RACIOCI NIO LO GICO E MATEMA TICA

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1 Página1 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE Passo a passo para resolver análise combinatória. São quatro etapas: 1. Quantas escolhas? (para cada escolha um ) 2. O que é cada escolha? 3. Quantas possibilidades para cada escolha? 4. As escolhas são diferentes? iguais. a. Se sim, acabou. (e = *; ou = +) b. Se não, divide pela permutação (!) das Obs: Permutar é organizar de todas as maneiras possíveis. Pn=n! /// P k n = n!, onde k = repetição de k. k! Ex: anagrama da palavra LAMBADA P 3 7 (são 7 letras e a letra A repete 3x) = 7! 3! = ) Quantos números de três algarismos distintos pode-se formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 7, 8 e 9? a. b. A1 A2 A3 c d. Escolhas diferentes: 7 * 6 * 5 = 210 2) Num hospital há seis médicos e cinco enfermeiras. De quantas maneiras podemos formar uma equipe médica com dois médicos e três enfermeiras? a. M M E E E b c. M M = iguais; E E E = iguais d = ! Ex: anagrama da palavra ARARAQUARA P 5,3 10 = 10! 5!3! = 5040

2 Página2 A probabilidade de um evento acontecer sempre será um valor entre 0 e 1 ou entre 0% e 100%. Para calcular a probabilidade basta dividir a parte pelo todo. P = NOÇÕES DE CONJUNTOS o que quero total Conjunto é um agrupamento de elementos. Denomina-se conjunto vazio o conjunto que não possui elementos. Indica-se por ou por {}, mas não ambos { }. Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B estão contidos em A, então dizemos que B A (B está contido em A) ou que A B (A contém B). O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. O número de subconjuntos é dado por 2 n, onde n é o número de. o O que excede o todo é a interseção: Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B, exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que leem ambos. R: = 140, resposta 40%. Dados dois conjuntos quaisquer, a união destes conjuntos é agrupar em um só conjunto os elementos de ambos os conjuntos. o A B = {x x A ou x B}. Dados dois conjuntos quaisquer, a diferença entre eles é tirar do primeiro os elementos comuns aos dois. o A B = {x x A e x B}. elementos do conjunto. Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em comum, estes formam a interseção destes conjuntos. o A B = {x x A e x B}. LÓGICA PROPOSICIONAL Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos. Silogismo é a dedução formal tal que, postas duas

3 Página3 proposições, chamadas premissas, delas se tira uma terceira, nelas logicamente implicada, chamada conclusão. Proposição é uma frase a ser julgada como verdadeira ou falsa. É uma sentença declarativa fechada e que possui um e apenas um dos valores lógicos verdadeiro ou falso. e ou se... então se e somente se ou...ou p q p q p q p q p q A conjunção A B é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então A B é falsa. Exemplo: A LEIS DO PENSAMENTO (PRINCÍPIOS DA LÓGICA) 1. Princípio da identidade: uma proposição verdadeira será verdadeira e uma proposição falsa será falsa. 2. Princípio da não contradição: uma proposição nunca será verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 3. Princípio do terceiro excluído: uma proposição será verdadeira ou falsa, não existe uma terceira possibilidade. CONECTIVOS LÓGICOS Conectivos lógicos são expressões que servem para unir duas proposições ou transformar uma proposição, formando uma nova proposição. Os conectivos lógicos básicos são: e, ou, se...então, se e somente se, ou...ou. O sol é uma estrela (V). B A lua é uma estrela (F). A B O sol é uma estrela e a lua é uma estrela (F). A disjunção A B é verdadeira se ao menos uma das proposições A ou B é verdadeira; se A e B são ambas falsas, então A B é falsa. Exemplo: A O sol é uma estrela (V). B O gelo é quente (F). A B O sol é uma estrela ou o gelo é quente (V). A condicional (ou subjunção) é dita se um elemento é elemento de A, então ele é elemento de B. Exemplo: Se você estudar, então você será aprovado (V). Você estudou(v), logo foi aprovado (V). A condicional só será falsa no VALÉRIA FALOU TÁ FALADO. Sempre lembrar a dica: Condição suficiente não é condição necessária. Se A então B: A é condição suficiente para que B ocorra, mas não necessária.

