MODELAGEM NÃO LINEAR DO CRESCIMENTO E DA PRODUÇÃO DE PLANTAÇÕES FLORESTAIS ADRIANO RIBEIRO DE MENDONÇA

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1 MODELAGEM NÃO LNEAR DO CRESCMENTO E DA PRODUÇÃO DE PLANTAÇÕES FLORESTAS ADRANO RBERO DE MENDONÇA

2 ADRANO RBERO DE MENDONÇA MODELAGEM NÃO LNEAR DO CRESCMENTO E DA PRODUÇÃO DE PLANTAÇÕES FLORESTAS Tese apresentada à Unversdade Federal de Lavras, como parte das exgêncas do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Florestal, área de concentração em Cêncas Florestas, para obtenção do título de Doutor. Orentador Prof. Ph.D. Natalno Calegaro LAVRAS MNAS GERAS-BRASL

3 Fcha Catalográfca Preparada pela Dvsão de Processos Técncos da Bbloteca Central da UFLA Mendonça, Adrano Rbero de. Modelagem não lnear do crescmento e da produção de plantações florestas / Adrano Rbero de Mendonça. Lavras : UFLA,. 84p. : l. Tese (doutorado) Unversdade Federal de Lavras,. Orentador: Natalno Calegaro. Bblografa.. Sortmentos.. Equações dferencas. 3. Covarantes. 4. Manejo florestal.. Unversdade Federal de Lavras.. Título. CDD 634.9

4 ADRANO RBERO DE MENDONÇA MODELAGEM NÃO LNEAR DO CRESCMENTO E DA PRODUÇÃO DE PLANTAÇÕES FLORESTAS Tese apresentada à Unversdade Federal de Lavras, como parte das exgêncas do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Florestal, área de concentração em Cêncas Florestas, para obtenção do título de Doutor. APROVADA 7 de março de Dr. Agostnho Lopes de Souza Dr. Lus Antôno Combra Borges Dr. Paulo Fernando Truglho Dr. Glson Fernandes da Slva (Co-orentador) UFV UFLA UFLA UFES Prof. Ph.D. Natalno Calegaro (UFLA) Orentador LAVRAS MNAS GERAS-BRASL

5 Dedco meu esforço a Deus. Aos meus rmãos e amgos. À mnha mãe e ao meu pa

6 AGRADECMENTOS Manfesto meus snceros agradecmentos ao Orentador Natalno Calegaro, pela oportundade oferecda, pelos conselhos, pelos ensnamentos e, prncpalmente, pelas demonstrações de amzade. Ao orentador de mestrado e co-orentador de doutorado Glson Fernandes da Slva, pelos esclarecmentos decsvos e também pela amzade da qual pude desfrutar. Aos Professores Agostnho Lopes de Souza, Luís Antono Combra Borges e Paulo Fernando Truglho, pelas sugestões produtvas na banca de defesa desta tese. Aos Professores do Departamento de Cêncas Florestas que mnstraram aula durante o curso de doutorado e aqueles dos quas pude desfrutar da amzade. Às secretáras do Departamento de Cêncas Florestas que me ajudaram nas horas em que necesste. À UFES e UFLA que me proporconaram a realzação profssonal por meo de ensnamentos de cênca e conhecmentos empírcos que vou carregar pelo resto da vda. A UEG que me proporconou o níco das atvdades como docente. Em especal aos amgos de trabalho Adlson, Alcone, Claudenr, Eduardo, Flávo, Fláva, Gláuca, Kelly, smael, Marcelo Zucch, Márco, Marcon, Paulo Tmoss, Rômulo, Saulo, Valéra e Vítor. Aos meus pas, Alcdes Domngos de Mendonça e Lndnalva Rbero de Mendonça, meus rmãos Carlos, Alcdes e Dalva, meus grandes ncentvadores e amgos, que sofreram com a mnha ausênca. Não podera dexar de agradecer aos meus sobrnhos, Wllan, Carolna (aflhada) e Rafael, e à mnha cunhada Myran e meu padrnho/compadre Marcelo. v

7 Ao amgo Romldo Klppel e sua famíla que me receberam em Lavras. Aos companheros de pós-graduação: Alan, Alsson (Janu), Antôno (Bob), Edy, Emílo, Guto, Gutemberg, Luz, Malcon, Mara Zéla, Marana, Mayara, Nory, Regs, Roberto (Engenhara Agrícola), Rômulo, Samuel, Totonho e Wendy. Aos companheros do Lapnflor: Gabrela, Kamla, Rafael e Tguela. Aos companheros de repúblca: Álvaro, Camla, Fabana, Gerváso, Jaro e Julan Maurco pelos grandes momentos do nosso convívo. Agradecmento especal aos meus amgos do Espírto Santo (Alex, Betnho, Emanuel, saque, Joel, Marcos, Raymundo, Sassá, Teóphlo e Thago) e suas famílas pelo apoo durante a graduação, mestrado e doutorado. Aos meus amgos de Goás, em especal a Carla, Glena, Aurno Melo e sua famíla pelo apoo e amzade. A CAPES pelo auxílo com a bolsa de estudos. A todos os ctados e aqueles que de alguma manera contrbuíram para realzação deste trabalho, o meu muto obrgado. v

8 BOGRAFA Adrano Rbero de Mendonça, flho de Alcdes Domngos de Mendonça e Lndnalva Rbero de Mendonça, nasceu a 3 de abrl de 98, em Cachoero de tapemrm, Estado do Espírto Santo. Em 996, ngressou no Curso de Técnco em Contabldade no Centro nter-escolar Áttla Almeda Mranda (CE), formando em 998. Em 999, ngressou no Curso de Engenhara Florestal da Unversdade Federal do Espírto Santo, graduando-se em 4. Em março de 4, ncou o Curso de Mestrado em Produção Vegetal, na Unversdade Federal do Espírto Santo, defendendo dssertação em feverero de 6. Em feverero de 8, ncou a carrera de docente na Unversdade Estadual de Goás. Em março de 6, ncou o Curso de Doutorado em Engenhara Florestal, na Unversdade Federal de Lavras, defendendo tese em 7 de março de. v

9 SUMÁRO RESUMO GERAL... ABSTRACT GERAL... CAPÍTULO... ntrodução Geral... CAPÍTULO : Modelos hpsométrcos e de crescmento em altura das árvores domnantes e codomnantes para Pnus carbaea var. hondurenss...4 Resumo...5 Abstract ntrodução Materal e Métodos Caracterzação e análse dos dados Modelos Avalados Relação Hpsométrca Regressão com nclusão de covarantes nos modelos para estmatva da relação hpsométrca Altura das árvores domnantes e codomnantes Construção de curvas de índce de síto Avalação dos modelos Resultados e Dscussão Análse dos modelos para estmatva da relação hpsométrca de Pnus carbaea var. hondurenss Análse dos modelos para estmatva da altura das árvores domnantes e codomnantes Aplcação do modelo para estmatva da altura domnante e codomnante Conclusões Referêncas Bblográfcas...6 CAPÍTULO 3: Modelos de crescmento e produção obtdos por meo de equações dferencas...9 Resumo...3 Abstract ntrodução Materal e Métodos Caracterzação e análse dos dados Estmatva do volume ndvdual Desenvolvmento do modelo de crescmento e produção em área basal Modelos para estmatva do crescmento e produção em volume Avalação dos modelos Resultados e Dscussão Análse dos modelos desenvolvdos para estmatva do crescmento e produção em área basal do povoamento...4 v

