MÁRIO LEITE PEREIRA FILHO APLICAÇÃO DO MÉTODO DE IMAGENS COMPLEXAS AO CÁLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO EM SOLOS COM ESTRATIFICAÇÃO HORIZONTAL

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1 MÁIO LEITE PEEIA FILHO APLICAÇÃO DO MÉTODO DE IMAGES COMPLEXAS AO CÁLCULO DE MALHAS DE ATEAMETO EM SOLOS COM ESTATIFICAÇÃO HOIZOTAL Dsstação apsntada à Escola Poltécnca da USP paa obtnção do título d Mst Engnaa Elétca São Paulo 999

2 MÁIO LEITE PEEIA FILHO APLICAÇÃO DO MÉTODO DE IMAGES COMPLEXAS AO CÁLCULO DE MALHAS DE ATEAMETO EM SOLOS COM ESTATIFICAÇÃO HOIZOTAL Dsstação apsntada à Escola Poltécnca da USP paa obtnção do título d Mst Engnaa Elétca Áa d Concntação: Sstas d Potênca Ontado: Pof D José obto Cadoso São Paulo 999

3 ITODUÇÃO ESTADO DA ATE O CÁLCULO DE MALHAS DE ATEAMETO4 3 FOMULAÇÃO GEAL DO MÉTODO DAS IMAGES COMPLEXAS PAA SOLOS MULTICAMADAS 3 Foulação das quaçõs íntgo-dfncas3 3 Dsctação do Doíno 4 33 sstêncas útuas d ltodos lnas 6 33 Eltodos Vtcas - Hasts6 33 Eltodos Inclnados ou oontas - Cabos9 34 Intodução d Eltodos Passvos 4 DETEMIAÇÃO DAS FUÇÕES DE GEE 3 4 Font pontual o oogêno3 4 Font pontual o statfcado oontalnt font obto na sa caada 5 4 Cofcnts d flxão Tansssão 7 4 Solução paa a função knl 8 43 Font pontual o statfcado oontalnt font obto caadas dfnts9 44 Solução po ntgação dta 3 5 IMAGES COMPLEXAS36 5 Iagns Coplxas tal coo apsntadas po Cow t all [9]36

4 5 Gnalação da Técnca d Iagns Coplxas39 53 Spaação d vaávs4 53 Font obto na sa caada 4 53 Font o obto caadas dfnts Dtnação dos Pólos síduos das Iagns Método d Pony coo apsntado po Cow t all46 54 Método d Pony co solução po autovalos48 6 ASPECTOS COMPUTACIOAIS 5 6 Entada d Dados da Mala do Solo5 6 Dsctação do doíno 5 63 Dtnação das agns coplxas 5 64 Montag da at d sstêncas útuas 5 65 Cálculo dos potncas xploação dos sultados 53 7 ESULTADOS OBTIDOS54 7 Explo d Cow t all [9]54 7 Modlo utlado 55 7 Cálculo do potncal na supfíc57 7 Solo d caadas Explo d L Dawalb 6 73 Explo d Vuvc Kutovc 6 74 IEEE-8 / Caso C-4 : caadas co spaçanto unfo64 74 Caso C-6 : Solo unfo co spaçanto vaávl 67

5 75 Análs d Snsbldad da Dsctação 69 8 COCLUSÃO74 9 EFEÊCIAS BIBLIOGÁFICAS 75

6 Lsta d Síbolos : spssua da caada do solo H : pofunddad do fnal da caada I : Cont A ρ : sstvdad do solo Ω P : Posção d u ponto co coodnadas x y : dstânca ao nt pontos Φ : Função potncal V σ : Condutvdad do solo Ω - J : Vto dnsdad d cont A / S s : Fonta f : função qu dscv a condção d contono na fonta V p : Potncal u ponto V g : função qu dscv as fonts G : Função d Gn u : vaávs auxlas δ : Dnsdad d cont lna A / L : Copnto d u ltodo : sstênca útua nt lnto lnto Ω : pofunddad éda d u ltodo : ao d ua ast G ~ : Tansfoada d Fou da função d Gn a b : síduos pólos spctvant d agns coplxas

7 F : Função knl paa obtnção da função d Gn k k k ρ : cofcnts d popagação d onda J : Função d Bssl d od xy ; dstânca nt pontos potada no plano xy k : Cofcnt d flxão da caada paa caada t : Cofcnt d tansssão da caada paa caada K : Cofcnt d flxão gnalado da caada paa caada T : Cofcnt d tansssão gnalado da caada paa caada A k : apltud do capo na fonta k

8 Paa Paulo Cavs n oa

9 AGADECIMETOS A u ontado José obto Cadoso plo contínuo ncntvo pla confança A Ânglo Pássao ancy Ab plos cálculos co o Gound-3D A Júlo Calos Txa pla auda na vsão do txto A todos os agos qu concda apoo ncntvo paa a alação dst tabalo

10 ESUMO O poto d alas d atanto qu o cálculo da sstênca d atanto dos potncas na supfíc do solo Quando o étodo das agns é utlado paa st cálculo o odlo típco do solo é ua statfcação oontal caadas A xtnsão do étodo das agns paa solos co últplas caadas oontas apsnta poblas nuécos potants d foa qu a técnca d agns coplxas fo utlada paa pt st cálculo poé stngndo a posção dos ltodos à pa caada Est tabalo obtva a aplcação do étodo d agns coplxas a ltodos stuados qualqu caada d solos co statfcação oontal ddundo as funçõs knl paa posçõs abtáas da font do obto dtnando os síduos pólos das agns utlando a dcoposção autovalos autovtos Fo dsnvolvdo u pogaa qu calcula a sstênca d atanto os potncas na supfíc do solo paa solos co até 4 caadas Foa aladas copaaçõs co outos tabalos publcados os sultados obtdos pt valda o uso do pogaa paa sta aplcação

11 ABSTACT Gound gd dsgn qusts t valuaton of bot gound gd sstanc and sufac voltags Wn ts valuaton s don usng ag basd tods t sol odl s typcally a two-lay oontally statfd odl Analyng gound gds bud n oontally statfd ultlay sol odl psnts ao nucal pocdus callngs Coplx ag appoac allowd so povnt but stctng lctods poston to fst lay only Ts wok as odlng gound gd lctods bud n ultlay oontally statfd sol odl fo any poston of t bud lctods usng coplx ag appoac to dduct gnal knl functons T ag apltud and locaton a dtnd toug an povd Pony tod usng sngula valu tcnqu A softwa packag was dvlopd fo nucal analyss of gound gd lctods bud n ultlay oontally statfd sol odl wt 4 lay o lss So gound gds wt publsd sults was analyd and t sults valdat t dvlopd softwa packag

12 ITODUÇÃO O poto d alas d atanto baxa fqüênca dv consda dos aspctos báscos u d dspno assocado ao valo da sstênca d atanto outo d sguança d pssoal assocado à dstbução d potncal na supfíc do solo Dvdo às dnsõs coplxdad dstas alas st poto é auxlado po fantas coputaconas As fantas dsponívs no cado undal pod s dvddas dos gands gupos u dls utlando o étodo dos lntos fntos co gand flxbldad paa odla os ltodos o solo as ncontado gupos d psqusas d unvsdads Cadoso J t all [] - [3] outo utlando o étodo das agns co ao dssnação nt os potstas d alas d atanto poé co aos ltaçõs d odlanto Os pacots coputaconas as concdos qu utla o étodo das agns são o SGA do Elctc Pow sac Insttut o CYMGD da CYME Intnatonal o CEDEGS da Saf Engnng Svcs & Tcnologs o Basl a podução d pacots coputaconas dsta natua paa uso po potstas anda é aa O auto dsta onogafa dsnvolvu o códgo d cálculo do pogaa Tcat IV [4] qu calcula statfcação d solos até quato caadas alas d atanto solos d duas caadas Dnt os pacots ctados qu utla o étodo das agns sont o CEDEGS xcuta cálculos solos statfcados as d duas caadas Consdando qu

