MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA LINEAR E NÃO-LINEAR GEOMÉTRICA ATRAVÉS DE ELEMENTOS HEXAÉDRICOS DE OITO NÓS COM UM PONTO DE INTEGRAÇÃO Luz Albro Duar Flho Dssração aprsada ao Programa d Pós-Graduação m Eghara Cvl da Escola d Eghara da Uvrsdad Fdral do Ro Grad do Sul para obção do íulo d Msr m Eghara. Ára d cocração: Esruuras Poro Algr Julho

2 Esa dssração fo julgada adquada para obção do íulo d MESTRE EM ENGENHARIA aprovada m sua forma fal plo Orador plo Curso d Pós- Graduação. Prof. Armado M. Awruch Orador Prof. Fracsco d P. S. L. Gasal Coordador PPGEC/UFRGS BANCA EXAMINADORA: - Prof. Dr. Eduardo Bcour (PPGEC/UFRGS) - Prof. Dr. Iáco B. Morsch (PPGEC/UFRGS) - Prof. Dr. Rogéro Marczak (PROMEC/UFRGS) Poro Algr Julho

3 Ddco sa dssração aos mus rmãos Crs Las Flp aos mus qurdos pas Márca Luz a mha ova Mara.

4 AGRADECIMENTOS Agradço ao Prof. Armado M. Awruch pla oração ddcação pacêca dura o príodo d rabalho. Ao douorado Rody Mdoza plo prma rss auxílo prsado ao logo d odo sudo. Ao Prof. Iáco B. Morsch pla colaboração a par compuacoal. Aos colgas d Pós-Graduação pla agradávl covvêca proporcoada. A mha famíla por r m apoado m cvado dura oda mha vda. D forma muo spcal agradço a mha ova plo compahrsmo pacêca amor.

5 RESUMO ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA LINEAR E NÃO-LINEAR GEOMÉTRICA ATRAVÉS DE ELEMENTOS HEXAÉDRICOS DE OITO NÓS COM UM PONTO DE INTEGRAÇÃO Para a aáls sáca dâmca lar ão-lar d placas cascas vgas mplma-s s rabalho o lmo hxaédrco com gração rduzda lvr d ravamo volumérco ravamo d csalhamo qu ão aprsa modos spúros. Na formulação do lmo ulza-s apas um poo d gração. Dsa forma a marz d rgdz é dada d forma xplíca o mpo compuacoal é sgfcavam rduzdo spcalm m aáls ão-lar. Os modos spúros são suprmdos aravés d um procdmo d sablzação qu ão xg parâmros spcfcados plo usuáro. Para var o ravamo d csalhamo dsvolv-s o vor d dformaçõs um ssma co-roacoal rmov-s cros rmos ão cosas as compos d dformaçõs d csalhamo. O ravamo volumérco é rsolvdo fazdo-s com qu a par dlaacoal (sférca) da marz grad sja avalada apas o poo cral do lmo. Como a lmação do ravamo d csalhamo dpd d uma abordagm o ssma local mprga-s um procdmo co-roacoal para obr o crmo d dformação o ssma local aualzar os vors d sõs forças ras a aáls ão-lar. Para a solução das quaçõs d qulíbro a aáls sáca ulzam-s méodos dros basados a lmação d Gauss ou méodos ravos d Grads Cojugados Prcodcoado lmo-por-lmo (EBE). Para a aáls dâmca as quaçõs d qulíbro são gradas aravés do méodo xplíco d Taylor-Galrk ou do méodo mplíco d Nwmark. Aravés d xmplos umércos dmosra-s a fcêca o pocal do lmo rdmsoal a aáls d casca placas vgas submdas a grads dslocamos grad roaçõs. Os rsulados são comparados com rabalhos qu ulzam lmos clásscos d placa casca.

6 ABSTRACT LINEAR AND GEOMETRICALLY NONLINEAR STATIC AND DYNAMIC ANALYSIS USING THE EIGHT-NODE HEXAHEDRAL ELEMENT WITH ONE- POINT QUADRATURE A gh-od hxahdral lm wh rducd grao whch s fr of volumrc ad shar lockg ad has o spurous sgular mods s mplmd hr for lar ad gomrcally olar sac ad dyamc aalyss of plas shlls ad bams. I h lm formulao o-po quadraur s usd so ha h lm ag sffss marx s gv xplcly ad compuaoal m s subsaally rducd spcally h gomrcally olar aalyss. Hourglass corol s provdd o supprss spurous mods ad usr spcfd paramrs ar o dd. I ordr o avod shar lockg h sra vcor s wr a local coroaoal sysm ad cra o-cosa rms h shar sra compos ar omd. Th volumrc lockg s curd by valuag h dlacoal par of grad marcs oly a o quadraur po. As h lmao of h shar lockg dpds o h propr ram a local sysm a coroaoal procdur s mployd o oba h dformao par of h dsplacm crm h coroaoal sysm ad upda lm srsss ad ral forc vcors. For h soluo of qulbrum quaos sac aalyss drc mhods basd o Gauss lmao or h lm-by-lm (EBE) prcodod cojuga grad (PCG) mhods ar mployd. For h dyamc aalyss h quao of moo ar grad usg h Taylor-Galrk xplc schm or h Nwmark mplc schm. Numrcal xampls vrfy h compuaoal ffccy ad h poal of h hr-dmsoal lm h aalyss of shlls plas ad bams udrgog larg dsplacms ad roaos. Rsuls ar compard o hos mployg classc pla ad shll lms. v

7 ÍNDICE INTRODUÇÃO.... GENERALIDADES.... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.... MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS ORGANIZAÇÃO DO TEXTO...5 TECNOLOGIA DO ELEMENTO...6. INTRODUÇÃO...6. VISÃO GERAL DO DESEMPENHO DOS ELEMENTOS...6. O PATCH TEST MODOS ESPÚRIOS (HOURGLASS MODES) DEFICIÊNCIA DE POSTO (RANK DEFICIENCY)....6 SELEÇÃO DA ORDEM DE INTEGRAÇÃO....7 TRAVAMENTO VOLUMÉTRICO (VOLUMETRIC LOCKING)....8 TRAVAMENTO DE CISALHAMENTO (SHEAR LOCKING)... FORMULAÇÃO DO ELEMENTO EMPREGADO...5. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (ANÁLISE LINEAR)...5. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO HEXAÉDRICO DE 8 NÓS...6. CONTROLE DOS MODOS ESPÚRIOS MATRIZ DE RIGIDEZ DE ESTABILIZAÇÃO....5 A MATRIZ DE ESTABILIZAÇÃO E A MATRIZ DE ROTAÇÃO CÁLCULO DAS TENSÕES NODAIS ANÁLISE DINÂMICA LINEAR INTRODUÇÃO MÉTODO DE NEWMARK MÉTODO DE TAYLOR-GALERKIN... 5 ANÁLISE NÃO-LINEAR GEOMÉTRICA INTRODUÇÃO ABORDAGEM CO-ROTACIONAL NA ANÁLISE NÃO-LINEAR MEDIDAS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES INCREMENTO DE DEFORMAÇÕES E TENSÕES CO-ROTACIONAIS EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS MATRIZ DE RIGIDEZ TANGENTE E VETOR DE FORÇAS INTERNAS...44 v

8 5.7 PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES NÃO-LINEARES ANÁLISE DINÂMICA NÃO-LINEAR INTRODUÇÃO ESQUEMA IMPLÍCITO ESQUEMA EXPLÍCITO APLICAÇÕES NUMÉRICAS INTRODUÇÃO EXEMPLOS ESTÁTICOS LINEARES Placa quadrada suja a carga cocrada Vga prvam orcda (Twsd Bam) Placa crcular gasada suja à carga cocrada Cldro suporado por dafragmas rígdos (Pchd Cyldr) Casca clídrca suporada por dafragmas rígdos (Scordls Lo roof) EXEMPLOS DINÂMICOS LINEARES Vga prvam orcda (Twsd Bam) Placa crcular gasada Casca sférca gasada suja a carga pulso o ápc Casca clídrca suporada por dafragmas rígdos (Scordls-Lo roof) EXEMPLOS ESTÁTICOS NÃO-LINEARES Vga m balaço suja a grads roaçõs Vga m balaço suja a momo o xrmo Arco crcular gasado sujo a carga cocrada Casca clídrca roulada com carga cocrada o cro Placa quadrada gasada com carga dsrbuída uform Cldro com xrmos lvrs sujo a cargas cocradas Placa crcular gasada suja a carga dsrbuída uform Placa ragular m balaço com carga cocrada o cao Vga b-gasada sob carga cocrada Arco sujo à carga cocrada EXEMPLOS DINÂMICOS NÃO-LINEARES Vga b-gasada sob carga cocrada Arco sujo à carga cocrada Casca sférca gasada suja a carga pulso o ápc CONCLUSÕES E SUGESTÕES...95 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...97 APÊNDICE I... APÊNDICE II...8 v

9 LISTA DE SÍMBOLOS a sub-ídc varado d a 8 corrspod ao ó do lmo a cofcs auxlars para méodo d Nwmark ( a 6) B marz grad (marz dformação-dslocamo) B a () sub-marz grad avalada o poo cral do lmo ~ Ba ( ) sub-marz grad formada por vors grads uforms B ~ B ( ) Bˆ ( ξζ η) b ~ b b b b C D dˆ d J E E f c f hg f fˆ GSP hα j o J() marz grad marz grad corrspod à par dlaacoal (sférca) do vor d dformaçõs avalada o poo cral marz grad corrspod à par dsvadora do vor d dformaçõs vors grads uform () vors grads o poo cral vor d forças d corpo marz cosuva; Marz d amorcmo marz qu coém a vrsa d J(); marz com rmos da dagoal da marz d rgdz axa d dformação ou vlocdad d dformação drma da marz Jacobaa módulo d lascdad logudal do maral marz d sablzação vor d forças ras avalado apas o poo cral do lmo vor d forças d sablzação vor d forças ras vor d forças ras o ssma co-roacoal Parâmro d rgdz do MCDG (Gral Sffss Paramr) vors qu coém as coordadas dos modos spúros sub-ídc varado d a corrspod ao xo carsao global Drma da marz Jacobaa marz Jacobaa calculada o poo cral do lmo v

10 K K c K sab corrção K xaa K IR K Kˆ L M M D N N a P Pˆ p R r r r r c R R R S s ŝ u a u U Ü U & u& ü v v V marz d rgdz marz d rgdz avalada apas o poo cral do lmo marz d rgdz d sablzação dos modos spúros marz d sablzação dos modos spúros marz d rgdz com poso (rak) sufc marz d rgdz obda pla gração rduzda sm corol dos modos spúros marz d rgdz o ssma co-roacoal grad spacal d vlocdad marz d massa do lmo marz d massa dagoalzada do lmo fuçõs d rpolação a-ésma fução d forma do lmo vor d forças xras vor d cargas xras o ssma co-roacoal vor d cargas aplcadas sobr suprfíc marz d roação para o ssma co-roacoal vors auxlars para moagm da marz d roação R rmos da marz d roação R cooro do domío V vor d forças dsqulbradas vor d forças dsqulbradas o ssma co-roacoal supr-ídc qu dca rasposção; varávl mporal dslocamo do ó a do lmo compo d u a drção x vor d dslocamos odas vor d aclraçõs odas vor d vlocdads odas campo d vlocdads o lmo campo d aclraçõs o lmo compo do vor d vlocdads a drção x vor d vlocdads vor d vlocdads odas v

11 V volum do lmo x x a xˆ xo a drção do ssma d rfrêca global; coordada a drção coordada a drção do ó a do lmo coordadas dos ós do lmo o ssma co-roacoal x y z vor qu coém as coordadas globas do lmo x y z xos coordados globas xˆ yˆ zˆ xos coordados co-roacoas W α δ δ j δε δu x cr εˆ u û df û ro û df u ro u ˆ λ ε ε ε& εˆ rabalho vrual ro do lmo sub-ídc varado d a 4 corspod a um padrão d modos spúros; parâmro d Nwmark rprsa varação m ; parâmro d Nwmark dla d Krockr vor com as compos do sor d dformaçõs vruas dvdo a δu vor qu coém as compos d dslocamo vrual m um poo qualqur do lmo rvalo d mpo dmsão caracrísca do lmo rvalo d mpo lm para o squma xplíco crmo d dformação o ssma co-roacoal crmo d dslocamo o ssma global Icrmo d dslocamo o ssma co-roacoal parcla d dformação do crmo d dslocamo o ssma coroacoal parcla d roação do crmo d dslocamo o ssma co-roacoal parcla d dformação do crmo d dslocamo o ssma global parcla d roação do crmo d dslocamo o ssma global crmo d são o ssma co-roacoal crmo o faor d carga o MCDG dformação rpolada o lmo vor com as compos do sor d dformaçõs axa d dformação ou vlocdad d dformação dformação o ssma co-roacoal x

12 ξ η ζ xos coordados rfrcas ξ η ζ vor qu coém as coordadas auras do lmo ξ a η a ζ a χ γ λ coordadas rfrcas do ó a cofc d amorcmo vor d sablzação faor d carga o MCDG µ cofc d Lamè ν π Ω ω& ρ TR cofc d Posso fucoal a sr mmzado domío m sudo sor vlocdad d roação ou sp massa spcífca sor axa d sõs d Trusdll L ˆ sor axa d sõs d L vor com as compos do sor d sõs do lmo vor com valors d sõs odas são avalada o poo cral do lmo vor d sõs o ssma co-roacoal x

13 ÍNDICE DE FIGURAS pág. FIGURA. Modos d rga ula m lmos plaos... 9 FIGURA. Quadrauras míma xaa para gração d hxadros d 8 ós... FIGURA. Travamo volumérco m sado plao d dformaçõs... FIGURA. Elmo hxaédrco d 8 ós... 6 FIGURA. Modos spúros m D. (a) ss modos d flxão; (b) rês modos d orção; (c) rês modos ão-físco... 8 FIGURA 5. Cofguraçõs o mpo +/ FIGURA 5. Dcomposção do crmo d dslocamo... 4 FIGURA 5. - Caracríscas d um ssma ão-lar FIGURA Sal do coso r vors ags d crmos coscuvos. 47 FIGURA 7. Gomra da placa aalsada FIGURA 7. Malha rgular rrgular adoada para ¼ da placa FIGURA 7. Comporamo do lmo para dfrs spssuras da placa FIGURA 7.4 Tmpo d solução com dfrs forma d solução do ssma FIGURA 7.5 Comparação do úmro d raçõs o méodo dos grads FIGURA 7.6 Idcação dos dados para a vga orcda... 6 FIGURA 7.7 Cofguração dformada da vga orcda (magfcada m vzs)... 6 FIGURA 7.8 Caracríscas da placa crcular... 6 FIGURA 7.9 Caracríscas do cldro aalsado... 6 FIGURA 7. Cofguração dformada do cldro ro da par modlada magfcadas 6 vzs... 6 FIGURA 7. Caracríscas da casca clídrca FIGURA 7. Dformada da casca clídrca (magfcada m vzs) FIGURA 7. Gráfco dslocamo a xrmdad lvr mpo FIGURA 7.4 Dformada da vga majorada vzs: sa 5 7s FIGURA 7.5 Caracríscas da placa crcular gasada x

14 FIGURA 7.6 Gráfco dslocamo mpo da placa crcular FIGURA 7.7 Gráfco xx mpo para a placa crcular FIGURA 7.8 Tsõs ormas o poo cral sm com suavzação FIGURA 7.9 Rsposa amorcda da placa crcular FIGURA 7. Dscrzação proprdads da casca sférca FIGURA 7. Gráfco dslocamo mpo da casca sférca... 7 FIGURA 7. Comparação r os rsulados do méodo mplíco xplíco... 7 FIGURA 7. Gráfco dslocamo mpo para a casca clídrca... 7 FIGURA 7.4 Vga m balaço aalsada... 7 FIGURA 7.5 Comparação com os rsulados obdos por Lu al.(998)... 7 FIGURA 7.6 Dformaçõs ras para os ívs d carga: P68; P84; P6 P FIGURA 7.7 Gráfco força dslocamo FIGURA 7.8 Númro d raçõs o méodo dos GC m cada crmo FIGURA 7.9 Vga m balaço suja a cargas cosrvavas FIGURA 7. Dformada ral da vga para M/M o 5; M/M o 5; M/M o 75; M/M o FIGURA 7. Gráfco momo dslocamo vrcal/horzoal FIGURA 7. Par smérca do arco crcular modlado. E 4 ; ν FIGURA 7. Curva carga dslocamo para o arco crcular FIGURA 7.4 Cofguraçõs dformadas ras do arco crcular m sas com dslocamo vrcal gual a ; 8; 78; 4 o poo cral FIGURA 7.5 Caracríscas da casca clídrca aalsada FIGURA 7.6 Curva carga dslocamo vrcal o cro da casca clídrca FIGURA 7.7 Caracríscas da placa quadrada aalsada... 8 FIGURA 7.8 Curva carga dslocamo vrcal da placa quadrada... 8 FIGURA 7.9 Caracríscas do cldro aalsado... 8 FIGURA 7.4 Gráfco força dslocamo vrcal m A... 8 FIGURA 7.4 Cofguraçõs dformadas ras do cldro para P45 P FIGURA 7.4 Cofguração dformada d odo o cldro para P FIGURA 7.4 Gomra da placa crcular malha ulzada... 8 FIGURA 7.44 Dflxão o cro da placa crcular FIGURA 7.45 Caracríscas da placa ragular x

