Análise de Transientes Eletromagnéticos em Sistemas de Aterramento Utilizando o Método dos Momentos (MoM)

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1 Aás d Trasts Etroagétcos Sstas d Atrrato Utzado o Método dos Motos (MoM) Karo Q. da Costa Vctor A. Dtrv Rsuo Est trabaho aprsta u odo atátco basado a tora d capos troagétcos para aás d trasts sstas d atrrato étrco. Est odo cosst a utzação do Método dos Motos (MoM) a soução uérca da quação tgra dos potcas troagétcos drvada d u ssta d atrrato coposto por hasts. A aproxação da tora da ag odfcada é utzada para cosdrar o fto da trfac tr o ar o soo. Expos d cácuos obtdos por st odo são aprstados coparados co rsutados tórcos xprtas xstts a tratura. ua sps rsstêca quvat (Fgura (a)). Expos d rsstêcas quvats para baxas frqüêcas d agus sstas d atrrato covcoas pod sr cotrados []. E atas frqüêcas, u ssta d atrrato pod sr rprstado aproxadat por ua carga ratva (Fgura (b)). E [] é aprstado u odo d crcuto quvat d ua hast vrtca para aás d trasts troagétcos. Paavras-Chav Sstas d atrrato, Método dos Motos, tora troagétca, trast troagétco. Abstract Ths work prsts a athatca od basd o ctrc fd thory to aaz trasts ctrc groudg systs. Ths od uss th Mthod of Mots (MoM) to sov urcay th quato of th ctroagtcs pottas drvd fro a groudg syst copoud by rods. Th odfd thory of th ag s usd to cosdr th trfac ar-arth. Nurca rsuts obtad by ths od ar prstd ad copard wth xprt ad thorca data xstt tratur. Idx Trs Groudg systs, Mthod of Mots, ctroagtc thory, ctroagtc trast. I. INTRODUÇÃO U ssta d atrrato étrco t coo u dos prcpas objtvos protgr u dtrado ssta étrco cotra sobr-corrts sobr-tsõs as quas pod sr causadas por curtos crcutos, por acúuo d cargas ou por dscargas atosfércas []. U bo ssta d atrrato é aqu qu facta o fuxo d corrt para a trra, ou sja, qu possu baxa rsstêca d trra. A aás d sstas d atrrato pod sr cassfcada dos tpos: aás baxas atas frqüêcas. E frqüêcas baxas, u ssta pod sr rprstado por O XX Karo Spóso Quroz da Brasro Costa d Vctor Tcoucaçõs Dtrv, Dpartato (SBT 4), d orgazado Eghara Eétrca pa Socdad Coputação, Brasra Uvrsdad d Fdra Tcoucaçõs do Pará - UFPa, Bé, Pará, Bras, E-as: karocosta@yahoo.co.br, vctor@ufpa.br. (SBrT) pos dpartatos d Eghara Eétrca da PUC Est trabaho fo facado pa Etroort UFPa através do projto Ro do IME, srá sdado o Ro d Jaro o sobr atrrato étrco. (a) Fg.. Modos d crcutos quvats sps d u dtrado ssta d atrrato. (a) baxas frqüêcas. (b) atas frqüêcas. Ests crcutos quvats para aás d atrratos sujtos há corrts pusvas (atas frqüêcas) possu as sguts dsvatags: aprsta rsutados co baxa prcsão xst odos d crcutos apas para agus casos sps, por xpo, hasts vrtcas, horzotas, tc. Exst odos as aborados para aás d trasts sstas d atrrato as copxos, coo por xpo o d crcutos quvat as gra utzado [3], o d has d trasssão o doío do tpo [4]. Ests odos tabé aprsta aguas aproxaçõs pos s são usados parâtros quvats (codutâca quvat, capactâca quvat, tc) Os odos tórcos xstts a tratura as prcsos são aqus cohcdos coo odos troagétcos, vsto qu sts utza drtat as quaçõs d Maxw su dsvovto [5]-[9]. Dtr sts, xst aqus qu utza fuçõs d Gr xatas vz da aproxação da tora da ag odfcada [8]. Nst trabaho é aprstado u odo tórco troagétco para aás d trasts sstas d atrrato. Est odo utza o MoM para rsovr a (b)

