HOMOGENEIZAÇÃO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS COMPÓ- SITOS EM TERMOELASTICIDADE LINEAR

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1 Rvsta Iboacana d Ingnía Mcánca. Vol. 13, N.º 2, pp , 2009 HOMOGENEIZAÇÃO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS COMPÓ- SITOS EM TERMOELASTICIDADE LINEAR JOAQUIM PINHO-DA-CRUZ, PAULO SÉRGIO FERREIRA, JOÃO ALEXANDRE OLIVEIRA, FILIPE TEIXEIRA-DIAS Unvsdad d Avo Dpatanto d Engnhaa Mcânca Capus d Santago, Avo, Potugal (Rcbdo 17 d novb d 2008, paa publcacón 1 d sptb d 2009) Rsuo A odlação nuéca dtalhada do copotanto tocânco d coponnts stutuas consttuídos po atas copóstos qu galnt o conhcnto pévo das suas popdads acoscópcas. Po u lado, atavés d odlos analítcos é possívl obt statvas paa os valos das popdads fctvas dos atas, ass coo ajoants noants paa sss sos valos. Po outo lado, é possívl utlza étodos d natuza nuéca, d nt os quas s dstaca a hoognzação po xpansão assptótca. O cuso a todologas d hoognzação pod taz bnfícos coputaconas bastant sgnfcatvos. Esta técnca pt a substtução d u o htogéno po u o hoogéno quvalnt, ptndo, ass, a obtnção d ls d copotanto acostutuas a pat d nfoação latva ao nívl costutual. Nst tabalho pocd-s a u studo copaatvo das popdads tolástcas d atas copóstos obtdas atavés d pocdntos nuécos d hoognzação po xpansão assptótca d odlos analítcos co sultados xpntas obtdos a pat d fonts bblogáfcas. Palavas-chav Matas copóstos, hoognzação, tolastcdad lna, lntos fntos. 1. INTRODUÇÃO Os atas copóstos tê vndo ao longo dos anos a ganha gand xpssão quanto à sua utlzação, pncpalnt ngnhaa. Ests atas são consttuídos po duas ou as fass caactza-s po apsnta htogndads. Quando u dsts atas é sujto a ua udança d tpatua, a dfnça nt os cofcnts d xpansbldad téca das fass consttunts ogna o apacnto d tnsõs d od téca, qu sulta da fda htogndad costutual. Não aas vzs a cobnação das tnsõs d og cânca co as tnsõs d og téca pod lva, stuaçõs d caganto tocânco, a fnónos d cdênca ou d uptua do atal. Nstas condçõs, tona-s ndspnsávl conhc as popdads tocâncas fctvas dos atas consttunts. Estas pod s dtnadas condo a odlos analítcos ou a sulação nuéca. Os odlos analítcos são noalnt assocados a atas copóstos co gotas spls, consttuídos po nclusõs sfécas ou clíndcas, d ond s pod ta não só as popdads tocâncas fctvas as tabé noants/ajoants dssas sas popdads. Paa atas copóstos co gotas coplxas é usual co-s à sulação nuéca patcula à odlação po lntos fntos. Todava, ua cocta dfnção dos dtalhs costutuas tona ncssáa a utlzação não só d alhas não-stutuadas coo d u gand núo d lntos fntos. Mso tos d tolastcdad lna, a odlação nuéca do copotanto tocânco dst tpo d coponnts stutuas fca d cta foa possbltada d s alza, dvdo ao facto d s ncssáo o uso d gand óa coputaconal consquntnt d tpos d coputação dasado longos. Dst odo, paa s duz sss tpos os lvados custos nvolvdos na odlação nuéca d coponnts stutuas d atas copóstos, pod co-s a todologas d hoognzação. Estas todologas pt a substtução d u o htogéno po u o hoogéno quvaln-

2 4 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das t, dando og a ls d copotanto acostutuas a pat d nfoação latva ao nívl costutual. E gal, os atas copóstos apsnta htogndads costutuas cujas dnsõs caactístcas s vla bastant nfos às dnsõs caactístcas dos coponnts stutuas qu são noalnt nsdos. S a dstbução das htogndads no so da atz s apsnta d ua foa qutatva, a ofologa dssas htogndads pod s galnt apoxada pla ptção pódca d ua célula untáa, qu psnta os dtalhs costutuas do atal copósto. Dsd o níco do século XIX qu a hoognzação d popdads físcas é conhcda [1-3]. Mas é só na sgunda tad do século XX qu os pos tabalhos latvos à toa atátca da hoognzação s tonaa conhcdos [4-6]. No caso d s t psnt u atal copósto co costutua não-pódca pod utlza-s dvsas técncas d hoognzação: paa poblas sétcos não-pódcos, a convgênca-g [4], paa poblas não-sétcos não-pódcos, a convgênca-h [7] paa poblas qu adt ua caactzação vaaconal, a convgênca-γ [8]. Contudo stas todologas não pt obt dados hoognzados paa as popdads tocâncas d u atal copósto, as apnas sta lts nfos supos paa os valos hoognzados das popdads fctvas. Po outo lado, s s tv u atal copósto co ua costutua pódca, pod aplca-s o étodo d hoognzação po xpansão assptótca (HEA), co ganhos sgnfcatvos na dução do núo d gaus d lbdad assocados à odlação do copotanto tocânco dstas stutuas co a possbldad da caactzação dos capos costutuas. No qu concn à tolastcdad dcondo dsta todologa, é possívl obt quaçõs xplíctas qu pt a dtnação dos nívs costutuas d fluxo supfcal d calo po condução, d tnsão d dfoação. Na pátca, st pocsso cospond ao nvso da hoognzação, o qual s dnona localzação. A HEA pt a obtnção d valos édos (hoognzados) paa as popdads tocâncas d u dtnado atal copósto. Esta técnca basa-s dos pssupostos: () os dslocantos pod s caactzados po ua sé assptótca () as caactístcas da costutua são dfndas na célula untáa, psntatva da podcdad na coscala. Nst contxto, nst tabalho pocd-s a u studo copaatvo das popdads tolástcas d atas copóstos obtdas atavés d pocdntos qu nuécos d hoognzação po xpansão assptótca qu analítcos co sultados xpntas d font bblogáfca, lustando-s a aplcação d todologas d hoognzação. 2. HOMOGENEIZAÇÃO POR EXPANSÃO ASSIMPTÓTICA EM TERMOELASTICIDADE Na hoognzação po xpansão assptótca pocd-s à substtução d u o htogéno po u o hoogéno quvalnt, o qu, co bas dados latvos ao nívl costutual, possblta a obtnção d ls d copotanto acostutuas. Nst contxto, consd-s u atal htogéno lna tolástco assocado a u o sóldo Ω R 3, cuja costutua é consttuída pla dstbução spacalnt pódca d ua célula untáa assocada a ua gão Y, confo s psnta na Fg. 1. Aquando da solctação tocânca dos atas htogénos d costutua pódca sug osclaçõs pódcas dos capos sultants d tpatuas, dslocantos, fluxos supfcas d calo po condução, tnsõs dfoaçõs. A gnaldad dos atas htógnos d costutua pódca apsnta ua lação nt as dnsõs caactístcas dos doínos da co- da acostutua duzda ( <<1). Est tpo d osclaçõs pódcas advé da podcdad assocada à htogndad costutual anfsta-s na vznhança d dnsão d qualqu ponto d Ω. Dsta foa, é natual assu a xstênca d duas scalas dstntas x y, assocadas, spctvant, aos fnónos d copotanto do atal nos nívs da acoscala Ω da coscala Y, tal coo lustado na Fg. 1. Ass, sulta qu as vaávs assocadas aos capos antont fdos passa a dpnd funconalnt d abos os sstas x y, qu y x. (1)