15 FIGURA 7.46 Curvas força dslocamo o poo a da placa ragular FIGURA 7.47 Caracríscas da vga b-gasada aalsada FIGURA 7.48 Gráfco força dslocamo vrcal da vga b-gasada FIGURA 7.49 Caracríscas do arco sudado FIGURA 7.5 Curva força dslocamo/r m aáls sáca ão-lar FIGURA 7.5 Cofguraçõs dformadas ras do arco para P 75 P 4 P 586 (w/r 8) P FIGURA 7.5 Fução d carrgamo ao logo do mpo FIGURA 7.5 Comparação r a rsposa dâmca lar ão-lar da vga FIGURA 7.54 Rsposa ão-lar para dfrs rvalos d mpo FIGURA 7.55 Cofguração dformada ral para 5µs 5µs... 9 FIGURA 7.56 Rsposa dâmca do arco para P() FIGURA 7.57 Rsposa dâmca lar ão-lar para a casca sférca... 9 FIGURA 7.58 Comparação dos rsulados da aáls dâmca ão-lar para a casca sférca... 9 FIGURA 7.59 Cofguração dformada para a casca sférca o mpo d µs x

16 ÍNDICE DE TABELAS pág. TABELA 4. Solução passo-a-passo usado o méodo d gração d Nwmark. TABELA 4. Algormo d Taylor-Galrk para casos lars... 4 TABELA 5. Algormo d solução das quaçõs ão-lars (aualzação da marz d rgdz a cada ração) TABELA 6. Solução passo-a-passo do ssma ão-lar aravés d Nwmark... 5 TABELA 6. Algormo d Taylor-Galrk para casos ão-lars... 5 TABELA 7. Dslocamo ormalzado da placa para o caso (a): malha rgular TABELA 7. Dslocamo ormalzado da placa para caso (a) (b) TABELA 7. Comparação dos rsulados para a vga orcda... 6 TABELA 7.4 Comparação r os méodos ravos... 6 TABELA 7.5 Comparação dos rsulados para a placa crcular gasada... 6 TABELA 7.6 Comparação r os prcodcoadors ulzados (malha 4)... 6 TABELA 7.7 Comparação dos rsulados para o cldro... 6 TABELA 7.8 Comparação r os procssos ravos para o cldro... 6 TABELA 7.9 Comparação dos rsulados para a casca clídrca TABELA 7. Comparação r os prcodcoadors TABELA 7. Comparação r os méodos d solução... 7 TABELA 7. Comparação r os méodos d solução TABELA 7. Comparação r os méodos d solução (malha 4 4 ) TABELA 7.4 Comparação r os méodos d solução ( max 5µs)... 9 xv

17 INTRODUÇÃO. GENERALIDADES A aáls ão-lar d sruuras spcalm d placas cascas é um dos assuos qu mas êm araído a ação dos psqusadors. Iúmros lmos êm sdo dsvolvdos sdo qu m sua maora as marzs dos lmos são obdas aravés d gração umérca. Porém sab-s qu para aáls ão-lar d problmas d grad por prcpalm a aáls dâmca com squmas xplícos o cuso compuacoal é m grad par drmado pla fcêca do lmo mprgado. Por so ao logo dos úlmos aos a Tcologa do Elmo m s cocrado o dsvolvmo d lmos mas rápdos mas cofávs possívs aravés da gração rduzda. Dsacam-s os lmos cujas marzs são dadas d forma xplíca pos além d rduzrm o mpo d procssamo prmm adquado aprovamo dos procssadors voras dspoívs os modros suprcompuadors. O uso d lmos fos com gração compla (IC) m gral gara a covrgêca a sabldad da solução à mdda qu s rfa a malha. Erao o uso dss lmos prcpalm m problmas rdmsoas rqur muas opraçõs compuacoas para avalar a marz d rgdz do lmo o vor d forças ras além d aprsarm ravamo volumérco (volumrc lockg) para maras comprssívs ou aproxmadam comprssívs ravamo d csalhamo (shar lockg) m sruuras fas sujas à flxão. Uma solução para ss problmas é o uso d gração rduzda slva (IS) a qual a gração compla a gração rduzda são aplcadas m dfrs rmos para formar a marz d rgdz do lmo. Apsar d aprsar bos rsulados od a IC aprsa problmas s squma ão é compvo porqu ada assm s ora cusoso compuacoalm. Por sso os lmos fos com gração rduzda uform (IR) prcpalm com um poo d gração são os lmos mas fcs compuacoalm. Erao os rsulados obdos aravés dss lmos podm sr sasfaóros ou sm sgfcado físco quado modos spúros são xcados. Ess modos corrspodm a dformaçõs ão cosas o ror do lmo são

18 cohcdos como sabldads d malha modos cmácos modos d rga ula modos spúros ou ada hourglass (a rmologa o doma glês) os quas coduzm à sgulardad da marz d rgdz global. Dsa forma o uso d lmos com gração rduzda rqur um fc squma d sablzação umérca para suprmr as modos spúros. Um maor dmo ds assuo m sdo alcaçado apas rcm a lraura écca spcalm m rabalhos publcados por Blyschko Lu coauors. Muas éccas proposas provam sr fcs mas algumas dlas êm suas lmaçõs. Uma brv rvsão dss rabalhos srá aprsado o m sgu cado-s prcpalm algumas psqusas rcs qu movaram a prs dssração.. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Um dos prmros rabalhos vsado o corol dos modos spúros fo dsvolvdo por Kosloff Frazr (978). Ns rabalho códgos compuacoas com um poo d gração são usados para calcular marzs d rgdz para quadrláros hxadros d baxa ordm. A sablzação dos lmos é fa adcoado-s rmos para lmar a sgulardad da marz d rgdz. Como o procsso coss m rsolvr uma sér d ssmas d quaçõs o méodo s ora basa coraproduc. Posrorm vrfcou-s qu ss lmos quado êm forma dsorcda ão passam o pach s (rmologa o doma glês s dscro o m.) o qual avala a sabldad covrgêca do lmo. Flaaga Blyschko (98) propusram uma écca qu alvava algus dos problmas assocados com os lmos com gração rduzda aé ão sudados. Para os lmos passarm o pach s adoam-s vors grads uforms os rmos d sablzação são obdos assgurado-s a cossêca das quaçõs do lmo fo aravés d uma vscosdad arfcal. Um vor d sablzação γ é usado para a cosrução da marz d sablzação roduzr corrçõs o vor d forças ras. Erao a magud dsa sablzação dpd d um parâmro spcfcado plo usuáro o qual ão pod sr drmado ssmacam. A lmação do ravamo volumérco d csalhamo ão são fazadas. Um méodo sm parâmros a srm dfdos plo usuáro para o corol dos modos spúros qu ulza apas um poo d gração fo proposo por Lu al.

19 (985). Nsa écca os lmos são sablzados xpaddo-s as dformaçõs m uma sér d Taylor o poo cral do lmo aé rmos b-lars. É mosrado qu os vors d sablzação γ α podm sr obdos auralm omado-s as drvadas parcas com rlação às coordadas auras. Dsa forma as compos d são dformação podm sr gradas basadas m um ssma d coordadas orogoas. O problma do ravamo volumérco aprsado por s lmo é alvado aplcado-s gração rduzda d forma ão uform. Erao o ravamo d csalhamo m problmas d flxão ão é lmado sdo porao adquados para a aáls d placas cascas submdas à flxão. Além dsso os lmos rdmsoas ão passam plo pach s pos a marz grad ão é avalada corram coform dca o rabalho d Flaaga Blyschko (98). Koh Kkuch (987) propusram uma oura écca chamada d gração rduzda drcoal. Os auors ambém usam xpasão m sérs d Taylor para aproxmar as dformaçõs o lmo. Em coras com a gração rduzda slva (IS) od cras pars do rabalho ro vrual são sub-gradas uformm m odas as drçõs a gração rduzda drcoal sub-gra m apas cras drçõs. Eão aquls modos assocados com o ravamo d csalhamo são rmovdos. Esa écca mosra-s basa fcaz com lmos m duas drçõs porém para lmos hxaédrcos os modos spúros ão são oalm suprmdos. Blyschko Bdrma (99) dsvolvram um lmo quadrláro d 4 ós ulzado-s um poo d gração um procsso d sablzação aravés d dformaçõs assumdas. Com campos d dformação assumda compos do campo qu lvam ao ravamo volumérco d csalhamo são lmados por projção. Posrorm Blyschko Bdma (99) sdram a ora para lmos hxaédrcos com 4 poos d gração para a aáls laso-plásca mprgado-s um ssma d coordadas co-roacoal. O cov da formulação é o fao da marz qu rlacoa compos d dformaçõs dslocamos B sr dpd do maral (spcfcam do cofc d Posso ν). Mas ard Lu al. (994) dsvolvu uma formulação ulzado 4 poos d gração para o hxadro d 8 ós. Es méodo ão rqur parâmros dfdos plo usuáro a marz B a qual dpd do maral é dada d forma xplíca. Para var o ravamo d csalhamo o vor d dformaçõs gralzado é dsvolvdo m um ssma co-roacoal cros rmos ão cosas as

20 compos d dformação d csalhamo são omdos. O ravamo volumérco é rsolvdo fazdo-s com qu a par dlaacoal (sférca) da marz grad sja sub-grada avalada apas o poo cral do lmo (ξηζ). Jusfca-s o mprgo d 4 poos d gração para mlhorar a prcsão com rlação aos lmos qu adoam apas um poo d gração para podr capurar frs pláscas a malha dura carga dscarga a aáls laso-plásca. É mosrado qu ss lmos forcm bos rsulados m cascas fas fldas. Porém por srm mas caros compuacoalm qu os lmos qu adoam apas um poo d gração su mprgo ão s jusfca para aálss com maral lásco lar. Rcm Hu Nagy (997) propusram um lmo hxaédrco com um poo d gração basado a formulação d Lu al. (994). Os vors d dformaçõs sõs são prmram xpaddos m uma sér d Taylor o cro do lmo aé rmos b-lars. Os rmos cosas são usados para compuar o vor d forças ras do lmo os rmos lars b-lars são usados para formar o vor d forças d sablzação dos modos spúros. Um raamo spcal é ambém aplcado para a marz grad (dformação-dslocamo) rmovdo-s d forma slva aquls modos assocados com o ravamo volumérco d csalhamo sm afar a sabldad do lmo (msmo procdmo ulzado por Lu al. 994). Além dsso adoam-s os vors grads uforms proposos por Blyschko Bdma (98) ao vés dos avalados o poo cral do lmo garado-s dsa forma qu o lmo rsula pass o pach s. Esa formulação aprsada por Hu Nagy (997) fo ulzada o prs rabalho com o uo d obr um códgo compuacoal robuso para aáls ãolar gomérca sáca dâmca adquado para um mlhor aprovamo dos procssadors voras dspoívs os modros suprcompuadors pos s rabalha com xprssõs xplícas dos vors marzs a ívl d lmo.. MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS Coform já mcoado úmros lmos para a aáls ão-lar d placas cascas êm sdo dsvolvdos os úlmos aos. Erao a maora dss sudos ulza lmos plaos. Prd-s alcaçar os rsulados obdos ss rabalhos mprgado-s lmos rdmsoas os quas m um campo d aplcação muo maor. 4

21 Eão o objvo prcpal da psqusa é a cosrução d roas compuacoas para a aáls lar ão-lar gomérca sáca dâmca d placas cascas aravés do Méodo dos Elmos Fos ulzado-s lmos hxaédrcos com apas um poo d gração qu: (a) Sjam capazs d rsolvr os bchmark ss m aálss ão-lar gomérca; (b) Possuam marzs dadas m forma xplíca; (c) Aprsm adquado corol dos modos spúros assocados ao procsso d gração rduzda; (d) Não sofram ravamo volumérco msmo quado o maral s or pracam comprssívl; () Forçam rsulados sasfaóros m problmas d flxão pura (caso críco para ravamo d csalhamo); (f) Aprsm dsmpho sasfaóro msmo com malha grossra lmos dsorcdos; (g) Não rquram parâmros d sablzação arfcas. Também como forma d dmur a mmóra mpo d CPU rqurdos plo suprcompuador prd-s mprgar méodos ravos com prcodcoamo lmo-por-lmo como alrava para a solução do ssma d quaçõs m problmas sácos méodos mplícos m aáls dâmca d grad por..4 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO O xo ds rabalho é composo por 8 capíulos. No capíulo são comados os avaços dsvolvdos a ára d Tcologa do Elmo algumas dfçõs mporas para o dmo do ma abordado. No capíulo sgu aprsa-s a formulação para aáls lar o corrspod procsso d sablzação dos modos spúros. No capíulo 4 aprsa-s o méodo mplíco xplíco mprgados para aáls dâmca lar. Os capíulos 5 6 são ddcados à aals ão-lar sáca dâmca rspcvam. Na sqüêca aprsa-s os xmplos sados o úlmo capíulo são fas as coclusõs fas. No Apêdc I dsvolvm-s fórmulas rlavas ao lmo mprgado o Apêdc II coma-s sobr o méodo dos Grads Cojugados com prcodcoador Dagoal prcodcoador proporcoado pla faorzação compla d Cholsky. 5

22 TECNOLOGIA DO ELEMENTO. INTRODUÇÃO A Tcologa do Elmo m por objvo sudar dsvolvr lmos com mlhor dsmpho parcularm para cálculos m larga scala para maras comprssívs. Para cálculos m larga scala a Tcologa do Elmo m s cocrado prcpalm a gração rduzda para alcaçar lmos mas rápdos. Em rês dmsõs sab-s qu é possívl dsvolvr lmos sgfcavam mas vlozs aravés dsa écca. Erao dv-s garar a sablzação do lmo aravés d um procdmo cofávl. O sgudo maor dsafo da Tcologa do Elmo m sdo lmar as dfculdads assocadas com o raamo d maras comprssívs. Elmos d baxa ordm quado aplcados a maras comprssívs dm a xbr ravamo volumérco. No ravamo volumérco coform srá comado (m.7) os dslocamos são subprscros dvdo-s mulplcá-los por faors sgfcavos para obr-s os rsulados corros (5 a para malhas razoávs). Iso ocorr m maras sorópcos láscos lars com cofc d Posso 5 m maras hpr-láscos (borracha). Também muos fludos são cosdrados comprssívs. Maras laso-pláscos quado submdos a grads dformaçõs pláscas ambém êm frqüm um comporamo pracam comprssívl. Por sas razõs o dsvolvmo d lmos vrdadram robusos ão é uma arfa fácl spcalm para lmos d baxa ordm.. VISÃO GERAL DO DESEMPENHO DOS ELEMENTOS Esa sção dscrv as caracríscas cadas por Blyschko (996) d lmos qu são largam usados para aáls rdmsoal do coíuo. A dscrção é lmada a lmos qu são basados m polgoas d ordm quadráca ou mor pos lmos d maor ordm raram são usados m aáls ão-lar. Em s raado da gração da malha os lmos raédrcos são mas aravos porqu os mas podrosos gradors d malha d hoj m da som são aplcávs a ss lmos. Gradors d malha para lmos hxaédrcos dm a sr mos 6

23 robusos mas dmorados. Porao lmos raédrcos são prfrívs quado odas as ouras caracríscas d prformac são as msmas para o propóso gral da aáls. Os lmos d baxa ordm mas frqüm usados são o radro d 4 ós o hxadro d 8 ós. Como é sabdo da ora d lmos fos lars o campo d dslocamos do radro é lar quao qu o campo d dslocamo do hxadro é r-lar. Eão ss lmos podm rprsar xaam um campo d dslocamo lar um campo d dformação cosa. Cosqum ls sasfazm o pach s padrão o qual srá dscro mas à fr. O fao d sasfazr s s padrão assgura qu o lmo covrg m aáls lar forc uma boa garaa para um comporamo covrg m problmas ão-lars mbora ão xsam provas órcas para sa afrmação. O radro d 4 ós ão aprsa bom dsmpho para maras comprssívs pos mafsa svro ravamo volumérco. Na vrdad aé pods var s fômo m radros fazdo-s um arrajo spcal a gração da malha. Mas dsa forma prd-s as vaags do uso ds lmo pos a malha é smlar à qu é obda com hxadros (Blyschko 996). Quado a gração compla é mprgada o hxadro aprsa ravamo volumérco para maras comprssívs. Para ss lmos o ravamo volumérco pod sr lmado ulzado-s gração rduzda adoado-s apas um poo d gração ou ulzado-s gração rduzda slva a qual aplca um poo d gração sobr os rmos volumércos gração compla ( poos d Gauss) sobr os rmos dsvadors. Os subsqus lmos d maor ordm são o radro d ós o hxadro d 7 ós. Aalsado-s por xmplo o radro d ós vrfca-s qu s aprsa campo d dslocamo quadráco complo campo d dformação lar complo quado os lados do lmo são ros. A covrgêca dss lmos é quadráca quado os dslocamos o ó localzado o mo do lado é pquo comparado com o comprmo do lmo ou quado as dsorçõs gomércas são pquas (Blyschko 996). Ess lmos passam o pach s lar quadráco quado os lados são ros mas apas o pach s lar quado os lados do lmo são curvos. Em ouras palavras ss lmos ão podm rproduzr xaam um campo d dslocamos quadráco quado os lados ão são ros. Em problmas ão-lars com grads dslocamos grads roaçõs o 7

24 dsmpho dss lmos dmu quado os ós o mo dos lados movm-s subsacalm. Esa coclusão pod sr sdda para os dmas lmos ou sja a dsorção dos lmos é uma dfculdad smpr prs o uso d lmos d maor ordm para aálss com grads dslocamos grads roaçõs pos a axa covrgêca dcrsc sgfcavam quado ls são dsorcdos ada procdmos d solução frqüm falham quado a dsorção é xcssva. Dvdo a odas sas cosaaçõs cadas quao ao dsmpho dos lmos pod-s cosdrar o hxadro d 8 ós com gração rduzda (quadraura d Gauss xx) corol dos modos spúros como uma alrava rssa para a aáls ão-lar com grads dslocamos grads roaçõs.. O PATCH TEST Ess é um mpora s para avalar o dsmpho d um lmo. Em sua forma padrão (sadard pach s) o s vrfca s a aproxmação para o campo dos dslocamos é compla so é vrfca a habldad do lmo para rproduzr polômos d uma ordm spcífca. Sgudo Blyschko (996) o pach s os lmos dvm sar dsorcdos pos o comporamo sa suação pod dfrr do comporamo d lmos rgulars. Não dvm sr aplcadas forças d corpo as proprdads do maral dvm sr uforms o comporamo lásco-lar. No caso do pach s lar dslocamos lars são prscros os ós xrors para sar s os dslocamos os ós rors as dformaçõs m odos os lmos corrspodm ao campo d dslocamos spcfcado. Es s é xrmam úl para avalar a fcáca da formulação do lmo para xamar sua sabldad su comporamo m rlação à covrgêca. Quado o s falha sgfca qu o lmo ão é complo so é ão é capaz d rproduzr um campo d dslocamo lar ou há um rro o programa m dsvolvmo. Como já fo cado lmos soparamércos smpr passam o s rao quado s ulzam éccas d gração rduzda procdmos d sablzação m smpr os lmos rsulas passam plo pach s (Blyschko 996). 8