2 quação tgra dos potcas drvado d u ssta d atrrato coposto por hasts. Nst odo utzaos fuçõs bas sodas fuçõs tst puso rtaguar. Para cosdrar o fto da trfac tr o ar o soo, apcaos a tora da ag odfcada [9]-[]. Est trabaho é orgazado da sgut fora. A Sção II coté o dsvovto do odo tórco. A Sção III ostra u xpo d apcação dst étodo, od os rsutados obtdos são coparados co dados tórcos xprtas xstts a tratura. E a Sção IV aprsta as cocusõs agus cotáros co ração a prcsão dst odo. II. DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO O dsvovto tórco aprstado a sgur cosdra a aás apas d hasts codutoras s prdas qu stão prsts abaxo da suprfíc da trra. Cosdra-s tabé qu a corrt os codutors fu sot a drção rada qu sta corrt stua-s o xo dos codutors ão sua suprfíc. A. Dscrção do proba O proba d aás d trasts u dtrado ssta d atrrato cosst dtrar os potcas os codutors do ssta potcas próxo dsts quado ua dtrada corrt pusva é jtada agu poto do ssta. Dstrbuçõs d capos potcas os codutors, próxos aos codutors a suprfíc da trra tabé pod sr cacuados a aás. Coo a fot d corrt pusva é o doío do tpo o MoM qu srá utzado a sgur é foruado o doío da frqüêca, a fot d corrt (t) é trasforada para o doío da frqüêca por o da trasforada dscrta d Fourr (FFT). Os rsutados d votag obtdos por st étodo são o doío da frqüêca. Para obtros os rsutados o doío do tpo apcaos a trasforada dscrta vrsa d Fourr (IFFT). Estas rotas d trasforada já xst o softwar Matab 6 [] o qua utzaos para dsvovr o prograa coputacoa. B. Equação Itgra dos Potcas (EIP) Dado u codutor ar u o hoogêo, cosdr qu xsta u capo étrco E cddo st. Est capo rá produzr corrts étrcas o fo qu por sua vz rão radar u capo spahado E. Para u fo codutor prfto, tos a sgut codção d cotoro a suprfíc do fo E E. As quaçõs d Maxw os forc a sgut quação para o cácuo do capo spahado. E jω A Φ, () sdo qu A µ Ig( d, () Φ χ(, (3) ) g( d di χ( ), (4) jω d γ r r ' g( r), 4π r r' od r r' é a dstâca tr u poto sobr o codutor ( r ' ) u poto d obsrvação ( r ), γ ω µ, (6) r + (5) σ, (7) jω sdo µ a prabdad agétca do o, r são rspctvat a prssvdad ratva do o a prssvdad do spaço vr, σ a codutvdad do o ω a frqüêca aguar. Utzaos o fator jωt para as gradzas o doío da frqüêca. Substtudo ()-(5) () obtos a quação tgra dos potcas d u fo codutor u o hoogêo coduzdo ua corrt I. A quação rsutat é ua quação tgra pos a gradza qu quros cacuar I stá o tgrado. C. Soução uérca por MoM Para rsovr urcat a quação tgra dscrta a sção atror po MoM, tos prro qu dvdr o codutor ar város sgtos rtos aproxar a dstrbução d corrt cada sgto dsts por u dtrado tpo d fução bas. A Fgura abaxo ostra u codutor ar d coprto L dvddo N sgtos rtos. Dos sgtos gércos são ostrados sdo qu o vtor coprto dsts são rspctvat. O vtor utáro a drção tagca a cada sgto d dscrtzação do codutor é a, od a. A corrt tota o codutor é aproxada por I od I N I, (8) shγ γ I I a. [ I shγ ( ) + I sh ( )], (9) Fuçõs bas soda fora scohdas porqu os sgtos codutors rtos qu possu sta dstrbução d corrt possu xprssõs xatas para os capos troagétcos