10 5.. Compatbldade dos modelos desenvolvdos na projeção da área basal Análse dos modelos para estmatva do crescmento e produção em volume Compatbldade do modelo Logístco com adção de covarantes na estmatva da produção em volume Aplcação dos sstemas propostos para estmatva do crescmento e da produção em volume de povoamentos de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla Conclusões Referêncas Bblográfcas...59 CAPÍTULO 4: Modelos de produção de sortmentos de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla...63 Resumo...64 Abstract ntrodução Materal e Métodos Caracterzação e análse dos dados Estmatva do perfl e cálculo do volume de sortmentos de árvores de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla Modelagem do crescmento e produção em volume de sortmentos de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla Avalação dos modelos Resultados e Dscussão Avalação dos modelos de perfl Avalação dos modelos para estmatva do volume de sortmentos Estmatva do volume de madera para energa Estmatva do volume de madera para celulose Conclusões Referêncas Bblográfcas...8 v

11 RESUMO GERAL MENDONÇA, Adrano Rbero de. Modelagem não lnear do crescmento e da produção de plantações florestas.. 84p. Tese (Doutorado em Engenhara Florestal) Unversdade Federal de Lavras, Lavras, MG. * Este trabalho teve como objetvo geral a avalação de modelos para estmatva do crescmento e da produção de povoamentos florestas. Prmeramente, foram avalados quatro modelos na estmatva da relação hpsométrca e quatro para estmatva da altura das árvores domnantes e codomnantes de Pnus carbaea var. hondurenss. De acordo com as análses, o modelo Logístco obteve os melhores resultados em relação aos demas, para relação hpsométrca e crescmento em altura das árvores domnantes e codomnantes. A precsão dos modelos avalados aumentou com a adção de covarantes na relação hpsométrca. A segunda parte consttu-se na avalação de modelos de crescmento e produção de plantos clonas de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla obtdos por meo de equações dferencas. Foram obtdos dos modelos não-lneares para projeção da área basal, a partr da ntegração de modelos que representam o ncremento corrente anual (CA). Para estmatva do crescmento e produção em volume, fo utlzado o modelo Logístco com nclusão de covarantes e o modelo de Clutter. Com a combnação da equação orgnada do modelo logístco e os modelos obtdos para estmatva da área basal, orgnou-se os sstemas de projeção e. Esses sstemas foram comparados com o sstema de equações de Clutter (Sstema ). De acordo com as análses, os modelos para projeção da área basal, obtdos por meo de equações dferencas, apresentaram compatbldade entre crescmento e produção florestal. Os sstemas de equações formados pelo modelo Logístco e o Modelo e Modelo gerou dferentes alternatvas de colheta/desbastes em dferentes índces de síto, apresentando consstênca bológca. Na tercera etapa, avalou-se o modelo Logístco e o modelo de Clutter na estmatva de sortmentos florestas de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla. De acordo com as análses, o modelo Logístco obteve o melhor resultado para estmatva do crescmento em volume de madera para energa e celulose. A metodologa de estmatva da produção de sortmentos de plantações florestas analsada fo de fácl aplcação e precsa. Palavras-chave: sortmentos, equações dferencas, covarantes. * Comtê Orentador: PhD. Natalno Calegaro UFLA (Orentador) e Dr. Glson Fernandes da Slva UFES.

12 ABSTRACT GERAL MENDONÇA, Adrano Rbero de. Growth and yeld nonlnear modelng of forest plantatons.. 84p. Thess (Doctor n Forest Engneer) Unversdade Federal de Lavras, Lavras, MG. * The man purpose of ths study was to evaluate models to estmate forest growth and yeld. Frst, we assessed four models to estmate the heght-dameter relatonshp and four to estmate the heght of domnant and codomnant trees of Pnus carbaea var. hondurenss. Based on the analyss, the Logstc model showed better results for heght-dameter relatonshp and heght growth of domnant and codomnant trees. The accuracy of the evaluated models ncreased wth the addton of covarates n the heght-dameter relatonshp. The second part s the evaluaton of growth and yeld models of clonal plantatons of Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla obtaned by dfferental equatons. We obtaned two nonlnear models for basal area projecton, based on the ntegraton of models representng the current annual ncrement (CA). To estmate the volume growth and yeld, we used the Logstc model wth ncluson of covarates and Clutter model. The systems and was generated wth the combnaton of the equaton orgnated from the logstc model and the models obtaned for estmatng the basal area. These systems were compared wth the equatons of Clutter (System ). Accordng to the analyss, the models for projecton of basal area, obtaned by dfferental equatons, showed compatblty. The systems of equatons formed by the Logstc model and Model and Model has generated varous alternatve of harvest/thnnng at dfferent levels of ste, presentng bologcal consstency. n the thrd stage we evaluate the Logstc model and Clutter model n estmatng the forest assortments of Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla. Accordng to the analyss, the Logstc model obtaned the best result for estmatng the yeld n volume of wood for energy and pulpwood. The methodology to estmate assortment of forest plantatons was consdered easy to use and accurate. Key words: assortment, dfferental equatons, covarate. * Gudance Commttee: PhD. Natalno Calegaro UFLA (Advser) and Dr. Glson Fernandes da Slva UFES.

13 CAPÍTULO

14 NTRODUÇÃO GERAL O planejamento das empresas florestas se basea em um grande número de nformações. Entre essas nformações destaca-se a estmatva da produção florestal. Essa estmatva leva em consderação o objetvo fnal do planto, ou seja, o produto a ser gerado. O processo de estmatva, bem como as operações relaconadas à coleta de dados, é partcular para cada produto. Tas estmatvas geralmente estão relaconadas à projeção do crescmento e da produção ao longo do tempo. Quando se está nteressado em estmatvas de crescmento, onde o nteresse maor é o volume total ou a massa, tal como para produção de celulose ou energa, geralmente as nformações são menos detalhadas. De regra é feta a coleta da altura total (H) de algumas árvores (nclundo a altura das árvores domnantes e codomnantes - HDC) e do dâmetro à altura do peto (DAP) de todas as árvores da undade amostral do nventáro. Essas nformações são a base da estmatva da relação hpsométrca (DAP-H) e da classfcação de sítos (HDC). Também é comum se realzar a cubagem rgorosa das árvores para a obtenção do volume ndvdual (v ) das mesmas. Com os dados de DAP, H e v, são geradas as equações para a estmatva do volume das undades amostras. Com os dados de volume, área basal (calculada a partr do DAP das árvores) e número de árvore por undade amostral são geradas as estmatvas por hectare ou área total, já que a área da undade amostral é conhecda. A partr das nformações por hectare em cada dade de medção, ajustam-se modelos para projeção do crescmento desses produtos para dferentes sítos e densdade de planto. Quando se objetva estmatvas focando a produção de múltplos produtos, ou sortmentos, há a necessdade de mudança nos processos de