3 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 5 Fg. 1. Rpsntação squátca da célula untáa Y assocada à coscala do atal tolástco htogéno Ω, utlzados no pocsso d hoognzação assptótca, d qu sulta o atal hoogéno Ω h, co 0. Daqu, obté-s ua caactístca foalnt dsgnada po Y-podcdad, sndo qu a dpndênca funconal y é pódca no doíno Y. S, po u lado, a Y-podcdad da htogndad costutual s flct, tos d popdads lnas tolástcas, no facto d os tnsos d condutvdad téca k, d xpansbldad téca α d lastcdad D s Y-pódcos y, po outo lado, a hoogndad do atal ao nívl da acoscala sulta na não-dpndênca dcta dsts tnsos latvant ao ssta d coodnadas da acoscala, x. Nst contxto, tos das coponnts dos tnsos d condutvdad téca, d xpansbldad téca d lastcdad, obté-s j k j j ( ) k y (2) j ( ) α α y (3) D jkl D ( y ), (4) jkl spctvant. Mas, no ssta d coodnadas da acoscala, x, a htogndad costutual anfsta-s nu píodo -1 vzs no qu a dnsão caactístca do doíno Y. Sndo ass d acodo co a quação (1), dfn-s os tnsos k j j j ( ) ( ) k x (5) α α x (6) j D jkl D ( x ), (7) jkl qu o índc supo psnta o facto d k, α D s Y-pódcos no ssta d coodnadas da acoscala, x, dpndndo, ass, ndctant d x. Consdando a convnção d Enstn paa a notação ndcal das coponnts das gandzas tnsoas, o pobla téco g staconáo é dscto po quaçõs d qulíbo d Fou paa a condução d calo qu cospond, spctvant, a [9]

4 6 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das q x q Q 0 Ω T kj Ω, x j (8) (9) paa, j1,..., 3. q são as coponnts do vcto d fluxos supfcas d calo po condução. Q psnta a taxa tpoal d gação d calo po undad d volu T é o capo d tpatuas. Ua vz as, o índc supo vdnca a Y-podcdad d ua dtnada vaávl no ssta d coodnadas da acoscala, x. Na fonta Γ d Ω pod s dfndas condçõs d fonta d Dchlt, d Nuann d Robn qu cospond a T qn T Γ DT, (10) NT q Γ (11) ( ) RT qn hc T T Γ, (12) spctvant, co Γ DT ΓNT Γ RT Γ ΓDT Γ NT ΓDT Γ RT ΓNT Γ RT. T q são valos psctos d tpatua d fluxo d calo po condução po undad d áa, spctvant. n são as coponnts d u vso noal xto às supfícs Γ NT ou Γ RT. h c T são o cofcnt d convcção a tpatua do o abnt, spctvant. Po outo lado, o pobla assocado d tolastcdad lna é dscto po quaçõs d qulíbo, laçõs dfoaçõs-dslocantos lnazadas laçõs consttutvas qu, assundo dfoaçõs nfntsas assocadas a u pocsso quas-státco, cospond a [9] σ j + f 0 Ω, (13) x j j 1 u u j + Ω 2 xj x (14) σ D ΔT β Ω, (15) j jkl kl j spctvant, qu T Δ T T 0 (16) β D α β ( x / ). (17) j jkl kl j σ j j são as coponnts dos tnsos das tnsõs das dfoaçõs d Cauchy, spctvant. f u psnta as coponnts dos vctos d foças volúcas d dslocantos, spctvant. T 0 é a tpatua d fênca β j são as coponnts do tnso dos ódulos técos. Na fonta Γ d Ω pod s tabé dfndas condçõs d fonta d Dchlt d Nuann, qu cospond a u u Γ Du (18) σ j nj t Γ Nu, (19) spctvant, co ΓDu Γ Nu Γ ΓDu Γ Nu. u t são valos psctos d dslocanto d foça supfcal, spctvant. n j são as coponnts d u vso noal xto à supfíc Γ Nu.

5 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 7 Ass, co bas no pssuposto da xstênca d duas scalas dstntas assocadas aos fnónos d copotanto do atal nos nívs da acoscala Ω da coscala Y, pocd-s à apoxação dos capos d tpatuas d dslocantos (vaávs páas) co bas nas spctvas xpansõs assptótcas : ( ) qu os tos T ( x, y ) ( ) (, ) (0) (1) 2 (2) T ( x) T ( x, y) + T ( x, y) + T ( x, y) + K (20) u x u x y u x y u x y K (21) (0) (1) 2 (2) ( ) (, ) + (, ) + (, ) +, u x y, co N 0, cospond a funçõs Y-pódcas y, dsgnadas po coctos d od dos capos d tpatuas d dslocantos, spctvant. Atndndo à quação (1) t-s, d acodo co a ga da cada utlzada na dvação d funçõs, qu 1 +. (22) x x y Nst contxto, a substtução da xpansão assptótca do capo d tpatuas (quação (20)) nas quaçõs d Fou paa a condução d calo (xpssão (9)) na l d Duhal-Nuann (xpssão (15)), a substtução da xpansão assptótca do capo d dslocantos (xpssão (21)) nas laçõs dfoaçõs-dslocantos lnazadas (xpssão (14)) pt a obtnção do pobla tolástco hoognzado. Dst odo, o capo d tpatuas T (0) cospond à solução do pobla téco hoognzado dfndo po Ξ Q 0 Ω, x (23) T (0) T Γ DT, (24) Ξ NT n q Γ, (25) (0) ( ) RT Ξ n hc T T Γ, co (26) Ξ k h j T x (0) j Ω, (27) qu Ξ dnota as coponnts do capo acostutual hoognzado d fluxos supfcas d calo po condução k h j são as coponnts do tnso hoognzado d condutvdad téca, dfndas po I k j h 1 k k ϒ kk kj ( ) Ij d Y. Y y y (28) Y j cospond, nu fncal catsano otonoado, às coponnts do tnso dntdad d k sgunda od. ϒ são as coponnts do vcto do capo d dslocantos tocaactístcos [10]. Po outo lado, o capo d dslocantos u (0) cospond à solução do pobla d tolastcdad hoognzado dfndo po Σ j + f 0 Ω, x j (29) u (0) u Γ, (30) Du Σ jnj t Γ Nu, co (31)

