Pesquisa Operacional Nota Explicativa sobre o Algoritmo Simplex. Professor Alejandro Martins

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1 Pesquisa Operacional Nota Explicativa sobre o Algoritmo Simplex

2 Método Simplex 1. Introdução (I)Max Z= 5x1 6x2 Sujeito às seguintes restrições 3x 18 1x 12 3x 3 x 24 x j 0, j 1,2 Forma de Dantzig: Sistema de equações lineares, com seis incógnitas, x1, x2, x3, u1, u2 e Z, e quatro equações, sendo portanto, indeterminado. As variáveis ui são chamadas de folga. ui>=0 para todo i. (II) ( a)5x 6x Z 0 ( b) 3x u1 18 ( c) 1x u2 12 ( d)3x 3 x u3 24 Tableau de Dantzig #1 base x1 x2 u1 u2 u3 Rhs* u u u Z *: do inglês, right hand side. Antes de resolver o problema através do algoritmo/tableau de Dantzig, vejamos o que o tableau significa na prática matemática de sistemas lineares. O tableau representa o sistema (II) na forma tabular. As variáveis que estão na base têm o significado de serem aquelas diferentes de zero; cada solução possível do tableau representa um vértice do conjunto de soluções. Porque vértice? Porque simplesmente transformamos as desigualdades e igualdades (figura 1). 1

3 O tableau de Dantzig nos facilita a navegação entre os diferentes vértices aos efeitos de encontrar aquele para o qual a função objetivo é ótima (máxima, neste caso). Em efeito, para o tableau #1, observamos facilmente que: (x1, x2, u1, u2, u3, Z) = (0, 0, 18, 12, 24, 0) é solução do sistema. ou Obtemos então: 3*x 2 = 18, ou seja, x 2 =6. 1*x 2 = 12, ou seja, x 2 =12. 3*x 2 = 24, ou seja, x 2 =8. (x1, x2, u1, u2, u3, Z) Soluções do sistema linear. Igualdades, = s Figura 1: vértices do conjunto convexo. A solução básica representa um valor de Z=0, portanto temos que sair desse vértice; queremos produzir! Para isto, vamos nos movimentar através do sistema de equações lineares (I), ingressando uma nova variável na base (não nula) a cada movimento. Neste caso vamos iniciar por ingressar x2, dado que seu coeficiente na função objetivo (a maximizar) é maior do que o coeficiente de x1, 6>5. Para ingressar x1 vamos a retirar uma variável entre u1, u2, e u3 que estão na base. Qual delas? Para isto analisamos o número máximo de unidades de x1 que podemos ingressar, sem deixar de satisfazer o sistema de equações, lembrando que as variáveis são positivas ou zero. Esse número máximo o podemos obter levando os valores das restantes variáveis a 0. O menor valor, para satisfazer as três equações sem introduzir variáveis negativas, é x 2 igual a 6, que será a quantidade de x 2 a ser introduzida. Isto nos indica que iremos retirar da base a variável u1, na base, com coeficiente não nulo na linha correspondente. Já podemos antecipar, a partir do sistema de equações, que o Z passará para 36, dado que, em efeito, na equação correspondente a Z temos que: 5* * 6 Z=0, ou seja, Z=36. Para deixar na base a x 2 e u 2, u 3, devemos transformar o sistema linear (II) em um sistema equivalente do tipo: 2

4 (III) ( a) x 0x u1 Z ( b) x 1x 2 1 ( c) x 0 x u2 3 2 ( d) x 0 x u3 4 3 Aonde todos os novos valores dos α s, δ s, η s e Z 1 serão calculados através de combinações lineares das equações em (II). George Bernard Dantzig (Portland, 8 de Novembro de 1914 Califórnia, 13 de maio de 2005, de complicação da diabetes e de problemas cardiácos. Também, vale a pena observar que se comparamos as equações da linha (a), em II e III, haverá uma interpretação clara para o valor de Z 1. Em efeito, para levar a 0 o coeficiente de x 2 em (III - a), mantendo os coeficientes 0 das outras duas variáveis na base u 2 e u 3, precisamos combinar linearmente em (II) as equações (a), e (b), fazendo em II, -3 * (b) + (a). Dessa forma obtemos: ( a) : 5x 6x Z 0 1 3*( b): 6x 6x 3u1 36 somando, x 3u1 Z 36 De onde observamos que o valor de -36 corresponde ao valor da função objetivo com sinal contrário, o que corresponde a Z 1 = -36+Z. Na prática, como este sistema tem dois graus de liberdade (6 incógnitas e 4 equações) escolhemos o valor da nova variável na base, e o Z 1 como sendo 0. Esta última escolha simplifica a apresentação do Tableau, dado que não precisaremos adicionar uma coluna para Z. Essa foi uma das tantas escolhas talentosas de Dantzig ao definir o Tabelau. 2. Cálculo com o tableau Dessa forma, utilizemos o tableau para navegar de vértice em vértice no conjunto, ou seja, para calcular soluções do sistema indeterminado. Tableau de Dantzig #2 base x1 x2 u1 u2 u3 Rhs* Passo 2: máximo x 2 Passo sai (a) u /3= min(18/3, 12/1, 24/3) (b) u /1 (c) u /3 3