15 estmatva. A dferença básca deste processo de estmatva é que, com os dados de cubagem, são obtdas equações que representam o perfl das árvores. A partr dessas equações, são obtdos os volumes dos sortmentos, va ntegração das mesmas e, consequentemente, as nformações por parcela e por hectare. Sabendo da mportânca dessas estmatvas, mutos pesqusadores vêm buscando alternatvas mas precsas para se estmar a produção florestal. Além da produção, é de fundamental mportânca sua projeção ao longo do tempo para a tomada de decsões sobre a rotação slvcultural e econômca. Dante do exposto, o objetvo geral desse trabalho fo obter modelos para estmatva do crescmento e produção em volume total e por sortmentos de povoamentos florestas. Para alcançar esse objetvo geral foram defndos os seguntes objetvos específcos: a) Estmar a relação hpsométrca e altura das árvores domnantes e codomnantes; b) Obter modelos de crescmento e produção não-lneares por meo de equações dferencas; e c) Estmar a produção de sortmentos em povoamentos florestas. 3

16 CAPÍTULO MODELOS HPSOMÉTRCOS E DE CRESCMENTO EM ALTURA DAS ÁRVORES DOMNANTES E CODOMNANTES PARA Pnus carbaea var. hondurenss 4

17 RESUMO O objetvo do presente trabalho fo avalar modelos para estmatva da relação hpsométrca (H x DAP) e de altura das árvores domnantes e codomnantes (HDC x dade) de Pnus carbaea var. hondurenss. Os dados utlzados foram obtdos de árvores-amostra provenentes da Empresa Caxuana, localzada no muncípo de Nova Ponte, Mnas Geras, Brasl. Os dados utlzados para estmatva do crescmento das árvores domnantes e codomnantes foram provenentes de parcelas temporáras e permanentes. Foram testados 4 (quatro) modelos para estmatva da relação hpsométrca e 4 (quatro) para estmatva da altura das árvores domnantes e codomnantes. A seleção do melhor modelo fo com base no erro padrão relatvo [Syx (%)], crtéro de nformação de Akake (AC) e crtéro de nformação Bayesano (BC). De acordo com as análses, o modelo Logístco obteve os melhores resultados em relação aos modelos analsados, tanto para relação hpsométrca quanto para o crescmento em altura das árvores domnantes e codomnantes. A precsão dos modelos avalados aumentou com a adção de covarantes na relação hpsométrca. Palavras-chave: modelos estocástcos, covarantes, Pnus tropcas. 5

18 ABSTRACT The am of ths study was to evaluate models for estmate the heghtdameter relatonshp (H x DBH) and heght of domnant and codomnant trees (HDC x Age) of Pnus carbaea var. hondurenss. The data used were obtaned from sample trees at Caxuana Company, located n Nova Ponte, Mnas Geras, Brazl. The data used to estmate the growth of domnant and codomnant trees were from temporary and permanent plots. We tested four (4) models to estmate the heght-dameter relatonshp and 4 (four) for estmate the heght of domnant and codomnant trees. Selectng the best model was based on the relatve standard error [Syx (%)], Akake nformaton crteron (AC) and Bayesan nformaton crteron (BC). Accordng to the analyss, the Logstc model showed better results compared to the models tested for heght-dameter relatonshp and heght growth of domnant and codomnant trees. The accuracy of the models evaluated ncreased wth the addton of covarates n the heghtdameter relatonshp. Key words: probablty models, covarates, tropcal Pnus. 6

19 3 NTRODUÇÃO O profssonal lgado ao manejo de florestas tem como um de seus desafos a dentfcação de varáves que afetam o crescmento e a produção florestal. Para estmatva do volume de árvores ndvduas é necessáro o conhecmento da altura total da árvore (H). Esse conhecmento é mportante porque, juntamente com o dâmetro a,3 metros (DAP), a altura total é utlzada em modelos que expressam o volume de árvores de povoamento. Enquanto o DAP é meddo dretamente no tronco das árvores, empregando-se suta ou fta métrca, a H é medda ndretamente empregando-se hpsômetros. A medção da H pode acarretar procedmentos demorados, de alto custo e apresentar erros graves, pos a mesma necessta do conhecmento da dstânca horzontal do operador à árvore e da boa vsbldade da base e do topo da mesma. Consderando tas dfculdades na medda da H, é comum a utlzação de modelos estatístcos que fazem a estmatva da altura total da árvore em função de varáves como o DAP, dade, entre outras. Essa relação entre a altura e essas varáves é denomnada de relação hpsométrca. Város estudos foram fetos para avalar a relação hpsométrca em varadas espéces, entre eles: Machado et al. (994) com Pnus ellott; Fang & Baley (998) com espéces da floresta tropcal na Chna; Soares et al. (4) e Slva et al. (7) com Eucalyptus grands; Andrade et al. (6) com espéces da Mata Atlântca. Mas, a maora desses trabalhos consderou, somente, a relação entre a altura total da árvore e seu DAP, como em Zanon et al. (996) e Batsta et al. (). Atualmente, a tendênca é avalar, também, os fatores do povoamento que afetam a relação hpsométrca, como espéce ou materal genétco, dade, qualdade do local, densdade e tratos slvculturas. Entre as pesqusas que 7

20 seguem essa tendênca tem-se: Bartoszeck et al. (3), Caldera et al. (3), Soares et al. (4), Tomé et al. (7). Outra varável utlzada em estmatvas de volume é a altura méda das árvores domnantes e codomnantes. Esta varável é a mas utlzada para classfcação da capacdade produtva de um determnado local, para determnada espéce ou clone, e um determnado produto. Com sso, ela é mportante em estudos de crescmento e produção florestal. Esta relação entre a altura méda das árvores domnantes e codomnantes e a capacdade produtva do local há muto tempo vem sendo estudada. Pode-se ctar as pesqusas de autores como Schumacher (939), Curts (964), Baley & Clutter (974), Burkhart & Tennent (977), Scolforo (99), Selle et al. (994) e Tonn et al. (). Outro fato a ser consderado é que, na maora destes estudos, não fo utlzada a teora dos modelos não lneares. Nos modelos não lneares, ao nvés de se fazer uma descrção puramente empírca do fenômeno em estudo, pode-se, a partr de suposções mportantes sobre o problema, trabalhar no sentdo de obter uma relação teórca entre as varáves de nteresse. Em mutas stuações, necesstam de menos parâmetros nos modelos não lneares do que nos lneares, o que smplfca e faclta a nterpretação. Neste contexto, o objetvo do presente trabalho fo avalar modelos para estmatva da relação hpsométrca e do crescmento em altura das árvores domnantes e codomnantes de Pnus carbaea var. hondurenss. 4 MATERAL E MÉTODOS 4. Caracterzação e análse dos dados Os dados utlzados foram obtdos de árvores-amostra provenentes da Empresa Caxuana, localzada no muncípo de Nova Ponte, Mnas Geras, 8

