Computação Gráfica LEI / LCC Departamento de Informática Universidade do Minho. Computação Gráfica. Transformações Geométricas

Transcrição

1 Comutação Gráfica LEI / LCC Deartamento de Informática Universidade do Minho Comutação Gráfica Transformações Geométricas António Ramires Fernandes Comutação Gráfica 9/

2 Vectores Magnitude v + + z Vector Normalizado (magnitude ) vnorm v v Produto Interno v u v u 3 i v i * u i v u cos( ) v u DI-UM Comutação Gráfica 9/ 2

3 Vectores Projecção 2 n n v n v v n v v Produto Eterno ) sin( u v u v u v u v u v u v v u u v u u u v v v z z z z z z DI-UM Comutação Gráfica 9/ 3 u v v u

4 Escala Escala Uniforme Seja um onto e k um escalar, k Escala Não Uniforme Seja um onto e k,k 2 um ar de escalares, K DI-UM Comutação Gráfica 9/ 4 k k ' ' k k ' ' equações forma matricial k k 2 ' ' k k 2 ' ' equações forma matricial

5 Translação Seja um onto e T um vector, ' + T T -T Translação do onto num sistema fio Translação do sistema de coordenadas na direção inversa DI-UM Comutação Gráfica 9/ 5

6 Rotação Rotação em torno da origem A direcção da rotação é anti-horária Rotação do onto num sistema fio Rotação do sistema de coordenadas na direção inversa DI-UM Comutação Gráfica 9/ 6

7 Rotação Seja (a,b) e (a, b ) Trigonometria ω a' ' cos( ω + ) b' ' sin( ω + ) a cos( ω) b sin( ω) equações a' a cos( ) bsin( ) b' asin( ) + bcos( ) cos( ω + ) cos( ω)cos( ) sin( ω)sin( ) sin( ω + ) sin( ω) cos( ) + cos( ω)sin( ) forma matricial a' cos( ) b' sin( ) sin( ) a cos( ) b DI-UM Comutação Gráfica 9/ 7

8 Rotação Vejamos qual o resultado de escrevermos o novo sistema de coordenadas em função dos eios do sistema original ' (cos( ), sin( )) ' (sin( ),cos( )) A definição dos eios do novo sistema (, ) corresonde às linhas da matriz R R cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) DI-UM Comutação Gráfica 9/ 8

9 Rotação Rotação Inversa Se R cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) Então R cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) R R I DI-UM Comutação Gráfica 9/ 9

10 Rotação Sabemos que ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( Logo DI-UM Comutação Gráfica 9/ T R R R ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos(

11 Comosição de Transformações Translação + Translação T T 2 T ' + T '' '' ' + T 2 + T + T 2 + T DI-UM Comutação Gráfica 9/

12 Comosição de Transformações Rotação + Rotação 2 + ' R '' R '' R 2 2 ' R R DI-UM Comutação Gráfica 9/ 2

13 Comosição de Transformações Rotação + Translação A ordem das transformações é relevante! translação T rotação '' R ( + T) rotação translação T ' ' T + ( R ) DI-UM Comutação Gráfica 9/ 3

14 Comosição de Transformações Rotação de em torno de um onto arbitrário o o DI-UM Comutação Gráfica 9/ 4

15 Comosição de Transformações Rotação de em torno de um onto arbitrário o T o T o T o 2 o T o 2 o -T + T R 2 ' 2 T ' R ( + T ) T DI-UM Comutação Gráfica 9/ 5

16 Comosição de Transformações E se quisermos em seguida rodar o resultado em torno de outro onto arbitrário? Sabemos que: ' R ( + T T ' ' R 2 ) ( ' + T 2 ) T 2 Logo: ' ' R (( R ( + T ) T ) + T2 ) T 2 2 DI-UM Comutação Gráfica 9/ 6

17 Coordenadas Homogéneas Pretende-se uniformizar a forma das transformações geométricas Para tal recorre-se a coordenadas homogéneas. Em 2D, um onto P(X,Y) em coordenadas cartesianas reresentase or (,,w) em coordenadas homogéneas, Sendo X, Y w w Por omissão considera-se w DI-UM Comutação Gráfica 9/ 7

18 Coordenadas Homogéneas Pontos com coordenadas homógeneas distintas reresentam o mesmo onto 2D O onto em coordenadas cartesianas é obtido dividindo as duas rimeiras coordenadas ela última coordenada. P 3 P 2 w / w / w w P 2 P 3 w Para vectores w, orquê? (ti: diferença de ontos) DI-UM Comutação Gráfica 9/ 8

19 Coordenadas Homogéneas Revisitar Transformações Geométricas Pontos têm mais uma coordenada, logo rotações e escalas são reresentadas or matrizes 33. Seja (,,) Escalas DI-UM Comutação Gráfica 9/ 9,), ( ' 2 2 k k k k,), ( 2 2 k k k k escala (k,k2) escala inversa

20 Coordenadas Homogéneas Revisitar Transformações Geométricas Rotações ) sin( ) cos( 2 R R R DI-UM Comutação Gráfica 9/ 2,) ( ) cos( ) sin( ' 2 2 R R,) (,) ( 2 2 R R R R rotação rotação inversa

21 Coordenadas Homogéneas Revisitar Transformações Geométricas Translações também odem ser reresentadas or uma matriz 33 T I t DI-UM Comutação Gráfica 9/ 2,) ( 2 T T I t + Com coordenadas homogéneas todas as transformações geométricas odem ser reresentadas or matrizes 33

22 Comosição de Transformações Todas as transformações odem ser definidas através de matrizes 33 A comosição de múltilas transformações geométricas resulta na multilicação de matrizes 33 Ou seja, qualquer transformação geométrica, or mais comlea que seja, ode ser reresentada or uma única matriz DI-UM Comutação Gráfica 9/ 22

23 Comosição de Transformações Translação + Rotação T R R T I T R I R T I M Inversa DI-UM Comutação Gráfica 9/ 23 T R R T R R T I R T I R R T I M T T

24 Comosição de Transformações Como interretar uma sequência de transformações? (leitura da direita ara a esquerda, c/ transformações inversas) ' T RT T 2 (,,), R R (9), T z 2 (, 2,) -T 2 -R z (9) -T DI-UM Comutação Gráfica 9/ 24

25 Comosição de Transformações Lendo da esquerda ara a direita odemos determinar o que acontece ao objecto em cada asso ' T RT T 2 (,,), R R (9), T z 2 (, 2,) T R z (9) T 2 DI-UM Comutação Gráfica 9/ 25

26 Comosição de Transformações Duas formas de ver o roblema DI-UM Comutação Gráfica 9/ 26

27 Transformações Geométricas 3D Escala Para definir uma escala uniforme em todos os eios temos a b c definimos a seguinte matriz c b a ' seguinte matriz Para definir uma escala nãouniforme atribuímos diferentes coeficientes na diagonal DI-UM Comutação Gráfica 9/ 27 ' c b a

28 Transformações Geométricas 3D Escala em OenGL glscaled(gldouble, GLdouble, GLdouble z) glscalef(glfloat, GLfloat, GLfloat z); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 28

29 Transformações Geométricas 3D Translação t t t t DI-UM Comutação Gráfica 9/ 29 t t z ' ' t t z

30 Transformações Geométricas 3D Translação em OenGL gltranslate{d,f}(,,z); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 3

31 Transformações Geométricas 3D Rotação 3D em torno dos eios A rotação inversa é obtida ela inversa da matriz, ou seja, ela transosta cos sin sin cos ) ( Rz DI-UM Comutação Gráfica 9/ 3 cos sin sin cos ) ( R cos sin sin cos ) ( R