25 .4 MODOS ESPÚRIOS (HOURGLASS MODES) Quado s ulza gração rduzda podm-s dsvolvr mcasmos ros assocados a modos d dformação ula (modos spúros). Ess mcasmos s formam quado o campo d dslocamos odas gra ouro campo d dformaçõs qu s aula os poos d gração umérca (Oña 995). Es é o caso dos mcasmos qu ocorrm os lmos plaos com gração rduzda mosrados a Fg... Como mosra a Fg..b os lmos dfrcas d ára o poos d gração d Gauss gram sm s dformarm. Equao qu os lmos dfrcas d ára m.a m squr sofrm qualqur movmo rígdo. FIGURA. Modos d rga ula m lmos plaos. FONTE: Oña 995. Prcb-s a cofguração dformada da malha com modos spúros (Fg..a) qu o par d lmos s parc com uma ampulha (rlógo d vdro ara) daí a razão do rmo m glês hourglass. Sgudo Blyscko (996) ss fômo ocorr m muas ouras áras por sso xs uma grad vardad d oms. Els ocorrm frqüm m lmos híbrdos od são chamados modos d rga ulo ou modos spúros. São assm cohcdos plo fao d ão grarm dformaçõs os poos os quas os lmos são avalados. Dsa forma ls ão ralzam rabalho. Em aáls sruural modos spúros aparcm quado há rdudâca sufc so é o úmro d mmbros sruuras é sufc para mpdr movmos d corpo rígdo d par da sruura. Tas modos frqüm ocorrm m sruuras d rlças rdmsoas são chamados d modos cmácos. São ada cohcdos como sabldad d malha hourglass kysog chckwrg 9

26 (Blyscko 996). Para dscrzaçõs m lmos fos modos spúros parc sr o rmo mas aproprado por sso s srá ulzado ao logo do rabalho. A codção a qual lva a xsêca d modo spúros é a dfcêca d poso da marz (marx rak) d rgdz do lmo. Quado lmos com poso (rak) dfc são usados a marz d rgdz do ssma frqüm srá sgular ou aproxmadam sgular. Por sso m méodos marcas os modos spúros podm sr dcados pla prsça d zros ou valors muo próxmos d zro a dagoal da marz d rgdz global. Caso aprs valors basa pquos a marz d rgdz srá pracam sgular a solução para os dslocamos srá osclaóra o spaço ou sja ls xbrão modos spúros. Em ssmas d solução ravos a prsça d modos spúros frqüm lvará à dvrgêca da solução..5 DEFICIÊNCIA DE POSTO (RANK DEFICIENCY) Para um dsmpho cofávl o lmo dv aprsar aproprado poso (rak). Quado o poso é baxo dmas a marz d rgdz global pod sr sgular ou aproxmadam sgular s caso xbdo modos spúros. Quado o poso do lmo for alo dmas l dformará d forma xrmam rígda falhará a sua covrgêca ou covrgrá lam (Oña 995). O corro rak do lmo hxaédrco d 8 ós é 8 (so é 4 graus d lbrdad mos 6 modos d corpo rígdo). Ns caso a quadraura d Gauss xx é sufc para garar s corro rak. Apas um poo d gração produz uma marz d rak 6 ou sja xsm modos d rga ula (4 graus d lbrdad mos 6 modos d corpo rígdo mos 6 compos do sor d sõs avaladas o poo cral). Por sso para aplcar gração rduzda dv-s ulzar um fc procsso d sablzação dos modos spúros. A maora dos procssos d sablzação proposos sugrm adcoar uma marz d corrção K corrção à marz d rgdz obda com a gração rduzda K IR a fm d s obr a marz xaa ou corra (com poso rak sufc). K K + K xaa IR corrção (.)

27 .6 SELEÇÃO DA ORDEM DE INTEGRAÇÃO Slcoa-s o úmro d poos d gração d acordo com o grau dos polômos qu aparcm as gras dos lmos. Quado o lmo é soparamérco sas gras coém fuçõs racoas a gração xaa ão é possívl. Ns caso scolh-s uma quadraura qu gr xaam a marz (ou vor) d um lmo ragular ou ragular aálogo d lados ros m qu por sr o Jacobao cosa as gras só coham fuçõs polomas. Coform Oña (995) sá comprovado qu s úlmo caso basa qu a () quadraura slcoada gr xaam os rmos d K j corrspods ao polômo complo codo as fuçõs d forma pos d fao ss são os úcos rmos qu corbum sgfcavam para a aproxmação covrgêca da solução. Esa ordm d gração rcb o om d quadraura míma para mar a covrgêca. Na práca a quadraura míma é a mas rcomdada já qu obvam é a mas coômca m úmro d opraçõs. É rssa cosaar qu m cras ocasõs a gração míma proporcoa clusv mlhors rsulados dvdo à maor flxbldad qu cofr ao lmo o qu cacla m par os rros por xcsso d rgdz rs à dscrzação ao campo d dslocamos suposo. Algus auors assocam o om d quadraura míma àqula qu gara qu o lmo possa rproduzr um sado d dformação cosa. Iso mplca qu a quadraura scolhda dv podr avalar corram o volum do lmo o qu m coordadas auras rprsa xaam calcular a sgu gral: J dξ dη dζ. (.) V Porém m lmos hxadros d 8 ós sa codção é muo fraca pos xg apas uma quadraura d um só poo (Fg..) o qu gralm vola a xgêca míma para garar a covrgêca pod dar orgm a mcasmos ros assocados a modos d rga ula (já comado). Porao para adoar a quadraura míma dv-s promovr uma fc sablzação para a marz d rgdz vors d força ra dos lmos.

28 ζ d - ζ η ξ η ξ FIGURA. Quadrauras míma xaa para gração d hxadros d 8 ós. FONTE: Oña 995. d d.7 TRAVAMENTO VOLUMÉTRICO (VOLUMETRIC LOCKING) A dscrzação m lmos fos d maras comprssívs pod coduzr a uma aomala d orgm umérca domada d ravamo volumérco ou do doma glês volumrc lockg. Es po d fômo ocorr apas m problmas m qu haja rsrção d dformação. Em problmas d sado plao d são por xmplo os quas s adm uma compo d são ula a drção ormal ao plao cosdrado como xs dlaação lvr sa drção ão ocorrrá o fômo do ravamo volumérco. Cosdr-s como xmplo um sado plao d dformaçõs m qu xs um lmo mpddo d s dslocar m duas xrmdad (lmo lados d comprmo a b) coform dcado a Fg b 4 ^y x^ a FIGURA. Travamo volumérco m sado plao d dformaçõs. FONTE: Blyschko 996. Caso o maral sja comprssívl os ouros dos lados do lmo ão podrão modfcar su comprmo ou movmar-s dvdo à varâca d volum.

29 Porao o lmo corrspod sará oalm fxo ou racado dpdm da carga aplcada s ravamo volumérco s propagará por oda a malha. Sgudo Blyschko (996) um procdmo qu pod alvar s fômo é um rfamo d malha. No ao apsar do rfamo aumar o úmro d graus d lbrdad o msmo ambém auma o úmro d rsrçõs. Assm o rfamo som srá uma saída para o problma do lockg s o úmro d graus d lbrdad aumar mas rápdo qu o úmro d rsrçõs. Erao s é apas um créro qualavo uma vz qu ão são cosdradas as codçõs d cooro. Oura alrava qu é cosdrada muo mas fcaz é o uso d gração slva ou rduzda. Como a rga volumérca é zro apas o poo cral do lmo (Zhu Cscoo 996) s procdmo coss m avalar as sõs volumércas apas s poo. Caso as sõs dsvadoras sjam ambém avaladas apas s poo doma-s gração rduzda uform. Para os casos m qu s adoa uma gração compla para os rmos das sõs dsvadoras chama-s gração slva. E o caso od s ulza gração rduzda d oura ordm para apas ss rmos doma-s gração rduzda d forma slva ou ão uform..8 TRAVAMENTO DE CISALHAMENTO (SHEAR LOCKING) As dformaçõs spúras dvdo ao ravamo d csalhamo são dfrs daqulas gradas plo ravamo volumérco. Sgudo Blyschko (996) s há ravamo volumérco os rsulados ão covrgm; já o caso d modos spúros xcados dvdo ao ravamo d csalhamo a solução covrg mas d forma muo mas la. Eão o rmo rgdz xcssva para sforço d csalhamo sra a vrdad mas adquado. Para problmas d flxão pura o sforço d csalhamo dv dsaparcr. Erao coform Zhu Cscoo (996) a axa d csalhamo é dfr d zro ao logo d odo domío do lmo quado s ulza o campo d dformaçõs d csalhamo complo m lmos d baxa ordm. Dsa forma squmas com gração compla causam uma rgdz adcoal assocada à rga d csalhamo ão sprada o rsulado dso é uma péssma covrgêca. Por sso o ravamo d csalhamo dv sr lmado suprmdo-s a par ão cosa do campo d

30 dformação d csalhamo. Erao m casos rdmsoas s raamo pod duzr ao ravamo m casos d orção pura. Na vrdad xsm dos pos d problmas físcos coflas a aáls d sõs assocadas com os modos físcos: () problmas d flxão pura od o xcsso d rga d csalhamo dv sr rmovdo para var o ravamo para sforço d csalhamo; () problmas d orção pura od som a rga d csalhamo xs dvdo a msma sr mada para var o fômo d modos spúros orsoas. Como dformaçõs d flxão orção são cosdraçõs xrmam oposas quao ao csalhamo mas podm ocorrr smulaam a sruura a subavalação da dformação d csalhamo dv sr omada cudadosam para var ravamo d csalhamo (shar lockg) amacamo por csalhamo (shar sofg). 4

31 FORMULAÇÃO DO ELEMENTO EMPREGADO. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (ANÁLISE LINEAR) Em uma rprsação m lmos fos o prcípo dos rabalhos vruas é dado por: δ u ρ ü dv + δu χ u& dv + δw δu b dv + δu p ds (.) V V V S od o supr-ídc dca rasposção; δu é o vor qu coém as compos d dslocamo vrual m um poo qualqur do lmo ; ρ é a massa spcífca do lmo; χ é um cofc d amorcmo; u& é o campo d vlocdads o lmo; ü é o campo d aclraçõs o lmo; b é o vor d forças d corpo auas o lmo; p é vor d cargas aplcadas sobr S ; ro do lmo dado por: W é o rabalho vrual δw δε dv (.) V od é um vor com as compos do sor d sõs do lmo δε é um vor com as compos do sor d dformaçõs vruas dvdo a δu. Irpolado-s as compos d dformaçõs m rmos do vor d dslocamos odas do lmo m-s: () ε B U (.) ão a Eq.. pod sr scra como: ( ) δ W δu B dv V (.4) od B é a marz grad qu coém as drvadas das fuçõs d forma (N) do lmo. Rorado à Eq.. mprgado-s as xprssõs: & & ( ) ( ) ( ) u& NU ; u&& NU ; δ u δu N (.5-.7) a rlação cosuva Cε (.8) (sdo s caso C a marz cosuva) m-s a sgu xprssão marcal: M U& + CU& + KU P (.9) od: 5

32 N N d ; K M ρ V B C B dv (..) V C χ N N dv ; N b dv + V V P N p ds (..) V sdo M é a marz d massa do ssma C a marz d amorcmo K a marz d rgdz P o vor d forças xras. S. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO HEXAÉDRICO DE 8 NÓS Cosdrado-s o lmo hxaédrco r-lar soparamérco dcado a Fg.. as coordadas spacas x as compos d dslocamos u são aproxmados pla combação lar r os valors odas x a u a ulzado-s as msmas fuçõs d rpolação ( ξ η ζ ) N : a 8 x N x (.9) a 8 a a a u N u (.) a sdo N a ( ξ η ζ ) ( + ξ aξ )( + ηaη)( + ζ aζ ) (.) 8 od o sub-ídc doa o xo do ssma coordado global x y z varado porao d a o sub-ídc a rfr-s ao ó do lmo varado d a 8. As coordadas rfrcas ξ η ζ do ó a são doadas por ξ a η a ζ a rspcvam. a GEOMETRIA REAL (Dfção das coordadas) GEOMETRIA NORMALIZADA (Cálculo d gras) FIGURA. Elmo hxaédrco d 8 ós. 6

33 Para aprsação da formulação mprgada para o corol dos modos spúros ds lmo quado s ulza gração rduzda df-s os sgus vors para as coordadas odas o ssma global o ssma rfrcal: [ x x x x x x x x ] x (.) x [ y y y y y y y y ] x (.) y [ z z z z z z z z ] x (.4) z [ ] ξ (.5) [ ] η (.6) [ ] ζ. (.7). CONTROLE DOS MODOS ESPÚRIOS Com o objvo d dfcar os padrõs dos modos spúros rsulas d dformaçõs ão cosas dvdo ao mprgo d gração rduzda df-s as sub-marzs grad B a () avaladas o poo cral (ξ η ζ ) os vors h α od α vara d a 4: ( ) N a ( ) ( ) b a N x b a B ( ) a b ba (a...8) (.8) y N ba a b z [ ] h (.9) [ ] h (.) [ ] h (.) + [ ] h. (.) 4 A Fg.. mosra os modos d rga ula assocados ao lmo com um poo d gração apas caracrzados por { h α } { hα } { h α } d a 4. com α 7

34 8 FIGURA. Modos spúros m D. (a) ss modos d flxão; (b) rês modos d orção; (c) rês modos ão-físcos. FONTE: Zhu Cscoo 996. Coform pod sr vso o Apêdc I a marz Jacobaa avalada o poo cral (ξ η ζ ) é dada por: ( ) z y x z y x z y x J ζ ζ ζ η η η ξ ξ ξ 8 (.) o drma (Jacobao) é dado por: ( ) ( ) z y x z y x z y x J j o j ζ ζ ζ η η η ξ ξ ξ 5 d. (.4) O drma da marz Jacobaa pod ambém sr scro como sdo a oava par do volum do lmo (Apêdc I):

35 j o 8 V (.5) od V é o volum do lmo. Coform dcado o Apêdc I os vors grads o poo cral fcam dfdos por: b { b a } [ Dξ + Dη + Dζ] (.6) 8 b { b a } [ Dξ + Dη + Dζ] (.7) 8 b { b a } [ Dξ + Dη + Dζ] (.8) 8 od D j são os rmos da marz vrsa do Jacobao (vr Apêdc I). Coform já fo mcoado o uso da quadraura d Gauss ( ) para a gração do rabalho vrual ro rsula m ravamo volumérco. Para var s fômo ulza-s gração rduzda slva. Eão a marz grad ( ξ η ζ ) B é dcomposa a forma sdo B ~ ( ) ~ B + (.9) ( ξ η ζ ) B( ) Bˆ ( ξ η ζ ) a marz grad corrspod à par dlaacoal do vor d dformaçõs avalada apas o cro do lmo ( ξ η ζ ) ˆB a marz grad corrspod à par dsvadora do vor d dformaçõs. Eão a xprssão para o rabalho vrual ro (Eq..4) pod sr scra como ( ) ~ δ W δu [ B ( ) + Bˆ ( ξ η ζ )] ( ξ η ζ ) dv. V (.) Expaddo-s o vor d dformaçõs m uma sér d Taylor o cro do lmo aé rmos b-lars m-s: ε ( ξ η ζ ) ε( ) + ε ξ ( ) ξ + ε η ( ) η + ε ζ ( ) ζ + ε ( ) ξη ε ( ) ηζ + ε ( )ξζ ξη ηζ ξζ + (.) od o prmro rmo é o vor d dformaçõs cosa avalado o cro do lmo os dmas são rmos lars b-lars. Na Eq.. as oaçõs ε α ( ) ε ( ) rprsam: αβ 9

36 ε ( ) ( ) ε ε ( ) α α ( ) ε αβ. (.) α β Como a par volumérca do vor d dformaçõs é avalada o cro do lmo (Eq..9) os rmos lars b-lars corrspodm apas à par dsvadora. Eão pod-s scrvr: ε ( ξ η ζ ) ε( ) + εˆ ( ) ξ + εˆ ( ) η + ε ( ) ζ + ˆ ξ η ζ ( ) ξη ˆ ε ( ) ηζ ( )ξζ ε ˆ + + ε ξη ˆ ηζ ξζ (.) ou ( ξ η ζ ) B( ) + Bˆ ( ) ξ + Bˆ ( ) η + Bˆ ( ) ζ + B ξ η ζ ( ) ξη Bˆ ( ) ηζ Bˆ ( )ξζ ˆ + + B ξη ηζ ξζ (.4) od as prmras sgudas drvadas da marz grad B o cro do lmo podm sr coradas o Apêdc I. Naqulas quaçõs os vors γ α são os vors d sablzação obdos por Flaaga Blyschko (98). A rção dss vors d sablzação é rqurda para suprmr os modos spúros mosrados a Fg... Ess são orogoas ao campo d dslocamo lar provdcam uma coss sablzação do lmo são dados por: ( hα x ) b γ h α4. (.5) α α O vor d sõs é ambém aproxmado aravés d uma xpasão m sér d Taylor como fo para o vor d dformaçõs: ( ξ η ζ ) ( ) + ˆ ξ ( ) ξ + ˆ η ( ) η + ˆ ζ ( ) ζ + ˆ ( ) ξη ˆ ( ) ηζ + ( )ξζ ξη ˆ ηζ ξζ + (.6) Subsudo-s as quaçõs (.4) (.6) a (.) grado-s m-s a xprssão para o rabalho ro vrual do lmo: δw ( ) δu B ( ) ( ) + Bˆ ( ) ( ) + Bˆ ξ ξ η ( ) η ( ) + Bˆ ˆ ˆ ζ ( ) ˆ ζ ( ) + 9 Bˆ 9 9 V ( ) ˆ ( ) + Bˆ ξη ηζ ( ) ˆ ( ) + Bˆ ηζ ξζ ( ) ξζ ( ) ˆ ξη (.7) od V é o volum do lmo. O prmro rmo da Eq..7 é o rabalho ro vrual ulzado-s apas poo d gração. Os ouros rmos são ambém avalados o cro do lmo para provdcar a sablzação do msmo.

37 .4 MATRIZ DE RIGIDEZ DE ESTABILIZAÇÃO Como a avalação das sõs dformaçõs é fa apas o poo cral o vor d forças ras do lmo pod sr scro como: a quação cosuva como: f ( ) ( ) V c B (.8) ( ) C ε( ). (.9) O vor d forças ras do lmo pod sr ambém sr scro como: od K c é a marz d rgdz do lmo dada por: f c c K U (.4) ( ) C B( ) V c K B. (.4) O poso (rak) da marz K c é apas ss dvdo às ss compos do sor d dformaçõs avalado o cro do lmo. Exsm ss modos d corpo rígdo possívs: rês modos d raslação rês modos d roação. Esss modos corrspodm a um campo d dformaçõs cosa por sso são cssáros para um lmo sr cosdrado complo. Subrado-s o poso da marz K c (6) assm como o úmro d modos d corpo rígdo (6) do úmro d graus d lbrdad do hxadro d 8 ós (4) obém-s o valor (4 6 6 ). Es é o úmro d modos spúros corrspods à força ra zro o lmo avalado com apas poo d gração (coform dcado a Fg..). Para lmar sss modos spúros adcoa-s forças rsss aos modos spúros ( f hg ) ao vor d forças ras do lmo (Hu Nagy 997) ão: c f f + f hg. (.4) Obsrvado-s as quaçõs (.7) (.8) (.4) pod-s dfr f hg da sgu forma: f hg Bˆ ( ) ( ) + Bˆ ( ) ( ) + Bˆ ξ ˆ ξ η ˆ η ζ ( ) ˆ ζ ( ) + 9 Bˆ 9 9 V. ( ) ˆ ( ) + Bˆ ξη ηζ ( ) ˆ ( ) + Bˆ ηζ ξζ ( ) ξζ ( ) ˆ ξη (.4) S a prmra sguda drvada do vor d sõs podm sr obdas a parr da quação cosuva do maral pod-s ambém dfr a marz rgdz d sablzação do lmo como:

38 f hg sab K U (.44) Esa marz é adcoada à marz d rgdz do lmo K c para compsar a sabldad grada pla adoção d gração rduzda. Eão a marz d rgdz rsula aprsa poso sufc (rak) vm dada por: K + Aé aqu cosdrou-s qu os rmos das drvadas d sõs a Eq..4 provém das ls cosuvas do maral. Iso provdca uma sablzação aproprada para o lmo pos odos os vors d sablzação são mbudos a prmra sguda drvada da marz d grads. Erao drvar as rlaçõs r a prmra sguda drvada do vor d sõs o vor d dslocamos odas pod sr uma arfa dosa para algus maras. Para alvar s problma Hu Nagy (997) propusram uma oura écca ssmáca para drvar a marz d sablzação. Cosdra-s uma marz d sablzação E qu sasfaz às sgus rlaçõs cosuvas: ˆ ˆ ξ E εˆ ξ c sab K K. (.45) ˆ E ε η ˆ E ε ζ ξη E εˆ ξη ˆ η ˆ ζ ˆ E ε ηζ ˆ E ε ξζ. ˆ ηζ ˆ ξζ (.45) Com o propóso d corolar os modos spúros do lmo E ão é cssaram a marz d lascdad do maral pod sr scolhda a parr d marzs mas smpls. Dsa forma prfr-s domar ˆ ˆ η ˆ ζ ˆ ξη ˆ ηζ ˆ ξζ como vors são d sablzação ao vés d drvadas do vor d são pos ss são apas usados para compuar o vor d forças rsss aos modos spúros. Subsudo-s as quaçõs da xprssão.45 a Eq..4 obém-s a marz rgdz d sablzação a sgu forma: K sab Bˆ ( ) E Bˆ ( ) + Bˆ ( ) E Bˆ ( ) + Bˆ ξ ξ η η ζ ( ) E Bˆ ζ ( ) + 9 Bˆ 9 ( ) E Bˆ ( ) + Bˆ ( ) E Bˆ ( ) + Bˆ ( ) E Bˆ ξη ηζ ηζ ξζ ξζ ( ) ξη 9 ξ V. (.46) Porao prcsa-s scolhr uma marz E aproprada para qu odos os modos spúros d K c sjam suprmdos coform srá dscudo a próxma sção. Sgudo Hu Nagy (997) o lmo dsvolvdo aé agora ão é capaz d passar o pach s pos o vor d forças ras do lmo ulzado-s apas

39 poo d gração ão é adquadam avalado s os lmos são basa dsorcdos. Além dsso aquls modos assocados com o ravamo d csalhamo m flxão ão foram rmovdos. Ess são os msmos covs aprsados o lmo proposo por Lu Og (985). Para solucoar ss problmas Hu Nagy (997) ulzaram os msmos procdmos aprsados por Lu al. (994) qu coss m adoar um ssma d coordadas co-roacoal qu gra com o lmo ralzar as sgus modfcaçõs: (a) subsur os vors grads b avalados o cro do lmo (Eq..6-.8) por vors grads uforms b ~ dfdos por Flaaga Blyschko (98): ~ b N ( ξ η ζ ) dv (.47) V V ão a marz grad passa a sr: ~ ~ N a x ( ) b b a ~ ~ ~ B a ( ) N a y ( ) b ba. (.48) ~ ~ N a z ( ) b ba O dsvolvmo dos rmos é basa rabalhoso (Blyschko Bdma 99) por sso o Apêdc I apas dca-s como ulzar as fórmulas ablas. (b) Cada compo d dformação d csalhamo é rpolada larm m apas uma drção o ssma d coordadas rfrcal; dsa forma rmov-s os modos rsposávs plo ravamo d csalhamo: o qu mplca m: od xy ( ξ η ζ ) ε ( ) εˆ ζ ( )ζ ε + (.49) yz xy xy ( ξ η ζ ) ε ( ) εˆ ξ ( )ξ ε + (.5) xz yz yz ( ξ η ζ ) ε ( ) εˆ η ( )η ε + (.5) xz xz ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) B ˆ xy xy xy xy xy (.5) ξ η ξη ηζ ξζ ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) B ˆ yz η yz ζ yz ξη yz ηζ yz ξζ (.5) ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) Bˆ ( ) B ˆ xz ξ xz ζ xz ξη xz ηζ xz ξζ (.54) Bˆ xy Bˆ yz Bˆ xz são as marzs grads corrspods às compos d dformação dsvadoras εˆ xy εˆ yz εˆ xz rspcvam.

40 Nas Eq cada compo d dformação d csalhamo coss m um rmo cosa apas um rmo ão cosa. Os modos d dformação assocados com o ravamo d csalhamo os quas são mbudos os rmos lar b-lar são rmovdos. Os rmos cosas odos os ão cosas são mados para as compos d dformação ormal. Como é sabdo qu os vors d sablzação rqurdos para suprmr os modos spúros são cluídos sas marzs grad a marz d rgdz do lmo rsula rá poso (rak) sufc..5 A MATRIZ DE ESTABILIZAÇÃO E Nas sçõs arors obv-s a marz d rgdz o vor d forças ras para o lmo com quadraura d gração xx. A sablzação é alcaçada adcoado-s a marz d rgdz d sablzação o vor d forças rsss aos modos spúros à marz d rgdz com poso (rak) sufc ao vor d forças ras avalado o cro do lmo rspcvam. Erao a prformac do lmo dpd da marz d sablzação E a qual é ulzada para calcular as sõs rsss aos modos spúros. A marz dsjada E é aqula qu prch os sgus rqurmos: (a) a marz d rgdz do lmo rsula dv r poso (rak) sufc; (b) o ravamo (lockg) volumérco o ravamo (lockg) d csalhamo dvm sr vados; (c) ão dvm sr cssáro parâmros spcfcados plo usuáro. Eão adoado-s E como uma marz dagoal dpd apas da cosa d Lamé µ do maral ss rqusos são cumprdos obém-s a forma mas smpls possívl para a marz (Hu Nagy 997): x E 6x6 (.55) x od µ µ. (.56) µ Como a marz d sablzação E ão dpd da oura cosa d Lamé λ o lmo dsvolvdo ão aprsará ravamo volumérco quado o maral ora-s comprssívl. 4

41 .6 A MATRIZ DE ROTAÇÃO Coform já fo mcoado para cada lmo dv sr dfdo um ssma d coordadas co-roacoal. Para ao ulza-s um sor R qu rasforma uma ) marz do ssma global x y z ao ssma co-roacoal x yˆ zˆ sdo qu os vors co-roacoas d bas dvm sar alhados com os xos d rfrêca do lmo ξ η ζ. Sgudo Blyschko Bdma (99) quado os lados do lmo ão prmacm parallos após a dformação a roação pod sr fa apas d forma aproxmada. Dfm-s vors o ssma d coordadas global r r qu cocdam com os xos d rfrêca ξ η do lmo: r r ξ x η x. (.57) Adcoa-s um rmo d corrção r c a r d forma qu: o qu s cosgu quado: ( r r ) r (.58) + c r r r r c. (.59) r r Obém-s uma bas orogoal fazdo-s o sgu produo voral: ( r ) r r + r c. (.6) Normalzado-s os vors d bas cora-s os lmos da marz d roação R: R r R (.6) r r + r c (.6) r + rc r R. (.6) r 5

42 .7 CÁLCULO DAS TENSÕES NODAIS O cálculo das sõs odas para pós-procssamo fo ralzado d duas formas: mprgado os poos corrspods à gração compla mprgado apas o poo cral do lmo para cálculo das sõs. Para o prmro caso ulzou-s as marzs d xrapolação d sõs o ssma local coform o rabalho d Schulz (997). Para a sguda opção mprgou-s uma fução para a suavzação das sõs pos sas são cosas o domío do lmo varam d forma abrupa d lmo a lmo. * Sja o valor da são um poo do lmo obdo aravés da rpolação d valors odas d são com as fuçõs d forma N do lmo hxaédrco. Sja o valor da são avalada o poo cral do lmo. Aplcado o prcípo dos mímos quadrados m-s: * π ( ) dv ( ) dv N. (.64) V V Mmzado π m-s: * * ( ) δ dv ( δ )( N ) dv δπ V V N (.65) poddo ambém sr scra a forma: ou od N N dv N dv (.66) V V M (.67) c Para var rsolvr o ssma d quaçõs rabalha-s com a marz d massa M c N N dv ; N dv. (.68) V V dagoalzada M D (a vrdad sa marz ão é a marz d massa ral ulzada a aáls dâmca d sruuras pos ão sá mulplcada pla massa spcífca). Ns caso para um ó N m-s: 6

43 M V N M (.69) V od o somaóro é ralzado sobr os M lmos qu coém o ó N. 7

44 4 ANÁLISE DINÂMICA LINEAR 4. INTRODUÇÃO Coform dsvolvdo a sção. as quaçõs d qulíbro qu govram a rsposa dâmca lar d um problma m lmos fos são dadas por: M U & + CU & + KU P (4.) od M é a marz d massa C a marz d amorcmo K a marz d rgdz P o vor d forças xras U U & U & são os vors d dslocamos vlocdads aclraçõs rspcvam. A Eq. 4. rprsa um ssma d quaçõs dfrcas lars d sguda ordm qu s rabalho é solucoado aravés d méodos d gração dra. Ess méodos são assm chamados por ão ralzarm rasformação o ssma d quaçõs como ocorr os méodos modas. Nos méodos d gração dra as quaçõs são gradas aravés d procdmos umércos do po passo-a-passo sm cssar cálculo prévo das caracríscas dâmcas da sruura. Sgudo Bah (996) os méodos d gração dra são fudamados m duas déas báscas. Prmram ao vés d sablcr o qulíbro m odos os sas do rvalo d solução procura-s sasfazê-la m um úmro fo d sas sparados por rvalos dscros d mpo. A sguda déa básca coss m assumr uma fução para rprsar a varação da aclração dro do rvalo d mpo. Dsa forma a covrgêca prcsão da solução dpdrão da capacdad das fuçõs adoadas bm como do amaho do rvalo d mpo. Méodos d gração dra podm sr classfcados como xplícos ou mplícos. Nos prmros após a scolha d um rvalo d mpo o sado do ssma o sa + pod sr xprssado m rmos do sado os sas c. d forma xplíca. Nos mplícos a obção do sado o sa + rqur a solução d um ssma d quaçõs. Ns rabalho mprgou-s o méodo mplíco d Nwmark o méodo xplíco d Taylor-Galrk. Apsar das lmaçõs m rlação ao rvalo d mpo dos squmas xplícos ss são covs m rlação à vorzação do programa prcpalm quado s usa lmos com gração rduzda além d cosumrm 8

45 pouca mmóra srm mas rápdos para xcuar um rvalo d mpo (gralm são mas adquados para aáls ão-lar). 4. MÉTODO DE NEWMARK O méodo d Nwmark prc ao cojuo d procdmos d gração chamados d aclração lar. Eão pardo da hpós d qu a aclração r os rvalos + vara larm é possívl obr uma sér d quaçõs qu vculam os vors d dslocamos com os d vlocdad aclração. Dsa forma m-s: + U & + ( ) U&& + δ & ] U& + [ δ U (4.) + U U + U& + && & od δ α são parâmros qu podm sr drmados d forma a obr prcsão + α U + α U (4.) sabldad a gração. Na sua proposa orgal como méodo codcoalm sávl Nwmark adoou os valors δ ½ α ¼. A quação do movmo (Eq. 4.) o sa + rsula: + M U & C U& + K U + P. (4.4) + Da Eq. 4. s obém U & m rmos d + U subsudo sa xprssão + rsula a Eq. 4. m-s U & m rmos d + U. Iroduzdo sas duas quaçõs a Eq. 4.4 obém-s uma quação a forma: Kˆ + U + Pˆ (4.5) a qual os cofcs d Kˆ são cosas m + Pˆ dpd apas das forças xras + do ssma (dslocamo vlocdad aclração) o sa. Aravés d um procdmo mplíco já qu para cada rvalo d mpo é cssáro rsolvr a Eq. 4.5 obém-s o vor d dslocamos m +. O algormo complo do squma d gração d Nwmark adapado d Bah (996) é dado a abla 4.. 9

46 TABELA 4. Solução passo-a-passo usado o méodo d gração d Nwmark. A. Cálculos cas:. Formar a marz d rgdz K a marz d massa M. o. Drmar U & m fução d o U o U &. Escolhr parâmros α δ calcular as cosas: a α ; (valors cas d dslocamo vlocdad). δ.5 ; α.5(.5 + δ ) ; a δ α ; δ δ a 4 ; 5 α α a ; a ; α α a ; ( δ ) 4. Calcular a marz Kˆ : ˆ K + a M + a C. 5. Tragularzar Kˆ : K T K ˆ LDL. B. Para cada rvalo d mpo: a ; a δ 6. Calcular o vor d cargas fvas o mpo + : + 7. ( U U& U&& ) C ( U U& + a + a + a + a a U& ) P ˆ + P + M +. Rsolvr por rro-subsução o mpo + : a 4 5 LDL T + U +. Calcular as aclraçõs vlocdads o mpo + : + U & + Pˆ + ( U U) U& a a U& a U & U& + a U&& a U& 4. MÉTODO DE TAYLOR-GALERKIN O squma xplíco d Taylor-Galrk aprsa a vaagm d sr auocávl ao coráro do méodo das dfrças fas cras a quação do qulíbro dâmco é xprssa m rmos das compos d vlocdad o qu o ora adquado para problmas d ração fludo-sruura. Es squma fo ambém aprsado por Tamma Namburu (988 99) Schulz (997) Azvdo (999). A quação d qulíbro dâmco é dada por: χ ( ρ v ) j + ( v ) b ( j ) m V x ρ (4.6) j ρ

47 com as codçõs d cooro: v ( ) m Sv v (4.7) j j ( j ) m S (4.8) as codçõs cas: u ( ) m V u (4.9) v ( ) m V v (4.) od u é a compo do vor dslocamo U a drção x sdo u o valor cal dsa compo; v é a compo do vor vlocdad v a drção x v o valor cal dsa compo; j são as compos do sor d sõs; b são as compos do vor d forças d volum; ρ é a massa spcífca; χ é um cofc d amorcmo; é a varávl mporal; V é o domío m sudo; v são os valors prscros das compos d vlocdad a par S v do cooro; é a compo do vor d forças d suprfíc a par S do cooro cuja ormal drgda para fora do domío um poo gérco forma com os xos globas âgulos cujos cossos d drção são dados por j : por úlmo S v S S od S é o cooro oal do domío V. A Eq. 4.6 pod sr scra m forma compaca da sgu forma: ρ v x j S j + Q ( j ) (4.) com ρ { ρv ρv ρv } v (4.) { } j j j j S (4.) χ χ χ Q ( ρ v ) b ( ρ v ) b ( ρ v ) b (4.4) ρ ρ ρ od o supr ídc dca vors rasposos. Expaddo-s ρ v m sér d Taylor aé rmos d sguda ordm m-s: ou ada ( ) + v ( ρ v) + ( ρ v) + ( ρ v) ρ (4.5) + + ( v) ( ρ v) ( ρ v) ( ρ v) + ( ρ v) ρ (4.6)

