefícios Concedidos: V = $1000. ä x+k = 12.w x k t=0 v t. t p x+k. $1000 Como a unidade de tempo utilizada é a mensal, a probabilidade de sobrevivência precisa ser transformada em mensal. Uma metodologia bastante utilizada na prática é: p mensal x para idade x em anos inteiros. = (p x ) 1/12 Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 11 / 18

13 Exercício Calcular a provisão pura de um plano de seguro de vida inteira com pagamento de prêmios por 20 anos, para uma pessoa que entrou no plano com a idade x anos e hoje possui a idade x + 5 anos. O valor do pecúlio por morte é corrigido pela inflação e na data do cálculo da provisão matemática corresponde a $ Suponha que a morte ocorra no meio de cada período anual. O prêmio é pago anualmente de forma antecipada, corrigido anualmente pela inflação, e a taxa real de juros acima da inflação é i por ano (utilize a unidade de tempo anual). ( f V = Desc.(t) Prob. sin.(t) VP(t) + t=c ) n Prob. desp. i (t) desp. i (t) Prob. prêmio(t) Prêmio(t) i=1 Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 12 / 18

14 Exercício Como ainda há o pagamento de prêmios, vamos calcular a Provisão Matemática de Benefícios a Conceder: V = $ Ā x+5 P x. ä x+5:15 = $ w x 5 t=0 v t+1/2. t p x+5. q x+5+t P x. 14 t=0 v t. t p x+5 Ā x onde P x = $ é o prêmio puro pago pelo segurado ä x:20 por 20 anos no regime financeiro de Capitalização. Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 13 / 18

15 Exercício Calcular a provisão pura de um plano de aposentadoria por invalidez com o pagamento de uma renda anual vitalícia de $1.000, para uma pessoa que entrou no plano ativa com a idade exata x anos, e hoje permanece ativa com a idade exata x + k anos. O período de cobertura de invalidez é de n anos. Suponha que a invalidez ocorra no final de cada período anual. A renda anual é antecipada, corrigida anualmente pela inflação e a taxa real de juros acima da inflação é i por ano. ( f V = Desc.(t) Prob. sin.(t) VP(t) + t=c ) n Prob. desp. i (t) desp. i (t) Prob. prêmio(t) Prêmio(t) i=1 Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 14 / 18

16 Exercício Neste caso, o segurado ainda não se aposentou por invalidez (k < n), logo, vamos calcular a Provisão Matemática de Benefícios a Conceder: V = n k 1 t=0 v t+1. t p aa x+k. pai. $1000. ä(i) x+k+t x+k+t+1 n k 1 t=0 v t. t p aa x+k. P x onde: ä (i) x tp aa x+k. pai x+k+t é o valor presente de 1 u.m. paga vitaliciamente para uma pessoa inválida de idade x; é a probabilidade de uma pessoa ativa de idade x + k sobreviver ativa à idade x + k + t, e se invalidar com essa idade e permanecer viva e inválida à idade x + k + t + 1; Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 15 / 18

17 Exercício Neste caso, o segurado ainda não se aposentou por invalidez (k < n), logo, vamos calcular a Provisão Matemática de Benefícios a Conceder: V = n k 1 t=0 v t+1. t p aa x+k. pai. $1000. ä(i) x+k+t x+k+t+1 n k 1 t=0 v t. t p aa x+k. P x onde: P x é o prêmio puro pago pelo segurado por n anos no regime financeiro de Capitalização, enquanto ele sobrevive ativo. P x = $1000. n 1 t=0 vt+1. t p aa x. pai x+t. ä(i) x+t+1 ä aa x:n Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 16 / 18

18 Exercício p aa x pode ser obtido a partir da seguinte expressão simplificada: p aa x = p x p ai x onde p x é a probabilidade de uma pessoa ativa de idade x sobreviver à idade x + 1. p ai x pode ser aproximado por: p ai x = i x 1 ( 2. i x. q i x = i x. 1 1 ) 2 qi x onde i x é a probabilidade de uma pessoa ativa de idade x se invalidar antes de alcançar a idade x + 1; e q i x é a probabilidade de uma pessoa inválida de idade x falecer inválida antes de alcançar a idade x + 1. Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 17 / 18

19 Exercício p ai x = i x 1 ( 2. i x. q i x = i x. 1 1 ) 2 qi x Nessa aproximação, assume-se que a pessoa falece no meio de cada período. Logo, a probabilidade de uma pessoa ativa de idade x sobreviver inválida à idade x + 1 é igual a probabilidade dessa pessoa se invalidar antes de alcançar a idade x + 1 (i x ) vezes a probabilidade dela ( não falecer ) no meio do período que resta até o final do ano qi. x Práticas Atuariais 5. Provisões Técnicas 18 / 18