21 Brasl. As árvores-amostra meddas para estmatva da relação hpsométrca foram dvddas em 8 (oto) classes damétrcas (Tabela ). TABELA Dstrbução damétrca das árvores-amostra para estmatva da relação hpsométrca Classe Classe de altura total de DAP,5 7,5,5 7,5,5 7,5 Total 7, , , , , , , ,5 8 9 Total A Tabela apresenta as estatístcas descrtvas relaconadas às varáves dos povoamentos onde foram coletados os dados. TABELA Estatístcas descrtvas das varáves relaconadas ao povoamento Varável do Estatístcas povoamento Mínmo Máxmo Méda Medana dade (anos) 4,3 6,5,4 5,5 HDC (m) 3, 8,,7, S (m) 8,9 45,5 9, 9,7 G (m².ha - ),766 54,74 6,473 5, N (ndvíduos/ha)

22 Para estmatva das alturas domnantes e codomnantes e construção de curvas de índce de síto foram utlzadas nformações de parcelas temporáras e permanentes. A Fgura apresenta a dstrbução das alturas domnantes e codomnantes em dferentes dades de medção. 3 5 HDC (m) dade (anos) FGURA Dstrbução das alturas das árvores domnantes e codomnantes em função da dade de Pnus carbaea var. hondurenss. Nota-se, na Fgura, que entre as dades,7 anos e 5,6 anos não há dados de altura das árvores domnantes e codomnantes. sso se deve ao fato de que a empresa cessou a mplantação de novas florestas em determnada época, voltando a mplantar florestas de Pnus carbaea var. hondurenss após alguns anos. Para análse e organzação dos dados fo utlzado o software estatístco R versão...

23 4. Modelos Avalados Foram avalados modelos lneares e não-lneares. Os modelos nãolneares foram estmados por meo do algortmo de Gauss-Newton. 4.. Relação Hpsométrca Foram avalados os seguntes modelos para estmatva da altura total das árvores de Pnus carbaea var. hondurenss: ) Logístco H = + exp [( DAP ) ] + ε Em que: H = altura total da árvore (m); DAP = dâmetro a,3 m do solo (cm); exp = base do logartmo neperano; = parâmetros do modelo; ε = erro estocástco. ) Mchaels-Menten H DAP =. + DAP + ε 3) Curts H =.exp. ε DAP 4) Parabólco H = + DAP + DAP + ε

24 4... Regressão com nclusão de covarantes nos modelos para estmatva da relação hpsométrca Baseando-se no fato de que a varação da altura total de árvores ndvduas não é apenas explcada pelo DAP, os parâmetros dos modelos seleconados foram decompostos e assocados aos mesmos, varáves relatvas ao povoamento. As varáves utlzadas como covarantes foram dade, HDC, índce de síto, número de árvores por hectare e área basal do povoamento. A grande flexbldade deste método está no fato de que as varáves podem estar assocadas ou não a um determnado parâmetro dependendo de seu efeto sobre o mesmo. 4.. Altura das árvores domnantes e codomnantes Foram avalados os seguntes modelos não-lneares para estmatva da altura das árvores domnantes e codomnantes: ) Logístco HDC Em que: = + exp [( ) ] + ε HDC = altura das árvores domnantes e codomnantes (m); = dade (anos); exp = base do logartmo neperano; erro estocástco. = parâmetros do modelo; ε = ) Assntótco HDC [ ] + ε ( 3 ) ( ). exp e = +.

25 3) Schumacher HDC.exp. ε = 4) Mchaels-Menten HDC =. + + ε 4... Construção de curvas de índce de síto Após a avalação dos modelos para estmatva das alturas domnantes e codomnantes, fo escolhdo o melhor modelo para construção de curvas de índce de síto para Pnus carbaea var. hondurenss. Escolhdo o modelo, será utlzado o método da curva-gua para construção das curvas de índce de síto. A dade de referênca ( ref ) utlzada fo de 8 anos. Essa dade fo escolhda por ser utlzada como referênca na empresa Caxuana. 4.3 Avalação dos modelos Os modelos utlzados tveram sua precsão testada por meo das seguntes estatístcas: a) Erro padrão relatvo: S yx = n Y Y = n p S S yx (%) = Y yx. 3

26 Em que: S yx = erro padrão resdual (m); S yx (%) = erro padrão relatvo (%); Y = valor estmado pelo modelo; Y = valor observado; Y = méda de Y; n = número de observações; p = número de parâmetros. b) Crtéro de nformação de Akake AC = ln( mv) + p Em que: p = número de parâmetros do modelo; mv = valor da máxma verossmlhança; n = número de observações. Quanto menor o valor de AC melhor o modelo avalado. c) Crtéro de nformação Bayesano BC = ln( mv) + pln( n) Quanto menor o valor de BC melhor o modelo avalado. As estatístcas utlzadas são de grande relevânca quando se trata da análse de regressão, pos penalzam modelos com grande número de parâmetros, escolhendo modelos mas parcmonosos. Além dessas estatístcas, fo feto, também, o teste da razão da máxma verossmlhança (TRMV) para relação hpsométrca antes e após a nclusão das covarantes no melhor modelo não-lnear. TRMV = [ ln( mv ) ln( mv )] Este valor é testado com χ com p -p graus de lberdade. Se o valor de TRMV for sgnfcatvo a um nível α de probabldade, o modelo com maor valor de mv apresenta maor precsão. 4

27 5 RESULTADOS E DSCUSSÃO 5. Análse dos modelos para estmatva da relação hpsométrca de Pnus carbaea var. hondurenss A Tabela 3 apresenta as estatístcas de ajuste dos modelos analsados para estmatva da relação hpsométrca de Pnus carbaea var. hondurenss na sua forma orgnal. TABELA 3 Estatístcas do ajuste dos modelos de relação hpsométrca de Pnus carbaea var. hondurenss, na sua forma orgnal Logístco (Syx =,3%) Parâmetro Estmatva Erro Padrão t p> t 3,36, ,6 <, 4,6773,565 47,77 <,,7358,797 7,85 <, Mchaels-Menten (Syx =,5% ) 75,375,785 4,33 <, 9,77367,63 35,5 <, Curts (Syx = 4,8%) 3,9734,858 66,8 <, -6,784,394-7,4 <, Parabólco (Syx =,% ),769,873 3,59 <,,45849,4 44, <,,94,3,8 <, Pela Tabela 3, observa-se que todos os modelos apresentaram sgnfcânca em seus parâmetros. Se for consderado somente esse crtéro, os quatro modelos podem ser utlzados para estmatva da altura total das árvores 5

28 de Pnus carbaea var. hondurenss. Mas, consderando o erro padrão relatvo [Syx(%)], os modelos analsados obtveram erros dentro dos padrões obtdos por outros autores. Machado et al. (994) obtveram valores de Syx (%) varando de,8% a 9,% em Pnus ellott. Esses autores concluíram que a H e DAP não possu uma relação dendrométrca muto forte. Consderando como crtéro de seleção dos modelos o Syx (%), o modelo Parabólco fo o que obteve o melhor resultado, segudo pelo modelo Logístco, Mchaels-Menten e Curts, respectvamente. Foram, então, escolhdos, para a nclusão das covarantes, o modelo Parabólco (lnear) e o modelo Logístco (não-lnear). A Tabela 4 apresenta as estatístcas de ajuste dos modelos escolhdos para nclusão das covarantes referentes ao povoamento. TABELA 4 Estatístcas de ajuste, para os modelos analsados, consderando a nclusão dos efetos das covarantes Logístco (Syx =,7%) Parâmetro Estmatva Erro Padrão T p> t,536,393 8,9 <, 5,8348,4, <,,835,577,,633 Parabólco (Syx =,%) -,369,58-8,64 <,,433,846 7,76 <, -,89,5-5,37 <, Pela Tabela 4, nota-se que o parâmetro do modelo Logístco com adção de covarantes fo não sgnfcatvo quando foram adconadas as covarantes dade ( ), altura méda das árvores domnantes e codomnantes 6

29 ( HDC ), índce de síto (S) e número de árvores por hectare (N) (Tabela 5). No modelo Parabólco, todos os parâmetros foram sgnfcatvos. Por outro lado, o modelo Logístco tem uma pequena vantagem em relação ao valor de Syx (%) comparando com o modelo Parabólco. É possível observar também que, ao se nclur as covarantes, há um ganho de precsão de 4,3% para o modelo Logístco e 39,6% para o modelo Parabólco. O ganho de precsão com adção de covarantes relaconadas ao povoamento também fo obtdo por Gumarães et al. (9). Soares et al. (4) obtveram resultados precsos quando utlzaram modelos que consderavam o efeto de varáves do povoamento nos modelos hpsométrcos genércos. A Tabela 5 apresenta estmatvas dos parâmetros, por covarante adconada, para os modelos analsados. TABELA 5 Estmatvas dos parâmetros, por covarante adconada, para o modelo Logístco e o modelo Parabólco da Tabela 3 Covarante Logístco Parabólco adconada -,79 -,7536,6449,4 -,39,453 HDC,63,8679 -,4843 -,343,938 -,37 S ---,74489,8835,648,59, G -,436 -, ,433,4, N -,3 -,99 -, ,73 -,5 Em que: = dade do povoamento; HDC = altura das árvores domnantes e codomnantes; S = índce de síto; G = área basal do povoamento e N = número de árvores por hectare. Ao analsar os resultados da Tabela 5 percebe-se que, para o modelo Logístco, as covarantes S e G não afetaram sgnfcatvamente os parâmetros e, respectvamente. Para o modelo Parabólco, a covarante N não afetou sgnfcatvamente o parâmetro. 7

30 A Fgura mostra a relação entre a altura total observada versus altura total estmada para o modelo Logístco e modelo Parabólco na forma orgnal. Logístco Altura total estmada (m) Altura total observada (m) Parabólco Altura total estmada (m) Altura total observada (m) FGURA Altura total estmada versus altura total observada para os modelos orgnas. 8

31 Observa-se que os modelos orgnas não conseguram representar a varação real da relação hpsométrca de Pnus carbaea var. hondurenss. Os modelos apresentaram tendênca de subestmatva da altura em árvores maores que m e de superestmatva de valores abaxo de m. A Fgura 3 apresenta a altura observada versus altura estmada para o modelo Logístco e modelo Parabólco após a nclusão das covarantes. Observa-se, na Fgura 3, que os modelos com covarantes melhoraram sgnfcatvamente a estmatva da altura em relação aos modelos orgnas (Fgura ). Este fato também fo observado na Tabela 4. Nota-se, também, uma lgera vantagem para o modelo Logístco em árvores acma de m de altura. 9

32 5 5 Altura total estmada (m) 5 3 Logístco Altura total observada (m) 5 5 Altura total estmada (m) 5 3 Parabólco 5 5 Altura total observada (m) FGURA 3 Altura total estmada versus altura total observada para os modelos com adção de covarantes

33 As Tabelas 6 e 7 apresentam comparações entre o modelo orgnal e o modelo com adção de covarantes para o melhor modelo não lnear e para o modelo lnear. TABELA 6 Teste da razão da máxma verossmlhança para o modelo Logístco orgnal e modelo Logístco com adção das covarantes. Modelo g.l AC BC lnmv TRMV p Orgnal 4.85,.7, ,6 Covarantes , , ,9 6.,37 <, Em que: g.l = graus de lberdade, p = probabldade. TABELA 7 Crtéro de nformação de Akake (AC) e Crtéro de nformação Bayesano (BC), e logartmo neperano da máxma verossmlhança (lnmv) para o modelo Parabólco orgnal e o modelo Parabólco com adção das covarantes Modelo AC BC lnmv Orgnal.878,6.9, ,3 Covarantes 85.63,5 85.7, ,7 Avalando os resultados da Tabela 6 observa-se que o TRMV fo altamente sgnfcatvo e, com sso, comprova que o modelo Logístco com adção de covarantes fo melhor que o modelo Logístco orgnal. Esse fato é comprovado com a melhora dos valores de AC, BC e lnmv. Analsando os resultados da Tabela 7, percebe-se que o modelo Parabólco com covarantes fo superor ao modelo orgnal assm como para o modelo Logístco. Estes resultados encontrados corroboram os encontrados na Tabela 4 e Fguras e 3. Pelas Tabelas 6 e 7, nota-se que o modelo Logístco obteve melhores estmatvas que o modelo Parabólco. sso é percebdo quando são analsadas as estatístcas AC, BC, onde suas estmatvas foram melhores que o modelo

34 Parabólco. Os resultados encontrados nas Tabelas 6 e 7 concordam com os resultados da Fgura 3 e Tabela Análse dos modelos para estmatva da altura das árvores domnantes e codomnantes A Tabela 8 apresenta as estatístcas de ajuste dos modelos analsados para estmatva da altura méda das árvores domnantes e codomnantes de Pnus carbaea var. hondurenss. TABELA 8 Estatístcas do ajuste dos modelos para estmatva da altura méda das árvores domnantes e codomnantes de Pnus carbaea var. hondurenss Logístco (Syx =,58% ) Parâmetro Estmatva Erro Padrão T p> t 33,658,346 5,3 <, 9,3847,4539,5 <, 5,593,344,4 <, Assntótco (Syx =,63% ) 67,57 338,7965,78,439,5873,4555 5,68 <, 3-5,533, , Mchaels-Menten (Syx =,8%) 86,9977 6,94 3,9 <, 38,7536 3,357,5 <, Schumacher (Syx = 3,57% ) 3,57835, ,9 <, -6,66,58-48,46 <, Analsando os resultados encontrados na Tabela 8, observa-se que os modelos tveram sgnfcânca em seus parâmetros, com exceção ao modelo Assntótco para. Se for consderado somente esse crtéro, os modelos

