7.O Problema Linear Quadrático

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1 7.O Problema Linear Quadrático Objectivo: Introduzir o Problema Linear Quadrático e os elementos básicos da sua solução. Mostrar que o controlo resultante estabiliza a cadeia fechada.

2 Dinâmica: Formulação do Problema Linear Quadrático x&( t) = Ax() t + bu() t x( ) x = ut () R m Funcional de custo: T fixo T J = [ x () t Qx() t + u Ru] dt Q Q = R = R > Pretende-se minimizar o funcional J pelo que a Lagrangiana deve ser Lxu (, ) = ( xqx + uru )

3 3 Equação adjunta & λ = λ f + L & λ () t = λ () t A x () t Q sujeita à condição terminal λ( ) Hamiltoniana H( λ, x, u) = λ f ( x, u) + L( x, u) H( λ, x, u) = λ () t Ax() t + λ () t bu() t x () t Qx() t u () t Ru() t x x T =

4 4 A Hamiltoniana Condição (necessária) de mínimo da Hamiltoniana H( λ, x, u) = λ () t Ax() t + λ () t bu() t x () t Qx() t u () t Ru() t é uma função quadrática. Uma condição necessária de mínimo é pois ou seja pelo que o controlo óptimo verifica H u = λ () tb u () tr= ut () = R b λ() t

5 5 A trajectória óptima do estado verifica pois xt &( ) = Axt () + br b λ () t u () opt t & λ() t = Qx() t A λ() t sujeito às condições x( ) x = λ( T ) = Trata-se de um problema em que as incógnitas (x e λ) estão específicadas em dois pontos ( e T). Diz-se um problema de valores na fronteira em dois pontos (Two point boundary value problem). Como resolvê-lo?

6 6 As equações do estado e do co-estado, com o controlo óptimo, são: &x = Ax+ br b λ &λ = Qx A λ Admita-se que existe uma matriz P(), t tal que λ = Px Sendo assim, as equações do estado e do co-estado escrevem-se: [ ] &x = A br b P x [ Q ] &λ = + A P x Repare-se que, se conhecermos a matriz P(), t a equação de estado fica desacoplada da do co-estado, podendo ser resolvida separadamente.

7 7 Vamos então tentar obter uma equação verificada pela matriz P(). t Tem-se Derivando λ = Px & λ = Px & Px & Usando as equações diferenciais do estado e do co-estado: ou seja, pondo x em evidência: ( + ) = & ( ) Q A P x Px P A br b P x [ ] &P+ PA+ A P PbR b P+ Q x =

8 8 [ ] &P+ PA+ A P PbR b P+ Q x = Para que esta identidade seja satisfeita para todo o parêntesis recto tem de ser nulo. x, o termo entre Obtém-se assim a equação diferencial de Riccati: &P = PA+ A P PbR b P+ Q P( T) = (porquê?)

9 9 Problema Linear Quadrático (LQ) - Resumo Dado sistema com dinâmica linear xt &( ) = Axt () + but () x( ) = x ut () R m O controlo que minimiza o custo quadrático de horizonte finito T J = [ x () t Qx() t + u Ru] dt Q = Q R = R > é dado pela retroacção do estado de ganho variável no tempo: u() t = K() t x() t Kt () = R BPt ' () em que P(t) é a matriz simétrica defini diferencial de Riccati da positiva que satisfaz a equação &P = PA+ A P PbR b P+ Q P( T) =

10 Exemplo (Controlo LQ de um Sistema de ª ordem) Considere-se o sistema de primeira ordem, instável em cadeia aberta x&( t) = x() t + u() t x( ) = Pretende-se determinar a lei de controlo que minimiza A solução é dada por T J u [ ( ) = x () t + ru () t ] dt T >, r > pt & () = pt () + () r p t u() t K() t x() t = Kt () = r pt () pt ( ) =

11 u(t) x(t) - - r= r= r= r= r=. K(t).5 P(t) para vários T r=

12 Como se pode observar, diminuindo o peso no custo da acção de controlo, r, o sistema fica mais rápido (o transitório do estado extingue-se mais rapidamente), o mas o ganho aumenta (compare-se com a situação que se tem no Controlo de Variância Mínima dessintonizado). Aumentando o horizonte, a solução da equação de Riccati é inicialmente uma constante bem definida, tendo um tr ansitório próximo do intervalo de optimização. Isto sugere que, quando o horizonte T a solução da equação de Riccati fica constante para todo o t.