5 (d) Z Passo 1: entra x2, 6>5 Como o sistema é indeterminado podemos visualizar o novo tableau basicamente a seguinte forma: base x1 x2 u1 u2 u3 Rhs* u1 a1 1 b1 0 0 c1 u2 a2 0 b2 1 0 c2 u3 a3 0 b3 0 1 c3 Z a4 0 b4 0 0 c4 Aonde os a s, b s e c s são calculados através das combinações lineares correspondentes. Observamos também, da mesma forma que já mostramos, que o c4 indicará o novo valor de Z, e os coeficientes a4 e b4 indicarão se é interessante, ou não, introduzir uma nova variável na base. Dessa forma então passamos a realizar os cálculos a partir do Tableau de Dantzig #2. Tableau de Dantzig #3 base x1 x2 u1 u2 u3 Rhs* Passo 2: (a ) x2 2/3 1 1/ (a)/3 6/(2/3)=9 Sai u2 <(b ) u2 4/3 0-1/ (a)/(-3) + (b) 6/(4/3)=18/4=4,5 (c ) u (a) + (c) 6/1=6 (d ) Z *(a) + (d) Passo 1: Entra x1 No momento vemos que o Z é igual a 36, e ainda podemos aumentar Z ingressando x1 na base, dado que o coeficiente na linha (d ) igual a 1>0. Observamos que o vértice correspondente ao Tableau de Dantzig #3 é: (x1, x2, u1, u2, u3, Z) = (0, 6, 0, 6, 6, 36) Assim procedemos a modificar o Tableau a partir do Tableau de Dantzig #3. Tableau de Dantzig #4 base x1 x2 u1 u2 u3 Rhs* (a ) x2 0 /3-1/2 0 3 (b )/(-2) + (a ) (b ) x /4 3/4 0 4,5 (b ) /(4/3) (c ) u /4-3/4 1 3/2-3/4*(b ) + (c ) (d ) Z 0 0-7/4-3/4 0 =162/4= -40,5-3/4*(b ) + (d ) Neste momento, observamos que todos os coeficientes das variáveis de decisão xi s e uj s são zero ou negativos, indicando por tanto que não é interessante entrar alguma outra variável na base aos efeitos de aumentar o valor de Z. Portanto, temos chegado ao final do algoritmo, aonde a solução encontrada é: (x1, x2, u1, u2, u3, Z) =(4.5, 3, 0, 0, 3/2, 40.5). Podemos verificar que efetivamente esta solução satisfaz o sistema (II). 4

6 ( a)5*4.5 6* ok ( b) 2*4.5 3* ok ( c) 2*4.5 1* ok ( d)3*4.5 3* ok 3. Resumo das sequencias do Tableau Colocando todos os Tableau s juntos, vemos então que a sequencia de passos seria: base x1 x2 u1 u2 u3 Rhs* Passo 2: máximo x 2 Passo sai (a) u /3= min(18/3, 12/1, 24/3) (b) u /1 (c) u /3 (d) Z Passo 1: entra x2, 6>5 base x1 x2 u1 u2 u3 Rhs* Passo 2: (a ) x2 2/3 1 1/ (a)/3 6/(2/3)=9 Sai u2 <(b ) u2 4/3 0-1/ (a)/(-3) + (b) 6/(4/3)=18/4=4,5 (c ) u (a) + (c) 6/1=6 (d ) Z *(a) + (d) Passo 1: Entra x1 base x1 x2 u1 u2 u3 Rhs* (a ) x2 0 /3-1/2 0 3 (b )/(-2) + (a ) (b ) x /4 3/4 0 4,5 (b ) /(4/3) (c ) u /4-3/4 1 3/2-3/4*(b ) + (c ) (d ) Z 0 0-7/4-3/4 0 =162/4= -40,5-3/4*(b ) + (d ) Solução: (x1, x2, u1, u2, u3, Z) =(4.5, 3, 0, 0, 3/2, 40.5) Ou seja, neste exercício precisaríamos três Tableau s para chegar à solução. 4. Significado da solução 5