3 radados, cofor srá ostrado a próxa sção. A Fgura 3 ostra u xpo d u codutor dvddo cco sgtos suas rspctvas fuçõs bas. Obsrv qu st xpo a corrt é ua as xtrdads, st caso é típco d probas d atas spahato. Os parâtros I I são as costats d xpasão d I, sts são os vaors das corrts as xtrdads d cada sgto (Fgura 4). A sgur é aprstado o procdto para o cácuo dstas costats. od E é a copot tagca ao fo d (8) ()-(4) (), fazdo γ I g R d + j ( ') ( ) ' ω t-s + N E d + LI ad c di g( d' d' E. Substtudo LI, (3). (4) Coocado a corrt a sgut fora I I f + I f, (5) Fg.. Dos sgtos gércos d u codutor d coprto L. f shγ ( ) a, shγ f shγ ( ) a, shγ tros Fg. 3. Expo d xpasão soda u codutor d cco sgtos. + N + E d [ I Lf + I Lf ] ad. (6) Sabdo qu I I I,...,I I (+) I,...,I (N-) I N I N, tos qu (6) tora-s Fg. 4. Fução xpasão soda u sgto. As fuçõs tst utzadas o MoM são as sguts fuçõs puso, para < < + P ( ),,,...,N-, (), fora sdo c o poto édo tr os potos (Fgura 4). Itgrado o produto da copot tagca ao fo d E por ua fução tst gérca P (), obtos + + [ j A Φ] [ E P ( )] d P ( ) ω d, ou () ( + ) ( + ) c d [ j A + Φ] E ω d () + N E d ( + ( + ILf ad + [ Lf + Lf( + ) ] ad I + I N Lf N a d. (7 ) Para probas d atas spahato tos qu I I N. Ass tos o sgut ssta ar N V Z I,,,...,N-, (8) od V Z + E d, (9) + ) ( + ) c [ Lf + Lf ] a d. () Os vaors d V stão racoados co a fot d xctação. A soução d (8) os forc a corrt o fo codutor.

4 D. Capos radados por tos d corrt sodas As xprssõs xatas do capo étrco radado por u sgto codutor co dstrbução soda d corrt dado por (9), são [9] E z γr γr η, ( I I coshγd) + ( I I coshγd) () 4π shγd R R η γr γr γr Eρ {( I I )shγd + ( I coshγd I) cosθ + 4πρshγ d γr + ( I coshγd I) cosθ }. () Os parâtros goétrcos utzados stas xprssõs são do ssta d coordada oca ostrado a Fgura 5. 3) Fot d corrt o soo poto d obsrvação o ar: O capo étrco pod sr cacuado coo aqu produzdo por ua fot d corrt odfcada I : ' I. (4) 4) Fot d corrt o ar poto d obsrvação o soo: O capo étrco pod sr cacuado coo aqu produzdo por ua fot d corrt odfcada I : ' I. (5) (a) (b) Fg. 5. Ssta d coordada oca utzado () (). E. Tora da ag odfcada Supoha qu tos ua corrt I (Fgura 6(a)) abaxo do soo, quros dtrar a sua ag I (Fgura 6(b)). Estas duas corrts são utzadas para cacuar os capos troagétcos dtro do soo. Para o cácuo dos capos o ar, utza-s ua corrt quvat I (Fgura 6(c)) o soo. E rsuo, podos tr quatro stuaçõs dfrts qu são xpcadas a sgur. ) Fot d corrt o soo poto d obsrvação o soo: O capo étrco pod sr cacuado coo a soa do capo produzdo pa corrt I sua ag I : I. (3) ) Fot d corrt poto d obsrvação o ar: O capo étrco pod sr cacuado coo a soa do capo produzdo pa corrt fot I sua ag I : (c) Fg. 6. (a) Fot d corrt o soo. (b) Fot d corrt sua ag. (c) Fot d corrt quvat para cácuo dos capos o ar. III. EXEMPLO NUMÉRICO Co bas a tora aprstada aca dsvovos u prograa coputacoa o softwar Matab 6 para cacuar o potca três potos dfrts d ua hast horzota d coprto L a ua profuddad h do soo (Fgura 7). A fot d corrt apcada a pota da hast t a sgut fora ostrada a Fgura 8. Os parâtros utzados sta suação da fot do ssta são ostrados a Taba. TABELA I VALORES DOS PARÂMETROS UTILIZADOS NA SIMULAÇÃO. PARÂMETRO Vaor L (coprto da hast) 5 h (profuddad da hast),6 a (rao da hast) σ (codutvdad do soo) (/7) (Ω) - µ r r 5 I. (4)