48 ( ) ( ) + v v ρ ρ (4.7) od os supr ídcs + corrspodm aos ívs d mpo ( ) + rspcvam sdo o rvalo d mpo. Iroduzdo a Eq m 4.7 m-s qu: ( ) ( ) ( ) + + j j j j x x Q S Q S v ρ (4.8) ( ) ( ) ( ) + + j j j j x Q Q S S (4.9) ( ) ( ) [ ] ( ) / / / / / j j j j x x b v u S Q S ρ ρ χ (4.) od ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / v v v v v v ρ ρ ρ χ ρ ρ ρ ρ χ ρ ρ χ (4.) ( ) / b b b (4.) v u u u u / (4.) Iroduzdo a Eq. 4. m 4. obém-s: ( ) ( ) ( ) / / j j x b v u S v ρ ρ χ ρ ρ χ. (4.4) Ulzado-s as xprssõs usuas o méodo dos lmos fos: N V v ; b N b ; U N u (4.5) od N é uma marz codo as fuçõs d rpolação V é o vor d vlocdads odas b é o vor com as compos das forças d volum os ós dos lmos. Aplcado o méodo d rsíduos podrados clássco d Bubov-Galrk a Eq. 4.4 o coxo do MEF obêm-s a sgu xprssão marcal: ( ) ( ) [ ] H P V C U f V C M c / / ) ( ρ ρ (4.6) od V c V N d N M ; V N dv N C ρ χ (4.7)

49 f + / ( U ) V B + / dv (4.8) P + / V N b + / dv + S N p + / ds (4.9) sdo N uma marz qu coém as fuçõs d rpolação do lmo d volum V qu m cargas d suprfíc p auado a suprfíc S ; B a marz qu coém as drvadas das fuçõs d rpolação; f o vor d forças ras; o vor qu coém as compos d são; C é a marz d amorcmo smlar à marz d massa coss (pos falara mulplcar a msma por ρ). M c é uma marz A Eq. 4.6 fo dduzda a ívl d lmos. A moagm coduzrá a uma marz bada qu cssa sr ragularzada. Para var so covém rabalhar com a marz d massa dagoal M D o lugar da marz d massa coss adoar uma marz d amorcmo proporcoal à marz d massa fazdo: sdo C γ M m m m m M D ; m m m m D (4.) χ γ (4.) ρ V 8 V m 8. (4.) V 8 Aravés da Eq. 4. pod-s modfcar a Eq. 4.6 chgar à fórmula d rcorrêca: β M D γ + + ( ) / + ( ) ( ) / + ρ V f U M ρ V + P + β ( M M ) ( ρ V) k + D D c k (4.) sdo χ ψ γ + + (4.4) ρ

50 k um sub-ídc para dcar as raçõs. Exmplos sados por Schulz (997) dmosram qu o úlmo rmo da Eq. 4. m pouco fluêca d forma qu a fórmula d rcorrêca fal ão volv um squma ravo fcado: + ( ρ V) M D H. (4.5) ψ Dpos d moar aplcar as codçõs d cooro rsolvr a Eq. 4.5 pods calcular: V [( ρ V) + ( ρ V) ] + + ρ + ( V V ) + U U + + (4.6). (4.7) Para prsrvar a sabldad umérca pod-s ulzar a codção: x cr α α E (4.8) ρ od x é uma dmsão caracrísca do lmo E ρ são módulo d lascdad massa spcífca rspcvam α é um cofc d sguraça. O procsso compuacoal para a aáls lar é dcado a abla 4.. TABELA 4. Algormo d Taylor-Galrk para casos lars. a) Calcular ( + ) (cclo d mpo); b) Moar as marzs M D os vors P a ívl d lmos; c) Calcular: U + / U + V ; d) Calcular o vor d forças ras m + : + / f ; + / ) Calcular: ( ) / + H f U M ( ρ V) + P γ + D ρ ; ψ f) Calcular: ( V) M H g) Calcular o vor vlocdads m D + : V ( ρ V) + ( ρ V) aplcar as codçõs d cooro corrspods. ; [ ] + + ρ 4

51 + + + : U U + ( V + V ) h) Calcular o vor d dslocamos m aplcar as codçõs d cooro corrspods. ) S oal rorar ao passo (a) m caso coráro r ao passo (j) j) Fm do procsso. 5

52 5 ANÁLISE NÃO-LINEAR GEOMÉTRICA 5. INTRODUÇÃO Nas sçõs arors cosdrou-s dslocamos fsmas. Com sa hpós os dslocamos U são fução lar do vor d cargas aplcadas P: KU P. (5.) Cosdrado-s dslocamos pquos as gras para a avalação da marz d rgdz K o vor d cargas P são dsvolvdas sobr o volum orgal dos lmos a marz d grads B d cada lmo é assumda sr cosa dpd dos dslocamos. Dsa forma a smpls rsolução do ssma d quaçõs (5.) forc a rsposa sáca lar para um drmado carrgamo. Erao quado a aáls volv ão-lardad gomérca a Eq. 5. dv sr sasfa para odo o rvalo d mpo aravés d procdmos crmas do po passo-a-passo. Cab a obsrvação d qu m aálss sácas od ão xsm fos qu varam com o mpo (como a fluêca) além da dfção do ívl d carga o mpo é cosdrado como uma varávl cov para doar dfrs sdads d aplcação d carga cosqum dfrs cofguraçõs. Eão o problma básco da aáls ão-lar é corar o sado d qulíbro d um corpo submdo a drmado crmo d carrgamo. Para sa aáls crmal cosdra-s qu a solução para um mpo dscro é cohcda qu a solução para o mpo dscro qulíbro m lmos fos é dadas por (Bah 996): + é rqurda. Dsa forma a codção d P + f (5.) + od + é o vor das forças xras aplcadas m + + f P é o vor d forças ras m + qu pod sr scro como: f + f + f (5.) od f é o crmo o vor d forças odas corrspod ao crmo d dslocamos sõs r +. Es vor pod sr aproxmado ulzado-s a marz d rgdz K a qual corrspod às codçõs gomércas o mpo 6

53 f & K U (5.4) od U é o vor crmo d dslocamos odas K é a drvada do vor d forças ras f m rlação ao dslocamos odas U : Subsudo-s a Eq m 5. obém-s: f K. (5.5) U K U + P f (5.6) calculado U m-s uma aproxmação para os dslocamos m + U & U + U. (5.7) + Erao dvdo à Eq. 5.4 sa é apas uma aproxmação para os dslocamos m +. Tal solução sá suja a rros sgfcavos dpddo do amaho do passo d carga pod aé orar-s sávl. Na práca é cssáro rar aé qu a solução da Eq. 5. sja obda com sufc prcsão. No prs rabalho para solução sáca mprgou-s como algormo para o procsso crmal/ravo o Méodo dos Corol por Dslocamos Gralzados proposo por Yag Shh (99) dscro a sção ABORDAGEM CO-ROTACIONAL NA ANÁLISE NÃO-LINEAR Coform mcoado o capíulo para a lmação do ravamo d csalhamo é cssáro rabalhar o ssma d coordadas locas do lmo para rmovr algus rmos ão-cosas rsposávs plo lockg. Sgudo Lu al. (998) o uso d ssma co-roacoal é ambém fc para a aáls ão-lar. Embora a dscrção Lagragaa oal ou aualzada forçam duas formulaçõs cmácas basa cohcdas para aáls sruural com ãolardad gomérca para problmas com pquas dformaçõs grads dslocamos a formulação co-roacoal pod sr mas prcsa aprsar mlhor covrgêca. Torcam o movmo d um mo coíuo pod smpr sr dcomposo m um movmo d corpo rígdo sgudo por uma dformação pura. Sdo a dscrzação m lmos fos adquada para a aproxmação do coíuo sa dcomposção pod sr ralzada a ívl do lmo. S o movmo d corpo rígdo é lmado do campo d dslocamo oal qu corrspod a grads dslocamos 7

54 roaçõs pquas dformaçõs a dformação pura srá smpr uma pqua quadad m rlação às dmsõs do lmo. 5. MEDIDAS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES O ssma co-roacoal é dfdo como um ssma d coordadas carsaas qu gram com o lmo dsa forma as sõs dfdas o ssma co-roacoal ão mudam com a roação ou raslação do corpo por sso são cosdradas objvas. Por sa razão ulzam-s as sõs d Cauchy o ssma co-roacoal domada sõs d Cauchy co-roacoas como mdda d são. A axa d dformação (ou vlocdad d dformação) ambém dfda o ssma co-roacoal é usada como mdda da axa d dformação (Lu al. 998) od df df vˆ vˆ ε& dˆ + (5.8) xˆ xˆ df ˆv é a parcla do vor d vlocdads rfr à dformação (dscoada a roação d corpo rígdo) o ssma co-roacoal xˆ. Quado a dformação cal ε ˆ ( X) é dada o sor d dformação pod sr xprsso como (Lu al. 998): od ( X ) εˆ ( X) dˆ ( X ) εˆ + τ dτ. (5.9) O crmo d dformação é dado por: + df df ˆ uˆ uˆ ε ˆ d dτ & + (5.) xˆ + ˆ + / x / ˆ +/ df û é a parcla d dformação do crmo dos dslocamos o ssma coroacoal x rfrcado à cofguração o poo médo do rvalo [ + ]. O crmo d dformação m (5.) é uma aproxmação d sguda ordm da gração xaa do sor vlocdad d dformação dado m (5.8) d aé + o qu sgfca assumr qu a vlocdad é cosa dro do rvalo d mpo. 5.4 INCREMENTO DE DEFORMAÇÕES E TENSÕES CO-ROTACIONAIS Para a formulação d sõs dformaçõs aualzadas assum-s qu odas as varávs o passo d mpo aror são cohcdas. Como as mddas d sõs 8

55 dformaçõs dfdas arorm são objvas o ssma co-roacoal cssas calcular apas o crmo d dformação corrspod ao crmo d mpo [ + ]. Todas as varávs cmácas dvm sr rfrcadas a cofguração do úlmo passo d mpo Ω m a cofguração aual + Ω m +. Doado as coordadas spacas dsas duas cofguraçõs como x x + o ssma d coordadas carsao fxo Ox como mosrado a Fg. 5. pod-s obr as coordadas os corrspods ssmas co-roacoas Oˆ x xˆ + O aravés das rasformaçõs: x ˆ R x (5.) ˆ + R + x + x (5.4) od R + R são marzs orogoas qu roacoam as coordadas globas para os corrspods ssmas d coordadas co-roacoas. Ω + ^ x + Ω + x^ + Ω ^ x O FIGURA 5. Cofguraçõs o mpo x +/ +. Como o crmo d dformação sá rfrcado à cofguração m +/ m-s: x + / ( x + x+ ) (5.) 9

56 a rasformação para o ssma co-roacoal assocado com sa cofguração Ω +/ é dado por: ˆ + / R + / x + / x (5.4) Sgudo Lu al. (998) d forma smlar à dcomposção polar uma dformação crmal pod sr sparada m uma parcla d dformação uma parcla d roação pura. Sdo u o crmo d dslocamos dro do crmo d mpo [ + ] pod-s scrvr: od df u df ro u u + u (5.5) ro u são rspcvam a parcla d dformação a parcla d roação pura do crmo d dslocamos o ssma d coordadas global. A parcla d dformação ambém clu os dslocamos d raslação qu ão causam dformação (raslação d corpo rígdo). Para obr a parcla d dformação rfr à cofguração o mpo +/ cssa-s corar a roação d corpo rígdo d Ω para Ω +. Dfdo duas cofguraçõs vruas Ω ' ' + Ω pla roação da cofguração Ω Ω + ao ssma co-roacoal O xˆ +/ (vr Fg. 5.) doado como ˆx ' x ˆ ' + as coordadas d Ω ' ' + ˆ +/ Ω o ssma co-roacoal O x m-s: xˆ ' xˆ ˆ ' ˆ + x + x. (5.6) Prcb-s qu d Ω para Ω ' d ' + d corpo rígdo os dslocamos d roação são dados por: Ω para Ω + o corpo sofr duas roaçõs ro u x x R x x R xˆ ' + / ˆ' + / x (5.7) ro x ˆ + x' + x + R + / xˆ' + x + R + / x + u (5.8) Eão o crmo d dslocamos d roação oal pod sr xprsso como: ( x xˆ ) u R ( xˆ xˆ ) ro ro ro u u u x x R ˆ + + / + + / + +. (5.9) 4

57 Ω + P + ^ x + u u ro Ω' + u df P' + ^ x + Ω + Ω' P' u ro Ω x + x' + x' P ^ x O x x FIGURA 5. Dcomposção do crmo d dslocamo. Logo a parcla d dformação rfr à cofguração Ω +/ é: df ro u u u R ˆ / + ( x xˆ ) + (5.) ˆ +/ o crmo d dslocamos d dformação o ssma d coordadas coroacoal O x é drmado por: df df uˆ R u xˆ / + xˆ +. (5.) Calculado o crmo d dformação (5.) o crmo d são ambém rfrcado à cofguração rmdára Ω +/ pod sr drmado por a dformação são oal podm sr aualzadas por ˆ C εˆ (5.) ε εˆ + εˆ + (5.) ˆ ˆ ˆ ˆ + +. (5.4) Obsrva-s qu os sors d sõs dformaçõs são rfrcados à cofguração aual dfdos o ssma d coordadas co-roacoal. As compos d são dformação o ssma global podm sr drmadas por smpls rasformação d sors. 4

58 5.5 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS O sor axa d sõs d Trusdll ( TR ) vm dado por: TR T & L L + rε& (5.5) sdo L o grad spacal d vlocdad qu pod sr dcomposo m: L ε & + ω& (5.6) od ε& é o sor vlocdad d dformação (par smérca d L) ω& é o sor vlocdad d roação ou sp (par smérca d L). Em forma dcal a Eq. 5.5 pod sr scra como: & od ( j k l ) & & & & & & (5.7) j Cjklε kl + pω jp + jpωp + kε jk + jkε k jε kk C jkl é um sor d quara ordm codo as cosas láscas do maral v v j + ε& j v v j ω& j ( j ) x j x (5.8) x j x sdo qu m (5.7) (5.8) o poo dca drvação m rlação ao mpo. Sgudo Hughs Wg (98) a xprssão (5.7) ambém pod sr scra a forma: com j ( Cjkl + Cjkl ) & ε kl W & jklω kl & + ˆ ( j k l ) ( δ + δ + δ δ ) (5.8) Cˆ jkl jδ kl + l jk jl k k jl + jk l (5.9) Wjkl od os δ jk são dlas d Krockr. ( δ + δ δ δ ) l jk jl k k jl jk l (5.) Em forma marcal as quaçõs cosuvas vm dadas por: ε& & ( C + Cˆ ) ε& + Wω& [( C + Cˆ ); W]. (5.) ω& Dsprzado-s o rmo jε& kk da Eq. 5.7 o qu sgfca lmar o prmro rmo da Eq. 5.9 a marz Ĉ ora-s smérca é xprssa por: 4

59 Cˆ smérca a marz W é dada por: + + (5.) + W (5.) sdo qu sas corrspodm ao sgu ordamo dos vors d axas d dformaçõs roaçõs: {& ω& } {& ε & ε & ε & ε & ε & ε & ω & ω & ω } ε. (5.4) Ns caso a Eq. 5. com Ĉ W dados plas Eqs rprsa o L sor d axas d sõs d L ( ) ou a drvada d L do sor d sõs d Krchhoff. Eão o rabalho ro spcífco vm dado por: com { δε δω& } ( C + Cˆ ) 6x6 W6 x ε & εˆ ( ) εˆ x9 δ T (5.5) W ω 6 C x 9 x C. (5.6) + smérca A marz T ( ) qu rlacoa crmos d sõs com crmos d dformaçõs spcífcas roaçõs pod ambém sr scra como: 4

60 T C 6x6 6x ( ) + Tˆ ( ) x6 x od Tˆ ( ) é a marz d sõs cas é dada por: (5.7) ( ) Tˆ smérca / 4 / / 4 4 / / / (5.8) 5.6 MATRIZ DE RIGIDEZ TANGENTE E VETOR DE FORÇAS INTERNAS Rorado à Eq. 5.6 pod-s scrvr as quaçõs d qulíbro o ssma coroacoal a ração j como: K ˆ Uˆ sˆ Pˆ fˆ (5.9) j j j j ˆ od a marz d rgdz K j o vor d forças odas f j são dados por: j B + V j ( C Tˆ ) K ˆ B dv j V j j j ˆ f B ˆ dv. ˆ (5.4) (5.4) A marz d rgdz ag o vor d forças dsqulbradas a ração j ŝ j são rasformados para o ssma d coordadas globas por K j R Kˆ R (5.4) j j j s j R sˆ (5.4) j j od a marz R é a marz d roação corrspod. 44

61 Coform já mcoado o algormo d solução das quaçõs ão-lars mprgado é o Méodo do Corol por Dslocamos Gralzados (MCDG) o qual srá dscro a sgur. 5.7 PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES NÃO-LINEARES O comporamo da sruura pod sr d amolcmo (sofg) ou rjcmo (sffg) o camho d qulíbro pod sr sávl ou sávl a sruura pod sar m carga ou dscarga. Todos ss fômos são dfcados pla ocorrêca d poos crícos as como poos lms poos d sap-back a curva carga-dflxão (vr Fg. 5.). carga poo lm A B poos sap back AO DE: m carga AD: m dscarga E C sffg sofg O D poo lm dslocamo sávl sávl sávl FIGURA 5. - Caracríscas d um ssma ão-lar. FONTE: Yag al. 99 Para vcr os problmas umércos assocados com cada po d comporamo o méodo d solução ão-lar dv sasfazr rês créros. Prmram o méodo dv s auo-adapar às mudaças da drção do carrgamo os poos lms. Além dsso a sabldad umérca para as raçõs dv sr mada m odas as rgõs cludo aqulas próxmas aos poos crícos. Falm ajuss o amaho dos passos d carga dvm sr fos auomacam para rflr o comporamo sffg ou sofg da sruura. Er os méodos mas mprgados a lraura écca pod-s car o Méodo d Nwo-Raphso (Bah 996) o Méodo do Comprmo d Arco (Crsfld 99). Erao o Méodo do Corol por Dslocamos Gralzados (MCDG) 45

62 proposo por Yag Shh (99) m s mosrado basa fc parc sr o qu mlhor prch os rqusos cados arorm. Em gral a solução crmal/rava d problmas sruuras ão-lars o faor d crmo d carga d cada passo ravo pod sr cosdrado como uma cóga adcoal. Assm assumdo-s qu o carrgamo sja proporcoal ou sja P P P : P * P * P : * ( λ ) λ λ P * N P N pod-s scrvr a quação d qulíbro o crmo a forma: od * j U j j P + s j (5.44) K λ (5.45) λ j df o crmo do faor d carga a ração j * P é o vor d cargas odas d rfrêca s rprsa um vor d forças dsqulbradas a ração j- j dado por: s λ P f (5.46) * j j j od λ rprsa o faor d carga a ração j j f é o vor d forças ras a j msma ração. Eão o vor d crmo d dslocamos pod sr xprsso pla soma d vors: j j u u j j U λ + (5.47) od os vors sgus: j u j u são obdos como solução dos ssmas d quaçõs j K j u P (5.48) j u s j j K. (5.49) Adcoalm a sas quaçõs spcífcas são sablcdas plos dfrs méodos xss para o cálculo da cóga adcoal λ j. No MCDG usa-s um parâmro rfrdo como Gral Sffss Paramr (GSP) para obr o crmo do faor d carga da prmra ração do -ésmo passo crmal o qual é dfdo por: 46

63 { u}{ u } { u } { u } GSP (5.5) od a opração{.}{}. sgfca produo ro d vors. por: Assm a prmra ração do passo o crmo do faor d carga é dado ( ) / λ λ (5.5) ± GSP a qual rprsa o crmo cal do faor d carga (prmro passo prmra λ ração d cálculo). Para as raçõs subsqus (j > ) do msmo passo m-s: j { u} { u } j { u } { } u j sdo qu para { u } é fo gual a { } λ (5.5) u. O sal da Eq. 5.5 é dfdo d forma smpls auomáca pla varação do própro parâmro GSP uma vz qu s aprsa a pculardad d passar d sal posvo para gavo m odo poo lm prmdo assm qu as poos sjam dfcados. Cada vz qu so acoc o sdo do crscmo do carrgamo da sruura dv sr rvrdo. A xplcação físca para s comporamo do parâmro GSP é qu como s cosdra o produo ro r dos vors ags d crmos coscuvos o su sal rprsará o sal do coso r os dos vors. E como pod sr vso a Fg. 5.4 o âgulo r os vors srá obuso apas quado passar por poos lms. FIGURA Sal do coso r vors ags d crmos coscuvos. 47

64 Na abla 5. é aprsado o algormo usado para rsolvr ssmas d quaçõs ão-lars s rabalho. TABELA 5. Algormo d solução das quaçõs ão-lars (aualzação da marz d rgdz a cada ração). Cálculos cas:. Lura d dados rfrs ao MCDG ( λ λ max ol);. Icalzar varávs: λ ; λ λ. Aáls crmal / rava: ENQUANTO ( λ < ) FAÇA: λmax + (coador do úmro d passos d carga); j (coador do úmro d raçõs); ENQUANTO ( ol_rs > ol ) FAÇA: j j + (coador do úmro d raçõs); Moar a marz d rgdz global K ; j SE ( j ) ENTÃO: (prmra ração) Calcular: K j u P u j ; j SE ( ) ENTÃO : ( ) / λ ± λ GSP SE (GSP < GSP - > ) ENTÃO: - λ j λ j (mudar drção do carrgamo); FIM DO SE FIM DO SE; SENÃO: (caso d j ) Calcular: j ; j K u P j u r j j K λ j { u} { u } j { u } { } u j FIM DO SE Calcular o crmo d dslocamos: j j u u j j U λ + ; Calcular o crmo d dformaçõs Aualzar as coordadas; ε j ; Calcular o crmo do vor d forças ras f ; j 48

65 Aualzar o faor d carga Calcular o vor rsíduo: λ s j j λ + λ ; j * λ P f ; j j j Calcular: ol_rs s j / P * λ j. FIM DO ENQUANTO (coua-s o laço caso ol_rs > ol); FIM DO ENQUANTO (coua-s o laço caso λ < λmax ). Fm do procsso crmal / ravo. 49

66 6 ANÁLISE DINÂMICA NÃO-LINEAR 6. INTRODUÇÃO Como os procdmos báscos para a drmação da rsposa dâmca as cosdraçõs da ão-lardad gomérca já foram dscudos arorm apas srão aprsados algormos d como ss procdmos são aplcados d forma cojua para a aáls dâmca ão-lar. Em rlação à sabldad dos méodos d gração dra para problmas ãolars pod-s dzr qu ss sudos ada são m dsvolvmo. Por sso os créros d sabldad para squmas xplícos mcoados arorm ão são dram aplcávs a quaçõs da forma (4.) od K é um é uma marz qu dpd d U. Em muos ssmas sruuras a ão-lardad gomérca rsula uma dmução d rgdz so é uma rdução das frqüêcas saâas com o mpo. Nss casos quado as codçõs d sabldad são sasfas com rlação ao ssma larzado a sabldad da gração o ssma ão-lar é auomacam assgurada. Porém dv-s r mua ação para casos m qu ocorr o coráro ou sja quado a ão-lardad mplca m aumo d rgdz do ssma (caso d placas fas dvdo ao fo d mmbraa ou d vgas m balaço). Da msma forma qu a aáls dâmca lar rabalhou-s com um squma mplíco (méodo d Nwmark) um squma xplíco (méodo d Taylor-Galrk) para gração o mpo. 6. ESQUEMA IMPLÍCITO Cosdrado-s as quaçõs d qulíbro a forma crmal dscra (Modkar Powll 977): M U& + C U& + K U + P [ M U&& + C U & + f ( U)] (6.) od M é a marz d massa C a marz d amorcmo K a marz d rgdz oal a qual ru a marz d rgdz lásca a marz d rgdz gomérca f o vor d forças ras P o vor d forças xras U U & U & os vors d crmo 5

67 d dslocamos vlocdads aclraçõs rspcvam U U & os vors d dslocamos vlocdad avalados o mpo. Dvdo à larzação a Eq. 6. forc apas a solução aproxmada para o crmo d dslocamos r as cofguraçõs m +. Em gral a rsposa da sruura srá calcula aplcado-s pquos passos d mpo m algus casos adoado-s squmas ravos para alcaçar drmado grau d prcsão. A slção do squma para solução dsas quaçõs cosu uma par mpora do projo d programa compuacoal para aáls dâmca ão-lar. Para o prs rabalho mprgou-s o méodo d Nwmark ralzado-s raçõs dro do rvalo d mpo para sasfazr uma olrâca spcfcada. Procddo-s d forma smlar ao dcado o caso lar (capíulo 4) obéms as fórmulas do algormo d Nwmark para o caso ão-lar mosradas a abla 6. adapada do rabalho d Modkar Powll (977). TABELA 6. Solução passo-a-passo do ssma ão-lar aravés d Nwmark. A. Cálculos cas: o. Drmar U & m fução dos vors d dslocamo vlocdad cas o U. Escolhr TOL parâmros α δ calcular as cosas: B. Para cada rvalo d mpo:. Calcular a marz Kˆ a α ; a δ α ; a α ; a 8 α ; δ δ a 9 ; a. α α : ˆ K + a M + a C. K T. Tragularzar Kˆ : K ˆ LDL.. Calcular o vor d cargas fvas o mpo + : + P ˆ + ( U P) M ( U& U&& ) C( U& + a a a + a U& ) od: ( U + P) + P { M U&& + C U& + f ( U) } 4. Rsolvr por rro-subsução o mpo + : LDL T U + 5. Aualzar as aclraçõs vlocdads dslocamos m + : + U&& U&& a U& a 8 Pˆ U& + a o U o U &. 5

68 + U& 6. Calcular o vor d carga rsdual: ˆ U a U& 9 a U& + a U + U + U U ( U P) P { M U&& + C U& + f ( U) } + od: f ( U) f ( U) + f ( U). 7. Chcar covrgêca: s ˆ + / P TOL ão prcsa raçõs rpr passos d a 7 para o próxmo passo d mpo. Caso coráro procdr como dcado o m C. Aqu. doa a orma Eucldaa. C. Para cada ração k dro do rvalo d mpo:. S dsjado aualzar a marz Kˆ ragularzar (passos a do m B). T. Calcular: LDL δu ˆ. Aualzar as aclraçõs vlocdads dslocamos: + U&& k + + U& k + a δu + U& k + U& + k + a + U + k+ U k o δu + δu 4. Calcular o vor d carga rsdual como o passo 7 do m B. 5. Chcar covrgêca: s ˆ + / P TOL r para o próxmo passo d mpo caso coráro r para a próxma ração k (passo do m C). Sgudo Bah (996) o squma ravo é d fudamal mporâca m aáls dâmca ão-lar pos qualqur rro admdo a solução crmal m um rvalo d mpo parcular afa dram a solução os rvalos subsqus. Iso porqu qualqur rsposa dâmca ão-lar é alam dpd da rajóra (ou pah-dpd a rmologa m glês) xgdo qu s ulz uma olrâca mas rígda qu m aálss sácas. 6. ESQUEMA EXPLÍCITO O grad cov dos squmas xplícos é a svra rsrção m rlação ao rvalo d mpo. Coform mcoado um dos parâmros para drmar o cr do méodo d Taylor-Galrk é a Eq Ouro créro podra sr cosdrar o 5

69 cr do méodo das Dfrças Fas Cras o qual é gual a T / π od T é o mor príodo d vbração da sruura. Mas s créro é som váldo para casos lars pos m problmas ão-lars T ão é mas cosa dura oda a aáls. Dsa forma dv-s adoar um qu sja mor qu T / π dura odo a aáls. A suação críca é quado a rsposa da sruura s ora mas rígda com o mpo pos s caso o valor d cr dmu com o mpo. Para xmplfcar o problma cosdrado uma aáls a qual o rvalo d mpo é smpr fror ao rvalo adoado é lvm supror ao cr xco para poucos passos sucssvos od o cr. Ns caso o rsulado da aáls pod ão mosrar uma óbva sabldad a solução mas sm um rro sgfcavo qu é acumulado dura os rvalos m qu > cr. Esa suação é complam dfr do qu ocorr os casos lars od a sabldad é dfcada faclm quado ulza-s > (Bah 996). cr O algormo do méodo d Taylor-Galrk para aáls ão-lar é aprsado a abla 6.. TABELA 6. Algormo d Taylor-Galrk para casos ão-lars. a) Calcular ( ) + (cclo d mpo); b) Moar as marzs M D os vors P a ívl d lmo; c) Calcular: U + / U + V ; d) Calcular o crmo d dformaçõs sõs forças ras: ε +/ +/ / + f ; ) Calcular: + / + / f f + f ; + / γ + D / f) Calcular: H f M ( ρ V) + P + D g) Calcular: ( V) M H ρ ; ψ h) Calcular o vor d vlocdads m aplcar as codçõs d cooro corrspods; ; [ ] + : V ( ρ V) + ( ρ V) + ρ 5

70 ) Calcular o vor d dslocamos m aplcar as codçõs d cooro corrspods; j) Calcular: U U + + U ; : U U + ( V + V ) k) Calcular: ε f ; l) Aualzar o vor d dformaçõs: + + ε ε + ε ; m) Aualzar o vor d sõs: ; ) Aualzar o vor d forças ras: + + f f + f ; o) S oal p) Fm do procsso. rorar ao passo (a) m caso coráro r ao passo (p); 54

71 7 APLICAÇÕES NUMÉRICAS 7. INTRODUÇÃO Para s rabalho opou-s por dsvolvr códgos m sparado para cada po d aáls. Para a aáls lar mprga-s os códgos SLARID (D Sac Lar Aalyss usg Rducd Igrao) DYLARID (D Dyamc Lar Aalyss usg Rducd Igrao); para aáls ão-lar ulza-s os códgos SNARID (D Sac Nolar Aalyss usg Rducd Igrao) DYNARID (D Dyamc Nolar Aalyss usg Rducd Igrao). Como m cálculos qu volvm mlhars d lmos os méodos dros basados m lmação d Gauss rqurm grad quadad d mmóra mpo d CPU prcpalm m aálss rdmsoas dsvolvu-s ambém códgos sácos dâmcos mplícos com o procsso ravo dos Grads Cojugados (vr Apêdc II). Ns caso va-s a moagm faorzação do ssma global d quaçõs. Para o prs rabalho mprga-s Grads Cojugados uma formulação lmo-por-lmo com prcodcoador dagoal prcodcoador proporcoado pla faorzação compla d Cholsky sgudo a abordagm proposa por Hughs Frcz (987). Como o lmo fo mprgado fo dsvolvdo para var ravamo d csalhamo volumérco sou-s uma sér d bchmark ss volvdo flxão d placas cascas fas o uso d maras pracam comprssívs. Para dmosrar a aplcabldad do lmo sudado o campo ão-lar s fo comparado com rsulados d publcaçõs qu mprgam dfrs pos d lmos prcpalm lmos d casca. O pré pós-procssamo dos xmplos aalsados foram ralzados aravés do sofwar GD. Para a dscrção da malha adoada ulzam-s rês parâmros (P P P) sdo qu os dos prmros rprsam o úmro d lmos o plao o rcro dca o úmro d lmos a drção da spssura da sruura. Prmram são aprsados os xmplos sácos dâmcos lars. Na squêca mosra-s os xmplos sácos dâmcos cosdrado a ão-lardad gomérca. 55

72 7. EXEMPLOS ESTÁTICOS LINEARES 7.. Placa quadrada suja a carga cocrada Ns xmplo a placa suja a uma carga cocrada o cro (Fg. 7.) é aalsada ulzado-s malha rgular rrgular (Fg. 7.). Dvdo à smra apas ¼ da sruura é modlado. Os rsulados para o dslocamo vrcal o cro da placa são comparados com a solução aalíca. Prmram cosdra-s a placa smplsm apoada mprgam-s dos maras dfrs: caso (a): maral com cofc d Posso gual a ; caso (b): maral aproxmadam comprssívl com cofc d Posso gual a 499. F w L L F 4 E 7 L ν 499 FIGURA 7. Gomra da placa aalsada. FIGURA 7. Malha rgular rrgular adoada para ¼ da placa. A abla 7. dca o dslocamo ormalzado o qual é dfdo pla razão r o valor compuado a solução aalíca. Comparam-s os rsulados obdos plo programa dsvolvdo (SLARID) com os valors alcaçados por Lu al. (994) o qual adoa lmo hxaédrco com 4 poos d gração com o lmo qu aprsa gração compla (IC). Obsrva-s qu ao o lmo mplmado como o lmo dsvolvdo por Lu al. (994) aprsam bos rsulados msmo com malha grossra. No ao m smpr aprsam covrgêca mooôca dos rsulados quado s rfa a malha mas ss valors ada assm prmacm próxmos da solução xaa. 56

73 TABELA 7. Dslocamo ormalzado da placa para o caso (a): malha rgular. Elmo Dscrzação 4 x 4 x 8 x 8 x 4 6 x 6 x 4 SLARID Lu al. (994) IC ( ) Solução aalíca w max 68 (PL / E ) 8. TABELA 7. Dslocamo ormalzado da placa para caso (a) (b). Elmo caso (a): ν caso (b) : ν 499* malha rgular malha rrgular malha rgular malha rrgular SLARID Hu Nagy (997) 5** 9*** 9**** 9*** IC ( ) Malha 4 x 4 x 4. * Solução aalíca w max 45 (PL / E ) 74. ** rfrcado como 5% ; *** rfrcado como 9% ; **** rfrcado como 9%. Prcb-s qu o lmo sudado aprsa dsmpho basa sasfaóro msmo com malhas grossras dsorcdas (abla 7.). A cocordâca com os rsulados obdos por Hu Nagy (997) dca qu a formulação fo adquadam mprgada. O fao d alcaçar bos rsulados com maral pracam comprssívl dmosra qu o lmo ão sofr ravamo volumérco ao coráro do lmo com gração compla o qual aprsa dslocamos bm mors qu os órcos. No caso (a) ovam os lmos com gração compla ão são adquados pos sofrm ravamo d csalhamo caracrísco d sruuras fas submdas à flxão. Como forma d sar o lmo sudado para s caso spcífco d flxão m placas fas aalsou-s a placa com dfrs spssuras. Para ss ss cosdrou-s a placa gasada com cofc d Posso gual a. Os rsulados são ploados a Fg. 7. od o xo das abscssas são os valors d sblz m scala logarímca o xo das ordadas são os dslocamos vrcas dvddos plo valor aalíco ss úlmo obdo sgudo a ora d placas fas: w ϕ. w (Tora d Krchhoff) max 57

74 Obsrva-s qu o lmo com gração rduzda uform compora-s bm aé msmo para valors d sblz basa lvados () cocddo com a ora d placas fas. Por ouro lado o lmo com gração compla além d sr mas caro compuacoalm aprsa uma sobr-rgdz dvda ao ravamo d csalhamo cosqum o valor d ϕ d à zro à mdda qu s auma a sblz da placa. 4. ϕ.. SLARID: malha IC: malha Tora d Krchhoff.. log ( L / ) FIGURA 7. Comporamo do lmo para dfrs spssuras da placa. Mado-s a spssura da placa gual a 5 (sblz ) rfado-s a malha rsolvu-s o ssma d quaçõs d qulíbro por dfrs procssos. Os rsulados são mosrados a Fg Como forma d mmzar a sm-largura d bada ulzou-s o rordamo odal do ssma GAELI (Txra 999). Obsrva-s qu à mdda qu s rfa a malha cosqum auma o úmro d cógas a sm-largura d bada a solução por procssos ravos passa a sr mas compvo além d rqurr mos mmóra para armazar marzs. Prcb-s ambém qu as duas formas d prcodcoamo aprsam rsulados basa smlhas s caso (sblz gual a ). Porém à mdda qu o placa s ora mas fa cosqum a marz global passa a sr mal codcoada o uso do prcodcoador aravés d faorzação compla d Cholsky ofrc um sgfcavo gaho m rmos d mpo compuacoal (vr comparação d úmro d raçõs a Fg. 7.5). 58

75 mpo (s) Gauss - sm mmzador bada Gauss - com mmzador d bada Grads Cojugados sm prc. GC prc. Dagoal GC prc. Cholsky úmro d lmos FIGURA 7.4 Tmpo d solução com dfrs forma d solução do ssma. Máqua ulzada: procssador Aho AMD GHz 56MB RAM. úmro d raçõs GC GC sm prc. GC prc.dagoal GC prc. Cholsky L / FIGURA 7.5 Comparação do úmro d raçõs o méodo dos grads cojugados para dfrs spssuras da placa. 7.. Vga prvam orcda (Twsd Bam) Uma vga d comprmo L cujas sçõs rasvrsas gram uformm d º a 9º ao logo do xo logudal é gasada m uma d suas xrmdads a oura é submda a uma carga cocrada F. Por aprsar lmos basa dsorcdos s problma é cosdrado um bchmark para aáls com gração rduzda. As caracríscas da vga são dcadas a Fg Os dslocamos compuados a xrmdad lvr são comparados com os rsulados publcados por Lu al. (994) os obdos com gração compla (abla 59

76 7.). Obsrva-s qu o lmo sudado aprsa xcl rsulado ovam o lmo com gração compla sofr ravamo d csalhamo. E 9 7 L ν H F FIGURA 7.6 Idcação dos dados para a vga orcda. TABELA 7. Comparação dos rsulados para a vga orcda. Elmo w / w max SLARID 9 Lu al. (994) 6 IC ( ) 5 Malha 4 x 4 x 4. Solução aalíca w max 544. A abla 7.4 sablc a comparação r os procssos d solução ravos. Obsrva-s qu a solução com prcodcoador aravés da faorzação compla d Cholsky xg muo mos raçõs s caso sa rdução é sufc para obr um mpo d procssamo bm mor qu as dmas soluçõs ravas (mbora cada ração com faorzação d Cholsky sja mas dmorada). A Fg. 7.7 mosra a cofguração dformada da vga amplfcada m vzs. TABELA 7.4 Comparação r os méodos ravos. Ssma d Solução das Equaçõs d Equlíbro Tmpo d Solução Númro d Iraçõs Grads Cojugados (GC) sm prc. * 8 GC com prcodcoador dagoal 85 7 GC com prcodcoador por faorzação compla d Cholsky 44 6 * Equval a 67 sgudos (procssador Aho AMD GHz 56 MB RAM). 6

77 FIGURA 7.7 Cofguração dformada da vga orcda (magfcada m vzs). 7.. Placa crcular gasada suja à carga cocrada A placa crcular fa dcada a Fg. 7.8 sá gasa m uma carga cocrada aplcada o cro. Dvdo à smra apas ¼ da placa fo modlado. Na abla 7.5 os dslocamos ormalzados o cro da placa são comparados com os rsulados aprsados o rabalho d Lu al. (994) o qual mprga-s lmo hxaédrco com 4 poos d gração. Noa-s qu os rsulados obdos fcaram mas próxmos da solução aalíca. A comparação r os prcodcoadors ulzados sá dcada a abla 7.6. Novam por sr uma sruura fa (marz d rgdz mal codcoada) a solução por faorzação d Cholsky aprsa mlhor dsmpho qu o prcodcoador dagoal. F w h R E 7 ν R h F FIGURA 7.8 Caracríscas da placa crcular. TABELA 7.5 Comparação dos rsulados para a placa crcular gasada. Elmo Dscrzação * 4 SLARID Lu al. (994) 8 97 IC ( ) 9 Solução aalíca w max * lmos/sção lmos/spssura. 6

78 TABELA 7.6 Comparação r os prcodcoadors ulzados (malha 4). Ssma d Solução das Equaçõs d Equlíbro Tmpo d Solução Númro d Iraçõs Grads Cojugados (GC) sm prc. * 94 GC com prcodcoador dagoal GC com prcodcoador por faorzação compla d Cholsky * Equval a sgudos (procssador Aho AMD GHz 56 MB RAM) Cldro suporado por dafragmas rígdos (Pchd Cyldr) A Fg. 7.9 mosra um cldro d pards fas com cargas cocradas o cro. Em ambas as xrmdads xsm dafragmas rígdos. Dsa forma som os movmos a drção axal são prmdos. Dvdo à smra apas / 8 da sruura é modlada. A dflxão o poo d aplcação da carga é usada para comparar o dsmpho dos lmos coform dca a abla 7.7. F L/ L/ R E 6 ν R h F L 6 h F FIGURA 7.9 Caracríscas do cldro aalsado. TABELA 7.7 Comparação dos rsulados para o cldro. Elmo w / w max SLARID 974 Lu al. (994) 98 IC ( ) 9 Malha x x 4. Solução aalíca w max

79 O fao do lmo sudado fucoar d forma basa fc para s xmplo comprova qu além d var o ravamo d csalhamo o lmo ão sofr ravamo plos sforços d mmbraa o qual é comum m lmos curvos. A Fg. 7. mosra a cofguração dformada do cldro. FIGURA 7. Cofguração dformada do cldro ro da par modlada magfcadas 6 vzs. Mas uma vz o prcodcoador aravés da faorzação compla d Cholsky provou sr o mas fc (abla 7.8). Mas o qu chama mas ação é o fao do procsso com prcodcoador dagoal aprsar dsmpho por qu o procsso sm prcodcoador. Iso ocorr plo fao d s raar d um casca fa com marz d rgdz mal codcoada. TABELA 7.8 Comparação r os procssos ravos para o cldro. Ssma d Solução das Equaçõs d Equlíbro Tmpo d Solução Númro d Iraçõs Grads Cojugados (GC) sm prc. 8 6 GC com prcodcoador dagoal * 66 GC com prcodcoador por faorzação compla d Cholsky 4 85 * Equval a 5598 sgudos (procssador Aho AMD GHz 56MB RAM). 6

80 7..5 Casca clídrca suporada por dafragmas rígdos (Scordls Lo roof) A casca clídrca fa dcada a Fg. 7. sá suja apas a sforços dvdos ao pso própro é suporada m suas xrmdads logudas por dafragmas rígdos os quas prmm som movmos axas. θ/ R L L 5 R 5 5 θ 8º ρ 6/volum ν E 4 8 FIGURA 7. Caracríscas da casca clídrca. Dvdo à smra apas ¼ da sruura fo dscrzada. A abla 7.9 dca a rlação r o dslocamo vrcal obdo o mo da borda laral pla solução aalíca dcada por Lu al. (994) Blyschko Lvaha (994). Obsrva-s qu msmo com poucos lmos ao logo da spssura o lmo compora-s bm (suação críca d ravamo d csalhamo). TABELA 7.9 Comparação dos rsulados para a casca clídrca. Elmo Dscrzação SLARID Lu al. (994) 6 - Blyschko al. (994)*.74 - IC ( ) Solução aalíca w max 4. * ulzou malha d 8 8 com lmos d casca com 4 ós. A Fg. 7. dca a dformada da casca clídrca magfcada m vzs. A abla 7. aprsa os rsulados do procsso ravo. 64

81 FIGURA 7. Dformada da casca clídrca (magfcada m vzs). TABELA 7. Comparação r os prcodcoadors. Ssma d Solução das Equaçõs d Equlíbro Tmpo d Solução Númro d Iraçõs Grads Cojugados (GC) sm prc. * 86 GC com prcodcoador dagoal GC com prcodcoador por faorzação compla d Cholsky * Equval a 66 sgudos (procssador Aho AMD GHz 56MB RAM). 7. EXEMPLOS DINÂMICOS LINEARES 7.. Vga prvam orcda (Twsd Bam) O msmo problma mosrado a Fg. 7.7 é agora rsolvdo cosdrado-s a força F como uma fução salo uáro (u sp fuco) o mpo gual a zro massa spcífca gual a 5-4. O gráfco dslocamo mpo (vr Fg. 7.) da aáls dâmca ão amorcda é comparado com o obdo por Hu Nagy (997) od ambém adoou-s uma malha d lmos hxaédrcos. Prcb-s uma boa cocordâca dos rsulados. Os rsulados da aáls mplíca xplíca cocdm sdo qu s adoou -4 s para o méodo d Nwmark -7 s para o méodo d Taylor- Galrk ( passos d mpo). 65

82 .5 DYLARID Hu Nagy (997) solução aalíca sáca dslocamo dâmco máxmo dslocamo mpo (s) FIGURA 7. Gráfco dslocamo a xrmdad lvr mpo. Ns problma apas o prmro modo d vbração é sgfcavam xcado pla força xra por sso o comporamo da sruura é smlar a um ssma d um grau d lbrdad od o máxmo dslocamo é duas vzs a dflxão sáca a cofguração dformada é rcuprada prodcam (vr Fg. 7.4). FIGURA 7.4 Dformada da vga majorada vzs: sa 5 7s. 7.. Placa crcular gasada Uma placa crcular gasada as bordas (Fg. 7.5) sá suja a uma carga dsrbuída q o qu é aplcada o mpo gual a zro prmac cosa dura a aáls (fução passo d carga). Dvdo à smra som ¼ da placa é dscrzada. 66

83 q R E h 5 ν -4 q ρ R q () h q FIGURA 7.5 Caracríscas da placa crcular gasada. A Fg. 7.6 mosra o gráfco do dslocamo vrcal ão amorcdo o poo cral da placa m fução do mpo. Para a aáls ulzou-s malha 4 lmos. Os rsulados são comparados com os obdos por Rddy (984) o qual ulzou lmos quadragulars d 4 ós com gração slva. Novam os rsulados do méodo mplíco xplíco cocdm. Com a dfrça d qu ulzou-s s para o méodo mplíco 5 s para o xplíco. dslocamo o poo cral Rddy (984) DYLARID rsulado sáco mpo (s) FIGURA 7.6 Gráfco dslocamo mpo da placa crcular. Comparou-s ambém a são ormal o poo cral supror da placa. O cálculo das sõs o programa DYNARID fo ralzado d duas formas: ulzado gração compla (IC) avalado a são apas o poo cral do lmo (IR). Os rsulados são ploados a Fg Obsrva-s uma dfrça sgfcava r 67

84 a são odal obda aravés da suavzação das sõs dos oo poos d gração dos lmos a suavzação das sõs os poos cras dos lmos (Fg. 7.7)....8 DYLARID IC DYLARID IR Rddy (984) rsulado sáco são mpo (s) FIGURA 7.7 Gráfco xx mpo para a placa crcular. A Fg. 7.8 lusra as sõs avaladas o poo cral sm com o procsso d suavzação dscro m.7. FIGURA 7.8 Tsõs ormas o poo cral sm com suavzação. Para smular uma aáls amorcda do ssma ulzou-s um cofc d amorcmo ( χ ) gual a 5 o méodo xplíco d Taylor-Galrk obv-s o gráfco dslocamo mpo da Fg Ou sja após o amorcmo complo a rsposa sablzada cocd com a solução sáca. 68

85 dslocamo ormalzado Taylor-Galrk rsulado sáco mpo (s) FIGURA 7.9 Rsposa amorcda da placa crcular. 7.. Casca sférca gasada suja a carga pulso o ápc A casca sférca mosrada a Fg. 7. fo aalsada modlado-s apas ¼ da sruura. Emprgou-s malha com 5 5 lmos a par cral (poo d aplcação da carga) o volum rsa mprgou-s malha d 5 lmos. F h H F R θ E 7 ν R 476 θ 9º h 576 H 859 ρ 45 FIGURA 7. Dscrzação proprdads da casca sférca. 69

86 Na Fg. 7. é aprsada a rsposa ras lar corada sobrposa ao rsulado publcado por Bah (974) o qual ulzou lmos axsmércos d 8 ós. A ordada rfr-s ao dslocamo vrcal o ápc admsoalzado (dvddo por H). Obsrva-s qu msmo com apas dos lmos a spssura obv-s uma boa rprsação do comporamo dâmco da sruura. Os rsulados obdos plo méodo mplíco xplíco fcaram basa próxmos como pod sr vso a Fg. 7. od sá dsacada a rsposa dâmca os prmros µs. Para o méodo mplíco d Nwmark adoou-s o µs (msmo rvalo d mpo mprgado por Bah 974) para o méodo xplíco d Taylor-Galrk ulzou-s 7µs. Como s raa d aáls lar os xmplos aprsados são rsolvdos com poucos lmos o squma xplíco d Taylor- Galrk ão é compvo s comparado com o méodo mplíco d Nwmark. Erao o méodo xplíco é fudamal para aálss ão-lars (como srá vso o xmplos 7.5 ) pos é muo mas rápdo m cada rvalo d mpo cosom muo mos mmóra. dslocamo admsoal w / H DYLARID Bah al (974) solução aalíca sáca mpo (µs) FIGURA 7. Gráfco dslocamo mpo da casca sférca. Para aprovar o fao do méodo d Nwmark sr codcoalm sávl pod-s ulzar o algormo d Grads Cojugados com prcodcoador proporcoado pla faorzação compla d Cholsky obr um procdmo qu rqur muo mos mmóra do compuador do qu os méodos dros (Hughs 7

87 Frcz. 987). A abla 7. dca o comparavo r o méodo mplíco com procdmo ravo o méodo xplíco..8.5 dslocamo w/h Nwmark: rvalo mpo.µs Taylor-Galrk: rvalo d mpo.7µs mpo (µs) FIGURA 7. Comparação r os rsulados do méodo mplíco xplíco. TABELA 7. Comparação r os méodos d solução. Méodo (s) Tmpo rlavo Nwmark com GC prc. Faor. Cholsky -6 5 Taylor-Galrk 7-6 * * Equval a s (procssador Alho AMD GHz 56MB RAM) 7..4 Casca clídrca suporada por dafragmas rígdos (Scordls-Lo roof) Com a msma casca clídrca aprsada o xmplo 7..5 faz-s a aáls dâmca ão amorcda. O carrgamo é cosdrado cosa o mpo m forma d carga d suprfíc o valor d 9. por udad d ára (% do carrgamo sáco para var flambagm). O gráfco do dslocamo vrcal o poo cral da borda lvr da casca m fução do mpo é mosrado a Fg. 7.. Es é comparado com o rsulado obdo por Blychko al. (994) qu ulzou malha 4 4 com lmos plaos. 7

88 dslocamo o mo da borda lvr DYLARID: malha 8 8 Blyschko al (994) solução aalíca sáca máxmo dslocamo dâmco mpo (s) FIGURA 7. Gráfco dslocamo mpo para a casca clídrca. Novam apas o mas baxo modo d vbração é sgfcavam xcado plas forças xras ão o comporamo da sruura é smlar ao ssma d um grau d lbrdad od o máxmo dslocamo é o dobro da dflxão sáca a cofguração dformada é rcuprada prodcam. A curva aprsada a Fg. 7. é cocd para o méodo xplíco ( 5-6 s) o méodo mplíco ( - s). 7.4 EXEMPLOS ESTÁTICOS NÃO-LINEARES 7.4. Vga m balaço suja a grads roaçõs A Fg. 7.4 mosra uma vga fa m balaço suja a uma grad carga cocrada o xrmo lvr (cosrvava). Es xmplo fo aprsado o rabalho d Lu al. (998) qu srvu como bblografa para mplmação da ãolardad gomérca. Naqul rabalho Lu al. ulzou lmos hxaédrcos d 8 ós com 4 poos d gração. Para s problma mprgou-s malha d assm como a publcação d rfrêca. As proprdads do maral são: E 8 ν. 7

89 P L FIGURA 7.4 Vga m balaço aalsada. A Fg. 7.5 aprsa a comparação dos dslocamos ao logo do comprmo da vga para a carga máxma (P695). A Fg. 7.6 mosra as cofguraçõs dformadas para dfrs crmos d carga (sm amplfcação) a Fg. 7.7 o gráfco força dslocamo o xrmo lvr cosdrado λ λ max (parâmros do MCDG). Ao odo foram crmos d carga com o máxmo 6 raçõs dro d cada crmo. Nsa fgura (Fg. 7.7) obsrva-s claram o aumo auomáco do crmo d carga à mdda qu a sruura passa a aprsar um comporamo mas rígdo. 8 Dslocamo vrcal 6 4 SNARID Lu al (998) Coordada logudal cal dos ós FIGURA 7.5 Comparação com os rsulados obdos por Lu al.(998). 7

90 FIGURA 7.6 Dformaçõs ras para os ívs d carga: P68; P84; P6 P698. A abla 7. mosra o dsmpho das dfrs vrsõs do programa para a aáls ão-lar sáca a Fg. 7.8 compara o úmro d raçõs do procsso ravo para cada crmo d carga. Obsrva-s qu a solução sm prcodcoador com prcodcoador dagoal xs um aumo mas xprssvo do úmro d raçõs à mdda qu o ssma ora-s mal codcoado (aumo da ão-lardad gomérca). 5 5 Aáls ão-lar (SNARID) Aáls lar Força vrcal Dslocamo vrcal FIGURA 7.7 Gráfco força dslocamo. 74

91 TABELA 7. Comparação r os méodos d solução. Méodo Tmpo rlavo Toal d raçõs GC Sm-bada Elmação d Gauss (EG) - EG com omzador d bada - GC sm prcodcoador GC prc. dagoal GC prc. Cholsky * 5 - * Equval a 474s (procssador Aho AMD GHz 56MB RAM). raçõs do procsso dos GC 5 4 GC prc. Cholsky GC prc. dagoal GC s m prc crmos d carga FIGURA 7.8 Númro d raçõs o méodo dos GC m cada crmo Vga m balaço suja a momo o xrmo A vga m balaço rprsada a Fg. 7.9 sá suja a um báro d forças ão-cosrvavas d forma a produzr um momo cosa o xrmo lvr. Sob as crcusâcas a vga sofr grads roaçõs o plao d forma a cuvar-s aé o poo m qu os dos xrmos cocdam (Fg. 7.). FIGURA 7.9 Vga m balaço suja a cargas cosrvavas E 5 ν. 75

92 FIGURA 7. Dformada ral da vga para M/M o 5; 5 ; 75 ;. Sgudo a quação da lha lásca da vga a solução aalíca para a vga flda com momo cosa é dada por: / r M / EI od M é o momo aplcado o xrmo r o rao d curvaura. Dsa forma o momo qu corrspod ao rolamo (roll-up) oal da vga é dado por M o πei / L sdo L o comprmo oal da vga gual ao comprmo oal do arco crcular ( π r L ). Para os dados ulzados o momo M o val 68. A curva carga dslocamo o xrmo é aprsada a Fg momo aplcado 4 dslocamo vrcal dslocamo horzoal Sh Voyadjs (99) dslocamos FIGURA 7. Gráfco momo dslocamo vrcal/horzoal para a vga com momo cocrado o xrmo. 76

93 Os rsulados dcados a Fg. 7. rfrm-s a uma malha d 4x4x lmos. Noa-s uma boa cocordâca com os rsulados obdos por Sh Voyadjs (99) os quas adoam lmos d placa com 4 ós gração rduzda ( poo) a solução aalíca Arco crcular gasado sujo a carga cocrada Ns xmplo suda-s o comporamo pré pós-flambagm do arco crcular dcado a Fg. 7.. Obsrva-s qu dvdo à smra apas mad do arco fo modlada. A curva carga dslocamo mosrada a Fg. 7. corrspod ao dslocamo vrcal o poo cral do arco. Ulzou-s malha com 4 lmos dscrzados a spssura (malha ). Os rsulados fcaram próxmos aos obdos por Jag Chruka (994) os quas mprgaram lmos d casca com abordagm co-roacoal (vr Fg. 7.). Para o MCDG mprgou-s λ λ max 5. P/ R 7º FIGURA 7. Par smérca do arco crcular modlado. E 4 ; ν. A Fg. 7.4 mosra as cofguraçõs dformadas ras do arco ao logo do procsso ão-lar. A abla 7. mosra o comparavo r os procssos d solução mprgados para rsolvr as quaçõs d qulíbro m cada sa. 77

94 5 malha 4xx malha 4x4x Jag Chruka (994) Carga vrcal Dslocamo vrcal o cro FIGURA 7. Curva carga dslocamo para o arco crcular. FIGURA 7.4 Cofguraçõs dformadas ras do arco crcular m sas com dslocamo vrcal gual a ; 8; 78; 4 o poo cral. 78

95 TABELA 7. Comparação r os méodos d solução (malha 4 4 ). Méodo Tmpo rlavo Toal d raçõs GC Sm-bada Elmação d Gauss (EG) 4-54 EG com omzador d bada - GC sm prcodcoador GC prc. dagoal * GC prc. Cholsky * Equval a 7748 s (procssador Aho AMD GHz 56MB RAM) Casca clídrca roulada com carga cocrada o cro A casca clídrca mosrada a Fg. 7.5 aprsa as xrmdads ras rouladas os lados curvos lvrs. Dvdo à smra apas ¼ da casca fo modlado. Adoou-s malha d 4 lmos. Os dslocamos vrcas o cro da casca foram comparados com os obdos por Jag Chruka (994) os quas mprgaram malha d 6 6 lmos d casca com abordagm co-roacoal (vr Fg. 7.6). P 7 58 R 54 rad E 75 ν FIGURA 7.5 Caracríscas da casca clídrca aalsada. Assm como o xmplo aror o sap-hrough a curva carga dslocamo fo obdo auomacam aravés do MCDG o qual arbrou-s λ λ max. 79

96 4 malha xx malha xx4 Jag Chruka (994) Carga P Dslocamo vrcal FIGURA 7.6 Curva carga dslocamo vrcal o cro da casca clídrca Placa quadrada gasada com carga dsrbuída uform Da msma forma qu o rabalho d Sh Voyadjs (99) dmosra-s s xmplo para vrfcar a fluêca das forças d csalhamo sobr placas submdas a grads dslocamos. Para ao sa-s a placa quadrada dcada a Fg. 7.7 com duas razõs d sblz dfrs: a/h a/h od a é o comprmo da placa h é a spssura da placa. a q carga dsrbuída h spssura Eh D - ( ν ) a FIGURA 7.7 Caracríscas da placa quadrada aalsada. O gráfco da Fg. 7.8 rprsa o dslocamo vrcal w o cro da placa (dvddo pla spssura) à mdda qu s auma a carga dsrbuída q. Os rsulados para a malha d lmos são comparados com os obdos o rabalho d Sh Voyadjs (99) os quas ulzaram malha d 4 4 lmos d placa. 8

97 SNARID: a/h SNARID: a/h Sh Voyadjs (99): a/h Sh Voyadjs (99): a/h solução lar: a/h qa 4 /Dh w / h FIGURA 7.8 Curva carga dslocamo vrcal da placa quadrada. Obsrva-s qu com a msma dscrzação o plao (4 4) obv-s uma boa cocordâca r o lmo rdmsoal o lmo d placa. Prcb-s ambém qu a dfrça r a rsposa para a/h a/h ora-s maor à mdda qu a dflxão da placa crsc. Por sso sgudo Sh Voyadjs (99) pods coclur qu as forças d csalhamo m aáls ão-lar d placas xrcm um papl mas mpora do qu o caso d aálss lars Cldro com xrmos lvrs sujo a cargas cocradas Ns xmplo é avalada a rsposa do cldro mosrado a Fg. 7.9 quado submdo a grads roaçõs. Dvdo a smra apas /8 da sruura fo modlada ulzado-s uma malha d lmos. Os xrmos do cldro são cosdrados lvrs. A Fg. 7.4 mosra a curva força dslocamo vrcal o poo A comparada com o rabalho d Jag Chruka (994) os quas mprgaram uma malha d 8 lmos d casca. Sgudo Jag Chruka (994) pod-s dvdr a rsposa da sruura (Fg. 7.4) m duas fass: fas cal caracrzada por grads dslocamos grads roaçõs assocados com a rgdz à flxão; fas fal caracrzada por uma rsposa xrmam rígda assocada com a rgdz d mmbraa da casca. Na 8

98 rasção r sas duas fass ocorr uma flambagm localzada rprsada pla pqua dscoudad a curva. L/ A P L/ E 5 ν 5 R L 5 R 495 h 94 (spssura) P FIGURA 7.9 Caracríscas do cldro aalsado. Obsrva-s qu fo possívl rprsar bm o comporamo da sruura aé o dslocamo gual a. A parr ds poo a curva obda ão acompaha bm os rsulados aprsados por Jag Chruka (994) mas ada assm é possívl obr uma boa rprsação do comporamo da sruura. 5 4 SNARID Jag Chruka (994) carga P dslocamos FIGURA 7.4 Gráfco força dslocamo vrcal m A. 8

99 A Fg. 7.4 lusra as cofguraçõs dformadas da par modlada do cldro para carga P45 P4. A Fg. 7.4 é rrada do rabalho d Jag Chruka (994) para rprsar a cofguração dformada d odo o cldro para P596. FIGURA 7.4 Cofguraçõs dformadas ras do cldro para P45 P4. FIGURA 7.4 Cofguração dformada d odo o cldro para P596. FONTE: Jag Chruka

100 7.4.7 Placa crcular gasada suja a carga dsrbuída uform Es xmplo rfr-s a uma placa crcular fa (Fg. 7.4) submda a carga dsrbuída com cofc d Posso gual a 5. O rsulado para o dslocamo o cro da placa é comparado com a solução aalíca (Tmoshko Wowsky- Krgr 959) o rsulado aprsado por Sh Voyadjs (99) o qual mprgous 4 lmos d placa. Ulzou-s uma malha d 8 4 lmos (8 lmos ao logo dos lados ros 4 a spssura). A Fg mosra qu cosguu-s uma boa cocordâca com a solução aalíca. q R h FIGURA 7.4 Gomra da placa crcular malha ulzada. qr 4 /Eh 4 SNARID Sh Voyadjs (99) solução aalíca 4 5 w c / h FIGURA 7.44 Dflxão o cro da placa crcular. 84

101 7.4.8 Placa ragular m balaço com carga cocrada o cao Ns xmplo aalsa-s a placa lusrada a Fg submda a grads dslocamos grads roaçõs dvdo à carga cocrada aplcada o cao. Emprgou-s uma malha d 8 4 lmos. As curvas carga dslocamo dcadas a Fg aprsam boa cocordâca com os rsulados obdos por Sh Voyadjs (99) o qual ulzou-s malha d 6 8 lmos d placa. Excção s faz para o dslocamo va mas como s valor sá mulplcado por o gráfco sa dfrça é pracam sgfca. u w v P h 4 ν E 8 h 4 a FIGURA 7.45 Caracríscas da placa ragular. 5 5 Carga P 5 5 wa ua va Sh Voyadjs (99) Dslocamos FIGURA 7.46 Curvas força dslocamo o poo a da placa ragular. 85

102 7.4.9 Vga b-gasada sob carga cocrada Esuda-s aravés ds xmplo a rsposa sáca da vga b-gasada suja a grads dslocamo dvdo à carga cocrada o cro do vão coform Fg Modlou-s mad da vga com malha d 4 lmos. Os rsulados dos dslocamos o cro do vão são comparados com a solução obda por Modkar Powll (977) os quas mprgaram 5 lmos plaos d 8 ós com gração d. P w L/ L/ h L h 5 b E ν ρ 98 FIGURA 7.47 Caracríscas da vga b-gasada aalsada. Pod-s obsrvar qu à mdda qu auma-s a carga a vga aprsa um comporamo xrmam rígdo sdo os dslocamos a aáls lar muo suprors aos dslocamos obdos a aáls ão-lar (vr Fg. 7.48) SNARID: aáls ão-lar Modkar Powll (997) SLARID: aáls lar Força P Dslocamo w FIGURA 7.48 Gráfco força dslocamo vrcal da vga b-gasada. 86

103 Os rsulados cocdm com os obdos por Modkar Powll (977) qu ambém ralzaram a aáls dâmca ão-lar da vga aprsada os xmplos dâmcos ão-lars (m 7.5) Arco sujo à carga cocrada O arco lusrado a Fg sá sujo a uma carga cocrada o cro do vão. Som a mad da sruura é modlada ulzado-s malha d 4 4 lmos. h R P θ R h b θ 77 rad FIGURA 7.49 Caracríscas do arco sudado. A Fg. 7.5 mosra o dsmpho do programa para a aáls sáca ão-lar. Os dslocamos vrcas dvddos plo rao são comparados com os obdos por Lao Rddy (987). Adoou-s λ λ para os parâmros do MCDG. max A Fg. 7.5 mosra a cofguração dformada para dfrs ívs d carga (sm magfcar os dslocamos). 75 SNARID Lao Rddy (987) 5 Força P w / R FIGURA 7.5 Curva força dslocamo/r m aáls sáca ão-lar. 87

104 FIGURA 7.5 Cofguraçõs dformadas ras do arco para P 75 P 4 P 586 (w/r 8) P. Para sa msma sruura assm como o rabalho d Lao Rddy (987) ralza-s ambém a aáls dâmca ão-lar dscra o m EXEMPLOS DINÂMICOS NÃO-LINEARES 7.5. Vga b-gasada sob carga cocrada A vga dscra o xmplo sáco ão-lar rprsada a Fg é agora aalsada d forma dâmca cosdrado-s a ão-lardad gomérca. Novam adoou-s uma malha d 4 lmos os rsulados dos dslocamos o cro vão são comparados com a solução obda por Modkar Powll (977) os quas mprgaram 5 lmos plaos d 8 ós. P w L/ L/ h L h 5 b E ν ρ 98 FIGURA 7.47 Caracríscas da vga b-gasada aalsada. 88

105 Esudou-s a rsposa da vga dura o mpo d 5µs suja a um passo d carga dâmca com P64 (Fg. 7.5). Dvdo ao comporamo xrmam rígdo da vga para P64 (vr Fg do xmplo sáco ão-lar 7.4.9) pod-s sprar qu sa vga suja à carga dâmca vbrará com um príodo cosdravlm mor qu o príodo d vbração m aáls lar. Iso afa dram a scolha do rvalo d mpo para a aáls dâmca ão-lar pos sgfca qu à mdda qu a rsposa s ora mas rígda o cr dmu. A Fg. 7.5 mosra a comparação da rsposa dâmca lar ão-lar da vga (os dslocamos ão-lars são mulplcados por ). Assm como o sudo d Modkar Powll (977) a rsposa lar a rsposa ão-lar foram obdas com passos d mpo d 5µs usado o méodo d Nwmark. Por ouro lado para o méodo xplíco d Taylor-Galrk mprgou-s um passo d mpo gual a µs. A solução ão-lar obda plo méodo xplíco é basa próxma aos rsulados do méodo mplíco com 5µs (Fg. 7.54). O valor do príodo d vbração para a aáls lar fcou m oro d T 956µs para a aáls ão-lar T µs. P() 64 FIGURA 7.5 Fução d carrgamo ao logo do mpo. Dslocamos (w L wnl) Rsposa lar Rsposa ão-lar Solução sáca ão-lar 4 5 mpo (µs) FIGURA 7.5 Comparação r a rsposa dâmca lar ão-lar da vga. 89

106 . DYNARID: rvalo d mpo 5 µs DYNARID: rvalo d mpo µs Modkar Powll (977): rvalo d mpo 5µs.75 dslocamo w mpo (µs) FIGURA 7.54 Rsposa ão-lar para dfrs rvalos d mpo. Obsrva-s uma orm dfrça r os dslocamos máxmos da solução lar ão-lar como já hava ocorrdo a aáls sáca ão-lar. Os rsulados obdos aprsam boa cocordâca com os obdos por Modkar Powll (977) coform pod sr vso a Fg (rsposas ão-lars obdas aravés do méodo mplíco d Nwmark). A abla 7.4 mosra o comparavo d mpo d procssamo r os méodos ulzados para aáls dâmca ão-lar. Para o méodo mplíco cosdrou-s a aualzação da marz d rgdz a cada ração rsolução do ssma d quaçõs aravés d faorzação d Cholsky com mmzador d bada grads cojugados prcodcoado. A Fg lusra as cofguraçõs dformadas da vga gasada m dfrs rvalos d mpo. TABELA 7.4 Comparação r os méodos d solução ( max 5µs). Méodo Tmpo rlavo Nwmark fa. Cholsky 5 µs Nwmark GC prc. Dagoal 5 µs 9 Nwmark GC prc. Cholsky 5 µs 4 Taylor-Galrk µs * * Equval a s (procssador Alho AMD GHz 56MB RAM) 9

107 FIGURA 7.55 Cofguração dformada ral para 5µs 5µs Arco sujo à carga cocrada O arco aprsado o xmplo sáco ão-lar 7.4. lusrado a Fg é aqu aalsado d forma dâmca ão-lar. Novam ulza-s malha d 4 4 lmos compara-s os dslocamos vrcas o cro do vão com os obdos por Lao Rddy (987). h R P θ R h b θ 77 rad FIGURA 7.49 Caracríscas do arco sudado. Para a aáls dâmca mplíca mprgou-s rvalo d mpo d - s para uma fução d carga dgrau d 75 (ívl d carga fror à carga d flambagm). A rsposa dâmca é aprsada a Fg sobrposa à corada por Lao Rddy (987) os quas mprgaram 5 lmos curvos d vga com ós. Obsrva-s qu s caso a aáls dâmca ão-lar rsula m dslocamo maors qu a aáls lar (para P75). Na vrdad so já ra sprado dvdo ao comporamo sofg da sruura a aáls sáca ão-lar so é aé a carga d flambagm a sruura prd rgdz à mdda qu auma os dslocamos (vr Fg. 7.5). 9

108 5. 4. DYNARID: aáls ão-lar Lao Rddy (987) DYLARID: aáls lar solução sáca ão-lar P75 solução sáca lar P75 Dslocamo mpo ( - s) FIGURA 7.56 Rsposa dâmca do arco para P() Casca sférca gasada suja a carga pulso o ápc A msma sruura dscra o m 7.. é aqu aalsada d forma dâmca cosdrado-s a ão-lardad gomérca. As caracríscas da casca do carrgamo são dcadas a Fg. 7.. A casca sférca fo aalsada modlado-s apas ¼ da sruura mprgado-s uma malha com 5 5 lmos a par cral (poo d aplcação da carga) o volum rsa uma malha d 5 lmos. Na Fg é aprsada a rsposa ão-lar lar da casca. A ordada rfr-s ao dslocamo vrcal o ápc admsoalzado (dvddo por H) a abcssa rfr-s ao mpo m µs. Os dslocamos rprsaos sa fgura foram obdos aravés do méodo xplíco d Taylor-Galrk ulzado-s 7µs. 9

109 F h R θ H F E 7 ν R 476 θ 9º h 576 H 859 ρ 45 FIGURA 7. Dscrzação proprdads da casca sférca. Coform pod sr obsrvado a Fg a rsposas ão-lar obdas o procsso xplíco aprsa boa cocordâca com os publcados por Modkar Powll (977) o qual mprgou-s um squma mplíco com µs. dslocamo w/h Aáls dâmca lar Aáls dâmca ão-lar solução sáca lar solução sáca ão-lar mpo (µs) FIGURA 7.57 Rsposa dâmca lar ão-lar para a casca sférca. 9

110 .5. Taylor-Galrk Modkar Powll (977) dslocamo w/h mpo (µs) FIGURA 7.58 Comparação dos rsulados da aáls dâmca ão-lar para a casca sférca. A Fg lusra a cofguração dformada da casca sférca quado o dslocamo vrcal o ápc ag o maor valor o qu ocorr o mpo d µs. Obsrva-s os grads dslocamos xprmados pla sruura o qu caracrza um problma alam ão-lar. FIGURA 7.59 Cofguração dformada para a casca sférca o mpo d µs. 94