4 Página4 O conectivo se e somente se é chamado de bicondicional. Só irá ser V se as condições forem iguais, ou duas V ou duas F. Exemplo: A galera não está mandando (V) se e somente se Pedrão está de cavanhaque (V). Se a galera não está mandando e Pedrão está de cavanhaque, a bicondicional é (V). Tabela verdade dos conectivos lógicos: p q e ou se...então se e somente se ou...ou V V V V V V F V F F V F F V não temos simultaneamente o A verdadeiro e o B falso. Usamos para a implicação o símbolo. EQUIVALÊNCIA LÓGICA Dizemos que duas proposições são equivalentes se elas forem formadas pelas mesmas proposições simples e suas tabelasverdade forem iguais. Ou seja, pra os mesmos valores lógicos de suas proposições simples, seus valores resultantes serão sempre os mesmos. Usamos para a equivalência o símbolo " ". F V F V V F V F F F F V V F e = V se V; ou = F se F; se...então = valéria falou tá falado; se e somente se = V se iguais; ou...ou = V se diferentes. NEGAÇÃO Negação é a troca de valor lógico. Símbolo: ~ ou (~p ou p) Leis de De Morgan: A negação do ou é o e; a negação do e é o ou. IMPLICAÇÃO LÓGICA Dizemos que uma proposição A implica em outra B, se B é verdadeira todas as vezes que A é verdadeira. Assim, em nenhuma linha da tabela-verdade de A e B aparece VF, ou seja,

5 Página5 Negação simples Negação do e Negação do ou Conectivo e (p q) ou (p q) se... então (p q) P: Hoje é sexta. P: Hoje não sexta. é Brasil ganhou e a Holanda não ganhou. : Brasil não Roger pintou o cabelo ou Junior ficou rico. : Roger não pintou o cabelo e Junior não ficou Negação p q p q p q Conectivo se e somente se (p q) ou...ou (p q) P: Não sou feliz. ganhou ou a Holanda ganhou. rico. Negação p q ou pode ser p q p q ou pode ser p q P: Sou feliz. Negação do Negação do se e Negação do ou...ou se...então somente se Se quero tomar banho, então Severino é feliz. : Quero tomar banho e Severino não é feliz. Pedro vai estudar se e somente se hoje chover. : Ou Pedro vai estudar ou hoje vai chover. Ou o carro é a azul ou estamos em setembro. : O carro é azul se e somente se estamos em setembro. Tabela resumo de negação:

6 Página6 QUANTIFICADORES LÓGICA DE 1ª ORDEM QUANTIFICADOR NEGAÇÃO EXEMPLO Todos Algum... não é P: Todos os meus amigos são carecas. Exemplos com proposições compostas (lembrar sempre da tabela de negações): EXEMPLO NEGAÇÃO P: Algum dos meus amigos não é careca. Algum... não é Todos P: Algum dos meus amigos não é careca. P: Todos meus amigos são carecas. Nenhum Algum P: Nenhum dos meus amigos é careca. Se sou feliz, então danço lambada. Se todos torcem para o Brasil, alguém odeia a Argentina. Se sou feliz e danço reggae, então não sambo. Se sou feliz e danço lambada, não sambo ou jogo bola. Sou feliz e não danço lambada. Todos torcem para o Brasil e ninguém odeia a Argentina. Sou feliz, danço reggae e sambo. Sou feliz, danço lambada, sambo e não jogo bola. P: Algum dos meus amigos é careca. Algum Nenhum P: Algum dos meus amigos é careca. P: Nenhum dos meus amigos é careca. Dica: nas questões de verdades e mentiras onde apenas um dos suspeitos mentiu e os outros disseram a verdade, comece analisando quem acusa o outro de mentiroso, porque um ou o outro estará mentindo e os outros estarão falando a verdade.