13 ua statfcação duas caadas põ ltaçõs svas no odlo dos solos análs é ustfcávl ntssant xpand o doíno d aplcação d técncas basadas no Método das Iagns paa solos co as d duas caadas E 99 Cow Svastava [9] apsntaa u tabalo sob agns coplxas ndcando qu sa possívl supa alguas dfculdads lgadas ao odlanto d alas solos statfcados as d duas caadas Caso sta abodag possa s utlada alas gnécas u gano qualtatvo potant pod s obtdo na utlação do Método das Iagns nst tpo d pobla O obtvo dst tabalo é nvstga a aplcação do Método das Iagns ao cálculo d alas d atanto utlando a técnca d agns coplxas vablando a cação d ua fanta coputaconal qu pta o cálculo d ua ala d atanto solos statfcados oontalnt as d duas caadas O Capítulo apsnta ua vsão bblogáfca o stado da at paa o cálculo d alas d atanto utlando o étodo das agns ão foa consdados étodos basados fóulas apoxadas dvdo à gand quantdad d publcaçõs sob o ta são ctados apnas os tabalos ponos cada vtnt odnados pla data d publcação As fêncas bblogáfcas no Capítulo 9 stão classfcadas pla od d ctação O Capítulo 3 apsnta a foulação gal do pobla co ênfas nos aspctos as fundantas tal coo quaçõs íntgo-dfncas pótss do odlo utlado dsctação do doíno

14 3 O Capítulo 4 sob a dtnação das funçõs d Gn é o capítulo as spcfcant lgado à técnca das agns coplxas tabé ond o auto apsnta sua ao contbução ao stado da at da técnca ddundo funçõs d Gn paa posçõs abtáas da font do obto solos statfcados oontalnt O Capítulo 5 osta as técncas nuécas paa cálculo dos cofcnts das agns coplxas st capítulo o auto ntodu ua foa d uso da dcoposção autovalos qu aunta a fcáca xatdão do étodo xpand a aplcação das agns coplxas a posçõs abtáas da font do obto O Capítulo 6 aboda os aspctos d plntação coputaconal dscvndo a aquttua básca do pogaa os pncpas algotos utlados O Capítulo 7 apsnta os sultados obtdos coo ua copaação d sultados d cálculo d alas dsponívs na ltatua co os cálculos ftuados plo pogaa aqu apsntado Há tabé análs d sultados fnalnt a conclusão no capítulo 8

15 4 ESTADO DA ATE O CÁLCULO DE MALHAS DE ATEAMETO Dwgt [5] 936 apsntou u étodo d cálculo d alas d atanto d gand pot utlando o étodo do potncal édo Esta abodag utlava técncas d cálculo pgadas na dtnação da capactânca d antnas A dstbução d cont cada ast ou cabo a consdada constant E 953 Goss t all [6] apsntaa o cálculo d ua ala d gand pot no qual pla pa v os ltodos a sgntados a dnsdad d cont cada sgnto a calculada Eboa sua foulação foss ltada a solos unfos confo os autos ognada do étodo das sub-áas d Maxwll la á conté todos os lntos báscos utlados o no cálculo d alas d atanto plo Método das Iagns E 963 Tapa Goss [7] apsntaa ua xtnsão dst étodo paa u solo d duas caadas co statfcação xponncal E 964 Tagg [8] analsou as dtaladant a sstênca d atanto d ltodos ndvduas solos d duas caadas 965 Sund [9] apsntou as funçõs d potncal gadas po ua font pontual solo d caadas statfcadas oontalnt vdncando qu a dfculdad potant dos solos ultcaadas é a ntgação nuéca da função knl E 97 Gao Saa [] apsntaa u atgo analsando u ltodo d atanto d cont contínua stuado na pa caada d u solo statfcado duas caadas oontas A análs ncluu a sstênca d atanto a

16 5 dstbução d potncas na supfíc do solo d u ltodo foado po cabos tlínos anés Toda a abodag d sgntação d ltodos a ontag do ssta atcal paa dtnação das dnsdads d cont á stá psnt É apsntada pla pa v ua foa gal paa funçõs d potncal d ltodos não pontuas solos d duas caadas oontas Ent Dawalb Mukdka [] - [7] apsntaa ua sé d atgos dlnando ua nova foa d abodag dos poblas d alas d atanto ond boa utlando as sas funçõs lntas d potncal á vstas Gao Saa a solução das dnsdads d cont não é stablcda po o d u ssta atcal as s d ua função pondação dos ltodos sgntados vtando o pobla d ncssdad d óa assocado ao étodo atcal clássco Esta abodag ognou o pogaa Malt pcuso do atual CEDEGS da Saf Engnng ptndo o cálculo d asts pofundas atavssando a ntfac nt a pa a sgunda caada ão foa xplctadas funçõs d potncal d fonts na sgunda caada E 979 Hpp [8] apsntou u atgo ond foa xplctados as funçõs d potncal d cabos stuados na pa sgunda caada d solos statfcados duas caadas oontas co solução das dnsdads d cont plo étodo atcal O pogaa Tcat IV [4] utla sta foulação poposta po Hpp paa o cálculo d alas E 98 Koutynkoff [9] apsntou u novo étodo d sgntação d ltodos clíndcos oontas dnonado cosgntação ptndo ua psntação

17 6 as xata d cabos oontas na análs d alas d atanto Sua aplcação fcou stta a solos unfos não ocondo dsnvolvntos futuos dst étodo E 985 aga at all [] Loloan t all [] apsntaa ua vsão bblogáfca d étodos d cálculo d alas d atanto copaando as todologas d Dawalb Mukdka Hpp Koutynkoff sta vsão são xplctadas funçõs d cálculo d potncal d cabos fonts stuadas qualqu caada d u solo statfcado duas caadas oontas Vfcou-s qu os sultados dos tês étodos apsntaa boa concodânca nos casos studados Anda 985 Gat Putt [] alaa ua análs d snsbldad da abodag d potncal constant dnsdad d cont vaávl ltodos sgntados apontando coo u fato cítco as dnsõs da sgntação utlada patculant nos valos do potncal póxos ao ltodo A sgntação tabé pacta fotnt as dnsõs do ssta lna assocado co a cospondnt danda d óa d áquna E 986 fo publcada a sgunda dção do ASI / IEEE Std 8 [3] Est gua fo utlado dsd sua pa dção 976 co ua oba d fênca paa os potstas da áa utlando fóulas apoxadas paa o cálculo d sstêncas potncas solos unfo A sgunda dção xpandu o doíno d aplcação das fóulas antndo a stção d solo unfo nclu o Apêndc C qu boa não faça pat do copo do Gua apsnta sultados d cálculos solos unfos d duas caadas utlando o pogaa SGA dsnvolvdo plo EPI

18 7 E 986 Joy Wlson [4] usaa u pogaa qu utla o so algoto do SGA do EPI alando ua análs sstátca da xatdão dos sultados solos statfcados duas caadas oontas sla ao d Gat Putt [] na qual apsnta alguas conclusõs sob a xatdão doíno d valdad do étodo E 988 Kovask t all [5] calculaa o pfl d potncas gados po u ltodo toodal stuado na pa caada d solos ultcaadas As funçõs potncas utladas são dvadas do tabalo d Sund [9] Os autos xpanda a função knl da ntgal ua soatóa d xponncas tansfoando a ntgação nuéca ua opação analítca A dfculdad apsntada sdu na dtnação dos cofcnts das xponncas tafa qu fo alada co ua abodag píca d aust d cuvas Anda 988 Lagac t all [6] studaa u pobla sla ao d Kovask t all [5] só qu utlando agns fltdas nas váas ntfacs da statfcação do solo A contbução d cada ag fo calculada utlando cofcnts d tansssão flxão slants aos pgados lnas d tansssão E 99 Takaas Kawas [7] calculaa a sstênca d atanto o potncal gado na supfíc do solo po ua ast pofunda atavssando váas ntfacs d u solo ultcaada As funçõs d potncal foa ddudas co ua abodag slant à d Sund as co todos os potncas calculados sont na supfíc do solo A ntgal da função knl fo ftuada nucant

