5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente

Transcrição

1 3 5. Condução d Calor Multdnsonal Rg Transnt A condução transnt ocorr prncpalnt quando u sóldo xprnta ua udança rpntna su abnt térco, por xplo, nos procssos d tratanto térco. Os étodos usados para s rsolvr tas problas ngloba o odlo d capactânca concntrada ou o odlo d sóldo s-nfnto, transforada d Laplac, transforada ntgral, étodos nuércos (dfrnça fnta, lnto fnto, tc.) étodos aproxados. Alguns dsts étodos srão vstos na sqüênca. 5. O odlo da capactânca concntrada A ssênca do étodo da capactânca concntrada é a hpóts d qu a tpratura do sóldo é spacalnt unfor qualqur nstant durant o procsso transnt. Ou sja, dsprza-s o gradnt d tpratura no ntror do corpo. Sob dtrnadas condçõs, o odlo d capactânca concntrada pod sr aplcado. Noralnt, u procsso d condução transnt nca-s pla convcção posta na suprfíc do sóldo, as dpndndo do nívl d tpratura pod ocorrr transfrênca radatva. A Fgura 5. lustra o procsso. Fgura 5. Rsfranto d u sóldo por rsão nu líqudo. Consdr ua stuação na qual as condçõs tércas d u sóldo pod sr altradas por convcção, radação fluxo d calor aplcados à suprfíc gração ntrna d nrga. Assu-s qu no nstant t = a tpratura do sóldo sja T dfrnt da tpratura do fludo T da tpratura da vznha T vz. E part da suprfíc é posto

2 4 u fluxo q a gração ntrna é q g. Dsprzando gradnts d tpratura no ntror do sóldo, u balanço d nrga fornc dt ρ (5.) qash, + qg qa c sc, qa r sr, = Vc dt Substtundo os fluxos d calor convctvo radatvo na quação (5.) rsulta a quação dt + = ρ (5.) 4 4 ( ) εσ qash, qg ht T Asc, T Tvz Asr, Vc dt A quação (5.) é ua quação dfrncal ordnára não lnar qu pod sr rarranjada na fora 4 4 ( vz ) T T dt qa sh, + q g hasc, + εσ A sr, ( T T ) = ρvc (5.3) ( T T ) dt ou dfnndo o xcsso d tpratura, θ = T T, rsulta após alguas anpulaçõs ( θ ) A, dθ h s, c qa sh+ q g + θ = dt ρvc ρvc na qual h ( θ) Dfnndo 4 4 ( vz ) T T A = h+ εσ ( T T ) A s, r s, c (5.4) (5.5) ha s, c qa s, h + q g a = ; b = (5.6) ρvc ρvc a quação (5.4) pod sr rscrta coo dθ () t + a() t θ () t b() t = (5.7) dt co a condção ncal θ = θ (5.8) A solução da Eq. (5.7) co condção ncal (5.8) é da fora () θ t t t t ( ) ( ) (5.9) θ t = xp a t dt + xp a t dt b t xp a t dt dt No caso qu s tnha sont convcção no contorno do sóldo nnhua gração ntrna ha a= s, b= (5.) ρvc

3 5 E tal caso, rsulta a solução has θ() t = θ xp t (5.) ρvc Ua análs ostra qu o odlo d capactânca concntrada é váldo quando o núro d Bot qu é razão da rsstênca condutva pla rsstênca convctva for hlc B = <, (5.) k 5. O odlo do sóldo s-nfnto O odlo d capactânca concntrada s aplca quando a tpratura através do sóldo t pratcant o so valor, nu príodo qu é dnonado rg postror, quando r () t >> T T t (5.3) α na qual r é ua dnsão caractrístca do corpo. No rg ncal, quando, r t << T T( r,t) (5.4) α o odlo d capactânca concntrada não é as váldo. Nst caso o odlo d sóldo snfnto é as aproprado, Fgura 5.5. Três casos são d ntrss: tpratura constant no contorno, fluxo d calor constant no contorno ou suprfíc contato co u fludo. Fgura 5. Modlo d sóldo s-nfnto

4 6 5.. O odlo do sóldo s-nfnto: tpratura constant no contorno Consdr o sgunt caso, T T = x α t co as condçõs ncal d contorno dfndas co a sgur, Condção ncal: (5.5) T = T t = (5.6) Condçõs d contorno: T = T x = (5.7) T T x (5.8) A solução das quaçõs (5.5) por sr plo uso d varávl d slardad, dsta fora, dfn-s x η = (5.9) αt Os tros da Eq. (5.5) pod sr transforados coo T dt η dt = = (5.) x dη x dη αt T d T η d T = = x dη x x dη αt T dt η dt x = = 3/ t dη t dη α t Qu substtuídos (5.5) lva à quação: (5.) (5.) dt η dt + = (5.3) dη dη Co as condçõs d contorno, agora, rprsntadas por T = T η = (5.4) T T η (5.5) A Eq. (5.3) pod sr rarranjada coo ( ) d T T dt = η d η, T = d η Intgrando duas vzs η, a quação (5.6) lva ao sgunt rsultado: (5.6)

5 7 η lnt = + lnc (5.7) 4 dt η = Cxp dη 4 (5.8) η β T = C xp dβ + C (5.9) na qual β é ua varávl uda d acordo co a quação (5.4), C = T : η β T T = C xp dβ (5.3) O bro drto da Eq. (5.3) lbra a função rro, dfnda coo x = / ( ) rf x xp d π (5.3) Co as sgunts proprdads rf rf = = (5.3a, b) d rf ( x ) 84 x= /, dx = = (5.3) π O lado drto da quação (5.3) pod sr rforulado coo η β β T T = C xp d 3 η / ( η ) ( ) = C xp d / π η / = C xp / ( ) d π = C rf / (5.33) Pla condção d contorno (5.5), C 3 é dtrnada coo, C3 = T T. A solução para T( x,t ) fca na fora T x,t T x = rf / T T αt A partr da quação (5.34) pod-s calcular o fluxo d calor por T q () t = k = k x x= T T / παt (5.34) (5.35)

6 8 5.. O odlo do sóldo s-nfnto: fluxo d calor constant no contorno Consdr, agora, o caso qu a condção d contorno x =, sja fluxo calor constant spcfcado, ou sja, lugar d (5.7) t-s T k = q x = (5.36) x Dfnndo ua nova varávl coo T φ = k (5.37) x ntroduzndo-a na q. (5.5) rsulta φ φ = x α t As condçõs ncal d contorno fca na fora para a varávl φ (5.38) φ = t = (5.39) φ = q x = (5.4a) φ x (5.4b) D acordo co o t 5.5., a solução d (5.38) é da fora x φ = Crf + C αt Usando as condçõs d contorno (5.4a, b) obté-s C = q C = q,, portanto, x x φ = q rf = q rfc αt αt Substtundo (5.4) (5.37) rsulta T q x = rfc x k αt qu ntgrada lva ao rsultado (5.4) (5.4) (5.43) q x T = rfc dx C k x + αt (5.44) Após ntgração por parts da ntgral na q, (5.44) obté-s dtrnado a constant C obté-s a solução para T( x,t ) na fora q αt x q x x T( x,t) T = xp rfc k π 4αt k αt (5.45)

7 9 A partr d (5.45) pod-s obtr a tpratura na fac x = coo T T q k αt π = + (5.46) 5..3 O odlo do sóldo s-nfnto: suprfíc contato co u fludo Nst caso a condção d contorno x = é posta na fora T k = h( T T) x = (5.47) x Por procdntos slars aos dos casos antrors chga-s á solução na fora: T x,t T x hx h αt x h αt = rf + xp + rfc + T T αt k k αt k (5.48) 5.3 Condução undnsonal O ntrss soluçõs undnsonas transnts é qu las srão usadas, postrornt, nas soluçõs ultdnsonas Placa d spssura constant Consdr o caso d ua placa d spssura L tpratura ncal T, cujos lados são rpntnant xpostos a u o convctvo d tpratura T cofcnt h. Dfnndo o xcsso d tpratura θ solução do probla: - quação d condução θ θ = x α t - condção ncal x,t = T x,t T, rsulta o conjunto d quaçõs para (5.49) θ = θ t = (5.5)

8 - condçõs d contorno θ = x x = (5.5) θ k = hθ x = L (5.5) x θ x,t = X x τ t, obté-s Plo procdnto d sparação d varávs, adotando d X λ x dx + = (5.53) dx dx = x = (5.54) dx h + X = x = L (5.55) dx k dτ αλ dt τ A solução d (5.53) a (5.55) corrspond ao caso 4 da Tabla 4., sndo da fora: = (5.56) x X = cos λl L A solução d (5.56) é do tpo: ( αλ t) (5.57) τ = Cxp (5.58) Portanto, a solução d θ srá da fora: ( x,t) = Ccos( x) xp( t) θ λ αλ (5.59) = Aplcando a condção ncal obté-s Ccos = ( λ x) θ = (5.6) L Oprando abos os da q. (5.6) por cos ( λ ) das autofunçõs L = L θ cos λ x dx C cos λ x dx nx dx usando a condção d ortogonaldad (5.6) Após ftuar as ntgraçõs (5.6) chga à xprssão da constant: C sn( λ L) θ = λ L+ sn λ L cos λ L A substtução d (5.6) (5.59) lva à solução para a tpratura na fora: (5.6)

9 θ x,t T x,t T = θ T T ( ) sn a x αt = cos a xp a a + sn a cos a L L = (5.63) na qual hl atg ( a ) =, a = λl (5.64) k Na fora adnsonal L L k T T T T, a tpratura dpnd d três grupos adnsonas: x αt hl, Fo =, B = (5.65) na qual Fo B são os núros d Fourr d Bot rspctvant. A tpratura no plano édo da placa pod sr calculada fazndo x = na q. (5.63), rsultando Tc T sn a = xp ( afo) (5.66) T T a + sn a cos a ( ) = A tpratura qualqur outro plano da placa pod sr calculada na fora: () T x,t T T x,t T Tc t T = (5.67) T T Tc t T T T É cou grafcar os tros ntr colchts na q. (5.67) função do núro d Fourr tndo o núro d Bot coo u parâtro para facltar statvas rápdas da tpratura. A taxa total d transfrênca d calor é d ntrss. Consdrando apnas tad da placa, a áxa taxa d transfrênca d calor nu ntrvalo t é calculada por Q = ρwhlc T T (5.68) na qual W H são a largura altura da placa rspctvant frontal á transfrênca d calor. A taxa d calor ral nu ntrvalo t é spr nor do qu o áxo pod sr calculada coo na qual () t Q t = WH q dt (5.69) T q = k x x= L (5.7)

10 Noralnt s gráfca Q() t /Q função d B Fo Clndro longo No caso d u clndro longo, as quaçõs govrnants fca na fora: - quação d condução + = θ θ θ r r r α t - condção ncal (5.7) θ = θ t = (5.7) - condçõs d contorno θ = r r = (5.73) θ k = hθ r = ro (5.74) r θ r,t = R r τ t, qu rsulta A sparação d varávs agora é proposta coo d R dr dr r dr + + λ R = (5.75) dr dr = r = (5.76) dr h + R = r = ro (rao xtrno) (5.77) dr k A quação na varávl tpo é dêntca à do caso do t A solução gral da q. (5.75) é do tpo: ( λ ) ( λ ) R = CJ r + CY r (5.78) na qual J Y são funçõs d Bssl d ord zro do prro sgundo tpos rspctvant. O valor fnto da tpratura no cntro do clndro rqur qu C =. A solução fnal para a tpratura srá da fora: T r,t T B r = T T + r ( bn B ) J ( bn) ( n ) J bn xp b Fo (5.79) n= o

11 3 Na qual os núros d Fourr Bot são dfndos coo αt Fo, B hr o = = (5.8) ro k os autovalors bn = λnro sã as raízs da quação transcndntal: bj b BJ b = (5.8) n n n Esfra No caso d ua sfra, as quaçõs govrnants fca na fora: - quação d condução + = θ θ θ r r r α t - condção ncal (5.8) θ = θ t = (5.83) - condçõs d contorno θ = r r = (5.84) θ k = hθ r = ro (5.85) r Dfnndo ua nova varávl fora: - quação d condução φ φ = r α t - condção ncal φ = rθ obté-s u novo conjunto d quaçõs na (5.86) φ = rθ t = (5.87) - condçõs d contorno φ = r = (5.88) φ h + φ = r k ro r = r (5.89) o

12 4 As quaçõs (5.86), (5.88) (5.89), após sparação d varávs, corrspond ao caso 7 da Tabla 4., portanto, a solução é do tpo: na qual Csn r xp t (5.9) = φ = λ αλ λ rctg ( λ r ) hr = k o o Aplcando a condção ncal obté-s ( λ ) = (5.9) rθ = C sn r (5.9) r Oprando abos os da q. (5.9) por cos ( λ ) das autofunçõs r r = θ λ λ nr dr usando a condção d ortogonaldad rsn r dr C sn r dr (5.93) Após ftuar as ntgraçõs (5.89) chga à xprssão da constant: na qual C θ sn λ r λ r cos λ r = λ λ r sn λ r cos λ r A substtução d (5.94) (5.9) lva à solução para a tpratura na fora: sr/r (5.94) sn s r/ r θ = θ K xp( s Fo) (5.95) = K = s cos ( s ) sn s s sn s cos s λ (5.96) sctg s = B, s = r (5.97) αt Fo, B hr o = = (5.98) ro k Tanto no caso do clndro quanto da sfra são aprsntados rsultados slars ao caso da placa d spssura fnta.

13 5 5.4 Condução ultdnsonal Os rsultados do t 5.3 pod sr usados para s dtrnar o capo d tpratura condução ultdnsonal coo srá lustrado a sgur. Consdr o caso qu s dsja dtrnar a dstrbução d tpratura nua barra rtangular L H. Coo lustrado na Fgura 5.3, a dstrbução d tpratura nua barra rsa nu fludo pod sr dtrnada coo o produto da solução da placa vrtcal pla solução da placa horzontal. A quação orgnal é da fora + = θ θ θ (5.99) x y α t Supondo ua solução na fora θ x,t, y = θ x,t θ y,t (5.) L H Drvando (5.) duas vzs rlação a x y, ua vz rlação ao tpo substtundo (5.99), pod-s vrfcar qu la é autoatcant satsfta θl θ L θh θ H θ H + θ L = (5.) x α t y α t Abos os tros ntr parêntss são nulos o qu ostra qu a solução produto satsfaz a quação orgnal. A solução (5.) é rsptada apnas s a tpratura ncal tabé satsfaça θ = θ,l θ,h (5.) Dvdndo (5.) por (5.) bro a bro, pod-s vrfcar qu a tpratura adnsonal da barra tabé é o produto das tpraturas adnsonas das placas, ou sja, ( x,y,t) ( x,t) ( y,t) θ θ θ = θ θ θ barra, placa, placa, L H L = tad da spssura H = tad da spssura (5.3) Bjan (993) ostra qu a taxa total d transfrênca d calor pod sr calculada coo () Qt Q Q Q Q = + Q Q Q Q Q L H L H (5.3)

14 6 Fgura 5.3 Produto d soluçõs undnsonas Outras soluçõs para outras gotras pod sr obtdas da sa anra. Consdr o caso d u clndro curto d coprnto L rao xtrno r o, coo lustrado na Fgura 5.4.

15 7 Fgura 5.4 Dtrnação da tpratura dpndnt do tpo nu clndro curto. A solução para st caso fca na fora ( r,x,t) ( r,t) ( x,t) θ θ θ = θ θ θ clndro curto, L= tad do coprnto clndro longo, placa, r ro rao L tad da spssura o = rao = = (5.4) Os casos da placa s-nfnta d u clndro s-nfnto pod sr obtdos coo lustrado na Fgura 5.5. Fgura 5.5 Dtrnação da tpratura dpndnt do tpo nua placa nu clndro s-nfntos.

16 8 A solução da placa s-nfnta é o produto da solução da placa d spssura fnta pla solução do sóldo s-nfnto (t 5.5.3) fca na fora ( x,y,t) ( x,t) ( y,t) θ θ θ = θ θ θ placa s nf nta, placa nfnta, o s-nfnto, L= tadad spssura L = tad da spssura y = noral a suprfc No caso do clndro s-nfnto, a solução é da fora ( r,x,t) ( r,t) ( x,t) θ θ θ = θ θ θ clndro s nfnto, clndro nfnto, o s-nfnto, ro= rao ro= rao x = noral a suprfc (5.5) (5.6) O calculo da taxa total d transfrênca d calor é fto nos casos das quaçõs (5.4) a (5.6) por ua quação slar à q. (5.3) Fnalnt, no caso d u parallpípdo, coo lustrado na Fgura 5.6, a solução trdnsonal pod sr obtda coo ( x,y,z,t) θ( x,t) θ = θ θ barra, placa, L H L = tad da spssura ( y,t) θ θ placa, H = tad da spssura ( z,t) θ θ placa, W = tad da spssura (5.7) Dtrnação da tpratura dpndnt do tpo nu parallpípdo rso nu fludo. A taxa total d transfrênca d calor nst caso, d acordo co Bjan (993) é calculada coo () Qt Q Q Q Q Q Q = + + Q Q Q L Q H Q L Q W Q L H (5.8)

17 9 5.5 Fonts sudouros concntrados Nst t consdra-s casos d condução dpndnt do tpo qu o aspcto prncpal é a gração (ou absorção) d calor ua rgão uto pquna ua rgão concntrada- do o condutor. Quando calor é lbrado no o a partr dsta pquna rgão, o procsso srá d condução transnt na vznhança d ua font d calor. Explos nclu fssuras chas d vapor gotérco, xplosõs subtrrânas, contanrs d lxo nuclar ou quíco, cabos létrcos ntrrados no subsolo. Quando a pquna rgão rcb calor do o nfnto, a rgão funcona coo u sudouro concntrado d calor. U xplo é o caso d u duto ntrrado d u trocador d calor através do qual ua boba d calor rcb calor do o abnt (solo) a f d auntá-lo dpostá-lo nu dfíco Fonts sudouros nstantânos Consdr, prrant, a drção x através d u o nfnto co proprdads constants ( k, αρ,,c), Fgura 5.7. A quação d condução na drção x, para o xcsso d tpratura θ x,t = T x,t T é: θ θ = x α t Ua solução qu satsfaz (5.9) pod sr do tpo: θ ( x,t) K x = xp αt 4α t na qual K é ua constant. Intgrando a q. (5.) rsulta (5.9) (5.) K x θ ( x,t) dx = xp dx αt 4α t (5.) Após u rarranjo a q. (5.) pod sr scrta coo

18 η η η dη π π / =Kπ rf ( ) + rf ( ) / =Kπ rf ( ) + rf ( ) / =Kπ rf / d θ( x,t) dx = Kπ xp + xp / / / =π K (5.) A ntgral do lado squrdo da q. (5.) é proporconal ao nvntáro d nrga ntrna do d o ntro: ρ u u Adx= ρc T T Adx ρca θdx = (5.3) na qual A é a grand ára do plano noral à drção x. Mas ρ u u Adx= Q (5.4) é dpósto d calor no plano x = no nstant d tpo t =. Cobnando as quaçõs (5.) a (5.4) obr-s Q K = (5.5) π / ρc na qual Q = Q/ A é o podr da font plana nstantâna. Ass, o xcsso d tpratura na vznhança do plano x = qu Q é lbrado no nstant t = é θ ( x,t) Q x = xp ρc παt 4α t (font plana nstantâna) (5.6) Fgura 5.7 Dstrbução d tpratura na vznhança d ua font d calor nstantâna.

19 Fórulas slars pod sr obtdas para fonts no forato d lnha ou fonts pontuas. E tas casos t-s θ ( r,t) Q r = xp 4ρcπαt 4α t (font lnha nstantâna) (5.7) θ ( r,t) Q r = xp 3/ 8ρc 4α t ( παt) (font ponto nstantâna) (5.8) 5.5. Fonts sudouros prsstnts (contínuos) A dstrbução d tpratura dpndnt do tpo o procsso d condução qu são nduzdos por fonts qu prsst no tpo pod sr dtrnados analtcant pla suprposção d ftos d u grand núro d fonts nstantânas. Assua o caso, novant, o caso da font plana, q. (5.6), só qu no nstant t = no plano x =, a agntud da font sja Q. Então, pla q. (5.6) t-s a dstrbução d tpratura x Q θ ( x,t) = xp (5.9) ρc παt 4α t Assua tabé qu no nstant t = t, o plano x = rcb ua nova font, Q. S sta nova font ocorrr só, ou sja, s a prsnça d Q, ntão a varação d tpratura provocada por Q podra sr scrto na fora θ ( x,t) Q x xp ρc πα( t t ) 4α ( t t ) = (5.) na qual, agora, t t conta o tpo dcorrdo após a lbração d Q. S Q ocorrr na prsnça da tpratura crada por Q no nstant t =, ntão, a dstrbução d tpratura após t t = é splsnt a soa d θ ( x t) θ ( x t),,. Ou sja, para t > pod-s scrvr θ ( xt, ) (, ) (, ) θ (, ) θ xt < t< t = θ xt + xt t < t (5.) Pod sr ostrado qu θ = θ + θ satsfaz a q. (5.9).

20 Outras ntradas pod sr adconadas à q. (5.) s fonts adconas d dnsão Q for dpostadas tpos t na font plana x =. Por xplo, após o tpo t = tn (sto é, após n + dpóstos), a dstrbução d tpratura é dada por ( xt) θ θ θ θ θ (5.), = n Ua font contínua no plano x = o so fto qu ua sqüênca d u grand núro d pqunas fonts planas nstantânas d gual taanho: Δ Q = q Δ t (5.3) é o dpósto d calor por undad d ára tpo, Δ t é a curta duração na qual q ( W / ) d cada dpósto (tro). Quando (5.) é substtuída por ua ntgral θ ( xt, ) = t θ dτ Δ t s torna nfntsalnt pquno, a soa na q. t q x = xp dτ ρc πα( t τ) 4α( t τ) (5.4) No ntgrando, a varávl uda τ arca o tpo quando cada adconal font qdτ ntra ação. Quando a ntgral (5.4) é avalada o rsultado é a dstrbução d tpratura próxa ao plano x = qu fonts contínuas q são lgadas no tpo t = : q t x q x x θ ( x,t) = xp rfc ρc πα 4αt k αt No plano x = t-s (font plana contínua) (5.5) θ (,t) q t = ρc πα / (5.6) o qu ostra qu so qu a font plana prssta nívl constant q, a tpratura na font plana no o aunta quando o tpo t crsc. As dstrbuçõs d tpratura tabé pod sr obtdas d fora slar para fonts lnhas pontuas contínuas. No caso d fonts lnhas, pla q. (5.7) pod obtr θ u q = du 4π k (font lnha contínua) (5.7) r / 4αt u ( r,t) E u tpo sufcntnt longo /ou para dstâncas radas pqunas, ond o grupo r /4α t é nor do qu, a dstrbução d tpratura s aproxa por θ ( rt) q 4α t r, ln,577 4πk << r 4αt (5.8)

21 3 O fto d ua font pontual contínua pod sr dtrnado pla suprposção d u grand núro d fonts pontuas nstantânas d gual taanho: θ ( r,t) Lbrando qu rfc argunto r/ ( αt) / q r = rfc 4π kr αt (font pontual contínua) (5.9) =, pod-s conclur qu na dda qu o tpo crsc o tpratura s stablza no nívl θ ( r, ) s torna consdravlnt nor do qu, a dstrbução d = q 4π kr (5.3) As sas fórulas quaçõs s aplca para o caso d sudouros nstantânos contínuos, pla spls troca dos snas d ( Q, Q, Q, q, q, q) nas rspctvas quaçõs Fonts d calor óvs Ua caractrístca das fonts sudouros óvs é a stra das sotras torno do local da font. Agora, consdra o caso d fonts qu s ov rlação ao o condutvo co vlocdad constant, coo lustrado na Fgura 5.8, a qual pod rprsntar u procsso d soldag d duas chapas. Após u longo príodo d tpo, pod-s scrvr as quaçõs govrnants para ssa font lnha coo T T U = α x y (5.3) T = T y =± (5.3) q = ρcu T T dy (5.33) Fgura 5.8 Font óvl

22 4 A solução do probla (5.3) a (5.33) pod sr obtda dfnndo as varávs (, ) T x y q / ρc T = θ η (5.34) ( Uα x) / U η = y α x / as quas substtuídas (5.3) a (5.33) rsulta (5.35) d θ η dθ + + θ = (5.36) dη dη θ = η = ± (5.37) θdη = (5.38) A solução d (5.36) qu satsfaz (.36) (5.37) dv sr do tpo θ C η /4 = (5.39) a qual substtuída (5.38) lva ao rsultado para a constant C η /4 C d η = η η C d = η η η η C d + d = ( ) = / C rf / η η π η η C d d / / π + = π π Cπ C = / + rf π / / rf = A solução para θ srá, portanto, da fora (5.4) /4 η θ = (5.4) / π qu substtuída (5.34) juntant co (5.35) lva ao rsultado para a dstrbução d tpratura: q / ρc Uy T( x, y) T = xp / 4α x ( 4πUαx) (5.4)

23 5 No caso d ua font pontual contínua, d fora slar pod-s obtr a dstrbução d tpratura coo q/ ρc Ur T( x, r) T = xp 4παx 4αx (5.43) 5.6 Soldfcação fusão Os problas d transfrênca d calor co udança d fas nvolv u ovnto d frontra cuja posção dv sr dtrnada coo part da solução. Os casos consdrados aqu são d fusão soldfcação Soldfcação fusão undnsonal A Fgura 5.9 lustra os casos d fusão soldfcação undnsonal d u atral. Fgura 5.9 Procssos d fusão soldfcação A Fgura 5. lustra o ovnto da frontra balanço d nrga na udança d fas. Consdrando u volu d control torno da frontra óvl t-s pla prra l da trodnâca dδ dδ T ρa h ρa h = k A dt dt x δ l s l x =,lado lqudo x δ ( t) = (5.44)

24 6 na qual A, h l h s são a ntalpa são a ára frontal do volu d control, a ntalpa spcífca do líqudo a ntalpa spcífca do sóldo rspctvant. O tro do lado drto d (5.44) rprsnta a transfrênca d calor qu chga d ca, sto é, do lado líqudo da frnt d fusão. Não fo consdrado nnhu tro d transfrênca d calor do lado do sóldo da frnt d fusão, pos o sóldo fo consdrado sotérco. O cofcnt k l é, portanto, a condutvdad térca do líqudo. Fgura 5. Fusão d u sóldo s-nfnto O cálculo da frnt d fusão rqur a dtrnação dos capos d tpratura. Ua solução spls é basada na obsrvação d qu b no níco do procsso, quando a caada d fusão é b fna, a dstrbução d tpratura é lnar: T x,t T x T T δ t da qual s obté T x,t T T x δ () t () Substtundo (5.46) (5.44) rsulta ua quação para dtrnar δ : dδ δ dt cuja solução é k ( T T ) (5.45) (5.46) l ρh (5.47) sl δ kt ρh l () t ( T T ) sl / qu hsl = hl hs é o calor latnt d fusão do atral. (5.48) D acordo co Bjan (993) ua solução xata fo obtda por Stfan é da fora:

25 7 ( T ) / ct π λxp ( λ ) rf ( λ) = (5.49) h sl na qual c é o calor spcífco do líqudo λ é u núro adnsonal dfndo coo δ λ = (5.5) / αt O grupo aparcndo do lado drto da q. (5.49) é dnonado por núro d Stfan: St ( T ) ct = (5.5) h sl No caso qu há troca d calor tanto no líqudo quanto no sóldo coo lustrado nos procssos d soldfcação fusão da Fgura 5., a quação na ntrfac fca na fora Ts T dδ l ks kl = ρhsl x x dt () t x δ ( t) = (5.5) S do lado líqudo prdonar u procsso d troca convctva co cofcnt d troca d calor convctvo h, a quação na ntrfac fca na fora T k h( T T ) = ρh x s s sl dδ ( t) x δ ( t) dt = (5.53) Fgura 5. Procsso d udança d fas: (a) soldfcação; (b) fusão S as dnsdads do líqudo do sóldo for dfrnts, co ρs > ρl consdrando ovnto do líqudo plos ftos voluétrcos, a quação na ntrfac fca coo T T k k = ( ρ h ρ h ) V ρ hv x x s l s l l l s s x l l l x δ ( t) = (5.54) na qual V l é a vlocdad do líqudo plos ftos voluétrcos a vlocdad da frontra é

26 8 V x () t dδ = (5.55) dt U balanço d assa na frontra lva ao rsultado ρ ρ V = ρv (5.56) da qual s obté V l s x l l ( ρ ρ ) V l s x l = (5.57) ρl Substtundo (5.57) (5.54) obté-s na ntrfac T T k k = ρ ( h h ) V = ρ h V x x s l s l s l s x s sl x x δ ( t) = (5.58) qu é dêntca à q. (5.5), xcto co a assa spcífca do sóldo no lugar da assa spcífca constant Soldfcação fusão ultdnsonal No caso d u procsso d fusão ou soldfcação trdnsonal, a frnt d udança d fas srá ua suprfíc no spaço coo lustrado Fgura 5. dada pla função F( x,y,z,t ) =. Fgura 5. Soldfcação três dnsõs. Para u ovnto da frontra na drção da noral n, o balanço d nrga na frontra lva à quação T T k k = ρ ( h h ) V n n s l s l l s n F( x,y,z,t ) = (5.59)

27 9 fas é: Ua fora xplícta d scrvr a função qu rprsnta a suprfíc d udança d F x, y, z, t z s( x, y, t) = (5.6) O vtor noral à suprfíc pod sr calculado coo F n = (5.6) F A suprfíc F stá na tpratura d udança d fas, portanto, la é ua suprfíc sotérca; consqüntnt, T é noral a sta suprfíc, daí, F T n = =, = soul (5.6) F T A partr d (5.6) pod-s obtr qu T T F = T n =, = soul (5.63) n F V n V F = Vn = (5.64) F A drvada total d (5.6) é: F F F F dt + dx + dy + dz = t x y z da qual s obté Fdx Fdy Fdz F + + = x dt y dt z dt t F V F = t V n (5.65) (5.66) F / t = Vn = (5.67) F Tabé s pod donstrar qu F s F s F F s =, =, =, = x x y y z t t (5.68) T s s T F = + + (5.69) z x y T T s s = + + / F n z x y (5.7)

28 3 Substtundo (5.67) (5.7) (5.59) rsulta para o caso trdnsonal a quação na ntrfac: s s s x y z z t Ts Tl + + ks kl = ρhsl z s( x,y,t) = (5.7) Os casos bdnsonas undnsonas pod sr obtdos a partr d (5.7) coo s Ts Tl s + ks kl = ρhsl x z z t z s( x,t) = (D) (5.7) T s T ds l ks kl = ρhsl z z dt z s( t) A q. (5.73) é dêntca à q. (5.5), bastando trocar z por x. = (D) (5.73) 5.7 Métodos nuércos Os étodos nuércos utlzados para o caso d condução rg prannt, tabé s aplca aos casos d condução transnt bastando nclur o tro transnt na quação Volu fnto Consdr u volu d control d dnsõs ( Δ x) ( Δ y) W, Fgura 5.3, u balanço d nrga lva ao E = q w + q + q s + q n + q g (5.74) t na qual fo assudo qu as taxas d calor ntra no volu d control, cujo nó cntral é dntfcado plo síbolo P. O subscrto w é a fac ost voltada para o nó W ; a fac lst voltada para o nó E ; s á fac sul voltada para o nó S n é a fac nort voltada para o nó N. As taxas d calor qu ntra no volu d control, a varação d nrga dntro do volu d control a gração calor são dfndas coo

29 3 n n N ( δ y) TW TP E T TE TP q k WΔ y = ρδxδ ywc, q =ΔxΔyWq q kwδy (5.75) ( δx) t t ( δx) w w g w q q s T k WΔx T kwδx s S ( δ y) T T P s n P Fgura 5.3 Volu d control torno d u ponto P. A q. (5.74) pod sr rscrta coo T ρcδ V = qw + q + qs + qn + q ΔV t A dscrtzação do tro transnt (5.76) pod sr fta na fora ΔV + + ρc ( TP TP ) = f ( qw + q + qs + qn) + Δt ( f )( q q q q ) w s n + ( ) ( ) + f q Δ V + f q ΔV (5.76) (5.77) na qual f é u parâtro para ndcar s o squa d dscrtzação no tpo é xplícto, f =, s-plícto, < f < ou totalnt plícto, f =. ndca o passo d tpo + Δ t = t t. O caso f, 5 = é conhcdo coo squa d Crank-Ncolson. obté-s Substtundo as dfnçõs das taxas da q. (5.75) q = SpTp + SC (5.77)

30 3 ΔΔ x y + ρc + f ( as + an + aw + ae SpΔxΔ y) TP = Δt = f awt + a W ET + a E ST + a S NT + b N (5.78) x y b= ρc ΔΔ ( f )( as + an + aw + ae SpΔxΔ y) TP + Δt ( ) ( ) + f awt + a W ET + a E ST + a S NT + N + f S ΔxΔ yt + S ΔxΔy P P c (5.79) Nua fora copacta a q. (5.78) pod sr rscrta coo at = f a T + at + at + at + b (5.8) p P W W E E S S N N na qual o suprscrto + fo dsconsdrado os cofcnts são: a k Δy E = (5.8a) ( δ x) a a a W N S k Δy w = (5.8b) ( δ x) k ( δ y) w Δx n = (5.8c) ( δ y) n k Δx s = (5.8d) s ap = ρ c ΔΔ x y + f ae + aw + an + as SPΔxΔy Δt (5.8) No caso d u probla trdnsonal, a coordnada z tabé srá dscrtzada xstrão fluxos nas facs t (topo) b (fundo), quação (5.8) os cofcnts fca na fora na qual at = f a T + at + at + at + at + at + b (5.8) a a p P W W E E S S N N T T B B k ΔΔ y z E = (5.83a) ( δ x) k ΔΔ y z w W = (5.83b) ( δ x) w

31 33 a a a a N S T B k ΔΔ x z n = (5.83c) ( δ y) ( δ y) n k ΔΔ x z s = (5.83d) s k ΔΔ x y t = (5.83) ( δ z) k ΔΔ x y t b = (5.83f) ( δ z) b ap = ρ c ΔΔΔ x y z + f ae + aw + an + as + at + ab SPΔxΔyΔz Δt (5.83g) x y z b= ρc ΔΔΔ ( f )( as + an + aw + ae + ab + at SpΔxΔyΔ z) TP + Δt ( ) ( ) + f awt + a W ET + a E ST + a S NT + a N BTB + att T + + f S ΔxΔyΔ zt + S ΔxΔyΔz P P c (5.83h) 5.7. Dfrnça fnta Srá consdrado o sgunt caso T T T ρc = k + k + q (5.84) t x x y y O lado drto da q. (5.84) já fo dscrtzado na q. (.85), portanto, (5.84) pod sr rscrta, usando a notação da Fgura 5.4, coo T T, j T, j T, j T, j T +, j T, j+ q = α t Δy Δx Δx Δy Δx Δy k (5.85)

32 34 Fgura 5.4 Nonclatura para dscrtzação por dfrnça fnta. Ou usando a q. (.86) pod-s rscrvr (5.85) coo na qual, agora T = at + bt + ct + bt + at + d α t a = Δy b = Δx, j, j, j +, j, j+, j (5.86) (5.87a) (5.87b) c = d, j ( Δx) ( Δy) (5.87c) q = (5.87d) k A dscrtzação do tro transnt na q. (5.86) pod sr fta d váras foras, plo uso do parâtro f coo na quação (5.77). Dsta fora após dscrtzar o tro transnt (5.86) t-s T α T +, j, j Δt (, j, j, j +, j, j+, j) + = f at + bt + ct + bt + at + d + ( f )( at, j + bt, j+ ct, j+ bt+, j+ at, j+ + d, j) + (5.88) Os casos clásscos são: étodo xplícto, f =, qu é condconalnt stávl; étodo plícto, f =, ncondconalnt stávl o caso f =, 5, squa Crank-Ncolson qu é ua dscrtzação d sgunda ord no tpo. Consdr o caso qu Δ x =Δ y f =. A q. (5.88) pod sr rscrta coo ( + + ) ( 4 ) T = Fo T + T + T + T + d Δ x + Fo T (5.89) +, j, j, j, j, j, j, j

33 35 Na qual fo dfndo o núro d Fourr co bas no taanho da alha ( Fo) αδt Fo = Δ ( x) (5.9) Para qu o étodo xplícto sja stávl, a sgunt condção dvr sr satsfta: 4, qu lva a Fo (5.9) 4 O qu rstrng o passo d tpo valors ( Δx) Δt (5.9) 4α O caso f = lva à sgunt quação para o étodo plícto: ( + + ) +, j, j, j, j, j, j, j, j + ( 4 ) + Fo T FoT + T + T + T + T + d Δ x = T (5.93) Elnto fnto O étodo d lntos fntos, lustrado na Fgura 5.5, tabé t sdo usado para s rsolvr a quação d condução, dvdo sua vrsatldad para dscrtzação d doínos coplxos. A quação d condução transnt é: ρ T c k T = q t (5.94) Multplcando a quação (5.94) por ua função d pondração W ntgrando no doíno d u lnto, após ua ntgração por parts obté-s T Wρc dω W k TdΩ= Wq dω t T Wρc dω+ Wk TdΩ Wk T ndγ= Wq dω (5.95) t T W T T Wρc dω+ k dω= Wk ndγ+ Wq dω Ω Ω Ω Ω Ω Γ Ω j j Ω t Ω x x Γ j x Ω j

34 36 Fgura 5.5 Malhas d lntos fntos: (a) lntos trangulars; (b) lntos quadrlatras. Nas quaçõs ond aparc os índcs j stá plícta a rgra d soa d Enstn. Agora, ntrpola-s a tpratura dntro d u lnto na fora: T = N r T t na qual { } () (5.96) qu N N N N = N T ; { T } T T T = N (5.97a, b) N T são funçõs d ntrpolação conhcdas assocadas ao nó d u lnto os valors nodas da tpratura rspctvant nu lnto. Toando caso do étodo d Galrkn, qu W = N (5.98) substtundo (5.96) (5.98) (5.95) rsultará

35 37 Ω dt N N ρc{ N} N dω + kj d { T } dt Ω = Ω x x j T = { N} kj nd Γ+ { N} q dω Γ x Ω j (5.99) A quação (5.99) pod sr scrta nua fora atrcal coo dt M + K T = Q dt { } { } Na qual os lntos das atrzs d assa { Q } são dfndos coo M K, d rgdz (5.) do vtor carga M = ρcn N dω (5.) Ω αβ α β N N = Ω (5.) α β K kj d αβ Ω x xj T = Γ+ Ω (5.3) Q N kj nd N q d α Γ α x Ω α j O prro tro do lado drto da Eq. (5.3) srá avalado sont nos lntos qu tnha u contorno concdndo co o contorno xtrno do doíno co fluxo d calor spcfcado. A dscrtzação do tro transnt na q. (5.) pod sr fta coo nos casos d dfrnças fntas, rsultando a quação dscrtzada na fora ou + T T + { } ( ){ } + { } ( ) { } M M + f K T + f K T = Δt Δt = f Q + f Q (5.4) + T T + { } ( ){ } + { } ( ) { } M + f K T M f K T t = + t Δ Δ + f Q + f Q (5.5) S o doíno for dscrtzado u núro d lntos Nl, consdrando a contrbução d todos os lntos, rsultará a fora atrcal, [ G]{ T} = { Q} (5.6)

36 38 na qual, agora, a atrz [ G ] o vtor { Q } contrão a contrbução d todos os lntos: Nl G = M + f K = Δt (5.7) [ ] t Δ Nl Nl { Q} = M ( f ) K { T } + { Q } (5.8) = = O vtor { T } contrá as tpraturas d todos os pontos do doíno. A solução da quação (5.6) é fta após ntrodução dos valors conhcdos d tpratura algua part do contorno do doíno, por técncas nuércas apropradas para solução d sstas lnars sparsos.