13 3 O exemplo anterior sugere que se considere o problema de minimizar o custo quadrático sobre um horizonte infinito [ ] JLQ = x'() t Qx() t + u'() t Ru() t dt A solução deste problema vem dada pelo controlo por retroacção do estado u() t = Kx() t K = R B' P em que P é a solução da equação algébrica de Riccati, dada por PA + A P PbR b P + Q =

14 4 Se o sistema x&( t) = Ax() t + bu() t fôr estabilizável, i. e., se existir um vector de ganhos F tal que o sistema em cadeia fechada ( ) xt &( ) = A bfxt () é estável, então a solução da equação de Riccati algébrica é semidefinida positiva (pelo menos) e corres ponde ao limite da solução da equação diferencial de Riccati quando o horizonte T é sucessivamente aumentado.

15 5 Problema: Dado o sistema definido pelo diagrama de blocos - u s+ x s x k k + + Determinar os valores de k e k que optimizam [ ] Q = J = x' Qx( t) + u' Ru( t) dt. R =

16 6 Modelo de estado do sistema em cadeia aberta X X () s = s X () s donde x & () t = x( ) () s = U() s s + ou sx () s = X () s + U () s donde x& () t = x() t + u() t O modelo de estado é portanto x& x& = x x + u

17 7 A equação Algébrica de Riccati: PA + A' P PBR C' P + Q = neste caso é p p ou seja p p + p p p p p p p p p p [ ] p p +. = p p p p p p p + p p p p + p p p =.

18 8 p p p p p p p + p p p p + p p p =. Igualando aas entradas correspondentes destas matrizes, obtêm-se as equações seguintes: p = A equação p p p p p = ( ) p p p +. = = é verificada por p =±. No entanto, apenas a raíz positiva leva a uma matriz P definida positiva. Assim, é p =.

19 p p p p = ( ) p p p +. = Sendo p =, estas equações reduzem-se a p p = 9 p + p 9. = A segunda equação tem como raízes ± 9.. Uma vez mais deve ser tomada a raiz positiva para que a matriz P seja sefinida positiva. Assim: P = 7. 7.

20 P = O vector de ganhos óptimo vem dado por K A lei de controlo óptimo LQ é pois: = R B' P 7. = 7. K = [ ] [ 7. ] ( 76 ) ut () = x+. x

21 Regulação Quadrática da Saída com horizonte infinito Há situações em que se pretende regular a saída do sistema. Modelo: com o funcional de custo: Repare-se que, como xt &( ) = Axt () + but () y() t = Cx() t [ () ρ ()] J = y t + u t dt y () t = x'() t C' Cx() t este problema reduz-se ao anterior fazendo a seguinte escolha da matriz Q: Q = C' C

22 A solução do problema de minimizar [ () ρ ()] J = y t + u t dt em que o sistema é modelado por é dada por xt &( ) = Axt () + but () y() t = Cx() t u() t = Kx() t K = R B' P em que P é a única solução definida positiva da seguinte equação algébrica de Riccati PA + A P Pbb P + C' C = ρ

23 3 Relativamente a esta lei de controlo tem-se o seguinte teorema: Se o par (A, B) fôr estabilizável (ver definição acima) e o par (A, C) fôr observável, a solução definida positiva da equação algébrica de Riccati existe e é única, e o sistema em cadeia fechada é assimptoticamente estável. O par (A,C) é observável se C CA car M n CA = n n = dim( x)

24 4 Uma matriz P diz-se definida positiva se Diz-se semidefinida positiva se xpx ' > x xpx ' x