7 Página7 MDC e MMC MDC é o máximo divisor comum de dois ou mais números. Quem são os múltiplos de 9? São os números naturais multiplicados por este número (9, 18, 27, 36, 48, 54,...) Quem são os divisores de 12? São os números que dividem o 12 (12, 6, 4, 3, 2, 1). Quem são os divisores de 18? São os números que dividem o 18 (18, 9, 6, 3, 2, 1). Temos que o MMC de 6 e 9 é o número 18, pois é o menor múltiplo COMUM de 6 e 9. Representação oficial: MMC(6;9) = 18. Temos que o MDC de 12 e 18 é o número 6, pois é o maior divisor COMUM de 12 e 18. Representação oficial: MDC(12;18) = 6. Agora, o MMC. MMC é o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números. Quem são os múltiplos de 6? São os números naturais multiplicados por este número (6, 12, 18, 24, 30, 36,...) COMO CALCULAR O MMC E O MDC Pegue os dois números e fatore juntos. É uma fatoração normal com dois termos, tomar só um cuidado: se o divisor for comum, coloca uma bolinha ao lado número para marcar. No final da fatoração, todos os que tiverem a bolinha, multiplicados, é o MDC. A multiplicação de todos os valores, independente de bolinha, é o MMC. Veja o exemplo:

8 Página8 MMC (12;18) = 2 * 2 * 3 *3 =36 MDC (12;18) = 2 * 3 = 6. Exemplo: a. MMC e MDC entre 6 e 9: 2. Uma torneira enche uma piscina em 20 minutos. Outra torneira enche a mesma piscina em 15 minutos. Sabendo que essa piscina possui um ralo que esvazia a piscina totalmente em 25, com as 2 torneiras abertas e o ralo destampado, em quanto tempo a piscina fica cheia? R: = 1 t = 1 t t = t = 13,04. Onde t é o tempo que leva para a piscina encher nas condições descritas acima. MMC (6;9) =2 * 3 * 3 = 18 MDC (6;9) = 3 JUROS SIMPLES 1. Uma bomba de vácuo retira metade do ar de uma sala fechada a cada bombeada. Após 5 bombeadas, foram retirados 62cm³ de ar. Quanto sobrou de ar na sala? Onde: m = c.(1+i.t) ou j = c.i.t m = c + j M = montante R: x 2 + x 4 + x 8 + x 16 + x 12 = 62 16x+8x+4x+2x+x 32 = 62 x = 64. Em que x é a quantidade inicial de ar na sala. Logo o que sobrou após retiramos 62, foi 2cm³. C = capital inicial i = taxa de juros simples t = número de parcelas (tempo)

9 Página9 1. Dona Dalila pretende comprar uma televisão de R$1357,20, mas possui apenas R$520. Sabendo que ela pode aplicar este dinheiro a juros simples de 23% ao mês, depois de quanto tempo Dona Dalila terá o dinheiro suficiente para comprar a televisão? R: m = c (1 + it) 1357,20 = 520(1 + 0,23t) 1,61 = 0,23t t = 7. Ou pela forma tradicional: j = cit 1357, = 520 0,23t t = 7. Logo, Dona Dalila terá o dinheiro suficiente para comprar a televisão em 7 meses. 2. Um capital que foi aplicado a juros simples com taxa de 5% ao mês, demora quanto tempo para duplicar? R: m = 2c 2c = c(1 + 0,05t) 1 = 0,05t t = 20 Logo, o capital será duplicado em 20 meses. 3. Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de: a) 7 anos, 6 meses e 8 dias b) 8 anos e 4 meses c) 8 anos, 10 meses e 3 dias d) 11 anos e 8 meses e) 11 anos, 1 mês e 10 dias. R: m = 4c 4c = c(1 + 0,36t) 3 = 0,36t = t = 8,33 anos. Ora, sabemos que 0,33 anos é equivalente a aproximadamente 4 meses (33% do ano). Assim, a resposta correta é o item b (8 anos e 4 meses). 4. Um capital foi aplicado no sistema de juros simples durante 20 meses e o montante recebido ao final da aplicação foi igual a 5/4 do capital inicial. A taxa anual de juros simples dessa aplicação foi de quanto? R: m = 5c 5c = c (1 + 20i) 0,25 = 20i i = 0,0125. Como 4 4 temos a taxa mensal de 0,125, convertendo para anual, teremos 0, = 0,15 (15%). 5. Romualdo recebeu R$15000 referentes a uma indenização trabalhista. Dessa quantia, retirou 20% para o pagamento dos honorários de seu advogado e o restante aplicou em um investimento a juros simples a uma taxa anual de 18,75%. Quantos meses Romualdo deverá esperar até que possa retirar R$15000?