35 Logístco, Mchaels-Menten e o de Schumacher podem ser utlzados para estmatva da HDC de Pnus carbaea var. hondurenss. Consderando o erro padrão relatvo [Syx(%)], o modelo Logístco fo o que obteve o melhor resultado, segudo pelo modelo Assntótco, Mchaels-Menten e Schumacher, respectvamente. A Tabela 9 apresenta o crtéro de nformação de Akake (AC), crtéro de nformação Bayesano (BC) e logartmo neperano da máxma verossmlhança (lnmv) para os modelos ajustados para estmatva da altura domnante e codomnante de Pnus carbaea var. hondurenss. TABELA 9 Crtéro de nformação de Akake (AC), crtéro de nformação Bayesano (BC) e logartmo neperano da máxma verossmlhança (lnmv) para os modelos ajustados para estmatva da altura domnante e codomnante Modelo AC BC lnmv Logístco.497,75.55, ,875 Assntótco.53,6.5,7 -.47,8 Mchaels-Menten.55,3.538, ,67 Schumacher.73,88.76, ,644 Pela Tabela 9, nota-se que o modelo Logístco obteve o melhor resultado, segudo do modelo Assntótco, Mchaels-Menten e Schumacher, respectvamente. Os resultados encontrados na Tabela 9 corroboram os resultados apresentados para Syx (%) (Tabela 8). 5.. Aplcação do modelo para estmatva da altura domnante e codomnante Após a escolha do modelo Logístco HDC = + ε + exp [( ) ] (), aplcou-se o método da curva gua para construção das curvas de índce de 3

36 4 síto. A equação () é utlzada para estmatva dos valores da curva méda, denomnada de curva-gua. Fazendo HDC = S quando = ref (dade de referênca), tem-se + = exp ref S () solando (assíntota) em () e substtundo em (), tem-se: + = exp. HDC (3) + + = exp exp ref HDC S (4) A expressão (4) é utlzada para classfcação de sítos. solando HDC, em (4), é obtda a expressão para construção de tabelas e/ou curvas de índce de síto. + + = exp exp ref S HDC (5) Após análse das HDC observadas, os dados foram dvddos nas classes de síto apresentadas na Tabela.

37 TABELA Lmtes das classes de síto Classe Lmte nferor (m) Lmte superor (m) V 5 3 V 5 V 5 Após a defnção das classes de síto foram plotadas as curvas de índce de síto (Fgura 4). Observando a Fgura 4, nota-se que as alturas domnantes e codomnantes observadas estão, em sua maora, nos sítos, V e V. HDC estmada (m) dade (anos) HDC FGURA 4 Curvas de índce de síto para Pnus carbaea var. hondurenss em Nova Ponte, Mnas Geras. 5

38 6 CONCLUSÕES De acordo com os resultados obtdos, para as condções em que fo desenvolvdo este estudo, conclu-se que: - O modelo Logístco fo o mas precso na estmatva da relação hpsométrca e crescmento em altura méda de árvores domnantes e codomnantes de Pnus carbaea var. hondurenss; - A adção de covarantes possu grande potencal de utlzação em modelagem florestal, pos gerou aumento na precsão dos modelos analsados. 7 REFERÊNCAS BBLOGRÁFCAS ANDRADE, V. C. L.; MARTNS, S. V.; CALEGARO, N.; CHCHORRO, J. F. nfluênca de três sstemas de amostragem na estmatva da relação hpsométrca e do volume de árvores em um fragmento de Mata Atlântca. Scenta Forestals, Praccaba, v. 7, p. 3-37, 6. BALEY, R. L.; CLUTTER, J. L. Base-age nvarant polymorphc ste curves. Forest Scence, Lawrence, v., n., p , 974. BARTOSZECK, A. C. de P. e S.; MACHADO, S. do A.; FGUEREDO FLHO, A.; OLVERA, E. B. de. Modelagem da relação hpsométrca para bracatngas da regão metropoltana de Curtba-PR. Floresta, Curtba, v. 3, n., p. 89-4, 3. BATSTA, J. L. F.; COUTO, H. T. Z. do; MARQUESN, M. Desempenho de modelos de relação hpsométrca: estudo em três tpos de floresta. Scenta Forestals, Praccaba, v. 6, p ,. BURKHART, H. E.; TENNENT, R. B. Ste ndex equatons for radate pne n New Zealand. Forest Scence, Bethesda, v. 7, p , 977. CALDERA, M. V. W.; SCHUMACHER, M. V.; SCHEEREN, L. W.; WATSLAWCK, L. F. Relação hpsométrca para Araucara angustfóla (Bert.) O. Ktze na regão oeste do Estado do Paraná. Cêncas Agráras e Ambentas, Curtba, v., n., p , 3. 6

39 CURTS, R. O. A stem-analyss approach to ste-ndex curves. Forest Scence, Lawrence, v., n., p. 4-56, 964. FANG, Z.; BALEY, R. L. Heght-dameter models for tropcal forests on Hanan sland n southern Chna. Forest Ecology and Management, Amsterdam, v., p , 998. GUMARÃES, M. A. M.; CALEGARO, N.; CARVALHO, L. M. T. de; TRUGLHO, P. F. Heght-dameter models n forestry wth ncluson of covarates. Cerne, Lavras, v. 5, n. 3, p. 33-3, 9. MACHADO, S. A.; BALEY, R. L.; BASSO, S. F.; BEVLACQUA JÚNOR, V. G. Análse do comportamento da relação hpsométrca com respeto a dade para plantações de Pnus ellott no Estado do Paraná. Cerne, Lavras, v., n., p. 5-, 994. SCHUMACHER, F. X. A new growth curve and ts applcaton to tmber yeld studes. Journal of Forestry, Washngton, v. 37, p. 89-8, 939. SCOLFORO, J. R. S. Curvas de índce de síto para Pnus carbaea var. hondurenss. nsttuto de Pesqusas e Estudos Florestas - PEF, Praccaba, v. 45, p. 4-47, 99. SELLE, G. L.; SCHNEDER, P. R.; FNGER, C. A. G. Classfcação de síto para Pnus taeda l., através da altura domnante, para a regão de Cambará do Sul, RS, Brasl. Cênca Florestal, Santa Mara, v. 4, n., p , 994. SLVA, G. F.; XAVER, A. C.; RODRGUES, F. L.; PETERNELL, L. A. Análse da nfluênca de dferentes tamanhos e composções de amostra no ajuste de uma relação hpsométrca para Eucalyptus grands. Revsta Árvore, Vçosa, MG, v. 3, n. 4, p , 7. SOARES, T. S.; SCOLFORO, J. R. S.; FERRERA, S. O.; MELLO, J. M. de. Uso de dferentes alternatvas para vablzar a relação hpsométrca no povoamento florestal. Revsta Árvore, Vçosa, MG, v. 8, n. 6, p , 4. TOMÉ, M.; RBERO, F.; FAAS, S. Relação hpsométrca geral para Eucalyptus globulus Labll. em Portugal. Slva Lustana, Lsboa, v. 5, n., p. 4-55, 7. 7

40 TONN, H.; FNGER, C. A. G.; SCHNEDER, P. R.; SPATHELF, P. Crescmento em altura de Pnus ellott engelm., na regão de Pratn no Ro Grande do Sul, Brasl. Cênca Rural, Santa Mara, v. 3, n. 3, p ,. ZANON, M. L. B.; FNGER, C. A. G.; SCHNEDER, P. R.; KLEN, J. E. M.; COELHO, M. C. B. Funções para descrever a relação altura dâmetro de Eucalptus dunn Maden. Cênca Rural, Santa Mara, v. 6, n., p. 87-9,

41 CAPÍTULO 3 MODELOS DE CRESCMENTO E PRODUÇÃO OBTDOS POR MEO DE EQUAÇÕES DFERENCAS 9

42 RESUMO O objetvo do presente trabalho fo avalar modelos não lneares desenvolvdos por meo de equações dferencas para estmatva do crescmento e produção de povoamentos florestas. Os dados utlzados foram obtdos no muncípo de Paraopeba, Mnas Geras, Brasl. Utlzaram-se dados de plantos de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla com espaçamento 3x3m, orundos de parcelas permanentes. Para a estmatva do crescmento e produção em área basal, foram desenvolvdos dos modelos (Modelo e Modelo ) não lneares a partr de equações dferencas. Para estmatva da produção em volume fo proposta a utlzação do modelo logístco em função das varáves dade, índce de síto e área basal do povoamento. Fo analsada, também, a efcênca dos sstemas formados pelo modelo logístco e os modelos obtdos por meo de equações dferencas em comparação com o modelo de Clutter. De acordo com os resultados, os modelos para projeção da área basal, obtdos por meo de equações dferencas, apresentaram compatbldade entre crescmento e a produção florestal. O modelo Logístco com adção de covarantes apresentou compatbldade entre o crescmento e a produção em volume. O Sstema e o Sstema, formados pelo modelo Logístco com adção de covarantes para volume e o Modelo e Modelo, respectvamente, geraram dferentes alternatvas de colheta/desbastes em dferentes índces de síto, apresentando consstênca bológca. Palavras-chave: modelos não lneares, modelos compatíves, consstênca bológca. 3

43 ABSTRACT The am of ths study was to evaluate nonlnear models developed by dfferental equatons to estmate forest growth and yeld n volume. The data used were obtaned from Paraopeba cty, Mnas Geras, Brazl. We used data of Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla wth 3x3m spacng, from permanent plots. To estmate the growth and producton n basal area were developed two models (Model and Model ) usng nonlnear models and dfferental equatons technque. To estmate the volume yeld was proposed the logstc model as functon of age, ste ndex and basal area of the stand. Was also evaluated the effcency of systems formed by the logstc model and the models obtaned by dfferental equatons n comparson wth the model of Clutter. Accordng to the results, models for projecton of basal area, obtaned by dfferental equatons, showed compatblty n growth and yeld. The Logstc model wth the addton of covarates showed compatblty n growth and yeld. System and System, formed by the Logstc model wth added volume and covarates for Model and Model, respectvely, generated alternatves of harvest/thnnng at dfferent levels of ste, presentng bologcal consstency. Key words: nonlnear models, compatble models, bologcal consstency. 3

44 3 NTRODUÇÃO O planejamento florestal deve atender a algumas ndagações báscas como: quanto, como, onde, quando e para quem produzr. Para responder a essas perguntas, é necessáro um bom conhecmento do crescmento e produção da floresta. Com sso, a varável volume consttu uma das nformações de maor mportânca para o conhecmento do potencal de produção florestal de uma determnada regão, sendo que o volume ndvdual fornece a nformação ncal para avalação da produção de madera dos povoamentos florestas (Machado et al., 5). Vaccaro et al. (3) ctam que os prmeros estudos sobre modelagem de crescmento orgnaram na Europa, em 85, por meo de métodos gráfcos que nterpretavam o crescmento e produção. Monserud (984) cta que as tabelas de produção são construídas nos Estados Undos desde 9. As tabelas de produção seguram com o status de modelagem de crescmento e produção até 95 (Vaccaro et al., 3). Váras são as pesqusas sobre o crescmento e produção, dentre elas pode-se ctar: Schumacher (939), Clutter (963), Burkhart (97), Sullvan & Clutter (97), Penaar & Turnbull (973), Penaar (979), Scolforo & Machado (996), Arce et al. (997, 998), Wendlng et al. (998), Slva (), Abreu et al. (), Vaccaro et al. (3), Calegaro et al. (4, 5b). O grande avanço no estudo de crescmento e produção é devdo à aplcação dos modelos de prognose do crescmento e da produção. Modelos de crescmento e produção são relações entre a quanta de produção e crescmento e os város fatores que explcam ou estmam este crescmento (Davs & Johnson, 987). A necessdade crescente do conhecmento da stuação presente dos povoamentos, bem como de sua dnâmca, tem conduzdo a um contínuo 3

45 aprmoramento das técncas de construção de modelos de crescmento e produção (Resende et al., 4). Os modelos de crescmento podem ser representados por equações dferencas ou sstemas com duas ou mas destas equações (Wrath & Or, 998). Entre os trabalhos que utlzaram equações dferencas pode-se ctar Schumacher (939), Buckman (96), Clutter (963) e Mendes et al. (7), entre outros. Mas, apesar de utlzarem equações dferencas, a maora desses modelos utlza somente relações lneares. Nos modelos não lneares, ao nvés de se fazer uma descrção puramente empírca do fenômeno em estudo, pode-se, a partr de suposções mportantes sobre o problema (frequentemente obtdas por meo de uma ou mas equações dferencas), trabalhar no sentdo de obter uma relação teórca entre as varáves de nteresse. Outra grande vantagem dos modelos não lneares é a nterpretação dos parâmetros. Em mutas stuações, necesstam de menos parâmetros nos modelos não lneares do que nos lneares, o que smplfca e faclta a nterpretação. Modelos não lneares de produção com tendênca sgmodal representam melhor o crescmento de ndvíduos/populações por apresentarem, mutas vezes, tendênca gual àquela representada, na base de dados, pela varação da produção ao longo do tempo. Neste contexto, o objetvo do presente trabalho fo avalar modelos não lneares desenvolvdos para estmatva do crescmento e da produção de povoamentos por meo de equações dferencas. 4 MATERAL E MÉTODOS 4. Caracterzação e análse dos dados Os dados utlzados foram obtdos numa área pertencente a V & M Florestal, no muncípo de Paraopeba, Mnas Geras, Brasl. A temperatura 33