25 5 Questão: Qual a colocação dos pólos da cadeia fechada que corresponde a minimizar J (no caso em que o sistema é SISO)? Resposta [Chang/Letov]: Os pólos do sistema realimentado óptimo (com T = ) são as n raízes estáveis do polinómio (s) em que ( s) = a( s) a( s) + b( s) b( s) ρ b ( s) = C adj( si A) B de grau n dado por Zeros do sistema a( s) = det( si A) Pólos do sistema

26 6 Se s s = é uma raiz de (s) ( s) = a( s) a( s) + b( s) b( s) ρ, então: s ) = a( s) a( s) + b( s) b( s ) = ρ ( Neste caso, também se tem para s = s : ou seja, se s s ) = a( s) a( s) + b( s) b( s ) = ρ ( s = é uma raiz de (s), então s = s também o é.

27 7 As raízes de (s) são simétricas relativamente ao eixo imaginário. Podemos sempre escolher n pólos estáveis Como os pólos do sistema controlado (s) são dados pelas raízes estáveis de, o sistema em cadeia fechada com controlo óptimo LQ de horizonte infinito é estável.

28 8 Solução do Problema LQ ( T = ) por colocação de pólos A solução do problema LQ de horizonte infinito pode ser feita do seguinte modo:. Determinar ( s) = a( s) a( s) + b( s) b( s) ρ. Determinar n = a(s) raízes estáveis de (s). 3. Calcular o vector de ganhos de retroacção do estado tal que o sistema em cadeia fechada tem os pólos na posição dessas raízes.

29 9 Exemplo Dado o sistema x & = x + u 4 y = [ ]x Qual a lei de controlo por retroacção do estado que minimiza J = [ ] y ( t) + ρu ( t) dt ρ =

30 3 Em primeiro lugar é necessário obter a função de transferência em cadeia aberta. Em geral, isso pode ser feito com as expressões b ( s) = C adj( si A) B a( s) = det( si A) Neste caso, é fácil obter a função de transferência recorrendo à manipulação de diagramas de blocos. As equaç ões de estado são representadas graficamente através de um diagrama de blocos, que é simplificado até se obter a função de transferência. Os alunos são convidados a resolver o mesmo problema recorrendo às expressões acima.

31 3 Equações de estado: Diagrama de blocos equivalente: x& x & = x = x 4 u u - x x y + s s + + 4

32 3 u - x x y + s s + + u - + s s +s y 4 4 Y = s ( + s) U 4 s Y = + s s U 4 b ( s) = ( + s) a ( s) = s 4

33 33 Os pólos óptimos são as duas raízes estáveis de ( s) = a( s) a( s) + b( s) b( s) ρ a ( s) = s 4 b ( s) = ( + s) ( s) = ( s 4) + ( + ρ s)( s) = s Mudança de variável z = s ( z 4) + ( z) = z 8.z + 6. = 4. 6 = ρ z z = 3. 5 s =.4 s =. 4 s = s 4 =. 87

34 34 Im(s) Re(s) Estes são os pólos do sistema em cadeia fechada com o controlador óptimo O vector de ganhos óptimos é deter cadeia fechada sejam.4 e.87 minado por forma a que os pólos da O polinómio característico desejado para a cadeia fechada é pois α ( s) = ( s +.4)( s +.87) = s + 4.s + 4

35 35 Diagrama de blocos do sistema em cadeia fechada com retroacção (genérica) do estado: 4 - u - + x s s x +s y k k - s +s k -k s

36 36 Equação característica da cadeia fechada ( 4 k ks ) = s Polinómio característico da cadeia fechada α K ()= s s + k s+ k 4 Comparando com o polinómio característico desejado Obtêm-se os ganhos óptimos α () s = s + 4. s+ 4 k opt = 8 k = 4. opt

37 35 Diagrama de blocos do sistema em cadeia fechada com retroacção (genérica) do estado: 4 - u - + x s s x +s y k k - s +s k -k s