32 Transformações Geométricas 3D Rotação em torno de uma direcção arbitrária (solução algébrica) Pretende-se alicar uma rotação de graus em torno de n ucos()+vsin() Para determinar u recisamos de calcular h Cálculo da rojecção do vector o em n resulta no vector oh h o + oh u h v n u Sendo n (,,z) obtem-se a seguinte form matricial 2 t + c t sz R tz + s t + sz t 2 + c tz s tz s tz + s tz 2 + c c cos(), s sin(), t (-c) u h v n o DI-UM Comutação Gráfica 9/ 32

33 Transformações Geométricas 3D Rotação em OenGL glrotate{d,f}(ang,,,z); sendo ang o ângulo de rotação em graus; e (,,z) o vector que define o eio de rotação; DI-UM Comutação Gráfica 9/ 33

34 Sistemas de Coordenadas Um trilo de vectores (u,v,w) ode definir um sistema de coordenadas 2D desde que sejam linearmente indeendentes. Um conjunto de 2 vectores é linearmente indeendente se nenhum dos vectores se uder escrever como uma combinação linear dos restantes, ou seja, não eiste nenhuma combinação de números a,a 2, a 3,sendo elo menos um deles diferente de zero, tal que a v + a2u + a3w DI-UM Comutação Gráfica 9/ 34

35 Sistemas de Coordenadas Uma matriz invertível ode ser vista como uma transformação entre sistemas de coordenadas. Uma matriz invertível imlica que os seus vectores (linha ou coluna) sejam linearmente indeendentes. Os vectores de uma matriz invertível reresentam um sistema de eios, ou seja, um sistema de coordenadas. DI-UM Comutação Gráfica 9/ 35

36 Sistemas de Coordenadas Um conjunto de vectores (v,...v n ) forma uma base ortogonal se ( i, j), i j, v i v j Um conjunto de vectores (v,...,vn) forma uma base ortonormal se ( i, j), v i v, i j δij, i j j δ ij DI-UM Comutação Gráfica 9/ 36

37 Sistemas de Coordenadas Uma matriz cujos vectores coluna formem uma base ortonormal é uma matriz ortogonal Se G é ortogonal então T G G Um caso articular são as rotações! DI-UM Comutação Gráfica 9/ 37

38 Sistemas de Coordenadas Object Sace ou Modelling Sace (Esaço local) Este esaço é o sistema de coordenadas relativas a um objecto (ou gruo de objectos). Permite-nos definir coordenadas relativas. DI-UM Comutação Gráfica 9/ 38

39 Sistemas de Coordenadas World Sace (Esaço Global) Este esaço engloba todo o universo e ermite-nos erimir as coordenadas de forma absoluta. É neste esaço que os modelos são comostos ara criar o mundo virtual DI-UM Comutação Gráfica 9/ 39

40 Sistemas de Coordenadas Camera Sace (Esaço da Câmara) Este sistema de coordenadas esta associado ao observador, ou câmara. A sua origem é a osição da câmara. O seu sistema de eios é determinado ela orientação da câmara. DI-UM Comutação Gráfica 9/ 4

41 Sistemas de Coordenadas DI-UM Comutação Gráfica 9/ 4

42 Sistemas de Coordenadas Screen Sace (Esaço do ecrã) Esaço 2D onde é visualizado o mundo virtual Resultado de uma rojecção DI-UM Comutação Gráfica 9/ 42

43 Sistemas de Coordenadas Object Sace World Sace Camera Sace Screen Sace DI-UM Comutação Gráfica 9/ 43

44 Transformações Geométricas As transformações mencionadas até agora ermitem-nos osicionar os objectos no esaço global. Demo!!! (transformações geométricas) DI-UM Comutação Gráfica 9/ 44

45 Transformações Geométricas Desenhar um boneco de neve! DI-UM Comutação Gráfica 9/ 45

46 Transformações Geométricas void drawsnowman() { glcolor3f(.f,.f,.f); // Draw Bod gltranslatef(.f,.75f,.f); glutsolidshere(.75f,2,2); Modelar um boneco de neve com esferas e um cone // Draw Head gltranslatef(.f,.f,.f); glutsolidshere(.25f,2,2); // Draw Ees glpushmatri(); glcolor3f(.f,.f,.f); gltranslatef(.5f,.f,.8f); glutsolidshere(.5f,,); gltranslatef(-.f,.f,.f); glutsolidshere(.5f,,); glpomatri(); // Draw Nose glcolor3f(.f,.5f,.5f); glutsolidcone(.8f,.5f,,2); } DI-UM Comutação Gráfica 9/ 46

47 Transformações Geométricas Object Sace World Sace Camera Sace Screen Sace DI-UM Comutação Gráfica 9/ 47

48 Transformações Geométricas Por omissão (em OenGL) considera-se que a câmara se encontra na origem, a aontar na direcção do Z negativo. Como definir uma câmara com osição e orientação arbitrárias? Que dados são necessários ara definir uma câmara? DI-UM Comutação Gráfica 9/ 48

49 Transformações Geométricas Dados ara definir uma câmara: osição direcção "este lado ara cima" DI-UM Comutação Gráfica 9/ 49

50 Transformações Geométricas Oerações sobre a câmara: Definição do sistema de coordenadas Translação da osição da câmara cz u c c dir Podemos facilmente esecificar os eios do sistema de coordenadas da câmara. Assumindo que os vectores fornecidos se encontram normalizados É necessário normalizar todos os vectores (c,c,cz) cz dir c dir u c c dir DI-UM Comutação Gráfica 9/ 5

51 Transformações Geométricas Podemos então definir uma transformação que ermita osicionar a câmara: M Pos F o c c2 c M c c2 c cz cz2 cz DI-UM Comutação Gráfica 9/ 5

52 Transformações Geométricas Posicionamento da câmara em OenGL glulookat( os, os, osz, at, at, atz, u, u, uz) sendo: os a osição da câmara at um onto ara onde a câmara aonta u a direcção do vector vertical DI-UM Comutação Gráfica 9/ 52

53 Transformações Geométricas Object Sace World Sace Camera Sace Screen Sace DI-UM Comutação Gráfica 9/ 53

54 Transformações Geométricas Persectiva - View Frustum Pirâmide truncada que define a região visível near lane far lane Em OenGL o lano de rojecção é o near lane DI-UM Comutação Gráfica 9/ 54

55 Transformações Geométricas O lano de rojecção é um lano erendicular ao eio do Z, a uma distância n da origem A câmara encontra-se situada na origem, a aontar na direcção do eio do Z negativo Calculo das rojecções de um onto 3D (,, z )(no esaço câmara) no lano de rojecção n P Pz n P Pz DI-UM Comutação Gráfica 9/ 55

56 Transformações Geométricas Cli Sace O cli sace é um esaço intermédio entre o esaço câmara e o esaço ecrã. O view frustum é convertido ara um cubo cuja gama de valores nas três coordenadas é [-,]. Desta forma, é etremamente simles determinar qual a geometria que se encontra dentro do view frustum. DI-UM Comutação Gráfica 9/ 56

57 Transformações Geométricas O lano de rojecção é definido elos seus limites de variação [l,r] e [t,b] t lano de rojecção Y b l X r f ViewFrustum > Cli sace limites de variação de z [n,f] Z n l X r Z - - X DI-UM Comutação Gráfica 9/ 57

58 Transformações Geométricas Definição do Frustum em OenGL glfrustum(left,right,bottom,to,near,far); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 58

59 Transformações Geométricas O GLU fornece uma alternativa mais simática: glupersective(f, ratio, near,far); sendo f ângulo de visão em. ratio relação fov/fov arctan(( to bottom) f 2* near DI-UM Comutação Gráfica 9/ 59

60 Transformações Geométricas Projecção Ortográfica em OenGL glortho(left,right,bottom,to,near,far); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 6

61 Transformações Geométricas Screen Sace Sejam c e c as coordenadas normalizadas em cli sace de um onto As coordenadas do viewort, ou janela, (w, w ), com uma determinada largura l e altura a são definidas da seguinte forma: l w ( c + ) 2 w ( c ) a + 2 DI-UM Comutação Gráfica 9/ 6

62 Transformações Geométricas Viewort em OenGL glviewort(,,width,height); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 62

63 Transformações Geométricas Demo (rojecções - Nate Robbins) DI-UM Comutação Gráfica 9/ 63

64 Transformações Geométricas Matrizes em OenGL Object Sace ModelView GL_MODELVIEW World Sace Projection GL_PROJECTION Camera Sace Screen Sace DI-UM Comutação Gráfica 9/ 64

65 OenGL void changesize(int w, int h) { // Prevent a divide b zero, when window is too short // (ou cant make a window of zero width). if(h ) h ; float ratio.* w / h; // Set the viewort to be the entire window glviewort(,, w, h); glmatrimode(gl_projection); // Reset the coordinate sstem before modifing glloadidentit(); // Set the correct ersective. glupersective(45,ratio,,); Setu da rojecção Necessário quando a janela sofre modificações, ou ao iniciar a alicação } glmatrimode(gl_modelview); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 65

66 OenGL void renderscene(void) { glclear(gl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT); glloadidentit(); glulookat(.,.,5.,.,.,.,.f,.f,.f); glrotatef(a,.,); glutsolidteaot(); } a++; glutswabuffers(); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 66

67 Buffers Color Buffer O OenGL ermite ter 2 buffers distintos. Em cada instante visualiza-se um buffer e escreve-se no outro. No final da frame trocam-se os buffers. DI-UM Comutação Gráfica 9/ 67

68 Buffers Color Buffer em OenGL Na inicialização glutdislamode(glut_double...); No final de cada frame glutswabuffers(); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 68

69 Buffers Deth Buffer ou Z-Buffer Buffer que armazena os valores de Z dos iels que já foram desenhados Permite assim criar uma imagem correcta sem ser necessário ordenar e dividir olígonos DI-UM Comutação Gráfica 9/ 69

70 Buffers Deth Buffer em OenGL Na inicialização glutinitdislamode(glut_depth... ); glenable(gl_depth_test); No início de cada frame glclear(gl_depth_buffer_bit...); DI-UM Comutação Gráfica 9/ 7

71 Buffers limitações do Z-Buffer - recisão near. far. near. far. near. far. DI-UM Comutação Gráfica 9/ 7

72 Buffers limitações do Z-Buffer número de bits determina recisão Z-Buffer não é linear: mais detalhe erto do near lane Muitos bits são usados ara distâncias curtas DI-UM Comutação Gráfica 9/ 72

73 Buffers A recisão do Z-Buffer é definida or intervalos crescentes desde o near lane até ao far lane Eemlo (6 bits): znear ; zfar z : intervalo.52 z 9 : intervalo 2.5 DI-UM Comutação Gráfica 9/ 73

74 Buffers A recisão do Z-Buffer é deendente da relação entre o near lane e o far lane Eemlo (6 bits): zfar ; z 9 znear : intervalo 2.5 znear.: intervalo DI-UM Comutação Gráfica 9/ 74

75 Buffers Z-Buffer: mais bits > mais recisão Eemlo : zfar ; z 9; znear. 24 bits: intervalo bits: intervalo DI-UM Comutação Gráfica 9/ 75

76 Referências Mathematics for 3D Game Programming & Comuter Grahics, Eric Lengel 3D Math Primer for Grahics and Game Develoment, Fletcher Dunn e Ian Parberr Interactive Comuter Grahics: A To Down Aroach with OenGL, Edward Angel OenGL Reference Manual, OenGL Architecture Review Board "Learning to love our z-buffer, htt://sjbaker.org/steve/omniv/love_our_z_buffer.html DI-UM Comutação Gráfica 9/ 76