46 méda da regão é de,9 ºC e precptação anual de 38,7 mm (nsttuto Braslero de Geografa e Estatístca - BGE, ). Foram utlzados dados de plantos de clonas do híbrdo Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla no espaçamento 3x3m. Para a estmatva da produção em área basal e volume dos povoamentos foram utlzados dados de parcelas permanentes. A dstrbução do volume dos povoamentos está apresentada na Fgura. Volume (m³.ha-¹) dade (anos) FGURA Dstrbução do volume em função da dade dos povoamentos de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla. 34

47 ... Para análse dos dados fo utlzado o software estatístco R versão 4. Estmatva do volume ndvdual Os dados utlzados para estmatva do volume de árvores ndvduas foram provenentes de cubagem rgorosa de 46 árvores de povoamentos clonas de Eucalyptus camaldulenss x Eucalyptus urophylla. Fo utlzado o modelo de Schumacher & Hall (933), ajustado por Carvalho (). O modelo ajustado pode ser observado na equação (). V =,9777,,9453. DAP H () Syx = 4,9 % Em que: V = volume da -ésma árvore (m³); H = altura total da árvore (m); DAP = dâmetro a,3 m do solo (cm); S yx (%) = erro padrão relatvo. 4.3 Desenvolvmento do modelo de crescmento e produção em área basal O desenvolvmento do modelo de crescmento e produção fo obtdo a partr de equações dferencas conforme Mendes et al. (7). O prmero passo é a escolha de modelos que tem tendênca semelhante a uma curva típca de ncremento corrente anual (CA) (Fgura ). 35

48 CA (m².ha-¹) dade (anos) FGURA Exemplo típco do ncremento corrente anual do crescmento de povoamentos (CA) em função da dade. Foram escolhdos dos modelos que representam a tendênca apresentada na Fgura. O prmero modelo escolhdo fo Y =. e (Ratkowsky, 989). Então, o CA fo descrto conforme a equação () G CA = =. e () Em que: G = área basal do -ésmo povoamento (m².ha - ); = dade do povoamento (anos); = parâmetros do modelo. Após sso, ntegrou-se a equação () e fo obtda a função de produção em área basal: 36

49 37 = e G. ( ) e e G = (3) Em que: e = base do logartmo neperano. Para obtenção do modelo para projeção da área basal do povoamento, ntegrou-se a equação () entre as dades e. Com sso, tem-se: =. e G ( ) e e e e G G + + = ( ) e e e e G G = (4) Em que: G = área basal na dade ; G = área basal na dade ; = dade presente; = dade futura. E, nserndo o efeto do índce síto (S) na equação (4), é obtdo o Modelo : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S e S e S e S e S G G S S S S = (5)

50 38 O segundo modelo escolhdo fo ( ) e Y. = (Ratkowsky, 989). Então, o CA fo descrto conforme a equação (6) ( ) e G CA. = = (6) Após sso, ntegrou-se a equação (6) e fo obtda a função de produção em área basal: ( ) = e G. e e e G + = (7) Para obtenção do modelo para projeção da área basal do povoamento, ntegra-se a equação (6) entre as dades e, com sso tem-se ( ) =. e G ( ) e e e e e e G G = ( ) e e e e e e G G = (8) E, nserndo o efeto do síto (S) na equação (8), fo obtdo o Modelo :

51 G + = G + ( + S ). ( + S ). ( + S ). [ ( + S) e e + e ( + S) ] ( + S ). ( + S ). ( + S ). [( + S) e + e e ( + S) ] + S + S (9) As equações (5) e (9) são as formas de ajuste para projeção da área basal, para o Modelo e Modelo, respectvamente. Pode-se garantr por estas equações que quando = G =G. Os modelos não lneares propostos para projeção da área basal de povoamentos, bem como o usado para estmatva da produção em volume dos (tem.4), fo estmado por meo do algortmo de Gauss-Newton Modelos para estmatva do crescmento e produção em volume Para estmatva da produção em volume fo utlzado o modelo Logístco: V = + ε + exp[ ( ) ] () O modelo logístco, como outros modelos não lneares, permte a obtenção dos parâmetros ncas do modelo pela nterpretação dos seus parâmetros. O parâmetro representa a assíntota horzontal superor (AHS), sto é, o valor máxmo da resposta (V ) no tempo ( ). O parâmetro representa o ponto de nflexão da curva, ou seja, a dade ( ) onde a produção (V ) atngr metade de. E, o parâmetro (escala) representa a dferença entre as dades onde a produção atngr aproxmadamente 73% de e a dade no ponto de nflexão. Este modelo se apresenta como um dos de maor facldade de nterpretação. Essa facldade é de grande mportânca, pos uma das maores lmtações do uso de modelos lneares é a escolha correta dos parâmetros ncas 39

52 para o processo de teração. Quando os valores ncas são muto dferentes das estmatvas para uma determnada base de dados, o algortmo não converge ou gera estmatvas não-confáves (Calegaro et al., 5a). Baseando-se no fato de que a varação do volume total de povoamentos não é apenas explcada pela dade, os parâmetros do modelo logístco foram decompostos e assocou-se às mesmas varáves relatvas ao povoamento [índce de síto (S) e área basal do povoamento (G)]. O modelo Logístco com adção de covarantes é expresso por: V + S = + ε + exp{ [( + G ) ] } () Para testar a efcênca das novas propostas, foram fetas comparações com o sstema de modelos de Clutter, o qual é bastante utlzado para este tpo de estmatva. Esse modelo fo ajustado pelo método dos mínmos quadrados em dos estágos e possu a segunte forma de ajuste: LnG LnV + S + LnG + ε + 3 = = LnG + α + α S + ε () (3) Em que: Ln = logartmo neperano; α = parâmetros do modelo. Com sso, tem-se 3 (três) sstemas de equações para projeção do volume de povoamentos (Tabela ). 4

53 TABELA Sstemas de equações utlzados para estmatva do crescmento e produção Sstema Modelo para projeção do volume Modelo para projeção da área basal Sstema Logístco () Modelo (5) Sstema Logístco () Modelo (9) Sstema Clutter () Clutter (3) 4.5 Avalação dos modelos Os modelos utlzados tveram sua precsão testada por meo das seguntes estatístcas: a) Erro padrão relatvo: S yx = n Y Y = n p S yx (%) = S Y yx. Em que: S yx = erro padrão resdual (m); S yx (%) = erro padrão relatvo; Y = valor estmado pelo modelo; Y = valor observado; Y = méda de Y; n = número de observações; p = número de parâmetros. Além dsso, foram fetas as análses gráfcas do erro (%) em função do valor estmado pelo modelo. Os valores do erro (%) utlzados na construção dos gráfcos foram expressos por: Erro (%) = x Y Y Y 4