38 36 Equação característica da cadeia fechada ( 4 k ks ) = s Polinómio característico da cadeia fechada α K ()= s s + k s+ k 4 Comparando com o polinómio característico desejado Obtêm-se os ganhos óptimos α () s = s + 4. s+ 4 k opt = 8 k = 4. opt

39 37 O "root square locus" As frequências naturais ("pólos") do sist ema em cadeia fechada com controlo LQ de horizonte infinito são dadas pelas raízes estáveis da equação asa () ( s) + bsb ()( s) = ρ A esta equação pode dar-se a forma ρ bsb ()( s) asa () ( s) = O que acontece a estas raízes quando o peso ρ no controlo varia?

40 38 asa () ( s) + bsb ()( s) = ρ Quando o peso no controlo é muito grande ( aproximadamente: a() s a( s) = ρ grande) a equação fica Assim, neste caso, os pólos da cadei aberta se estes forem estáveis ou os s semiplano complexo direito. a fechada, ou são os pólos da cadeia eus simétricos se estes estiverem no

41 39 asa () ( s) + bsb ()( s) = ρ Analogamente, se ρ fôr muito pequeno, os pólos da cadeia fechada aproximam-se dos zeros da cadeia aberta se estes forem de fase mínima (ou seja, se estiverem à esquerda do eixo im aginário) ou dos seus simétricos se os zeros estiverem à direita. Se houver mais pólos do que zeros, os pólos restantes tendem para. Repare-se que não se pode ter ρ = para o problema LQ em tempo contínuo pois os ganhos do controlador seriam infinitos. Esta situação é diferente em tempo discreto, onde é possível ter ρ =.

42 4 Para valores intermédios de ρ os pólos do sistema com controlo óptimo podem obter-se traçando o root-locus de ρ bsb ()( s) = asa () ( s) e tomando a sua parte estável. É a isto que se chama o root-square-locus.

43 4 Root square locus - exemplo Considere-se o modelo do sistema instável em cadeia aberta correspondente à linearização do pêndulo invertido: x& = x u. + 5 y = [ ] A função de transferência em cadeia fechada é bs () s + = as () s 5.

44 4 O root square locus correspondente é Imag Axis Real Axis

45 43 Estabilidade relativa do Controlador LQ Considere-se o sistema descrito pelo modelo de estado linear: Têm-se as seguintes definições: x&( t) = Ax() t + bu() t y ( t) = Cx( t) Transformada de Laplace da Matriz de Transição de estado do sistema em cadeia aberta: Φ( s ) = ( si A) J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

46 44 Ganho de malha: Obtido interrompendo a cadeia de controlo à entrada e multiplicando todos os ganhos. - u (si-a) - b x k L ( s) = kφ( s) b Desigualdade de Kalman: + L ( jω ) J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

47 45 Consequência da Desigualdade de Kalman: + L ( jω ) L( jω ) ( ) Im Conclusão: O diagrama de - L(j ω)-(-) Re Nyquist de L( jω) nunca entra dentro da cirdunferência de raio, centrada em. L(j ω) J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

48 46 Im No caso mais desfavorável, o controlador LQ tolera uma redução do - - Re ganho de ½ até que o ganho de malha atinja o ponto. A margem de ganho é pois de pelo menos.5. J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

49 47 Im No caso mais desfavorável o controlador LQ tolera uma redução - 6 o Re da fase de pelo menos 6 o até que o ganho de malha atinja o ponto. A margem de fase do controlador LQ é de pelo menos 6 o. J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

50 48 O Filtro de Kalman-Bucy Objectivo: Dimensionar os ganhos do observador usando um critério de optimização. Modelo do processo: x &( t) = Ax( t) + bu( t) + w( t) y ( t) = Cx( t) + v( t) Sinais de ruído branco gaussiano Os sinais v e w são sinais grancos e Gaussianos tal que [ ] T w( t) w ( t + τ ) Qoδ ( τ ) [ ] T E v( t) v ( t + τ ) = Roδ ( τ ) E = J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