10 Página10 R: = (1 + 0,1875t ) 1,25 = 1 + 0,015625t t = Assim, Romualdo deverá esperar 16 meses. Obs.: nessa questão, melhor converter a taxa só no final da questão. 6. Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: à vista por R$225 ou R$125 no ato da compra mais uma parcela de R$125 um mês após a compra. Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de quanto? R: Quando pagamos R$125 no ato da compra, ficamos com a dívida de R$100. Em cima dessa dívida de R$100 é que o juro vai acontecer. Depois de um mês, segundo a questão, temos que pagar R$125, logo o aumento foi de R$25 ou de 25%. DICA: sempre pensar com calma o que você deve e o que você vai pagar no ato. Preço à vista é o preço real. 7. Uma loja apresenta a seguinte promoção: Tudo em duas vezes sem juros (1+1 = ato + 1 mês após a compra) ou com 10% de desconto para pagamento à vista. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja? R: à vista 1,8x / parcelado 2x / x = 0,8x(1+i).:. i = 0,25 = 25% 8. Roberto e Breno resolveram aplicar suas economias. Roberto escolheu um fundo de ações que rende % ao mês a juros simples para aplicar seus R$ Breno escolheu uma poupança que rende 3% ao mês a juros simples. Sabendo que seus rendimentos após três trimestres foram iguais, qual o capital aplicado por Breno? R: Vamos montar os rendimentos de cada um e comparar (rendimentos iguais) Roberto: R$18000 a 5% ao mês, durante 9 meses j = cit = ,05 9 = 8100 (rendimento de 8100) Breno: R$b a 3% ao mês, durante 9 meses j = cit = b 0,03 9 = 0,27 b Calculando o rendimento do Roberto e igualando ao de Breno, teremos 0,27b = 8100 = R$30.000,00 9. Três técnicos judiciários Alberico, Benivaldo e Corifeu devem arquivar 340 processos e, para executar esta tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais as suas respectivas idades. Sabe-se que Alberico tem 36 anos; Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem, em 12 anos;

11 Página11 R: caberá a Corifeu arquivar 90 processos. Responda: idade de todo mundo e quantidade de processos de todo mundo. Idade Processo s Alberico 36 36*x diretamente proporcional aos respectivos salários líquidos, sendo que a quantia que Paula pagou corresponde a 2/5 do seu salário líquido. Desse modo, quanto Paula pagou? R: l = 2 e p = l + 600, daí tiramos que o salário de Paula é R$1800 p 3 e o de Laura é de R$1200. Se Paula pagou 2/5 do seu salário líquido, temos que Paula pagou R$720. Benivald o c + 12 (c+12)*x PROGRESSÃO ARITMÉTICA Corifeu c c*x c*x=90 36x+cx+12x+cx=340 -> 48x+180=340 -> 48x=160 -> x=10/3. Como x=10/3, c=27.:. A idade de Alberico é 36 anos, a de Benivaldo é 39 anos e a de Corifeu é 27 anos. Alberico arquivará 120 processos, Benivaldo arquivará 130 processos e Corifeu arquivará Sabe-se que a razão entre os salários líquidos de Laura e de Paula é de 2 para 3, nessa ordem, e que Paula recebe R$600 a mais do que Laura. Juntas, compraram uma nova TV, cujo preço foi dividido entre elas de forma an+1 an = r an = ak + (n k).r Sn = (a1 + an)/2. n A diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o anterior é igual à razão da PA. Qualquer termo da PA (exceto o primeiro) é igual à média aritmética de seus dois vizinhos, o antecessor e o sucessor. A soma entre termos equidistantes aos termos extremos de uma PA é igual a soma dos termos extremos.

12 Página12 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA an = ak. q (n-k) Sn = a1. (q n 1)/(q-1) Soo = a1/(1-q) O quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e seu antecessor é igual à razão da PG. Aos autores não referenciados, todos os direitos reservados.