7 Observamos que as variáveis de folga na solução apresentam o valor (u1, u2, u3) = (0, 0, 3/2). ( a)5x 6x Z 0 Logo, observamos que as restrições (b) e (c) em (II) ( b) 1 3x2 u1 18 (II) representam os gargalhos do sistema, sem folga. Isto ( c) nos remete ao livro A Meta 1 1 1x2 u2 12, aonde a ideia essencial ( d)3x1 3 x2 u3 24 de Goldratt é que o nanico, a restrição, sempre deve ir na frente do conjunto, para dessa forma manter a restrição sem folga. Se trabalhássemos com folga nas restrições nos atrasaríamos no output geral (Figura 2). Leia também o Quadro 1 se ainda não conhece a TOC. Gargalhos do sistema ( a)5x 6x Z 0 ( b) 3x u1 18 ( c) 1x u2 12 ( d)3x 3 x u3 24 Input (d) u3=1.5 (b) u1=0 Figura 2: A interpretação da solução do problema em termos das folgas achadas. (c) u2=0 Output Quadro 1. A Teoria das Restrições, TOC Theory of Constraints A TOC teve início na década de 70, quando o físico Israelense, Eliyahu Goldratt, se envolveu com os problemas da logística de produção. Goldratt elaborou um método de administração da produção totalmente novo, e ficou intrigado com o fato de os métodos da administração da produção tradicionais não fazerem muito sentido lógico. O método elaborado foi muito bem sucedido, e outras empresas se interessaram em aprender a técnica. Goldratt então se dedicou a elaborar mais o seu método e a disseminá-lo. No começo da década de 80 escreveu um livro sobre sua teoria. O livro, "A Meta", foi escrito na forma de um romance e mostra a dificuldade de um gerente de fábrica em administrar sua empresa. No desenrolar da história o gerente vai descobrindo os princípios da teoria de Goldratt e a empresa recupera sua competitividade. 1 GOLDRATT, Eliyahu M. A Meta. São Paulo: Educator,

8 Gargalho do sistema O sucesso do livro foi, e ainda é, enorme. Muitas empresas leram o livro e começaram a aplicar os princípios da TOC o mais rápido possível. No livro, Goldratt critica os métodos de administração tradicionais. Muitas empresas que implementavam a logística de produção de Goldratt melhoravam tão significativamente a produção que problemas começavam a aparecer em outras áreas da empresa. Goldratt elaborou soluções para outras áreas das empresas, como logística de distribuição e gerenciamento de projetos. Porém ele sabia que as empresas precisavam de algo mais fundamental que atraso apenas soluções prontas: toda vez que uma empresa Figura 3: O principio TOC. aplicava as soluções que ele tinha criado ela dava um salto em competitividade, mas depois estagnava. Ele então decidiu ensinar às pessoas o raciocínio lógico que usava para resolver problemas. Para ele, as empresas precisavam aprender a resolver seus próprios problemas para que pudessem garantir o seu futuro, para que pudessem melhorar continuamente. Goldratt explicitou as ferramentas de raciocínio lógico que usava intuitivamente e passou a ensiná-las a partir de Hoje em dia a TOC é composta de dois campos, os Processos de Raciocínio de um lado, e os aplicativos específicos (como logística de produção) do outro. Os processos de raciocínio da TOC ultrapassaram os limites da Administração e são usados em muitas outras áreas do conhecimento humano, eles formam a base de toda a TOC. Eliyahu Goldratt. 31 de março de de junho de 2011, câncer. Esse histórico da TOC explica por que muitos ainda a consideram como apenas aplicável à produção. O livro "A Meta", que até agora tem sido o maior divulgador da teoria, é baseado nos problemas de logística de produção, enquanto que os Processos de Raciocínio vieram muito tempo depois e ainda não foram tão divulgados e implementados. Para tentar superar esse obstáculo na disseminação da TOC como um todo, Goldratt escreveu, em 1994, um outro livro (no mesmo estilo de "A Meta") "Mais Que Sorte...um processo de raciocínio". Dessa vez elaborando a história em torno dos problemas mais estratégicos das empresas, usando os Processos de 7