6 8 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das Fg. 2. Ilustação squátca da apoxação d pa od da xpansão assptótca do capo d tpatuas, paa u caso undnsonal - o capo d tpatuas, Ω, é apoxado pla sobposção do capo hoognzado da acoscala, Ω h, co as flutuaçõs d pa od oundas da Y-podcdad do capo da coscala, Y. u Σ 0 Ω, (0) h k (0) h j Djkl ( T T ) βj xl (32) h h qu Σ j dnota as coponnts do capo acostutual hoognzado d tnsõs. D jkl β j são as coponnts dos tnsos hoognzados d lastcdad dos ódulos técos, spctvant, dfndas po n h 1 n χ k Djn Djkl ( ) Ikl dy Y y y (33) Y l h 1 k βj j ( ) Djkl ( ) dy Y β y y Ψ Y y, (34) l sndo I n kl δ k δ ln, qu δ j é o síbolo d dlta d Konck. χ n k Ψ k são as coponnts dos tnsos dos capos d dslocantos caactístcos d dslocantos tocaactístcos, spctvant [10]. Atnda-s ao facto d qu a consdação das duas scalas x y assocadas, spctvant, aos fnónos d copotanto do atal nos nívs da acoscala Ω da coscala Y basa-s na hpóts d xst osclaçõs pódcas dos capos sultants d tpatuas d dslocantos, consqunts da podcdad assocada à htogndad costutual. Estas osclaçõs dv, supostant, sobpo-s a capos acoscópcos qu não s toa consdação, plo nos d odo dcto, a nfluênca d tas htogndads costutuas. Ass, paa ua apoxação d pa od da xpansão assptótca do capo d tpatuas ou dslocantos, as osclaçõs pod s ntptadas coo flutuaçõs tono d u valo édo acoscópco, tal coo s lusta na Fg. 2. E tos pátcos, constata-s qu ua pat sgnfcatva das aplcaçõs stutuas d ngnhaa basadas atas htogénos d costutua pódca s nconta assocada a valos d << 1.

7 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 9 3. MODELOS ANALÍTICOS DE HOMOGENEIZAÇÃO 3.1. Popdads câncas D u odo gal, vfca-s qu as popdads câncas fctvas d atas copóstos não sgu a ga das stuas [11]. Po consgunt, é patvo pocd à cação d odlos qu possa pv ssas popdads. Alé dsso, atndndo ao facto d as constants lástcas d u atal copósto dpnd da foa da dstbução do atal d foço [12, 13], é dsjávl a dfnção d lts (analítcos) supos nfos paa os valos das popdads câncas fctvas do atal copósto, dvndo sts lts s o as apoxados possívl u do outo paa qu a pvsão sja útl pcsa. A aoa dos odlos tócos é dalzada a pat do pssuposto d qu xst ua lgação pfta nt as fass consttunts do atal, sndo, no ntanto, galnt nglgncada a ntacção lástca nt patículas. D u odo gal, sts odlos basa-s splfcaçõs goétcas, d odo a s obt xpssõs analítcas. No psnt tabalho fctua-s ua copaação nt os sultados da pvsão nuéca do ódulo d lastcdad longtudnal do atal copósto os sultados d pvsão analítca. Po u lado a pvsão analítca do ódulo d lastcdad é fctuada d acodo co as quaçõs d Halpn-Tsa [14]. Consdando, ξ ( ν ) , (35) 1+ ν κ κ η1 κ + ξ E 1 (36) ξ 7 5ν 2 (37) 8 10ν G G η2 G + ξ E 2 pod s obtdos os ódulos d ncopssbldad d cot (κ G spctvant), 1+ ξ η f κ κ 1 η f G G ξ η f 1 η f, 2 2 qu f é a facção volúca do foço. Atndndo às laçõs E κ 31 2 ( ν ) 2, (38) (39) (40) (41) E G 21 ( + ν ), sulta qu o ódulo d lastcdad tansvsal cospond a 9κG E. 3κ + G No qu concn ao cofcnt d Posson do atal copósto, o su valo pod s obtdo analtcant co bas nas quaçõs antos d Halpn-Tsa, a qu cospond (42) (43)

8 10 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das 3κ 2 G ν. (44) 6κ + 2G Po outo lado, foa anda consdados os lts supo nfo assocados aos odlos cocâncos d Vogt-Russ [15,16], d Hashn-Shtkan [17] d Ravchandan [18]. A célula psntatva untáa assocada ao odlo d Vogt-Russ pod sof dos tpos dstntos d caganto cânco. Po u lado, consd-s u caganto cânco sgundo a dcção paalla à ntfac das lânas da atz do foço. Dst odo, assundo u stado d sodfoação, ou sja, u capo unfo d dfoação paa a atz o foço, pocdndo à nzação da nga potncal do atal copósto, o ódulo d lastcdad longtudnal do atal copósto cospond [15] a ( ) + 1. (45) V E Ef E f Po outo lado, consdando qu o atal copósto stá sob u stado d sotnsão, ou sja, o caganto cânco da célula psntatva untáa é ppndcula à ntfac das lânas da atz do foço, o ódulo d lastcdad longtudnal cospond [16] a E EE f E + f E R ( 1 ) Estas quaçõs cospond ao lt supo d Vogt ao lt nfo d Russ, spctvant, paa o valo do ódulo d lastcdad d u atal copósto. No ntanto, confo fdo po Hll [19], n a suposção d stados d sodfoação n d sotnsão psnta condçõs as. D facto, as tacçõs na ntfac das lânas da atz do foço não stão qulíbo, sgundo o odlo d Vogt, a ntfac das lânas da atz do foço não s consgu ant, sgundo o odlo d Russ. Convé f qu não é aconslhávl calcula os cofcnts d Posson sob stados d sotnsão ou d sodfoação [20]. D u odo gal, s os valos da gdz dos atas da atz do foço fo uto dfnts, os lts d Vogt Russ dfn ntvalos uto aplos. Ao contáo d Vogt Russ, Hashn Shtkan (HS) consda o atal copósto coo ua fas d patículas alatoant dstbuídas ua fas contínua a atz. O odlo cocânco d Hashn-Shtkan qu a consdação d u únco pncípo vaaconal, co bas nu atal d fênca, povdncando lts paa as constants lástcas d u atal copósto [17,21]. Co bas no caso d u atal copósto s consttuído po u atal d foço as ígdo qu o atal da atz, pod ta-s os lts supo (s) nfo () dos ódulos d ncopssbldad d cot (κ G spctvant), HS 1 f κs κ +, (47) 1 3 f + κ κ 3κ + 4G. (46) G G HS s HS κ HS κ + f κ κ 3κ + 4G ( f ) 1 f G + 1 6f 2 + G G 5G 3 + 4G, ( κ + G ) ( κ ) f G G G G + G ( f)( κ + G) 5 ( 3κ 4 ). (48) (49) (50)

9 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 11 Atndndo às quaçõs (41) a (43), pod ntão obt-s o lt supo o lt nfo d Hashn-Shtkan paa o ódulo d lastcdad longtudnal, qu cospond, spctvant, a E 9κ G HS HS HS s s s HS HS 3κ s + Gs (51) E 9κ G HS HS HS HS HS 3κ + G Paa a obtnção do lt supo do lt nfo paa o valo do cofcnt d Posson, Zan [22] popôs odfcaçõs splfcatvas no su cálculo, sugndo ass ν 3κ 2G HS HS HS s s HS HS 6κ s + 2G ν 3κ 2G HS HS HS s HS HS 6κ + 2Gs spctvant. Ravchandan odfcou a célula untáa assocada aos stados d sodfoação d sotnsão, popondo ua célula psntatva untáa coposta po ua atz contínua patículas d foço cúbcas [18]. Nst odlo é aplcado u caganto undnsonal ppndcula a duas facs opostas da célula psntatva untáa. Ravchandan sugu ntão qu o lt supo o lt nfo paa o ódulo d lastcdad longtudnal foss dtnados po qu E ( 1+ ) ( 1+ ) ( E E ) C + E ( 1+ C ) EE E C E C Ra s 3 E 2 ( )( 1 ) ( CE + E )( 1+ C) CEE + E + C E + EE 2 2 Ra 2 C 1-3 f 1..,, (52) (53) (54) (55) (56) (57) Os lts supo nfo paa o valo do cofcnt d Posson cospond a [20] ν 2 3 ( 2 3 ) ( ) ν E + Cν E + E ν C + C + C Ra s 2 3 CE + E + C + C + C (58) 1 ν E + Cν E ν ν ( 1 C ) ν. + Ra 2 ( 1 C ) CE + E (59) 3.2. Popdads tolástcas O cofcnt d xpansbldad téca d u atal copósto dpnd fotnt das suas caactístcas costutuas [23]. Quando u atal copósto é sujto a ua dfnça d tpatua ga-s dfoaçõs. A dfoação d ua das fass nu atal copósto é stngda pla gdz da outa fas, dpndndo a agntud dssa dfoação da tansfênca d cot na ntfac da atz-foço. A xpssão as spls paa dtna o cofcnt d xpansbldad téca d u atal copósto é dada pla ga das stuas [23]

10 12 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das ( f ) RM α α α f 1 +. (60) Tun fo o po a consda o ódulo d lastcdad na quação paa dtna o cofcnt d xpansbldad téca [24], tndo a foa do foço sdo as tad consdada po Kn [25]. Kn assu qu o atal copósto é foçado po patículas sfécas bbdas nua caada unfo d atal da atz. O cofcnt d xpansbldad téca, α K, cospond, d acodo co Kn, a K κ κ α α( 1 f) + α f + ( 1 f) f( α α), (61) 3κ ( ) κ 1 f κ + fκ + 4G sndo κ κ os ódulos d ncopssbldad dos atas do foço da atz, spctvant, G o ódulo d cot do atal da atz. Schapy [26] tabé consdou o atal d foço coo sndo consttuído po patículas sfécas, as utlzando uncant os ódulos d ncopssbldad da atz do foço, obtv paa o cofcnt d xpansbldad téca do atal copósto κ κ 1-1 S ( ) α α + α α κ -1-1 κ Não sndo o ódulo d ncopssbldad do atal copósto conhcdo antcpadant, a consdação dos lts d Hashn-Shtkan, quaçõs (47) (48), pt a obtnção d lts supo nfo paa o cofcnt d xpansbldad téca qu, sgundo Schapy, cospond, spctvant, a ( ) ( ) κ 1 κ HS -1 S s κ κ α α α α ( ) ( ) κ 1 s HS -1 S κ κ α α α α Po outo lado, no odlo apsntado po Fahy Raga [27] stablc-s ua xpssão paa o cofcnt d xpansbldad téca função dos ódulos d lastcdad longtudnal dos cofcnts d Posson d cada ua das duas fass consttunts do atal copósto: α FR 3.3. Popdads técas α 2E E. κ 3f( 1 ν)( α α) ( )( f ) f ( ) 1 2ν ν + 1+ ν A condutvdad téca é ua popdad bastant potant nu atal, pncpalnt atas d ngnhaa utlzados pocssos qu nvolva dfnças d tpatua lvadas. Paa a pvsão analítca do cofcnt d condutvdad téca d u atal copósto pod s utlzados os odlos d Maxwll [2], d Raylgh [3] d Landau [28]. O odlo d Maxwll basa-s no pncípo d qu ua patícula d foço sféca s nconta bbda nua caada unfo d atal da atz nglgnca-s qualqu ntacção nt os capos técos assocados a váas patículas d foço. Dsta foa Maxwll apsntou ua xpssão paa dtna o cofcnt d condutvdad téca, k M, cospondnt a k M k ( ) ( ) k + 2k + 2f k k k + 2k f k k... (62) (63) (64) (65) (66)

11 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 13 Maxwll fo o po a studa o cofcnt d condutvdad téca d atas htogénos, não tndo, no ntanto, consdado o fto d dspsão. Co fto, o su odlo t tndênca a pv baxos valos do cofcnt d condutvdad téca paa lvadas concntaçõs d facção volúca d patículas d foço [29]. No odlo d Raylgh, os pssupostos do odlo anto antê-s, as nst caso é consdado u aanjo pódco cúbco d patículas sfécas co o so dâto, qu dfn o atal copósto. A xpssão paa o cálculo do cofcnt d condutvdad téca, k R, é, sgundo Raylgh, dêntca à d Maxwll, cospondndo a ( ) ( ) k + k + f k k R k k k + k + f k k Landau, po sua vz, consdou o fto qu da dstbução das fass consttunts do atal copósto qu dos contactos qu s pod stablc nt as patículas d foço. Establcu, ass, ua xpssão paa dtna o cofcnt d condutvdad téca d u atal copósto co foço d patículas sfécas, cospondnt a ( ) ( ) ( ) ( ) 2 L k k f + k f + k f + k f + kk. (67) (68) 4. PROCEDIMENTOS NUMÉRICOS No psnt tabalho utlzou-s o pogaa COMMA3D [10]. Est é u pogaa d sulação nuéca basado no étodo dos lntos fntos, dsnvolvdo Fotan 90, qu consttu a bas d ua platafoa d odlação nuéca do copotanto tocânco d atas copóstos nclu o pocdnto d hoognzação po xpansão assptótca tolastcdad lna. Est pogaa pt a odlação d doínos sóldos utlzando lntos fntos ttaédcos hxaédcos, qu lnas qu quadátcos. As tafas d pé- pós-pocssanto foa alzadas co bas na utlzação do pogaa GD. Est pogaa é ua ntfac gáfca d odlação goétca, co váas caactístcas qu o tona útl nas fass d pé- pós-pocssanto d poblas d sulação nuéca. A odlação nuéca d células psntatvas untáas d atas copóstos co gotas coplxas fo fctuada co bas no pogaa SPHERECELL [30, 31]. Est pogaa pt o contolo gooso d alguns paâtos goétcos, tas coo, po xplo, () a facção volúca dos atas consttunts, () a gota as dnsõs do foço, () a dstbução do foço (v) as condçõs d fonta d podcdad. No contxto da aplcação do étodo d hoognzação po xpansão assptótca à tolastcdad, é ncssáo gaant a podcdad não só da gota das células psntatvas untáas as tabé dos capos dos dslocantos caactístcos dos cofcnts caactístcos d dlatação lna fctva, no pobla tolástco, do capo d dslocantos tocaactístcos, no pobla téco. Nst contxto, fo utlzada a sub-otna SLAVERY [30, 31] paa s pocd, d odo xpdto, à assocação dos nós sujtos a condçõs d podcdad, b coo dos sus cospondnts gaus d lbdad. Co o ntuto d pocd ao studo nuéco das popdads lástcas, tolástcas técas (hoognzadas) d atas copóstos paa facçõs volúcas d foço, f, nt 10% 50%, nclusv, pocdu-s à gação d cnco células psntatvas untáas paa as cnco facçõs volúcas d foço consdadas. As gotas das células psntatvas untáas gadas nconta-s lustadas na Fg. 3. E sguda, co bas studos d convgênca qu das atzs D h k h qu dos vctos dos ódulos técos β h assocados a cada ua das células psntatvas untáas qu dfn o atal copósto foçado co patículas sfécas [10], foa obtdas as alhas d lntos fntos apsntadas na Fg. 4.

12 14 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das Fg. 3. Gotas das células psntatvas untáas gadas co patículas sfécas, paa facçõs volúcas d foço d (a) 10%, (b) 20%, (c) 30%, (d) 40% () 50%. Fg. 4. Malhas d lntos fntos obtdas co bas studos d convgênca, paa as células psntatvas untáas co facçõs volúcas d foço d (a) 10%, (b) 20%, (c) 30%, (d) 40% () 50%. 5. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DE RESULTADOS Na psnt scção pocd-s à aplcação nuéca da técnca d hoognzação po xpansão assptótca na dtnação nuéca d popdads câncas, tolástcas técas d atas copóstos, dsnvolvndo-s o studo da nfluênca da facção volúca d foço nos valos fctvos das fdas popdads atas copóstos d patículas sfécas. Os sultados nuécos são copaados co sultados qu d pvsão analítca qu xpntas Popdads lástcas Os atas da atz do foço do atal copósto são ua sna d póxdo fba d vdo, spctvant. As popdads tocâncas dsts atas nconta-s ndcadas na Tabla 1 [32-35]. Na Fg. 5 são apsntadas as coponnts das atzs D h, paa células psntatvas untáas d atal copósto d sna d póxdo co 10% a 50% d facção volúca d foço d patículas sfécas d fba d vdo. Vfca-s qu paa as facçõs volúcas d foço d 10% 20% o atal pod caactza-s coo sndo cúbco, ou sja, apsnta as sas popdads câncas sgundo as tês dcçõs d ototopa. Isto sgnfca qu o copotanto cânco do atal copósto é dscto plos paâtos ndpndnts E, ν G. Paa facçõs volúcas d foço supos a 30%, nclusv, as atzs consttutvas apsnta u caáct ntdant ototópco, boa não-cúbco. Na Fg. 6 são lustados os sultados d pvsão nuéca, conjunto co os d pvsão analítca, os lts supos nfos d Vogt-Russ, d Hashn-Shtkan d Ravchandan, ass coo os sultados xpntas [32], paa o ódulo d lastcdad longtudnal, consdando ua gaa d facçõs volúcas d foço até 60%.

13 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 15 Tabla 1. Popdads tocâncas dos atas da atz () do foço () paa o atal copósto d sna d póxdo foçado co fba d vdo. Popdad Valo Módulo d lastcdad do atal da atz, E [GPa] 3,5 Cofcnt d Posson do atal da atz, ν [-] 0,35 Cofcnt d condutvdad téca do atal da atz, k [W -1 K -1 ] 0,195 Cofcnt d xpansbldad téca do atal da atz, α [MK -1 ] 65,26 Módulo d lastcdad do atal do foço, E [GPa] 78 Cofcnt d Posson do atal do foço, ν [-] 0,21 Cofcnt d condutvdad téca do atal do foço, k [W -1 K -1 ] 1,4 Cofcnt d xpansbldad téca do atal do foço, α [MK -1 ] 6,5 Fg. 5. Coponnts das atzs D h, paa células psntatvas untáas d atal copósto d sna d póxdo co 10% a 50% d facção volúca d foço d patículas sfécas d fba d vdo. Fg. 6. Vaação do ódulo d lastcdad longtudnal co a facção volúca d foço d patículas sfécas d fba d vdo, paa u atal copósto d atz d sna d póxdo.