5 pqua (tr 5-%). O trvao d tpo usado a aás fo d a 7 crossgudos. Fg. 7. Ssta d atrrato coposto por ua hast horzota d coprto L a ua profuddad h do soo. As Fgura 8 Fgura 9 ostra os rsutados obtdos dos potcas três potos dfrts ao ogo da hast. Co o objtvo d copara os ossos rsutados co outros dspoívs a tratura, as Fgura 8 Fgura 9 ostra os rsutados xprtas tórcos aprstados [9], rspctvat. IV. CONCLUSÕES Est trabaho aprstou u odo atátco basado a tora dos capos troagétcos para aás d trast sstas d atrrato étrco. Est odo cosstu a utzação do MoM para rsovr urcat a quação tgra dos potcas drvada d u ssta coposto por hasts tácas s prdas. A aproxação da tora da ag odfcada fo usada o odo para cosdrar a trfac tr o ar o soo. A utzação d fuçõs bas sodas o odo para aproxar a corrt a hast possbtou obtr rsutados as prcsos, vsto qu st tpo d fução forc xprssõs xatas para o capo étrco radado d u sgto co dstrbução soda d corrt. Estas xprssõs xatas são fudatas para o cácuo d potcas étrcos. Aguas suaçõs fora ftas, utzado o prograa coputacoa dsvovdo, para o xpo d ua hast horzota. Obsrvaos qu aca d sgtos os rsutados possu pouca dfrça tr s. Co ração a prcsão dos rsutados, acrdtaos qu podos obtr hors rsutados s cosdraros as prdas os codutors. Esta srá ua proposta para trabahos futuros. Fg. 8. Corrt jtada a xtrdad da hast do ssta ostrado a Fgura 7 co os vaors dos parâtros da Taba. Fg. 9. Coparação tr os rsutados obtdos aqu co aqus tórcos aprstados xprtas d [9]. Ests rsutados são do ssta ostrado a Fgura 7 co os vaors dos parâtros da Taba. O úro d fuçõs bas utzados sts cácuos obtdos fo N. Suaos tabé st so ssta co N4 fuçõs bas, a dfrça tr os rsutados é REFERÊNCIAS [] G. Kdra J. M. Caoagoo, Atrrato Eétrco, 5 a d., Ed. Foraópos: UFSC,. [] L. F. Goos, F. V. Topas, L. A. Stathopuos, Trast pdac of groudg rods, Hgh Votag Egrg Syposu, Cofrc Pubcato No. 467 IEE, -7 August 999. [3] A. Gr, Bhavor of groudg systs xctd by hgh pus currts: th od ad ts vadato, IEEE Tras. o Powr Dvry, v. 4, No. 3, pp. 8-7, Juy 999. [4] Y. Lu, M. Ztk, R. Thottapp, A provd trassso- od of groudg syst, IEEE Tras. o Ectroagtc Copatbty, v. 43, No. 3, pp , August. [5] F. Navarra, I. Cooas, Why do coputr thods for groudg aayss produc aoaus rsuts?, IEEE Tras. o Powr Dvry, v. 8, No. 4, pp. 9-, Octobr 3. [6] V. Doré, D. pojak, V. Roj, Trast rspos of th arthg ctrod a hoogous ossy du, 7 th tratoa Cofrc o Appd Ectroagtcs ad Coucatos ICECo 3, Dubrovk, Croata, -3 Octobr 3. [7] G. Aa, M. L. D Svstr, E. Fracoao, A. Tortorc, Wavtbasd ffct suato of ctroagtc trast a ghtg protcto syst, IEEE Tras. o Magtcs, v. 39, No. 3, pp. 57-6, May 3. [8] L. Grcv, F. Dawab, A ctroagtc od for trasts groudg systs, IEEE Tras. o Powr Dvry, v. 5, No. 4, pp , Novbr 99. [9] L. D. Grcv, Trast ctroagtc fds ar arg arthg systs, IEEE Tras. o Magtcs, v. 3, No. 3, pp , May 996. [] T. Takasha, T. Naka, R. Ishbash, Hgh fraqucy charactrstcs of pdacs to groud ad fd dstrbutos of groud ctrods, IEEE Tras. o Powr Apparatus ad Systs, v. PAS-, No. 4, pp , Apr 98. [] D. Hasa, B. Lttfd, MATLAB 6: Curso Copto, Ed. São Pauo: Prtc Ha, 3.