51 49 O filtro de Kalman-Bucy dá recursivamente a estimativa xˆ do estado que é: Centrada: Minimiza: E [ x( t) xˆ( t) ] = x ( t) xˆ( t) dt ou seja o erro tem energia mínima. J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

52 5 Equações do filtro de Kalman-Bucy A estimativa xˆ é propagada no tempo resolvendo a equação diferencial: x& ˆ( t) = Axˆ( t) + bu( t) + Lo ( y( t) O vector de ganhos óptimo é dado por Cxˆ( t)) L o T = ΣC Ro A matriz Σ é a solução simétrica e semidefinida positiva da equação de Riccati algébrica do filtro, dada por: AΣ + ΣA T + Q o ΣC T R o C Σ = J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

53 5 O filtro de Kalman-Bucy é um observ ador óptimo em que a larguira de banda é ajustada por forma a optimizar a relação sinal/ruído, escolhendo um ganho adequado. Repare-se que se não houver ruído de observação ( R = singular, sendo o vector de ganhos infinito. ), o problema fica J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

54 5 Regulador Linear Quadrático Gaussiano (LQG) Combina: A estimação do estado com um filtro de Kalman com A realimentação da estimativa xˆ com um controlador óptimo LQ, projectado supondo que se tem acesso ao estado. u y Processo - Filtro K-B k O Teorerma de Separação é válido para o controlador LQG. J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

55 Rudolph Kalman nasceu em 93, em Budapest na Hungria. Emigrou para os U.S.A., onde estudou no MIT e, posteriormente, na Universidade de Colúmbia, onde fez o seu doutoramento. No início dos anos 6, o seu nome ficou ligado aos artigos que estabeleceram os fundamentos do Controlo LQ e LQG e à filtragem óptima linear com base no modelo de estado, que desenvolveu em conjunto com Richard Bucy. Foi Kalman que trouxe para a comunidade do Controlo os métodos desenvolvidos por Lyapunov 7 anos ant es e que os aplicou ao estudo da estabilidade de sistemas descritos por modelos de estado lineares. 53 J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

56 54 Equações do Regulador LQG Equações do estimador: x& ˆ( t) = Axˆ( t) + bu( t) + Lo ( y( t) Cxˆ( t)) L o T = ΣC Ro AΣ + ΣA T + Q o ΣC T R o C Σ = T Σ = Σ Equações do regulador u( t) = Kxˆ( t) K T T T = B P A P + PA PBB P + Q = ρ ρ J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

57 55 Função de transferência do regulador LQG G CLQG ( s) = K ( si A + BK + LoC ) Lo É semelhante à do compensador baseado em observador que se estudou no capítulo sobre RLVE. A diferença reside no modo como são calculados os ganhos K e L o, que aqui são calculados por forma a optimizar um funcional (cada um deles). J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

58 56 Recuperação do Ganho de Malha Loop Transfer Recovery (LTR) Não há qualquer garantia sobre as margens de estabilidade (margem de ganho e margem de fase) do regulador LQG. Estas margens podem ser perigosamente baixas, dependendo das características estatísticas do ruído. Idéia: Usar os parâmetros que definem a estatística do ruído, Ro e Q o como parâmetros de ajuste para recuperar o ganho de malha que se obteria com um regulador LQ (e que tem boas características de estabilidade relativa). É nisto que consiste o controlo LQG-LTR (LQG com recuperação do ganho der malha). J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

59 57 Pode demonstrar-se que se: ) G (s) é de fase mínima; ) R = e Então Q = q BB lim q T L LQG ( s) = Isto sugere que se projecte um filt ro de Kalman-Bucy em que o parâmetro q é muito elevado. L LQ ( s) J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

60 58 Exemplo: Controlo de um integrador duplo Rail Ball u Motor z Este e outros sistemas podem ser modelados como um integrador duplo, tomando como variáveis de estado x = z x = z& J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