19 8 Anda 99 Dawalb Babto [8] apsnta pla pa v o cálculo d sstêncas d potncas na supfíc do solo d ua ala d atanto solo ultcaadas s stção da localação dos ltodos A todologa dclaada plos autos fo nspada tabalos d gofísca toa d gação d agns d óptca As fóulas pgadas nas funçõs potncas na gação d agns não foa xplctadas E 99 Cow t all [9] aplca a técnca dnonada agns coplxas aos casos studados po Kovask t all [5] Lgac t all [6] Eboa apsnt slança co as xpansõs xponncas utladas po Kovask sta abodag pové da áa d coondas ond os cofcnts xponts da sé xponncal são assocados aos síduos pólos da função d tansfênca do ssta lna sndo dtnados plo Método d Pony não po u spls aust d cuvas Os xplos analsados contnua stngndo os ltodos à pa caada d u solo ultcaadas E 994 Dawalb at all [3] publca ua xtnsa análs paaétca d alas d atanto solos statfcados caadas oontas donstando a obust dos algotos dsnvolvdos [8] lvantando qustõs d sguança laconadas a stuaçõs d alto contast d sstvdads póxo à supfíc do solo Eboa st tabalo não apsnt novaçõs técncas potants psntou a consoldação do qu é o o pacot CEDEGS da Saf E 995 Cow t all [3] donsta qu a pat d ddas do potncal na supfíc do solo é possívl calcula a sstênca d atanto a dstbução d potncas na supfíc do solo s ncssdad d ftua xplctant ua

20 9 statfcação do solo convnconal utlando o étodo das agns coplxas Os ltodos dv sta stuados na pa caada d u odlo d statfcação oontal caadas Anda 995 Elsbny t all [3] apsnta u étodo splfcado d cálculo d atanto d ltodos foados apnas po asts d atanto solos d duas caadas ond cada ast é sgntada apnas dos sgntos Esta sgntação splfcada du substancalnt a dnsão do ssta lna assocado as só pod s pgada paa o cálculo d sstêncas E 997 L t all [33] apsnta u cálculo d alas d atanto utlando o étodo poposto po Cow [9] solos d duas caadas Apsnta funçõs potncal paa fonts na sgunda caada dclaa t dsnvolvdo sta foulação tabé paa solos d tês caadas A pncpal dfnça lação a Cow [8] é qu utla u algoto as sofstcado paa a dtnação dos síduos pólos da xpansão xponncal ptndo sta o núo d tos da xpansão E 998 Vuvc Kutovc [34] apsnta u étodo d cálculo d alas basado no étodo das agns paa solos ultcaadas s stçõs da posção dos ltodos O pncípo básco é a xpansão da função knl soatóa d xponncas as ao nvés d agns coplxas utlou-s ua xpansão co até 5 agns as As agns são calculadas co u algoto qu ala aostag da função knl pontos dtnados xpntalnt A vsão dos tabalos publcados pt aponta coo pncpas conclusõs:

21 a O étodo atcal co sgntação lna dos ltodos é utlado todas as abodagns paa ltodos d gand pot pos pt calcula a dstbução d cont não unfo nt os ltodos A sgntação utlada t pacto potant nos os no taano do ssta lna assocado b A tafa pncpal na ontag do ssta atcal é a obtnção das sstêncas útuas pópas dos sgntos d ltodos É ncssáo ala a ntgal d funçõs d Gn po étodos analítcos ou nuécos c O étodo das agns pt psnta o pobla ognal po u conunto d agns qu podu o potncal da font sob ua fonta spcfcada tpcant a supfíc dos ltodos d Paa solos d duas caadas a ntgal é xpandda ua soatóa nfnta d agns fltdas nas ntfacs A xatdão da soatóa dpnd do núo d tos utlados qu po sua v é função do cofcnt d flxão k nt as caadas da spssua da pa caada Paa solos ultcaadas a xpansão soatóa é as dfícl dvdo à foação d últplas sqüêncas d agns nfntas Sntoatcant os atgos qu utla sta técnca não xplcta os algotos d gação d agns utlados f O étodo das agns coplxas ou agns quvalnts substtu a soatóa d agns nfntas po u conunto fnto d agns qu paa u solo d duas

22 caadas qu paa solos ultcaadas splfcando substancalnt o cálculo das sstêncas útuas g O étodo das agns coplxas paa solos ultcaadas só é aplcado a ltodos stuados na pa caada s ua ustfcatva xplícta paa sta ltação O doíno do qual é xtaída a aostag paa a obtnção das agns não é dscutdo xplctant dfcultando a vfcação d sultados

23 3 FOMULAÇÃO GEAL DO MÉTODO DAS IMAGES COMPLEXAS PAA SOLOS MULTICAMADAS A foulação gal do pobla sá fta co auxílo do Método dos Montos d funçõs d Gn tal coo dscto Sadku [35] O pobla sá apsntado tos d ua quação dfncal tansfoado ua quação ntgal O doíno sá dsctado as condçõs d contono são utladas paa onta u ssta atcal cuos cofcnts da at são calculados plo Método das Iagns A solução dst ssta sá a dnsdad d cont cada gão dscta do doíno Ua v concdas as dnsdads d cont o potncal u cto ponto pod s calculado po ntgação

24 3 3 Foulação das quaçõs íntgo-dfncas A Fgua osta ua ala d atanto consttuída po ltodos clíndcos sa u solo statfcado co caadas oontas supfíc I y x ρ X P ρ ρ - ρ - ρ Fgua - Mala d atanto sa no solo A quação gal qu dscv st aano é: σ Φ todos os pontos xcto no nto dos ltodos Φ f sob a supfíc dos ltodos J ds I sob a supfíc dos ltodos

25 4 Utlando a função d Gn o potncal gado pla ala u ponto P sá: V g G dv p g psnta a dstbução d cont das fonts G cospond à sposta do ssta stulado po ua função pulso 3 Dsctação do Doíno O potncal dv s dtnado na supfíc dos ltodos no solo não avndo ntss nst caso plo potncal no nto dos ltodos Hpótss assudas paa a dsctação: a A dnsdad d cont cada sgnto é constant; b A soatóa da cont d cada sgnto é gual à cont ntada I; c O potncal sob a supfíc dos sgntos é constant todo o ltodo; d A dstbução d cont ltodos clíndcos é sulada po u flt d cont ao longo do xo do clndo Consdando as pótss a dstbução d cont das fonts sá nula todas as gõs xcto no xo d cada sgnto d copnto L ond tá o valo O potncal gado po cada sgnto u ponto P é dado po:

26 5 φ δ G d L L L G d 3 A quação sá apoxada po: V p L L G d 4 O potncal na supfíc d cada sgnto pod s obtdo pla ntgação d 4 sob a supfíc do sgnto Utlando a condção d contono d potncal constant obté-s: V o L L LL G d dt 5 é a concda sstênca útua nt os sgntos Ua v calculados os valos d o ssta d quaçõs lnas 5 pod s solvdo obtndo-s a dstbução d conts a qual é utlada na quação 4 paa dtnação do potncal qualqu ponto

27 6 33 sstêncas útuas d ltodos lnas Os lntos típcos d alas d atanto são cabos asts st t são dsnvolvdas as fóulas báscas d sstêncas útuas nt sts ltodos 33 Eltodos Vtcas - Hasts A Fgua osta u sgnto d ast d copnto L stuada nas coodnadas x y co pofunddad éda ntando ua cont I solo unfo S consdaos u lnto di da ast o potncal u ponto P xy sá: supfíc y x L/ P di -L/ Fgua - Hast solo unfo

28 7 ρ di dv p 4π 6 S consdaos o sgnto dsctado tal qu a dnsdad d cont sa I constant di d o potncal gado pla ast sá: L V p ρ I 4 π L L / L / ρ I d 4 π L / / x x y y L L d 7 fando a x x y y u ntão V p u ρi 4 πl u a u ρi u du acsn 4 πl a u u L L ρi V p acsn acsn 8 4 πl a a Esta é a fóula básca d cálculo do potncal d ua ast u ponto Intgando o valo dst potncal sob a supfíc d ua ast L stuada x y a ua pofunddad éda co ao tos dnonando L o copnto da ast font a pofunddad éda:

29 8 π ρ d a L a L L I L V L L / / acsn acsn 4 9 Fando L u no po ntgando tos: acsn acsn a u a u u du a u a u f usando a dfnção d fu/a ntão a sstênca útua nt as asts sá: a L L f L L o 4 π ρ a L L f a L L f a L L f Paa calcula a sstênca pópa d ua ast basta fa a gual ao ao da ast na fóula

30 9 33 Eltodos Inclnados ou oontas - Cabos Os cabos são odlados po sgntos lnas qualqu ângulo co a supfíc xcto vtcas quando s aplca a fóula anto paa asts A Fgua 3 osta a dsposção d u sgnto gnéco: supfíc y x P P di P P Fgua 3 - Cabo nclnado solo unfo Paa obtos o potncal gado plo cabo faos ua ntgação sla à utlada paa asts poé pgando ua quação gnalada da ta Sndo P x y o ponto édo do cabo x x -x y y -y - ntão sndo u ua vaávl paaétca u <5 u ponto abtáo no cabo pod s dado po: Pxy P x y u x y

31 Usando as coodnadas paa a ntgação tos: V p ρ I 4 π 5 5 x x u x y y u y u du 3 O to sob a a d 3 pod s posto na foa: t u x x x y y y x x L u u bu c t co: L b L c L xx x yy y [ x x ] O potncal sá: V p ρ I 4 π L 5 u b u 5 c du V p ρ I u b acsn 4 π L 4 c b 5 5 ou anda V p ρ I b acsn 4 π L 4 c b b acsn 4 c b 4 A sstênca útua nt cabos nt cabos asts sá calculada po ntgação nuéca da fóula 4

32 34 Intodução d Eltodos Passvos As alas d atanto stuaçõs pátcas sp nclu lntos passvos tas coo ccas tálcas ltodutos no solo sts casos a foulação dada 5 dv s altada paa u caso as gnéco tal coo dscto Haffn t all [36] A quação 5 foa atcal pod s colocada coo: V V V V 5 Mas a condção d contono adconal paa as conts : k k I 6 S agupaos as fóulas 5 6 tos: I V 7

33 A at [] é sétca pos Obsva qu a tnsão V é agoa ua das ncógntas do ssta pos concos d fato a cont d cuto-ccuto na substação não o potncal édo nos ltodos Paa ntoduos ltodos passvos basta obsva qu a soatóa das conts dos sgntos do ltodo é nula Usando o índc a paa ltodo atvo p paa passvo tos: a aa pa pap aa aa paa papa ap apa p pp app apap pp ppp a aa p pp V a I a V p 8 Obtos coo solução da quação 8 a cont cada sgnto dos ltodos atvos passvos os potncas nos dos ltodos ptndo po xplo o cálculo da dfnça d potncal nt a cca a ala Vos no póxo capítulo a ddução das funçõs G da quação 4 a solução da ntgal plo étodo das agns coplxas

34 3 4 DETEMIAÇÃO DAS FUÇÕES DE GEE A função d Gn G psnta a sposta do ssta a ua font pulsva Paa u capo d conts staconáas é a função potncal gada po ua caga pontual O potncal d ua font pontual d cont I stuada na og u solo oogêno s fontas pod s calculado ntgando-s a dnsdad d cont sob ua supfíc sféca a ua dstânca da font apovtando a sta sféca : I I J ds J4π ou J 4π S 9 a função d Gn sá : ρi G ρ Jd 4π Paa u solo statfcado caadas oontas não é possívl ua ntgação analítca spls coo a d 9 sá ncssáo o uso d abodagns as gnécas coo a utlada po Cw [37] 4 Font pontual o oogêno Supondo ua font d cont pontual stuada na og o potncal gado u ponto sá usando a dntdad d Sofld:

35 4 Iρ ρ k k I ρ k V J k ρ ρ dk ρ π π 4 4 k ond k ρ k são os cofcnts d popagação na dção adal d spctvant k k k ρ Os studos d popagação d onda ftos po Cw são voltados paa a áa d coondas ond o pncpal coponnt dos capos stá lgado à vaação co o tpo As fóulas dvão s adaptadas paa o caso d capo d conts d fqüênca nula ou uta baxa coo é o caso do psnt studo Paa o caso d fqüênca nula o núo d onda k é gual a o Assundo qu a font stá ua posção x y tos qu o potncal u ponto x y : k ρ k k ρ k k k substtundo : ρ V ρ Iρ 4π k ρ k ρ J k ρ ρ dk ρ Utlando a vaávl d ntgação k tos: ρ V xy Iρ 4π J xy co xy x x y y

36 5 A função F é a função knl dsta ntgal dpnd apnas dos paâtos do solo da posção da font do obto Eftuando sta ntgal obtos novant: Iρ V 4π Iρ x x y y 4π 3 S a font stv u sspaço tal coo o d u solo unfo basta soaos a ag substtundo - po 3 4 Font pontual o statfcado oontalnt font obto na sa caada A Fgua 4 osta ua font pontual A sa ua caada d u solo statfcado caadas oontas u ponto obto P stuado na sa caada co o xo co og na supfíc ontado paa ca: supfíc y ρ x -H ρ -H ρ P A -H - ρ - -H n- ρ Fgua 4- Font pontual na caada d u solo statfcado

37 6 Obsva qu o a consttu a pa caada nsta foulação co ρ a o núo d caadas total é M A solução do potncal tá a foa: π ρ d F J I V 4 4 A solução dvá atnd às condçõs d contono: - Cont na dção na supfíc é nula: V - O potncal é contínuo cada ntfac - O coponnt noal da dnsdad cont é contínuo cada ntfac: V V ρ ρ Cw [37] solv st pobla utlando abodag d popagação d ondas nt as caadas lançando ão d cofcnts gnalados d flxão tansssão A solução gal paa a quação 4 cada caada sá dada pla soa do fto da font o unfo as o fto d ondas vaants: π ρ d F J I V 4 co 5

38 7 F B D O cofcnt B stá assocado à flxão do capo na fonta H - o cofcnt D à fonta H Paa xplctaos a solução utlaos cofcnts d flxão tansssão gnalados 4 Cofcnts d flxão Tansssão Sndo ρ - ρ ρ as sstvdads d 3 caadas adacnts Cw dfn os cofcnts: a Cofcnt d flxão vsto da caada ascndnt : ρ ρ k k dscndnt: ρ ρ ρ ρ k k 6 ρ ρ b Cofcnt d tansssão vsto da caada paa a caada t k c Cofcnt d flxão gnalado vsto da caada Ests cofcnts são calculados d foa cusva:

39 8 snão s K k K k K K 7 snão s K k K k M K K 4 Solução paa a função knl Dvos utla as condçõs d fonta paa dtna B D Olando na Fgua 4 podos obsva qu a onda dscndnt nt o ponto P a fonta H - é totalnt dvda à flxão da onda ascndnt na fonta H -: ] [ H H H D K B 8 Analogant a onda ascndnt nt P a fonta H é totalnt dvda à flxão da onda dscndnt na fonta H : ] [ H H H B K D 9 solvndo paa F obtos: [ ][ ] s > H H M K K F 3

40 9 F H H [ K ][ K ] M s < 3 M H K K Utlando a função ódulo as fóulas 3 3 pod s agupadas F H H [ K K ] M K K 3 Obsva qu xst a popdad d sta na função F ou sa : F F 43 Font pontual o statfcado oontalnt font obto caadas dfnts Suponaos agoa qu na Fgua 4 o ponto P stá ua caada n aca da caada da font st caso s o capo na fonta H n fo A n ntão no ponto P sá: F A n H n K n n 33 Sá ncssáo a dtnação d A n a pat do valo do capo na gão n Paa sto usaos a fóula d cusão nt os contíguos:

41 3 H H K k t A A 34 Dfnndo H H K k t S ntão: S A A 35 A fóula 35 coloca o valo do capo na caada função do valo do capo na caada datant abaxo Usando sta fóula cusvant dsd a caada até a n tos: n n n n n A S S S S A ou n n S A A 36 Mas o valo d A é dado plo po to nt colcts da fóula 3 daí: [ ][ ] > - n S Hn n n H n M K K F 37 Utlando o so acocíno paa o ponto P stuado ua caada n abaxo da caada da font tos: [ ][ ] < n- S H Hn n n n M K K F 38

42 3 ovant podos obsva a sta nt as fóulas Solução po ntgação dta Fando a substtução das funçõs knl na função potncal 5 pod-s obsva qu não é possívl ftua ntgação analítca dta xcto paa o caso d caadas quando as fóulas da função knl dgna Paa o caso d caadas tos paa o caso da font obto na pa caada: K - pos a sstvdad do a é consdada nfnta K k k ρ ρ ρ ρ : fato d flxão H : spssua da pa caada H - M k A fóula 3 sá splfcada paa: F k k k 39 aanando:

43 3 k k k F xtando o to da font da pa ag fltda na supfíc do solo: k k F 4 O to faconáo d 4 pod s posto na foa: k k tf as k x daí podos xpand [ ] 3 k k k k k k n n k k k 4 Substtundo tos a função potncal: [ 4 xy xy J I V π ρ

44 33 d k n n ] Mas b a b J a potanto: [ 4 I V xy xy xy π ρ 4 xy xy n n n k ] n n xy xy A fóula 4 é ctada todas as abodagns d agns solos d duas caadas

45 34 A Fgua 5 osta a psntação físca da fóula 4 co o posconanto das agns: Ik n nh Ik n Ik H H Ik I x I x P H ρ x -H Ik ρ -H Ik Ik n -nh Ik n Fgua 5- flxõs d ua font solos d duas caadas Paa solos co as d duas caadas cada ua das agns da Fgua 5 povoca novas flxõs nas outas ntfacs nt caadas tonando o étodo nvávl A ntgal

46 35 dv ntão s obtda atavés d técncas nuécas tal coo a d agns coplxas qu sá apsntada no póxo capítulo

47 36 5 IMAGES COMPLEXAS A técnca d agns coplxas fo pgada pla pa v sstas d atanto po Cow t all [9] paa obt a função d Gn a pat da ntgal da função knl 5 Iagns Coplxas tal coo apsntadas po Cow t all [9] A novação apsntada po Cow [9] fo a d utla a tansfoada d Fou da função d Gn 5 na foa: xp ~ S d G γ γ γ γ γ γ ρ 43 co: xp S γ γ γ γ A fóula 43 é válda paa a font localada na pa caada é xpandda nua soatóa d xponncas podndo toa duas foas: a Pofunddads da font do ponto d cálculo constants: A xpansão sá b a S xp γ γ γ γ 44

48 37 Substtundo aplcando a tansfoada nvsa obtos a função d Gn: ρi a G 4π 45 co: x x y y x x y y x x y y b A Fgua 6 osta a dsposção squátca das agns: ag al o supfíc y x Font I o Ponto P Iag coplxa Iag coplxa Fgua 6 - Iagns coplxas d font pontual

49 38 Coo G é al os as bs dv s as ou pas conugados A pat al dos b s dv s ngatva paa atnd à condção do potncal nulo quando tnd a nfnto b Pofunddads vaávs st caso a função S xp não é xpandda: b a γ γ γ γ 46 Substtundo xcutando a tansfoação nvsa tos a I G 4 3 4π ρ co: 47 [ ] b y y x x [ ] b y y x x [ ] 3 b y y x x [ ] 4 b y y x x

50 39 Esta fóula cospond xatant à fóula do potncal d ua font pontual solo d duas caadas apsntada [9] xcto pla psnça das agns coplxas po apsnta ua quantdad fnta d agns não sndo ncssáo ftua soatóas nfntas Os as bs são calculados po étodos d xtação d pólos síduos coo o étodo d Pony [9] ou étodos basados autovalos [33] 5 Gnalação da Técnca d Iagns Coplxas Paa qu possaos supa a ltação d ltodos na pa caada d Cow [9] a d solos d duas caadas d Lu [33] dvos analsa as dtdant os fundantos da técnca d agns coplxas O pncípo básco da técnca é aplca ua spaação d vaávs sob a função knl F sguda xpand-la ua soatóa d xponncas: F u solo f usolo é função sont dos paâtos do solo f sont da pofunddad da font do obto Fando a xpansão usolo: F f a b 48 A ntgal sá ntão:

51 4 d a J Itg d F J b f xy xy d a J Itg b f xy xy b f a Itg 49 A ntgal da função knl sá ntão substtuída po ua soatóa fnta ond os cofcnts b a psnta os pólos os síduos da sposta do solo a ua font pontual d cont A solução do potncal sá dada po: 4 xy xy xy xy b f a I V π ρ 5 Sá ncssáo a dtnação da função f dos cofcnts das agns coplxas paa qu possaos xplcta a função potncal O po passo a s dado é a spaação d vaávs 53 Spaação d vaávs Eftuaos a spaação d vaávs nas fóulas 3 37 do capítulo 4 paa coo vaávs ndpndnts

52 4 53 Font obto na sa caada A fóula 3 pod s posta na foa: [ K K F H H H K K K ] H M K 5 Obsva qu quando o solo é unfo o to nt colcts d 5 é nulo vlando qu st é o to qu dv s xpanddo na soatóa Vos alguns casos patculas a Font stuada na pa caada solo co 3 ou as caadas st caso tos K - H - H obtndo: K K F 5 Esta é a foulação d Cow [9] b Font stuada na últa caada solo co 3 ou as caadas st caso tos K H - H obtndo: H H K F 53 st caso podos tabé ala a xpansão da foa poposta po Cow dado qu á apnas to paa usolo

53 4 c Paa os casos qu a font o obto ocupa caadas ntdáas nt a pa a últa caada d u solo d as d duas caadas não é possívl ftua a spaação d vaávs na foa poposta po Cow [9] co apnas u conunto d agns sndo st o otvo da stção dos ltodos na pa caada ou solos co duas caadas Paa lvanta sta stção dv-s consda cada lna do to nt colcts da fóula 5 coo ua xpansão ndpndnt obtndo ass 3 conuntos d agns paa psnta o potncal dnto dsta caada: K K F 54 H H H M K K K F 55 H M K F 3 56

54 43 Após a xpansão a função potncal sá ntão: [ 4 I V xy xy xy π ρ 57 xy xy b b a xy b H a ] xy b H a 53 Font o obto caadas dfnts Faos a xpansão sont paa a font abaxo do obto > n; paa a outa condção podos usa a sta da função knl: Dfnndo - n t S n T - n t n τ tos:

55 44 > n H n n F τ [ n M T n n H M T K n H K n n n H H M T K K n τ ] 58 Paa o caso gal são ncssáos 4 conuntos d agns paa psnta o potncal gado caada dfnt daqula da font: 4 n xy xy n xy n H I V τ π ρ 59 xy b a n xy b H a xy b H a n n xy M T b H H a 4 4 4

56 45 Pod-s obsva na fóulas 5 58 qu quando K / K n fo nulo ou K -n / K - fo untáo são ncssáos apnas conuntos d agns qu cospond a font ou obto na pa ou últa caada Caso a condção sa sultâna ntão sá ncssáo apnas u conunto d agns A Tabla osta o núo d conuntos d agns ncssáos função da posção latva da font obto: font / obto Tabla - úo d conuntos d agns 54 Dtnação dos Pólos síduos das Iagns O t 54 apsnta o Método d Pony clássco usado po Cow t all [9] paa a dtnação dos pólos síduos das agns Dvdo a ltaçõs potants dst

57 46 étodo sá apsntada no t 54 ua adaptação do Método d Pony co o uso d autovalos autovtos paa supa stas ltaçõs 54 Método d Pony coo apsntado po Cow t all S a função fx pod s xpandda ua soatóa d xponncas do tpo: f α x α x x A A A α x 6 ntão s fx fo aostada pontos gualnt spaçados x x cada ua das xponncas: α α ρ satsfa ua quação lna d dfnças d od co cofcnts constants: y C - y- C - y- C y A quação caactístca dst ssta é u polnôo d gau : ρ C ρ C ρ C 6

58 47 Coo cada to ndvdual satsfa a quação d dfnças oogêna ntão qualqu cobnação lna dos tos tabé satsfaá a quação patcula a função xpandda ognal: f C - f- C - f- C y São ntão ncssáas aostas paa dtnação unívoca das ncógntas da quação 6 Sndo f f f os pontos aostados da função f dvos xcuta os sgunts passos: a Enconta os cofcnts do polnôo caactístco solvndo o ssta lna: C f k f k k Os cofcnts C são todos as pos os f s são as b Obt as aís do polnôo: ρ C ρ C ρ C As aís ρ pod s as ou coplxas pas conugados c Dtna os pólos do ssta: ρ Ln α x 6

59 48 d Co os valos obtdos 6 onta outo ssta lna d od a pat da fóula 6 dos pos valos aostados: A x α f Os valos A são os síduos assocados aos pólos α pod s as ou pas conugados Ua das ltaçõs dst étodo é qu o núo d od não é concdo a po d foa qu a statva fta pod povoca os sgnfcatvos s qu aa ua foa d quantfcá-los Outa ltação potant é qu coo o núo d aostas é o dobo da od do ssta s fo ncssáo aunta a taxa d aostag paa acopana vaaçõs ápdas da função a od do ssta cscá popoconalnt auntando dsncssaant os qustos d óa d tpo d pocssanto Paa contona stas dfculdads fo utlada ua adaptação do étodo d Pony poposto po Blacu Mtta [39] solvndo o ssta lna ncal do passo a usando o étodo da dcoposção autovalos autovtos 54 Método d Pony co solução po autovalos A dfnça nst caso é qu o ssta lna ncal é aostado co u núo ao qu o dobo da od spada do ssta sultando u ssta co as quaçõs do qu ncógntas

60 49 O valo da taxa d aostag é fxada função da ao spssua d caada xstnt no odlo o ponto fnal da aostag função do no valo d spssua d caada xstnt s dpndênca da od do ssta obsvando-s sp qu o núo d aostas dv s ao do qu o d ncógntas Esta-s u valo ncal paa a od do ssta dcopõ-s a at tangula obtndo-s os autovalos os autovtos O algoto d dcoposção utlado fo o d Pss t all [38] S algu autovalo fo nulo ou casos pátcos fo no qu o lt spcfcado -6 a -8 a od do ssta é duda pla quantdad d autovalos nulos o ssta é calculado S não xst autovalos nulos ntão a od do ssta é auntada d os autovalos são dtnados novant Est pocsso é ptdo até qu s ncont plo nos u autovalo nulo Ua v dfnda a od do ssta pod-s contnua no passo b d 5 paa dtna os pólos síduos

61 5 6 ASPECTOS COMPUTACIOAIS A plntação da todologa apsntada nvolv alguns aspctos gas d aquttua d softwa tabé poblas spcífcos d códgo São ftas consdaçõs sob os aspctos pncpas da plntação O pogaa fo scto co u coplado Boland Dlp co lnguag Pascal ontada a obtos abnt vsual paa utlação PC s co Wndows 95 ou supo Wndows T 4 ou supo Todas as ats vtos são aanadas vaávs dnâcas paa ota o uso da óa O pogaa sua vsão fnal t cca d 5 Mb ncssta d Mb d óa lv sua capacdad áxa paa vta o uso do aquvo d toca do Wndows 6 Entada d Dados da Mala do Solo Entada das nfoaçõs latvas aos ltodos co posção ncal fnal ao tpo s atvo ou passvo As caadas foa ltadas a 4 quantdad sufcnt paa pt copaação co outos sultados da ltatua ão á ltaçõs técncas paa a quantdad d caadas

62 5 6 Dsctação do doíno A dsctação fo fta dvdndo-s os ltodos d tal ana a psva a póts d dnsdad d cont constant plcando sgnta as os tcos na pfa da ala nos pontos d cuanto no caso d cabos sp sgntando as asts co o po sgnto da od da pofunddad d cavação U sntoa típco d sgntação nadquada é a xstênca d potncas na supfíc aos do qu o potncal édo sob os ltodos Paa psva a póts d flanto d cont o no sgnto fo antdo da od d 5 vs o ao do conduto Dvdo à foa d solução gnéca das quaçõs d potncal 4 foa ntodudas snguladads ao longo do xo dos sgntos Estas snguladads são solvdas nucant plo dslocanto adal do ponto d cálculo po u valo gual ao ao do sgnto 63 Dtnação das agns coplxas As funçõs d Gn são aostadas as agns são calculadas O ntvalo da aostag fo fxado / da no spssua xstnt O ponto fnal da aostag fo stablcdo vs o valo da ao spssua d caada Esta condção plca no cálculo d plo nos 4 pontos as gaant

63 5 qu todos os coponnts d fqüênca lvants são consdados no cálculo das agns O pogaa pod calcula até 5 pontos O núo d agns ncal fo stado coo o núo d caadas as O valo íno dos autovalos fo fxado -6 Foa plntadas apnas as funçõs co font abaxo do obto O cálculo nvso utla a sta das funçõs d Gn Fo ncssáo plnta bblotcas d otnas coplxas paa o cálculo das agns pos os pólos síduos pod s coplxos 64 Montag da at d sstêncas útuas As fóula 9 4 são plntadas paa calcula as sstêncas útuas da at o ssta lna d od M é solvdo A od M é gual ao poduto do núo d ltodos pla sgntação éda utlada Po xplo s tvos 5 ltodos co ua sgntação éda d tos M 5 Esta at é sétca ca potanto os qustos d óa ncssáa paa o aananto dos dados pod s ua ltação potant paa alas uto gands O pogaa pod anpula até ats d od x ocupando cca d 8 Mb d óa AM

64 53 Dvdo à ntodução dos ltodos passvos a fatoação d Colsky não pod s utlada poqu a at dxou d s postva dfnda Fo utlado o algoto d dcoposção LU d Pss t all [38] paa a solução do ssta lna 65 Cálculo dos potncas xploação dos sultados As fóulas 8 4 são plntadas paa o cálculo do potncal gado pla ala A saída as abtual é a d taça pfs d potncas ao longo d alguas lnas po xplo a dagonal da ala plota os valos do potncal d toqu supfíc d passo O uso dos ltodos passvos pt a dtnação d potncas d tansfênca paa ccas ou ltodutos tabé os potncas d toqu na vnança dsts ltodos

65 54 7 ESULTADOS OBTIDOS Paa vfcação da todologa apsntada são ftas copaaçõs d sultados co tabalos publcados 7 Explo d Cow t all [9] O ltodo toodal dscto [9] [3] sá sulado paa vfcação dos sultados Est ltodo é u toód d 3 d ao sção tansvsal co ao d 3 c pofunddad d 75 ntando ua cont d A no solo A póts d font lna d cont é utlada O solo fo statfcado 4 caadas A Tabla osta os valos d sstvdads spssuas: Caada 3 4 sstvdad Ω 3 Espssua Tabla - Dados do Solo o caso d u toód a sta põ qu a dnsdad d cont sa unfo não sndo ncssáa a solução d u ssta atcal

66 55 A Fgua 7 osta a posção do toód SUPEFÍCIE ρ Z ρ 3 ρ 3 ρ 4 Fgua 7- Toód na pa caada 7 Modlo utlado A função d Gn dvada a pat da fóula 5 paa 4 é: F K 3 63 K 3 A xpansão xponncal d 3 fo fta co o étodo d Pony usado po Cow [9] utlando 8 aostas gualnt spaçadas nt paa dtnação d 4 agns

67 56 A Tabla 3 osta os valos dos a s b s paa st caso: 3 4 a b Tabla 3 - Pólos síduos Obsva qu quando á ua ag coplxa xst su conugado cospondnt A Fgua 8 osta o gáfco dos valos analítcos d 3 os valos constuídos co a xpansão d Cow [9] Tabla II co os valos da Tabla Cow Analítco Cow Tab 3 F - -5 Analítco Tab / Fgua 8- Valos constuídos

68 57 7 Cálculo do potncal na supfíc O potncal na supfíc fo calculado paa nt 8 35 paa copaação co a Fg 4 d [8] O cálculo fo alado a pat da ntgação do potncal da font pontual da fóula sob o anl stuado no cnto da sção tansvsal do toód A Fgua 9 osta o potncal calculado co os dados da Tabla II d Cow [8] os valos tados das cuvas dadas Lgac [5] acados co cu os calculados co os pólos síduos da Tabla Vsup V Cow Tab 3 Lgac Cow Tab Fgua 9- Potncas na supfíc do solo sob o ltodo

69 58 A Fgua osta ua copaação co os sultados obtdos paa valos d nt 6 : Vsup V Lgac Cow Tab Fgua - Potncas na supfíc do solo sob o ltodo Os gáfcos ostados nas Fguas 9 osta boa podução dos potncas quando copaados co [9] [8] vdncando qu as agns coplxas pod s ftvant utladas nsta aplcação O cálculo d potncas paa ltodos coplxos apsntaá a sa sqüênca qu o caso do toód xcto qu sá ncssáo sgnta o ltodo solv o ssta atcal

70 59 73 Iagns paa o solo d Kovask A stutua do solo ctado Kovask at all [5] vdnca a ltação do étodo d Pony clássco utlado po Cow t all [9] A Tabla 4 osta as 4 agns usados po Cow as 7 calculadas plo AMAICo 4 Cow AMAICo síduos Pólos síduos Pólos Tabla 4 Iagns paa o Solo d Kovask A Fgua osta a função knl analítca a apoxação d Cow a do AMAICo Obsva qu paa valos pqunos d / nt -5-6 quvalnts a dstâncas d 5 6 do ltodo a xpansão d Cow apsnta os d as d % ota qu a dstânca ao ponto co o áxo é cca d vs a pofunddad da últa caada

71 6 F 5 5 Cow AMAICo -5 Analítco - E-8 E-7 E-6 E-5 E-4 E-3 E- - Fgua Valos constuídos do knl d Kovask ota qu paa o cálculo das 7 agns foa usadas 4 aostas da função knl conta apnas 8 aostas paa as 4 agns d Cow 7 Solo d caadas Explo d L Dawalb Est ltodo é studado nos tabalos d L t all [33] Dawalb [7]; é consttuído po ua ala quadada co lado d tos co 4 ss 9 asts a ua pofunddad d 5 Cada ast t d copnto c d dâto Cada cabo t dâto d c A Fgua osta a vsta supo da ala A lna na dagonal do po s é o cano ond fo calculado o potncal d toqu

72 6 A sstvdad da pa caada fo fxada Ω a spssua 5 A sstvdad da sgunda caada fo fxada vaando-s o fato d flxão d 9 a 9 Lna d cálculo do potncal FIGUA VISTA SUPEIO DA MALHA A Tabla 5 osta os valos da sstênca d atanto o valo do potncal d toqu áxo pcntag lação à lvação d potncal da ala A dsctação utlada fo a padão co 3 subdvsõs paa os cabos 7 paa as asts

73 6 sstênca Ω Vtoqu % k L Dawalb AMAICo L Dawalb AMAICo Tabla 5 Copaação co solos d caadas Os sultados da sstênca d atanto do potncal d toqu osta vaaçõs nos qu 3 % nt os tês conuntos d sultados Paa ua vfcação adconal dsts sultados o Gound-3D fo utlado co os valos xtos d k 9 k -9 obtndo-s spctvant sstêncas d 738 potncas d toqu d 63 % 37 % 73 Explo d Vuvc Kutovc Est ltodo [34] é coposto po asts cabos co d dâto a ua pofunddad d 5 cabos co 5 d dâto sulando ua cca tálca O solo apsnta ua stutua d 3 caadas co sstvdads d 5 Ω spctvant spssuas d

74 63 A Fgua 3 osta ua vsta supo da ala A lna na sgunda tad da ala é o cano d cálculo do potncal na supfíc Eltodo atvo Lna d cálculo Do potncal Eltodo passvo Fgua 3 - Explo d Vuvc Kutovc A Tabla 6 osta valos da lvação d potncal dos ltodos atvos passvos o valo do potncal alguns pontos na supfíc do solo co fênca no cnto da ala A cont ntada no ltodo ntno fo d A

75 64 Ganda Vuvc Kutovc AMAICo Elvação d potncal do ltodo atvo V Elvação d potncal do ltodo passvo V Potncal x Potncal x5 8 8 Potncal x Potncal x Potncal x 6 6 Tabla 6 Copaação co 3 caadas Os sultados osta xclnt concodânca nt os dos étodos 74 IEEE-8 / 986 São studados dos casos do Anxo C do IEEE-8 / 986 o caso C4 co solo d duas caadas spaçanto unfo o C6 co solo unfo spaçanto vaávl 74 Caso C-4 : caadas co spaçanto unfo Mala quadada co lado d ss 9 asts Cabos co d dâto asts co 5 d dâto 944 d copnto A pofunddad da

76 65 ala é d 5 ; a sstvdad da pa sgunda caada é d 3 Ω Ω spctvant a spssua da pa caada é d 457 A Fgua 4 osta ua vsta supo da ala: Lna d cálculo do potncal Fgua 4 Eltodo Fgua C4 IEEE-8 /986 A Tabla 7 osta os valos da sstênca d atanto do potncal d toqu do IEEE-8 d Haffn [36] os obtdos co o AMAICo:

77 66 sstênca Ω Potncal d toqu % IEEE-8 / Haffn t all [36] AMAICo Tabla 7 Eltodo C4 do IEEE-8 / 986 A dfnça pcntual do potncal d toqu áxo fo d 46 % lação ao IEEE-8 d % lação a Haffn A dfnça pcntual da sstênca d atanto fo d 6 % lação ao IEEE-8 d 4 % lação a Haffn A Fgua 5 osta o potncal na supfíc sob o cano ostado na Fgua 3 Potncal da Mala P Potncal na Supfíc V x 5 3 Fgua 5 Potncal na supfíc do solo

78 67 74 Caso C-6 : Solo unfo co spaçanto vaávl Mala quadada co lado d ss 5 asts Cabos co d dâto asts co d copnto A pofunddad da ala é d 5 ; a sstvdad do solo é d 3 Ω O spaçanto dos ss é vaávl A Fgua 6 osta ua vsta supo da ala: Lna d cálculo do potncal Fgua 6 Eltodo Fgua C4 IEEE-8 /986 A Tabla 8 osta os valos da sstênca d atanto do potncal d toqu do IEEE-8 os valos obtdos co o AMAICo:

79 68 sstênca Ω Potncal d toqu % IEEE-8 / 986 C AMAICo Tabla 8 Eltodo C6 do IEEE-8 / 986 O potncal d toqu áxo ocou no s cntal não no s do canto A dfnça pcntual é d 36 % nt os valos d sstênca d % paa o potncal d toqu A fgua 7 osta a cuva d potncal na supfíc do solo: Potncal na Supfíc V x Potncal da Mala P Fgua 7 Potncal na supfíc do solo Podos obsva qu a sgntação utlada poduu u valo d potncal na supfíc do solo ao do qu o potncal sob os ltodos ndcando qu a sgntação stá nadquada o caso do IEEE-8 a Fg C7 osta potncas aca

80 69 do valo dos ltodos á na passag sob o tco cabo x 44 ndcando qu fo utlada ua sgntação anda as gossa 75 Análs d Snsbldad da Dsctação Sá utlado o xplo da Fgua C6 do IEEE-8 /986 ala solo unfo co spaçanto vaávl paa ua análs d snsbldad aos paâtos da dsctação São analsadas as vaaçõs do valo da sstênca d atanto do valo áxo do potncal na supfíc do valo do potncal d toqu áxo A dsctação dos cabos sá fta subdvsõs cospondnts a nnua subdvsão 4 subdvsõs po s spctvant A dsctação das asts sá fta 3 5 subdvsõs A Fgua 8 osta a vaação da sstênca d atanto 475 os Sub cabos Sub asts Fgua 8 - Vaação do valo da sstênca d atanto

81 7 A vaação nt o no valo o ao fo d 7% ndcando qu o valo da sstênca dpnd pouco da dsctação A Fgua 9 osta a vaação do valo do potncal d toqu áxo 4 Pot Toqu V Sub asts 3 7 Sub cabos Fgua 9 Potncal d toqu áxo A vaação nt o no o ao valo fo d 58 % co os valos nos acontcndo co u núo ao d subdvsõs Paa qu o valo fqu dnto d % do valo assntótco a subdvsão dos cabos dv s d 7 ou subdvsõs po s a subdvsão d asts dv s 3 nando o núo total d sgntos dsctos Obsva qu nst caso a conclusão d Gat [] d qu a subdvsão das asts t u pacto ao sob os potncas na supfíc não é aplcávl ostando qu alas d foa coplxa dv s analsadas caso a caso

82 7 A Fgua osta a vaação do valo do potncal áxo na supfíc 4 Pot Sup V Sub asts 3 7 Sub cabos Fgua Potncal áxo na supfíc A vaação nt o ao o no valo fo d 49 % co valos nos acontcndo co u núo ao d subdvsõs Os valos aos qu % são ncotos pos a supfíc não pod sta a u potncal ao do qu o da pópa ala Paa qu a dfnça fqu dnto d % do valo assntótco dvos t a sa condção ncssáa paa o potncal d toqu subdvsão dos cabos d po s 3 subdvsõs paa as asts Esta colação t sgnfcado físco pos coo á pquna vaabldad no valo da sstênca d atanto ua dsctação as gossa aunta os valos áxos ínos do potncal na supfíc s a dsctação podu

83 7 adquadant o valo áxo do potncal na supfíc la tabé poduá adquadant o valo íno assocado ao potncal d toqu Ua consqüênca data dsta colação é qu o potncal na supfíc pod s usado coo u ndcado da qualdad da dsctação É ntssant vfca o fto da dsctação no valo do potncal sob a supfíc dos ltodos pos ua das pótss fundantas é qu o potncal sob a supfíc dos ltodos é constant A Fgua osta o potncal sob a supfíc do cabo cntal da ala pcntag do valo édo paa nnua subdvsão d cabos asts paa subdvsõs po s paa os cabos 3 subdvsõs paa as asts sgntação qu poduu valos dnto d % dos valos assíntotas S subdvsão Co subdvsão V Cabo % Co subdvsão S subdvsão x Fgua Potncal sob a supfíc do cabo cntal

84 73 Pod-s obsva qu a subdvsão as fna popoconou ua lo adênca à póts co o potncal da supfíc do cabo s apoxando as do valo édo A foa dos potncas na Fgua ndca qu a ocoênca d potncas na supfíc do solo co valos supos ao valo édo do potncal da ala dco ustant da falta d adênca à póts básca d potncal constant todo o ltodo

85 74 8 COCLUSÃO Os sultados apsntados pt conclu qu a técnca d agns coplxas pod s utlada co sucsso paa o cálculo d alas d ta solos co últplas caadas oontas A análs tóca alada ptu ua xplctação nédta das funçõs knl paa posçõs abtáas da font do obto possbltando qu outos tabalos futuos possa s alados co bas nas funçõs knl O pogaa AMAICo dsnvolvdo supou as ltaçõs xstnts tabalos antos d agns coplxas ptndo o cálculo d alas co ltodos stuados qualqu caada a dtnação das agns coplxas po u étodo as obusto stávl Anda xst pontos potants a s apofundados tas coo: - dução do núo d aostas da função knl; - popagação do o povnnt do uso das agns coplxas paa o cálculo dos potncas consquntnt paa o cálculo das sstêncas útuas - ftos da dsctação dos ltodos alas co topologa gula

86 75 9 EFEÊCIAS BIBLIOGÁFICAS [ ] Cadoso J O Método dos Elntos Fntos Aplcado na Dtnação da sstênca d Atanto Anas do Snáo sob Cálculo d Capo Elétco co Métodos uécos Santo Andé 985 [ ] Cadoso J ; bo F S ; Gabaso G O Método dos Elntos Fntos no Modlanto d Sstas d Atanto Solos d Múltplas Caadas Anas do IX SPTEE Blo Hoont 987 [ 3] Cadoso J ; Olva J B Gound-3D: U Ssta CAD / CAE paa Análs d Sstas d Atanto Anas do XI SPTEE o d Jano 99 [ 4] Lt C M ; Pa F o M L Técncas d Atantos Elétcos São Paulo Offcna d Myda 995 [ 5] Dwgt H B Calculaton of sstancs to Gound AIEE Tansacton Vol 55 Dc 936 pg [ 6] Goss E T B; Ctns B V; Statton L J Goundng Gds fo Hg-Voltag Statons AIEE Tans Vol 7 pt III Pow Appaatus and Systs Aug 953 pg [ 7] Tapa B ; Goss E T B Goundng Gds fo Hg Voltag Statons IV - sstanc of Goundng Gds n onunfo Sol AIEE Tansactons Oct 963 pg [ 8] Tagg G F Eat sstancs London Gog wns 964

87 76 [ 9] Sund E D Eat Conducton Effcts n Tanssson Systs w Yok Dov 968 [ ] Gao T ; Saa M P Effct of a Two-Lay Eat on t Elctc Fld na HVDC Gound Elctods IEEE Tans on PAS 97 6 ov/dc pg [ ] Dawalb F ; Mukdka D Optu Dsgn of Substaton Goundng n a Two Lay Eat Stuctu Pat I - Analytcal Study IEEE Tans on PAS Vol 94 a/ap 975 pg 5-6 [ ] Dawalb F ; Mukdka D Optu Dsgn of Substaton Goundng n a Two Lay Eat Stuctu Pat II - Copason btwn Totcal and Expntal sults IEEE Tans on PAS Vol 94 a/ap 975 pg 6-66 [ 3] Dawalb F ; Mukdka D Optu Dsgn of Substaton Goundng n a Two Lay Eat Stuctu Pat III - Study of Goundng Gds Pfoanc and w Elctods Confguaton IEEE Tans on PAS Vol 94 a/ap 975 pg 67-7 [ 4] Dawalb F ; Mukdka D Mult Stp Analyss of Intconnctd Goundng Elctods IEEE Tans on PAS Vol 95 Jan/Fb 976 pg 3-9 [ 5] Dawalb F ; Mukdka D sstanc Calculaton of Intconnctd Goundng Elctods IEEE Tans on PAS Vol 96 Jan/Fb 977 pg [ 6] Dawalb F ; Mukdka D Tansfd Eat Potntals n Pow Systs IEEE Tans on PAS Vol 97 Jan/Fb 978 pg 9- [ 7] Dawalb F ; Mukdka D Influnc of Gounds ods on Goundng Gds IEEE Tans on PAS Vol 98 6 ov/dc 979 pg 89-98

88 77 [ 8] Hpp J Coputaton of Potntal at Sufac abov na Engd Gd o ot Elctod allowng fo on-unfo Cunt Dstbuton IEEE Tans on PAS Vol 98 6 ov/dc 979 pg [ 9] Koutynkoff P ucal Coputatons of t Goundng sstanc of Substatons and Tows IEEE Tans on PAS Vol 99 3 May/Jun 98 pg [ ] aga P ; Vlaqu ; Loloan M ; Mukdka D ; Gvas Y vw of Analytcal Mtods fo Calculatng t Pfoanc of Lag Goundng Gd Elctods Pat I : Totcal Consdatons IEEE Tans on PAS Vol 4 ov 985 pg [ ] Loloan M ; Vlaqu ; Mukdka D vw of Analytcal Mtods fo Calculatng t Pfoanc of Lag Goundng Gd Elctods Pat II : ucal sults IEEE Tans on PAS Vol 4 ov 985 pg [ ] Gat D L ; Putt J G Pobls Encountd wt t Avag Potntal Mtod of Analyng Substaton Goundng Systs IEEE Tans on PAS Vol 4 Dc 985 pg [ 3] ASI / IEEE Std IEEE Gud fo Safty n AC Substaton Goundng w Yok IEEE Pss 986 [ 4] Joy E B ; Wlson E Accuacy Study of t Gound Gd Analyss Algot IEEE Tans on PWD Vol 3 Jul 986 pg 97-3