14 16 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das Constata-s qu os sultados xpntas s nconta ltados supont plo lt d Vogt, qu po sua vz va alagando a sua dfnça lação ao lt d Russ. Est facto pod s xplcado pla gand dfnça xstnt nt os ódulos d lastcdad dos atas consttunts do atal copósto. Coo sa d spa, os lts d Hashn-Shtkan vla-s bastant sttos os d Ravchandan anda as, o qu s dv ao facto d sts odlos cocâncos consda ua atz contínua a nvolv as patículas soladas d foço. Gand pat dos sultados xpntas apsnta-s foa dos lts d Ravchandan, apsa d sgu ua tndênca confodad co os sos. Os sultados d pvsão analítca concd co o lt nfo d Hashn-Shtkan. No qu concn aos sultados nuécos, são apsntados os tês ódulos d lastcdad longtudnal, dvdo ao caáct ototópco do atal copósto. Na Fg. 7 apsnta-s a globaldad dos sultados xpntas, conjunto co os sultados d pvsão analítca os lts supos nfos d Vogt-Russ, d Hashn-Shtkan d Ravchandan, paa o ódulo d lastcdad longtudnal. Constata-s qu paa as facçõs volúcas d foço as lvadas os sultados xpntas sgu, tos d cuva éda, a sa tndênca Fg. 7. Rsultados xpntas d pvsão analítca, co os lts supos nfos d Vogt-Russ, d Hashn- -Shtkan d Ravchandan, paa o ódulo d lastcdad longtudnal d u atal copósto d sna d póxdo co patículas sfécas d fba d vdo. Fg. 8. Vaação do cofcnt d Posson co a facção volúca d foço d patículas sfécas d fba d vdo, paa u atal copósto d atz d sna d póxdo.

15 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 17 dos sultados d pvsão analítca. Os sultados nuécos do cofcnt d Posson do atal copósto consdado são apsntados na Fg. 8, conjunto co os sultados d pvsão analítca os xpntas [32], b coo os lts supos nfos d Hashn-Shtkan d Ravchandan. Vfca-s qu, apsa d apsnta gands vaaçõs, os sultados xpntas s nconta dnto dos lts d Hashn-Shtkan. Po outo lado, os lts d Ravchandan dfn u ntvalo bastant stto tanto os sultados d pvsão nuéca coo os xpntas sa foa dss ntvalo. Alé dsso, à xcpção do qu oco paa a facção volúca d 40%, os sultados nuécos pac sgu apoxadant a tndênca dos sultados xpntas. Po f, na Fg. 9 na Fg. 10 apsnta-s, spctvant, os dslocantos caactístcos, χ, os vctos das solctaçõs câncas caactístcas, FD, da célula psntatva untáa d atal copósto d sna d póxdo co 30% d patículas sfécas d fba d vdo (vd. Fg. 3(c)). Fg. 9. Dslocantos caactístcos da célula psntatva untáa d atal copósto d sna d póxdo co 30% d patículas sfécas d fba d vdo odos noas (a) χ11, (b) χ22 (c) χ33, odos d cot (d) χ12, () χ23 (f) χ13. Fg. 10. Vctos das solctaçõs câncas caactístcas da célula psntatva untáa d atal copósto d sna d póxdo co 30% d patículas sfécas d fba d vdo odos noas (a) F11D, (b) F22D (c) F33D, odos d cot (d) F12D, () F23D (f) F13D.

16 18 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das Tabla 2. Popdads tocâncas dos atas da atz () do foço () paa o atal copósto d ntato d aluíno foçado co patículas sfécas d aluna. Popdad Valo Módulo d lastcdad do atal da atz, E [GPa] 186 Cofcnt d Posson do atal da atz, ν [-] 0,31 Cofcnt d condutvdad téca do atal da atz, k [W -1 K -1 ] 92 Cofcnt d xpansbldad téca do atal da atz, α [MK -1 ] 14 Módulo d lastcdad do atal do foço, E [GPa] 401 Cofcnt d Posson do atal do foço, ν [-] 0,24 Cofcnt d condutvdad téca do atal do foço, k [W -1 K -1 ] 34 Cofcnt d xpansbldad téca do atal do foço, α [MK -1 ] 7, Popdads tolástcas Consda-s u atal copósto d ntato d aluíno foçado co patículas sfécas d aluna. As popdads tocâncas dos atas da atz do foço do atal copósto nconta-s ndcadas na Tabla 2 [23, 35, 36]. As coponnts dos vctos hoognzados dos ódulos técos, β h, são apsntadas na Fg. 11. Vfca-s qu sts valos são dêntcos paa ua sa pcntag d facção volúca d foço qu o aunto dssa pcntag nduz u dcésco no valo dos vctos hoognzados dos ódulos técos, β h. A ultplcação do vcto hoognzado dos ódulos técos, β h pla nvsa da atz consttutva D h dá og ao vcto hoognzado d cofcnts d xpansbldad téca, α h. Na Fg. 12 sts sultados são copaados co os sultados d pvsão analítca os sultados xpntas [23]. Os valos nuécos cospond aos tês cofcnts d xpansbldad téca noal, sndo os stants nucant nsgnfcants, co odns d gandza 3 a 5 vzs nfos. Constata-s qu os ntvalos são uto sttos, o qu s dv ao facto d o ódulo d lastcdad (cofcnt d xpansbldad téca) do atal da atz s cca d duas vzs nfo (supo) ao do atal d foço. Po outo lado, vfca-s qu os valos xpntas não s nconta aca dos pvstos plo odlo d Kn, o qu sug qu st odlo possa s usado paa sta u ajoant paa o cofcnt d xpansbldad téca do atal copósto [23]. Po f, na Fg. 13 apsnta-s o capo dos cofcnts caactístcos d dlatação lna fctva, Ψ, paa a célula psntatva untáa d ntato d aluíno consttuída po 30% d patículas sfécas d aluna (vd. Fg. 3(c)) Popdads técas Adopta-s u atal copósto d poltlno d alta dnsdad foçado co patículas sfécas d aluna. As popdads tocâncas dos atas da atz do foço do atal copósto nconta-s ndcadas na Tabla 3 [23, 35, 37-39]. Na Fg. 14, pod obsva-s a volução dos valos d condutvdad téca paa u atal copósto d poltlno d alta dnsdad foçado co patículas sfécas d aluna. Constata-s qu co o aunto da facção volúca do foço os valos dos cofcnts d condutvdad téca noal tabé aunta, o qu s dv ao facto da condutvdad téca da aluna s supo à do poltlno d alta dnsdad. Paa valos aca d 20% d facção volúca d foço anfsta-s o apacnto d coponnts d condutvdad téca não-noal, o qu vla a xstênca ua pcntag d ansotopa do atal copósto, as co pcntagns bastant dnutas lação aos valos das coponnts d condutvdad téca noal, a dagonal d k h. Isto não nvalda qu, na pátca, o atal copósto s possa consda ototópco.

17 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 19 Fg. 11. Coponnts dos vctos dos ódulos técos, β h, paa células untáas d atal copósto d ntato d aluíno co 10% a 50% d facção volúca d foço d patículas sfécas d aluna. Fg. 12. Vaação do cofcnt d xpansbldad téca co a facção volúca d foço d patículas sfécas d aluna, paa u atal copósto d atz d ntato d aluíno. Fg. 13. Capo dos cofcnts caactístcos d dlatação lna fctva, Ψ, d ua célula psntatva untáa d atal copósto d ntato d aluíno co 30% d patículas sfécas d aluna psntação da confguação dfoada da célula psntatva untáa.

18 20 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das Tabla 3. Popdads tocâncas dos atas da atz () do foço () paa o atal copósto d poltlno d alta dnsdad foçado co patículas sfécas d aluna. Popdad Valo Módulo d lastcdad do atal da atz, E [GPa] 1,07 Cofcnt d Posson do atal da atz, ν [-] 0,46 Cofcnt d condutvdad téca do atal da atz, k [W -1 K -1 ] 0,545 Cofcnt d xpansbldad téca do atal da atz, α [MK -1 ] 210 Módulo d lastcdad do atal do foço, E [GPa] 401 Cofcnt d Posson do atal do foço, ν [-] 0,24 Cofcnt d condutvdad téca do atal do foço, k [W -1 K -1 ] 34 Cofcnt d xpansbldad téca do atal do foço, α [MK -1 ] 7,3 Fg. 14. Coponnts das atzs d condutvdad téca, paa células psntatvas untáas d atal copósto d poltlno d alta dnsdad co 10% a 50% d facção volúca d foço d patículas sfécas d aluna. Os sultados nuécos são copaados co os sultados d pvsão analítca, os lts d Hashn- -Shtkan os sultados xpntas [38] na Fg. 15. Vfca-s qu os sultados do odlo d Maxwll concd co os do lt nfo d Hashn-Stkan. Po outo lado, são as pvsõs d Landau as qu as s apoxa dos sultados xpntas. Co o aunto da facção volúca d foço os sultados do lt supo d Hashn-Stkan tnd a dvg dos sultados xpntas nuécos. No qu concn aos sultados nuécos, apsnta-s os valos cospondnts aos tês cofcnts d condutvdad téca noal, coo antont fdo, vfcando-s qu sts tnd a substa os valos do cofcnt d condutvdad téca paa as facçõs volúcas d foço as lvadas. Po f, o capo d dslocantos tocaactístcos, ϒ, é lustado na Fg. 16, paa a célula psntatva untáa d poltlno d alta dnsdad consttuída po 30% d patículas sfécas d aluna (vd. Fg. 3(c)).

19 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 21 Fg. 15. Vaação do cofcnt d condutvdad téca co a facção volúca d foço d patículas sfécas d aluna, paa u atal copósto d atz d poltlno d alta dnsdad. Fg. 16. Ilustação do capo d dslocantos tocaactístcos, ϒ, da célula psntatva untáa assocada ao atal copósto d poltlno d alta dnsdad co 30% d patículas sfécas d aluna. 6. NOTAS CONCLUSIVAS Nst tabalho pocdu-s ao studo copaatvo d popdads tolástcas d atas copóstos obtdas atavés d pocdntos nuécos d hoognzação po xpansão assptótca d étodos d pvsão analítca co sultados xpntas obtdos a pat d fonts bblogáfcas. E tos gas, constatou-s qu os sultados nuécos obtdos co bas no étodo d hoognzação po xpansão assptótca apoxa adquadant os sultados xpntas obtdos, foncndo, d u odo gal, valos as pcsos do qu os dos stants étodos analítcos. Ass, pod afa-s qu a técnca d hoognzação po xpansão assptótca s vla bastant fcaz paa a dtnação dos valos fctvos das popdads tolástcas d atas copóstos co patículas sfécas, ptndo anda ua análs xpdta da nfluênca da gota da costutua nas fdas popdads.

20 22 J. Pnho-da-Cuz, P.S. Fa, J.A. Olva, F. Txa-Das REFERÊNCIAS [1] Posson, S.D., Scond Méo su la Théo du Magnéts, Acadé Royal ds Scncs d l'insttut d Fanc, 5, (1824) [2] Maxwll, J.C., A Tats on Elctcty and Magnts, Clandon Pss, Oxfod (1873) [3] Raylgh, J.W., On th Influnc of Obstacls Aangd n Rctangula Od upon th Popts of a Mdu, Phlosophcal Magazn, 34, (1892) [4] Spagnolo, S., Sulla Convgnza d Soluzon d Equazon Paabolch d Elltch, Annal dlla Scuola Noal Supo d Psa, 22, (1968) [5] Sanchz-Palnca, E., Solutons Péodqus pa Rappot aux Vaabls d'espac Applcatons, Copts Rndus d l'acadé ds Scncs-Sé A, 271, (1970) [6] D Gog, E., Spagnolo, S., Sulla Convgnza dgl Intgal dll'enga p Opato Elltc dl Scondo Odn, Bollttno dlla Unon Matatca Italana, 8, (1973) [7] Muat, F., Tata, L., H-Convgnc, Bkäus, Boston (1997) [8] Dal Maso, G., An Intoducton to Γ-Convgnc, Bkäus, Boston (1993) [9] Coanscu, D., Donato, P., An Intoducton to Hoognzaton, Oxfod Unvsty Pss, Oxfod (1999) [10] Pnho-da-Cuz, J., Caactzação Tocânca d Matas Multfáscos Utlzando Pocdntos d Hoognzação, Dsstação d Ts d Doutoanto, Unvsdad d Avo, Avo (2007) [11] Hashn, Z., Analyss of Copost Matals: A Suvy, Jounal of Appld Mchancs, 50, (1983) [12] Hal, D.K., Th Physcal Popts of Copost Matals, Jounal of Matals Scnc, 11, (1976) [13] Fan, Z., Tsakopoulos, P., Modownk, A.P., Pdcton of Young's Modulus of Patculat Two Phas Coposts, Matals Scnc Tchnology, 8, (1992) [14] Halpn, J.C., Kados, J.L., Th Halpn-Tsa Equatons: A Rvw, Poly Engnng and Scnc, 16, (1976) [15] Vogt, W., Ub d Bzhung zwschn dn bdn Elastztätskonstantn sotop Köp, Annaln d Physk und Ch, 38, (1889) [16] Russ, A., Bchung d Flssgnz von Mschkstalln auf Gund d Plastztätsbdngung fü Enkstall, Ztschft fü Angwandt Mathatk und Mchank, 9, (1929) [17] Hashn, Z., Shtkan, S., A Vaatonal Appoach to th Thoy of th Elastc Bhavou of Multphas Matals, Jounal of th Mchancs and Physcs of Solds, 11, (1963) [18] Ravchandan, K.S., Elastc Popts of Two-Phas Coposts, Jounal of th Acan Cac Socty, 77, (1994) [19] Hll, R., Elastc Popts of Rnfocd Solds: So Thocal Pncpls, Jounal of th Mchancs and Physcs of Solds, 11, (1963) [20] Hsh, C.L., Tuan, W.H., Elastc Popts of Cac-Mtal Patculat Coposts, Matals Scnc and Engnng A, 393, (2005) [21] Hashn, Z., Shtkan, S., On So Vaatonal Pncpls n Ansotopc and Nonhoognus Elastcty, Jounal of th Mchancs and Physcs of Solds, 10, (1962) [22] Zan, R.W., Hashn-Shtkan Bounds on th Posson Rato of a Copost Matal, Mchancs Rsach Councatons, 19, (1992) [23] Hsh, C.L., Tuan, W.H., Thal Expanson Bhavo of a Modl Cac-Mtal Copost, Matals Scnc and Engnng A, , (2007) [24] Tun, P.S., Thal Expanson Stsss n Rnfocd Plastcs, Jounal of Rsach of th Natonal Buau of Standads, 37, (1946) [25] Kn, E.H., Th Elastc and Tho-Elastc Popts of Copost Mda, Pocdngs of th Physcal Socty Scton B, 69, (1956) [26] Schapy, R.A., Thal Expanson Coffcnts of Copost Matals Basd on Engy Pncpls, Jounal of Copost Matals, 2, (1968) [27] Fahy, A.A., Raga, A.N., Thal-Expanson Bhavo of Two-Phas Solds, Jounal of Appld Physcs, 41, (1970)

21 Hoognzação d popdads d atas copóstos tolastcdad lna 23 [28] Landau, R., Th Elctcal Rsstanc of Bnay Mtallc Mxtus, Jounal of Aplld Physcs, 23, (1952) [29] Ca, W.-Z., Tu, S.-T., Tao, G.-L., Thal Conductvty of PTFE Coposts wth Th-Dnsonal Randoly Dstbutd Flls, Jounal of Thoplastc Copost Matals, 18, (2005) [30] Olva, J.A., Pnho-da-Cuz, J., Andad-Capos, A., Txa-Das, F., On th Modllng of Rpsntatv Unt-Cll Gots wth GD, Pocdngs of 2 nd Confnc on Advancs and Applcatons of GD GD 2004, , Baclona (2004) [31] Olva, J.A., Modlação Mcocânca do Copotanto d Matas Copóstos d Matz d Aluíno, Dsstação d Mstado, Unvsdad d Avo, Avo (2006) [32] Hsh, C.L., Tuan, W.H., Elastc and Thal Expanson Bhavou of Two-Phas Coposts, Matals Scnc and Engnng A, 425, (2006) [33] Sdds, E., Kytopoulos, V.N., Kyaz, E., Boukas, G., Dtnaton of Thal Expanson Coffcnt of Patculat Coposts by th us of a Tphas Modl, Coposts Scnc and Tchnology, 65, (2005) [34] L, T.C., Unfd Pactcal Bounds fo th Thal Conductvty of Copost Matals, Matals Ltts, 54, (2002) [35] Tss-Doyn, N., Étud Expéntal t Nuéqu du Copotnt Thoécanqu d Matéaux Réfactas Modèls, Dsstação d Ts d Doutoanto, Unvsdad d Logs, Logs (2003) [36] Tada, Y., Ohkubo, K., Nakagawa, K., Moh, T., Suzuk, T., Thal Conductvty of B2-Typ Alunds and Ttands, Inttallcs, 3, (1995) [37] Moysy, P.A., Thopson, M.R., Dtnng th Collson Popts of S-Cystalln and Aophous Thoplastcs fo DEM Sulatons of Solds Tanspot n a Extud, Chcal Engnng Scnc, 62, (2007) [38] Tavan, I.H., Thal Conductvty of Patcl Rnfocd Poly Coposts, Pocdngs of NATO Advancd Study Insttut (ASI) on Nanongnd Nanofbous Matals Confnc, , Antalya (2003) [39] Mak, J.E., Poly Data Handbook, Oxfod Unvsty Pss, Inc., Nova Ioqu (1999) HOMOGENISATION OF COMPOSITE MATERIALS PROPERTIES IN LINEAR THERMOELASTICITY Abstact Th dtald nucal odllng of th thochancal bhavou of stuctual coponnts bult fo copost atals qus, n gnal, th pvous knowldg of th acoscopc popts. Wth analytcal odls t s possbl to stat ffctv popts of atals, as wll th upp and low bounds. On th oth hand, nucal thods can also b usd n ths task, bng th asyptotc xpanson hoognsaton thod on of th ost lvant ons. Th us of hoognsaton thodologs ay lad to sgnfcant coputatonal bnfts. Ths tchnqu pts th placnt of a htognous du by an quvalnt hoognous du, ladng to acostuctual bhavou odls basd on th nfoaton avalabl fo costuctual lvl. In ths wok, nucal asyptotc xpanson hoognsaton pocdus a usd to obtan th ffctv valus of thochancal popts of copost atals. Ths valus a copad wth th ons obtand wth analytcal odls and wth xpntal valus obtand fo bblogaphy. Kywods Copost atals, Hoognsaton, Lna tholastcty, Fnt lnts.

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