9 Raciocínio. Uma das grandes contribuições da TOC é o seu processo de otimização contínua (que é a base de todos os aplicativos da TOC). Esse processo de otimização contínua contém 5 etapas 1. IDENTIFICAR a restrição do sistema. 2. EXPLORAR a restrição do sistema. 3. SUBORDINAR tudo o mais à decisão acima. 4. ELEVAR a restrição do sistema. 5. Se num passo anterior a restrição for quebrada, volte ao passo 1. MAS não deixe que a INÉRCIA se torne a restrição do sistema. Usando esse processo podemos enfocar nossos esforços nos poucos pontos de um sistema que determinam seu desempenho (nas suas restrições), e assim podemos melhorar significativamente seu desempenho no curto prazo. Restrição aqui quer dizer: "qualquer coisa que impeça um sistema de atingir um desempenho maior em relação à sua meta." Com essa definição podemos dizer que todo sistema tem uma restrição, caso contrário seu desempenho seria infinito (a lucratividade da empresa seria infinita.) Um ponto extremamente importante é o passo 5, onde Goldratt diz para tomar cuidado com a nossa inércia. O que ele sempre diz é que a grande maioria das empresas não têm restrições físicas (como um gargalo na fábrica) mas sim têm restrições políticas. O que ele quer dizer com isso é que a maior parte das vezes o que limita o desempenho de um sistema é a nossa inércia. Nossa inércia é a restrição do sistema (para uma discussão sobre esse ponto leia meu artigo: "Mudanças de Paradigma."). Foi para lidar com essa inércia que ele criou os Processos de Raciocínio da TOC. Outras informações sobre TOC: Texto da web, não referenciado pelo autor. Teoria das Restrições - Cinco Casos TOC - TOC DAY SP Gestão Eficaz - Homenagem a Eliyahu M. Goldratt - Autor da Meta e da TOC Menú Casos de sucesso Outros casos de sucesso 5. Diferentes casos de aplicação do método SIMPLEX A forma padrão do método SIMPLEX é aquela do tipo do Sistema (II), ou seja, Max Z, sujeito a restrições do tipo (com exceção daquela de não negatividade das variáveis. A questão básica é: o que realizar nos demais casos de forma tal a levar um problema à forma padrão? a. Restrições na forma de igualdade = 8

10 Neste caso se aplica a técnica conhecida como das variáveis artificiais (não confundir com variáveis de folga, as ui vistas até agora), e se adjudica um valor de custo extremamente alto na função objetivo. Exemplo: Max Z= 5x1 6x2 Sujeito às seguintes restrições 3x 18 x 12 x j 0, j 1,2 Neste caso passamos a: ( a)5x 6x v1 Z 0 ( b) 3x v1 18 ( c) 1x w1 12 xj, v1, w1 0. O custo extremamente alto de , escolhido arbitrariamente, assegura que v1 não entre na base na solução final. Observar que v1 é variável artificial, enquanto w1 é o tipo de variável que vimos anteriormente, de folga. b. Restrições na forma de desigualdade Neste caso introduzimos na restrição de uma variável de folga e uma variável artificial, de modo que ambas possam ser maiores ou igual a zero. Exemplo: Max Z= 5x1 6x2 Sujeito às seguintes restrições 3x 18 x 12 x j 0, j 1,2 Neste caso passamos a: ( a)5x 6x v1 Z 0 ( b) 3x w1 v1 18 ( c) 1x w2 12 xj, v1, wk 0. c. Restrições na forma de Minimização Neste caso basta observar que Min Z equivale a Max (-Z). Exemplo: 9

11 Min Z= 5x1 6x2 Sujeito às seguintes restrições 3x 18 x 12 x j 0, j 1,2 Neste caso passamos a: Max -Z= 5x1 6x2 Sujeito às seguintes restrições 3x 18 x 12 x j 0, j 1,2 Logo, teremos que: ( a) 5x 6x v1 Z 0 ( b) 3x w1 v1 18 ( c) 1x w2 12 xj, v1, wk Outros algoritmos de Programação Linear Há vários outros algoritmos para resolução de problemas de Programação Linear. A maioria corresponde a variações do método Simplex, que procuram geralmente incrementos na velocidade de resolução para problemas de muitas variáveis. A exceção a esses tipos de algoritmos é o chamado de Sistemática do Ponto Interno, descoberto em 1984 por um jovem matemático do Laboratório AT&T Bell, Narendra Karmarkar. Os pacotes de software adaptados à resolução de problemas de programação linear grandes como o CPLEX incorporaram o algoritmo da sistemática do ponto interno. O algoritmo da sistemática do ponto interno é interativo ao igual que o Simplex, mas avança desde dentro da região de soluções viáveis até os vértices - a diferença do Simplex que navega entre vértice e vértice (figura 4). Os interessados podem consultar este algoritmo em HILLIER (2006) (*). 10

12 SIMPLEX. Sistemática do Ponto Interno. Figura 4: Interatividade dos algoritmos SIMPLEX e da Sistemática do Ponto Interno. (*) HILLIER, F.S., LIEBERMAN, G.J. Introdução á pesquisa o 8/e, Mcgraw-Hill, =========== FIM =============== 11