61 J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo 59 Modelo do integrador duplo Modelo de estado do integrador duplo: [ ]x y u x x x x = + = & & Função de transferência do integrador duplo: ) ( s s G =

62 6 Integrador duplo com regulador LQ - x x /s /s k k Pretende-se esciolher os ganhos k e k por forma a minimizar o custo quadrático de horizonte inifinito: J LQ = [ ] y ( t) ρu ( t) + Assume-se que se tem acesso directo à medida de x e x. dt J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

63 J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo 6 Equação Algébrica de Riccati (ARE): ' ' = + + P PBB Q PA A P ρ = A = B [ ] = C [ ] = = = C'C Q A ARE fica: = p p p p p p p p p p p p p p p p = = = 3 3 p p p p p p = P

64 6 Ganho óptimo: K LQ = B' P ρ Como B '= [ ] P = Vem K LQ = [ ] J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

65 63 Com os ganhos óptimos, a dinâmica do sistema em cadeia fechada fica: A BK LQ Equação característica da cadeia fechada: det Pólos da cadeia fechada = ( ) A + BK = s + s + = si LQ s, = ( ± j) O sistema em cadeia fechada fica estável e com um coeficiente de amortecimento ς =. 77. J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

66 64 Resposta ao escalão do sistema com controlo LQ.4..8 x Time J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

67 65 Ganho de malha com controlo LQ: s + = ( si A) B L( s) = s L LQ ( s) KΦ( s) B = K.5 /s /s L (s) LQ k +sk Como esperado, o ganho de malha não entra no círculo de raio. J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

68 J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo 66 Modelo do integrador duplo com ruído: + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t w t w t u t x t x t x t x & & [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( t v t x t x t y + = Os sinais v, w e w são sinais estocásticos mutuamente independentes, cujas características estatísticas são usadas para ajustar o ganho de malha: [ ] o Q t w t w t w t w E = ) ( ) ( ) ( ) ( [ ] o R t v E = ) (

69 67 Diagrama de blocos do integrador duplo com ruído: u w w v x x s s y Vamos assumir Q = R o = J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

70 Integrador duplo com controlador LQG 68 - u w w v x x s s y + k, k projectados tal como no regulador LQ. L L x + + s k s x k - L, L projectados de acordo com o dimensionamento do filtro de Kalman-Bucy + J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

71 69 Equação de Riccati para o filtro: Assumindo Σ = Cálculo dos ganhos do filtro de Kalman-Bucy AΣ + ΣA σ σ σ σ 3 T + Q o ΣC T R o C Σ = e usando o método dos coeficientes indeterminados obtém-se a solução definida positiva: Σ = 3 3 J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

72 7 Ganhos óptimos do filtro: L = ΣC T R o Função de transferência do compensador LQG: G CLQG = K LQ ( si A + = BK 3 LQ + G 3.4( s +.3) = CLQG s +.57 ± j.4 LC ) L J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

73 7 Pólos da cadeia fechada do integrador duplo com LQG: ( ± j) 3 ± j Pólos do sistema Pólos do filtro controlado com LQ, supondo acesso ao estado J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

74 7 Intencionalmente deixada branca J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

75 73 Intencionalmente deixada branca J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

76 74 Comparação dos reguladores LQ e LQG. O LQ tem maiores margens de estabilidade.. Nas baixa frequência o ganho de malha do LQ é maior do que o do LQG. Isto implica que o LQ tem melhor es propriedades de seguimento do que o LQG. 3. A frequência de corte é maior no LQ do que no LQG a. O LQ é mais susceptível ao ruído b. O LQ é mais rápido a responder 4. Na alta frequência, a inclinaç ão da curva de ganho é db/déc. no LQ e 6db/déc. no LQG. O LQ é mais susceptível ao ruído do que o LQG, mas tem melhor estabilidade relativa. J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

77 75 Recuperação do ganho de malha no integrador duplo com controlo LQG 5 Gain [db] Phase [º] freq. [rad/s] q =,, J. Miranda Lemos IST- Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo