Posicionamento estático por dupla diferença de receptores GPS em tempo real

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1 Posconamento estátco por dpla dferença de receptores GPS em tempo real Leandro Baron Hélo ot ga Dvsão de ecânca Espacal e Controle, Insttto Naconal de Pesqsas Espacas, 7- São José dos Campos, SP.. RESUO O ojetvo deste traalho é oter, em tempo real, as coordenadas de posção de m receptor GPS estaconáro em relação a otro receptor GPS, aplcando a técnca de posconamento por dpla dferença de meddas de psedo-range, assm como comparar mplementações comptaconas va fltro de alman e mínmos qadrados. O oservável de dpla dferença comna meddas de dos receptores GPS, de modo qe erros como desvos de relógo e atmosfércos são pratcamente elmnados. Os dados tlzados foram coletados por dos receptores GPS Ashtech Z de dpla freqüênca e qaldade geodésca, drante ma campanha de cerca de ma hora, gravados com ma freqüênca de amostragem de Hz posconados a ma dstânca conhecda. O receptor ase fo posconado sore m marco com posção conhecda, medda pelo IBGE. Foram recperados dados de psedo-range C (códgo C/A e P (códgo-p, qe foram processados pelos dos algortmos, e comparados em termos da precsão otda para o posconamento.. PALAVRAS CHAVES GPS, posconamento relatvo, dpla dferença, savzação, estmação de estados. 3. INRODUÇÃO Este traalho propõe calclar, em tempo real, as coordenadas de posção de m receptor GPS, estaconáro em relação a otro, aplcando a técnca de posconamento por dpla dferença, assm como comparar dferentes métodos de mplementação. Os oserváves de dpla dferença são otdos através da comnação das meddas de psedodstâncas de amos os receptores referentes a város satéltes GPS smltaneamente rastreados. A vantagem deste método de posconamento é a elmnação de grande parte dos erros das meddas, como desvos de relógo, erros ortas e, se a lnha de ase for peqena, desvos atmosfércos. Este método, ao contráro do GPS Dferencal, commente desgnada de DGPS (Baron et al., 3, permte a estmação da lnha de ase entre os receptores. O posconamento do receptor sáro é consegdo em relação à ma posção conhecda de m receptor denomnado de ase. Dada a proxmdade da ase e do sáro, o prncípo do posconamento por dpla dferença spõe qe os efetos amentas (troposfera, onosfera prncpalmente são os mesmos, para lnhas de ase próxmas. Com sso efetos de modelagem complexa são mnmzados e a técnca dá orgem a m posconamento relatvo de grande precsão. Neste traalho, a ase de referênca tem sa posção precsamente conhecda, medda pelo IBGE (Insttto Braslero de Geografa e Estatístca. O receptor sáro está localzado a ma dstânca conhecda da ase, qe é sada para verfcar a precsão dos procedmentos propostos. Os dados foram coletados por dos receptores GPS Ashtech Z de dpla freqüënca e qaldade geodétca em ma campanha de cerca de ma hora com ma taxa de amostragem de Hz. Dados de psedo-range nos modos C (códgo C/A e P (códgo-p foram recperados. Estes dados foram processados através de das técncas: fltro de alman e mínmos qadrados, e ses resltados são comparados em relação à lnha de ase conhecda entre os receptores. 4. ÉODOS DE ESIAÇÃO 4. ÍNIOS QUADRADOS O método de mínmos qadrados é ascamente m processo para estmar parâmetros, o seja, estmar valores qe são constantes ao longo do processo. É necessáro medr dreta o ndretamente o qe se deseja estmar, de modo qe para começar o processo de estmação necessta-se de m conjnto de meddas qe esteja relaconada ao(s parâmetro(s. Desse modo torna-se fndamental a modelagem de como essas meddas se relaconam aos parâmetros a serem estmados (ga,. A eqação qe relacona as meddas aos parâmetros é formlada como ma eqação lnear: y = Hx ( Formalmente, o algortmo trata de mnmzar m índce de desempenho do qadrado dos resídos na forma: L = (y - Hx W(y - Hx (

2 onde y representa o vetor contendo m meddas, x representa o vetor de n parâmetros a serem estmados, e H é ma matrz m n qe relacona as meddas aos parâmetros e W é ma matrz de peso qe pondera os dferentes tpos de erros. O valor estmado de x para m n e sa covarânca P para o processamento em lotes, sto é, qe processa as meddas todas de ma só vez, são dados por: P = ( H WH xˆ = PH Wy (3 Este processamento tamém pode ser feto de forma recrsva, tamém chamada de forma de alman, a qal pode processar ma medda de cada vez. As eqações para = m são: xˆ = P = xˆ H + ( H P P = ( I H P ( y H H xˆ + / w onde w é o -ésmo elemento da dagonal de W. 4. FILRO DE ALAN (4 O fltro de alman é m conjnto de eqações matemátcas qe fornece ma solção recrsva para o prolema de estmar o estado de m sstema aseado em meddas com rídos. Ele comna todas as meddas, o conhecmento a pror da dnâmca do sstema e eqpamentos de meddas, estatístcas do rído do sstema dnâmco e erros de meddas, além de nformações da condção ncal para prodzr ma estmatva do estado, de tal manera qe o erro é mnmzado estatstcamente (ayec, 979. Esse fltro é m estmador lnear, o seja, spõe-se qe as eqações de dnâmca e de oservações sejam fnções lneares do estado. Entretanto, exstem técncas qe permtem qe o fltro seja sado em prolemas não-lneares, como o fltro de alman estenddo (Gel et al., 974; Stovall, 997. A eqação da dnâmca, qe descreve a evolção do estado no tempo, é modelada pela eqação dferencal lnear: x& = Fx + Gw (5 onde x é o vetor com n estados, F é a matrz do sstema n n e pode ser fnção do tempo t, w é m vetor de r rídos rancos da modelagem da dnâmca e G é ma matrz n r de adção de rído, com E[ w( t] = E[ w( t w( τ ] = Q( t δ ( t τ (6 O operador E[ ] sgnfca o operador esperança, Q é a matrz de covarânca de w e δ(t τ é a fnção delta de Drac. As oservações são geralmente dscretas e modeladas pela eqação lnear dscreta no tempo: y = H x + v (7 onde y é m vetor contendo m oservações, H é ma matrz m n qe relacona o vetor de estado com as oservações e v é m vetor de m rídos rancos nas meddas, com E[ v E[ v v ] = l ] = R δ l (8 onde R é a matrz de covarânca dos rídos das meddas e δ l e a fnção delta de ronecer. Os rídos da dnâmca w e de oservação v são não-correlaconados entre s e nãocorrelaconados com o estado ncal (Brown e Hwang, 996, o seja, E[ w( t v ] = E[ x( t v ] = E[ x( t w( t ] = (9 No níco do processo, é necessáro ter-se ma estmatva do estado ˆx e sa covarânca ˆP. Esse estado ncal e sa covarânca são então propagados até o nstante da medda através da eqação de modelo de dnâmca. O estado xˆ e covarânca Pˆ atalzados são formados a partr da comnação dos estado e covarânca propagados do nstante anteror para o nstante atal com as nformações das meddas. A estmação dos estados consste, assm, de das fases: propagação e atalzação. O método tem, portanto, natreza recrsva e não necessta armazenar as meddas prevamente em grandes matrzes, sendo astante útl para aplcações em tempo real (Gel et al., 974; ga,. 4.. PROPAGAÇÃO As eqações da fase de propagação do nstante - para o nstante para o estado são dadas por: x& = Φx Φ& = FΦ ( onde Φ -, é a matrz de transção de estado entre os nstantes - e. A arra sgnfca estado propagado antes de ser atalzado e o crcnflexo ndca estado atalzado. Estas eqações são

3 resolvdas através de algm método de ntegração nmérca, com condções ncas x (- = xˆ (- e Φ -,- = I, onde I é a matrz dentdade. A matrz de transção Φ descreve a evolção do erro de estmação entre nstantes dferentes. No caso de F ser constante, a matrz de transção pode ser calclada analtcamente por: Φ Fδ, = e t = I + Fδt + ( Fδt! + L ( onde δt é o ntervalo de tempo entre os nstantes das meddas (Brown e Hwang, 996. A propagação da matrz de covarânca é dada pela eqação: P = Φ +, Pˆ Φ, Φ, τ G( τ Q( τ G ( τ Φ 4.. AUALIZAÇÃO, τ dτ ( Após a estmatva do estado e covarânca serem propagados até o nstante da oservação atal, faz-se a atalzação a partr das segntes eqações: xˆ Pˆ = P = x H + = ( I ( H H ( y P P H H + R x (3 onde é o ganho de alman e R é a matrz de covarânca dos erros de oservação e I é a matrz dentdade. No processamento smltâneo, o vetor de meddas é processado em lotes, o seja, de ma só vez. O processamento seqüencal processa ma medda de cada vez, desde qe elas sejam não correlaconadas, sto é, R seja dagonal. A vantagem deste método é o fato de evtar a nversão matrcal na eqação (3, de dmensão m m (Sorenson, POSICIONAENO POR DUPLA DIFERENÇA Este capítlo mostra os resltados da aplcação da técnca de posconamento por dpla dferença, descrta na seção 5.. Os testes foram fetos tlzando como método de estmação fltro de alman e mínmos qadrados. Em amos os métodos tamém fo aplcada ma rotna de savzação da psedodstânca com janelas de, 3, 5 e segndos. amém foram processadas meddas C (cvl e P (precsa para verfcar se precsões maores seram possíves. 5. SIPLES DIFERENÇA A medda de psedodstânca entre m receptor e m satélte pode ser modelada como: onde D + B + + I + ε, D = (4 = R r é a dstânca geométrca entre o receptor e o satélte, com r sendo o vetor posção do receptor no nstante de recepção do snal e R o vetor posção do satélte no nstante de transmssão, é o desvo do relógo do receptor, B é o desvo do relógo do satélte, e I são os desvos troposfércos e onosfércos, respectvamente e ε, representa erros não modelados. O oservável chamado smples dferença é formado tomando-se a dferença das meddas de psedodstânca em dos receptores em ma mesma época. A smples dferença para a medda de psedodstânca é dada por (sra e Enge, : = = D = ( D D + ( + + ( + ( I + I + I + ( ε + ε, ε,, (5 onde (. = (. (.. O termo de desvo do relógo do satélte B, qe é comm às das meddas, é cancelado. Os termos troposfércos e onosfércos são dferenças dos desvos correspondentes nos dos receptores. A magntde destes termos depende prncpalmente da dstânca de separação dos receptores (lnha de ase. Qando a dstânca entre os receptores for peqena, os resídos onosfércos e troposfércos se tornam peqenos em comparação com os erros devdo ao mltcamnho e rídos do receptor. Desse modo, para ma lnha de ase peqena, a medda de smples dferença para a psedodstânca va códgo se redz a = + ε (6 D +, Analogamente, a smples dferença correspondente à psedodstânca va fase é φ + = (7 D + + λ N ε φ, onde N = N N é a dferença entre as amgüdades nteras de amos receptores e λ é o comprmento de onda da portadora. 5. DUPLA DIFERENÇA O termo do desvo de relógo relatvo é comm a todas as meddas de smples dferença em cada época. Este termo pode então ser elmnado através de meddas de dpla dferença, qe são

4 formadas através da stração de das smples dferença relatvos a dos satéltes dstntos e j. j = (8 j j Da eqação (6 tem-se = + j j j j ( D D + ( ε, ε, = D ε, (9 j j onde ( = ( (. Em partclar, j pode ser formado por: j j j = ( ( ( 6. POSICIONAENO POR DUPLA DIFERENÇA Este método de posconamento comna as meddas de psedodstânca provenentes de amos os receptores para gerar os oserváves de dpla dferença (seção 5.. As oservações de dpla dferença são constrídas escolhendo-se m satélte mestre, geralmente pelo crtéro de maor elevação no níco do período de oservações e realzando as strações com as otras meddas. Este procedmento garante m conjnto de dpla dferenças lnearmente ndependentes (Saalfeld, 999; Janssen,. O conjnto de meddas é então formado por: = ( (, = m, ( onde m é o número de satéltes vsíves. Assm, temse m - meddas de dpla dferença. Esta eqação tamém pode ser escrta, de acordo com a eqação (9, em fnção das dstâncas geométrcas = ( D D ( D D + ε ( Consderando qe a lnha de ase é menor qe a dstânca dos receptores aos satéltes por váras ordens de magntde, pode-se defnr a segnte relação, com ase na Fgra : D = D D = x (3 onde X x Y y Z z = é o vetor ntáro apontando da ase para o satélte, com [ ] [ x y z ] R = X Y Z, r = e x = [δx δy δz] representa a lnha de ase entre os receptores. dferença. FONE: sra e Enge (. Utlzando a aproxmação descrta, a dpla dferença na eqação (4 se torna ma fnção lnear com relação à lnha de ase x : = x + ε ( (4 Portanto, a aplcação do método de dpla dferença permte a estmação da lnha de ase. Como as oservações de dpla dferença consstem de comnações entre as meddas de psedodstânca, o valor da matrz de covarânca dessas oservações pode ser calclado colocando-se a eqação ( na forma matrcal (Strang e Borre, 997: y DD = D y (5 y DD = é m vetor contendo as m- meddas de dpla dferença, m onde [ ] m m [ ] y = é m vetor contendo as m meddas de psedodstânca oservadas pelo sáro e pela ase, dspostas alternadamente. A matrz D, de dmensões (m- (m, é defnda de modo a relaconar as psedodstâncas oservadas com as meddas de dpla dferença. Esta matrz assme então a segnte forma: D = O (6

5 Cada psedodstânca é medda com m erro cja varânca vale σ. Assm, a matrz de covarânca de y é dagonal com a forma: cov[ y ] σ I (7 = onde I é a matrz dentdade de ordem m. Pela Le de Propagação de Covarâncas (Strang e Borre, 997, a covarânca de y DD, com relação à covarânca de y, é dada pela eqação: R = cov[ y DD ] = D cov[ y ] D = D σ D (8 A matrz A = D D, de ordem (m- (m-, calclada a partr da matrz da eqação (6, poss os elementos da dagonal prncpal com valor 4 e os elementos fora da dagonal com valor. Em otras palavras, mesmo qe as oservações orgnas de psedodstânca sejam não correlaconadas, a covarânca das meddas de dpla dferença será correlaconada; logo: A = O (9 6. BRANQUEAENO DE ERROS DE OBSERVAÇÃO Sponha-se qe m conjnto de meddas seja modelado por: y = Hx + ν (3 onde v é m erro de oservação com méda zero, mas poss correlação entre as meddas, sto é, E[ ν ] = e E [ νν ] = R (3 com R sendo ma matrz chea postva defnda. Ao mltplcar a eqação (3 por L -, ma matrz tranglar nferor dada por R = L L, otém-se m novo conjnto de oservações, agora ndependentes, mas eqvalentes ao conjnto antgo: ~ ~ y = Hx + v ~ (3 com ~ ~, e v ~ y = L y H = L H = L v. Este novo conjnto poss erro de oservação com covarânca ntára, pos E[ ~~ νν ] = E[ L νν L ] = L E[ νν ] L L RL = L LL L = I = (33 dado qe R = (L - L - = L L (Berman, 977. Assm, nota-se qe esta técnca pode ser tlzada para dagonalzar a matrz de covarânca das meddas de dpla dferença. A matrz L - pode ser otda pela fatoração de R - pelo método de Cholesy, no qal é otdo: R - = L - L - (34 A aplcação da fatoração de Cholesy nessa forma exge qe R seja nvertdo. O formato de R otdo poss nversa cjo valor pode ser calclado explctamente. 6. INVERSÃO EXPLÍCIA DA ARIZ R Sponha qe R é ma matrz (m (m cjos elementos das dagonas têm o valor os elementos fora das dagonas têm o valor Portanto R tem a forma: 4σ e σ. R = σ A = σ O (35 A matrz nversa do termo A = O é dada por: R m A = O (36 m m Logo, a matrz nversa de R é = σ A m = σ m O m (37 Este resltado pode ser verfcado através da relação fndamental A A - = I. 6.3 FAORAÇÃO DE CHOLESY Se A é ma matrz n n postva defnda, então A pode ser fatorada na forma: A = L L (38 onde L é ma matrz tranglar nferor com elementos das dagonas postvos, tamém chamada de matrz raz qadrada de A. Essa fatorzação é

6 conhecda como fatoração de Cholesy (Rggero e Rocha, 997 e pode feta através do segnte algortmo (Berman, 977: Para j = n -, execta-se o conjnto ordenado de eqações recrsvas: / L( j, j = A( j, j L(, j = A(, j / L( j, j, = j +... n = j +... n A(, : = A(, L(, j L(, j =... n e por fm L(n, n = A(n, n /. ( SUAVIZAÇÃO DA PSEUDODISÂNCIA PELA EDIDA DE FASE Defne-se a psedodstânca lvre de erros onosfércos * (sra e Enge, : * = D + c ( B + (4 As meddas de códgo e fase escrtas em termos desta defnção têm a forma: ( t = ( t + I( t + ε ( t φ( t = ( t I ( t + λ N + ε ( t φ (4 omando a dferença das meddas de psedodstânca va códgo ( e fase ( φ entre das épocas t e t - tem-se ( t = ( t ( t φ( t = φ( t φ( t = ( t + I ( t + ε ( t = ( t I ( t + ε ( t φ (4 onde * é a mdança na psedodstânca lvre de erros onosfércos, I é a mdança no erro onosférco e ε é a mdança dos termos de otros erros. Se as épocas são próxmas, o termo I(t é peqeno e pode ser desprezado. φ( t pode então ser sado como ma estmatva precsa de * (t. Desse modo, tem-se ma estmatva de (t em cada época: ˆ ( t = ( t [ φ( t φ( t] (43 Fazendo-se ma méda de ˆ (t sore n épocas: ( t = ˆ( t (44 n Com a estmatva de ( t, pode-se constrr o conjnto de psedodstâncas savzadas como sendo t = ( t + [ φ( t φ( ] (45 ( t Uma mplementação da savzação descrta consste em m fltro recrsvo com dração de J segndos (sra e Enge, : J ( t ( t + J J ( t = ( t [ ( t [ φ( t φ( t ]] = 6.5 SOLUÇÃO POR FILRO DE ALAN (46 O fltro de alman é sado na estmação da lnha de ase entre os receptores, tlzando-se da eqação de oservação após o processo de ranqeamento (eqação 3. A propagação do estado e sa covarânca é feta com ase no modelo de dnâmca estátco, de modo qe a matrz de transção Φ -, se redz à matrz dentdade. Das eqações ( e (: x P,, = xˆ = Pˆ,, + Q (47 A atalzação é feta através do modelo de meddas (eqação 4 pelo conjnto de eqações (3, tlzando o processamento seqüencal: ~ ~ ~ = P, H ( H P, H + I ~ xˆ, = x, + ( y DD Hx, (48 ˆ ~ P = ( I H P,, 6.6 SOLUÇÃO PONO A PONO POR ÍNIOS QUADRADOS A solção por mínmos qadrados local pode ser otda com o processamento das meddas em lotes, o seja, processando todas as meddas de ma só vez em cada época, através das eqações (ga, : P = ( H xˆ = PH WH Wy DD (49 onde W é ma matrz de ponderação, dada por W = R -. Portanto o algortmo prodz ma solção sem assmr modelo dnâmco. 7. RESULADOS Os algortmos de posconamento por dpla

7 dferença foram mplementados para a estmação da posção em tempo real para m sáro estátco. Os dados tlzados foram coletados por dos receptores GPS Ashtech Z de dpla freqüênca e qaldade geodésca, drante ma campanha de cerca de ma hora, gravados com ma freqüênca de amostragem de Hz. O receptor ase fo colocado sore m marco de referênca com coordenadas ECEF (Earth Centered Earth Fxed no sstema WGS-84 dadas por x ref = m, y ref = m e z ref = m, meddos pelo IBGE. O receptor sáro fo colocado a 5.m de dstânca do receptor ase. Os dados de navegação e oservação de amos os receptores foram gravados no formato RINEX- (Grtner,, em dos tpos de oservação: C (psedodstânca medda sando códgo-c/a em L e P (psedodstânca medda sando códgo-p em L. Estes arqvos foram edtados de modo qe o tempo da medção e o conjnto de satéltes fossem os mesmos para amos os receptores. Drante o período de oservação não hove perda de cclos nas meddas de fase. 7. RESULADOS E C O fltro de alman fo mplementado de acordo com o descrto na seção 6.5, em conjnto com o algortmo de savzação das meddas ctado na seção 6.4. Os valores ncas da lnha de ase e da covarânca do fltro foram x = (m e P ˆ [ ] = (m. O valor atrído à varânca dos erros de medda é σ = (3m. Com sso, de acordo com a eqação (35, a matrz de covarânca das oservações de dpla dferença, de ordem (m (m -, vale R = 8 O (m (5. Q =. (m (5. para o fltro com savzação. A solção por mínmos qadrados fo otda com o processamento em lotes das meddas de dpla dferença através das eqações (49. A matrz de pesos W é otda pela nversão da matrz R, eqação (37. Os gráfcos da Fgra mostram a solção em termos do erro de posconamento da lnha de ase com relação a dstânca de referênca de 5.m na asênca de savzação. As Fgras 3-6 mostram resltados para dferentes gras de savzação. As Fgras 3a a 6a (esqerda mostram o erro para a solção com o fltro de alman, jntamente com o erro de estmação de ±-sgma dado pelo traço da matrz de covarânca. As Fgras 3 a 6 (dreta mostram o erro de posconamento referente à solção para o método de mínmos qadrados. Uma oa estmatva para a posção ncal do sáro em m sstema de DGPS são as coordenadas da ase, o seja, lnha de ase nla. Isto gera o erro ncal de cerca de m no fltro de alman. Após a convergênca do fltro, a estmatva permanece com desvo dentro de.5m. Este método tem m comportamento astante save e permanece estável so GDOP maor. A varação do GDOP e do número de satéltes vsíves drante o expermento são mostrados no gráfco da Fgra 7. A savzação fo mplementada tlzando janelas de (asênca de savzação,, 3, 5 e segndos. O valor da matrz de covarânca do rído dnâmco Q fo sntonzado de modo a oter a convergênca do fltro e fo mantdo constante drante o expermento. Com sso, Q assme os valores:. Q =. (m (5. para o fltro sem savzação e ( Fgra : Erro de posconamento sem savzação em C.

8 ( Fgra 3: Erro de posconamento com savzação de s. ( Fgra 5: Erro de posconamento com savzação de 5s. ( Fgra 4: Erro de posconamento com savzação de 3s. ( Fgra 6: Erro de posconamento com savzação de s.

9 ABELA : ÉDIAS E DESVIOS PADRÕES PARA A SOLUÇÃO POR ÍNIOS QUADRADOS NAS EDIDAS E C Janela [s] éda [m] Desvo padrão [m] Fgra 7: GDOP e número de satéltes vsíves drante a oservação em C. Os gráfcos das Fgras 3 a 6 mostram qe o amento da dração da janela de savzação efetvamente levo a ma progressva dmnção da magntde do erro, após m lgero amento na janela de s, tanto para a solção por fltro de alman qanto por mínmos qadrados, como pode ser vsto nas aelas e. Na solção por mínmos qadrados, a dmnção da covarânca entre 89 e 9s se deve à entrada de m sexto satélte em vsldade drante este período. A partr de 4s, nota-se qe as meddas começaram a se degradar, devdo ao amento do valor do GDOP drante o expermento (Fgra 7. Nessa regão, a savzação fo capaz de dmnr grandes osclações. As descontndades presentes na solção por mínmos qadrados em 9s e 69s ocorrem devdo à saltos no desvo do relógo da ase e do sáro, respectvamente. Estes saltos ocorrem no momento em qe o desvo do relógo do receptor ltrapassa ms, qando este valor é acrescentado no relógo e dmnído do desvo (Baron et al., 3a, arqes Flho et al., 3. A aela mostra a méda e o desvo padrão do erro de posconamento para a solção por fltro de alman para as meddas em C, tomadas a partr da convergênca do fltro, assmdo após 3s de expermento. Os valores mostram qe a savzação leva o erro de posconamento a dmnr, assm como o desvo padrão. A aela apresenta os valores do erro e desvo padrão para a solção por mínmos qadrados. ABELA : ÉDIAS E DESVIOS PADRÕES PARA A SOLUÇÃO POR FILRO DE ALAN NAS EDIDAS E C Janela [s] éda [m] Desvo padrão [m] A precsão dos resltados em amos os métodos é smlar, exceto pelo fato de qe a solção por mínmos qadrados é feta ponto a ponto, o seja, a solção é otda a cada nstante e sem modelo dnâmco. A solção por fltro de alman é recrsva, otda através do aprmoramento da solção das épocas anterores com as meddas da época atal. Isto gera m resltado mas estável qe a solção ponto a ponto. 7. RESULADOS E P O fltro de alman fo ncalzado com os valores da lnha de ase e da covarânca do fltro dêntcos aos da seção anteror. O valor atrído à varânca dos erros de medda é σ = (.5m, pos estas meddas são otdas através do códgo-p, teorcamente mas precso. Assm, a matrz de covarânca das oservações vale: R =.5 O (m (53 A savzação fo mplementada tlzando janelas de (asênca de savzação,, 3, 5 e segndos. O valor da matrz de covarânca do rído dnâmco Q fo sntonzado em:. Q =. (m (54. para o fltro sem savzação e. Q =. (m (55. para o fltro com savzação. O gráfco da Fgra 8 mostra o erro de posconamento para a solção por fltro de alman (Fg. 8a e por mínmos qadrados (Fg. 8 em P na asênca de savzação. O erro ncal está em cerca de.5m devdo provavelmente a m rastreamento anda não estaelecdo devdamente. O valor do erro após s de expermento amenta, chegando a pcos de 4m, pos o valor do GDOP nesse nstante

10 atnge cerca de 9, com pcos de 4 nos momentos em qe há dmnção de m satélte sendo rastreado. A Fgra 3 mostra o valor do GDOP e o número de satéltes em rastreamento drante o expermento. ( Fgra 9: Erro de posconamento com savzação de s. ( Fgra 8: Erro de posconamento sem savzação em P. As Fgras 9 a mostram o erro de posconamento com a aplcação de savzação com janelas de, 3, 5 e segndos, respectvamente. A savzação levo a m amento progressvo da dração do pco de erro ncal. ( Fgra : Erro de posconamento com savzação de 3s.

11 Fgra 3: GDOP e número de satéltes vsíves drante a oservação em P. As aelas 3 e 4 mostram o valor da méda e do desvo padrão para o erro de posconamento para a solção por fltro de alman e mínmos qadrados, respectvamente. Estes valores para o fltro foram calclados após a convergênca do fltro e elmnado o pco ncal, de modo qe para as janelas de, e 3s foram tomados valores a partr de 3s de expermento e para as janelas de 5 e s, a partr de 4s. Na solção por mínmos qadrados, para a janela de, e 3s foram tomados valores a partr de s e para 5 e s, a partr de 3s. ( Fgra : Erro de posconamento com savzação de 5s. ABELA 3: ÉDIAS E DESVIOS PADRÕES PARA A SOLUÇÃO POR FILRO DE ALAN NAS EDIDAS E P Janela [s] éda [m] Desvo padrão [m] ABELA 4: ÉDIAS E DESVIOS PADRÕES PARA A SOLUÇÃO POR ÍNIOS QUADRADOS NAS EDIDAS E P Janela [s] éda [m] Desvo padrão [m] CONCLUSÕES ( Fgra : Erro de posconamento com savzação de s. Os expermentos desta etapa mostram qe o processo de savzação de meddas pode atenar a méda do erro, mas não afeta sgnfcatvamente se desvo-padrão. As váras janelas de savzação tlzadas (, 3, 5, s não modfcaram consderavelmente a precsão fnal e assm sendo torna-se dsctível sa tlzação em amente de tempo real, o qe amentara a complexdade do códgo sem grandes enefícos. Provavelmente enefícos maores são consegdos para aplcações estátcas sem reqstos de tempo real. O fltro de alman proporcono precsões melhores qe o mínmos qadrados qando se

12 tlzo meddas C, tanto no erro médo qanto no desvo-padrão. No entanto, ao tlzar-se meddas P (teorcamente mas precsas, o fltro de alman prodz erros médos maores e desvos-padrão menores qe o procedmento de mínmos qadrados. Natralmente o fltro de alman fo sntonzado ( tned para oter o melhor desempenho para cada caso. Em contrapartda, o método de mínmos qadrados não permte alterações fndamentas em se algortmo ásco. 9. AGRADECIENOS Este traalho fo realzado com sporte de olsa de mestrado pela FAPESP, processo número / BIBLIOGRAFIA [] BARONI, L.; GOES, V..; ARQUES FILHO, E. A.; UGA, H..; LOPES, R. V. F. Experments on cloc offset and real tme postonng technqes of statc GPS recevers. In: BALHAZAR, J ; SILVA, G N; SHUCHIDA, ; BOAVENURA, ; GOES, L S; SILVA, J D S. (Org.. Sere Arqmedes. Sao Jose dos Campos, 3a, v., p [] BARONI, L.; UGA, H..; LOPES, R. V. F. GOES, Experments on real tme postonng of a GPS recever sng dfferental GPS. In: 7H INERNAIONAL CONGRESS OF ECHANICAL ENGINEERING - COBE 3, Sao Palo. Proceedngs of COBE 3. São Palo: ABC, 3. In: COBE 3. São Palo, 3. [3] BROWN, R. G.; HWANG, P. Y. C. Introdcton to random sgnals and appled alman flterng. 3. ed. New Yor: John Wley & Sons, p. [4] BIERAN, G. J. Factorzaton methods for dscrete seqental estmaton. New Yor: Academc Press, p. (athematcs n scence and engneerng, vol. 8. [5] GELB, A. et al. Appled optmal estmaton. England: he.i.. Press, 974. [6] GURNER, W. Rnex: he Recever Independent Exchange Format verson... Dsponível em: < l>. [7] UGA, H.. Sore a tlzação prátca de técncas de estmação.. Notas de ala. [8] ARQUES FILHO, E. A.; UGA, H..; LOPES, R. V. F. Real tme estmaton of GPS recever cloc offset y the alman flter. In: 7H INERNAIONAL CONGRESS OF ECHANICAL ENGINEERING - COBE 3, 3, Sao Palo. Proceedngs of COBE 3. São Palo: ABC, 3. [9] AYBEC, P. S. Stochastc models, estmaton and control. New Yor: Academc Press, 979. [] ISRA, P.; ENGE, P. Gloal Postonng System: Sgnals, easrements and Performance. Lncoln, A: Ganga-Jamna Press,. [] RUGGIERO,. A. G.; ROCHA, V. L. da. Cálclo nmérco: aspectos teórcos e comptaconas.. ed. São Palo: aron Boos, p. [] SAALFELD, A. Generatng ass sets of dole dfferences. Jornal of Geodesy. Vol. 73, p. 9-97, 999. [3] SORENSON, H. W. alman flterng technqes. Advances n control system theory and applcatons. Academc Press, 966. v. 3. [4] SRANG, G.; BORRE,. Lnear Algera, Geodesy, and GPS. Wellesley: Camrdge Press, p. [5] SOVALL, S. H. Basc nertal navgaton. Naval Ar Warfare Center Weapons Dvson, Setemro 997.