ANÁLISE DE MOVIMENTOS PERIÓDICOS EM SISTEMA BI- LINEAR COM FOLGA SIMÉTRICA

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1 UNIVERSIDDE FEDERL DO ESPÍRITO SNTO CENTRO TECNOLÓGICO PROGRM DE PÓS-GRDUÇÃO EM ENGENHRI MECÂNIC JOSÉ GUILHERME PELIÇÃO PNCIERI NÁLISE DE MOVIMENTOS PERIÓDICOS EM SISTEM I- LINER COM FOLG SIMÉTRIC VITÓRI - ES

2 JOSÉ GUILHERME PELIÇÃO PNCIERI NÁLISE DE MOVIMENTOS PERIÓDICOS EM SISTEMS I-LINER COM FOLG SIMÉTRIC Dssetação apesetada ao Pogaa de Pós- Gaduação e Egehaa Meâa da Uesdade Fedeal do Espíto Sato oo equsto paal paa a obteção do título de Meste e Egehaa Meâa Oetado: Po D Máo Coelho de Mattos VITÓRI ES

3 Dados Iteaoas de Catalogação-a-publação (CIP) (blotea Cetal da Uesdade Fedeal do Espíto Sato, ES, asl) P88a Pae, José Gulhee Pelção, 97- álse de oetos peódos e sstea b-lea o olga séta / José Gulhee Pelção Pae 8 : l Oetado: Máo Coelho de Mattos Dssetação (Mestado e Egehaa Meâa) Uesdade Fedeal do Espíto Sato, Ceto Teológo Oslações ão-leaes Establdade Moeto 4 Peódos I Mattos, Máo Coelho de II Uesdade Fedeal do Espíto Sato Ceto Teológo III Título CDU: 6

4 4 JOSÉ GUILHERME PELIÇÃO PNCIERI NÁLISE DE MOVIMENTOS PERIÓDICOS EM SISTEMS I-LINER COM FOLG SIMÉTRIC Dssetação apesetada ao Pogaa de Pós- Gaduação e Egehaa Meâa do Ceto Teológo da Uesdade Fedeal do Espíto Sato, oo pate dos equstos paa a obteção do título de Meste e Egehaa Meâa COMISSÃO EXMINDOR: Po D Máo Coelho de Mattos - Oetado Uesdade Fedeal do Espíto Sato Po D José Maoel althaza Uesdade Estadual Paulsta Po D gelo Gl Pezzo Ragel Uesdade Fedeal do Espíto Sato Vtóa (ES), 7 de Maço de

5 5 os eus lhos, a Claa e Lus Gulhee, ha esposa, Cytha e aos eus pas, Câdda e Jeôo

6 6 GRDECIMENTOS gadeço peaete a Deus, ode eu eoto, as has oações, as oças eessáas paa eeta os desaos a ha ahada os eus pas, Câdda e Jeôo, que e esaa os aloes oltados paa aíla, à edade e à justça, o apoo e toda a ha da, desde quado eu e ded sa de asa paa estuda, as que sepe e aletaa:, ão dee ua a áqua ded sobe o oeto e o justo, À ha esposa e aos eus lhos, pela opeesão da ausêa os oetos da eessáa dedação aos estudos e pesqusas, pelo eto odoal à olusão do Mestado e a peepção de que ea u gade objeto pessoal o Po Máo Coelho de Mattos, pela aetação oo oetado, dedação de seu tepo e o etusaso pela lha de pesqusa adotada os poessoes Chelo Sada e Maelo Caago Seeo de Maedo, pela oaça e aedta que, eso sedo u aluo o etesas atdades eteas possoas, e aetaa o Pogaa de Pós-Gaduação o Depataeto de Egehaa Meâa, e espeal ao poesso Calos Fedeh Loele Neto, pelas oetações e oselhos os poessoes ebos da baa eaadoa, pela ateção, dspobldade e oetações os olegas de estado, pelos oetos de apoo útuo, e espeal ao ago Leado Valoto, pela peseça e hoas de estudo e gupo os eus geetes a VLE, Julo Laa, Ha ezea e Luíz Paulo Ragel, pelo apoo eessáo e tepo de ausêa ao tabalho todos que, de algua oa, e etaa, deta ou detaete, à alzação do Mestado, o apoo e alega a olusão de as u gade tuo e ha da pessoal

7 7 olusão de u Mestado ão sga ao oheeto e algua áea espeía de estudo, as a eessdade de opatlha as e dd esse oheeto (auto desohedo)

8 8 RESUMO O pesete tabalho apeseta a odelage ateáta de u sstea baoal o etação haôa da base Esse tpo de sstea te sdo estudado po áos pesqusadoes que eploaa utos aspetos da dâa global No etato, a gade pate dos ssteas estudados, o sstea ea odelado paa ua aateísta de bopato No sstea aqu estudado, os patos são substtuídos po outo ojuto so-elásto e os states de tasção são osdeados oo odção de peoddade s odções de peoddade são apladas sobe o estado os states de tasção a de obte u apa da póa tasção baseada o estado da ateo Este apa ão-lea é aplado paa obte as odções de estêa dos oetos peódos o padões espeíos ss, aplado as odções de estêa, a establdade do oeto pode se ealzada po eo da aálse dos autoaloes do apa leazado, tedo e ota estas estções Palaas-hae: oslações ão-leaes, tasção, oetos peódos, establdade

9 9 STRCT Ths wo pesets the atheatal odelg o a batoal syste wth the haoally eted base The syste has bee estgated by seeal eseahes eplog ay aspets o the global dyas Howee, ost o the systes studed, the systes wee odeled o a bo-pat eatue I ths syste, the pats ae eplaed by aothe so-elast set ad the oet o tasto s osdeed as a odto o peodty Peodty odtos ae appled o the state at the oet o tasto ode to obta a ap o the et tasto based o the state o the peous oe Ths olea ap s used to obta the odtos o estee o peod otos wth spe pattes pplyg the estee odtos, the stablty o the oto a be aheed by aalyzg the egealues o the leazed ap whle tag these odtos to aout Keywods: olea osllatos, tasto, peod otos, stablty

10 LIST DE FIGURS Fgua : Sstea o ola, aoteedo e oslação da base 6 Fgua : Sstea o ola, aoteedo e oslação da base Fgua : Moeto -6, o, 5; ;, 5 ; ; 4 Fgua : Moeto -, o, 5; ;, 4 ; ; 4 Fgua 4: Moeto -6, o, 5; ;, ; ; 4 Fgua 5: Moeto -8, o, 5; ;, ; ; 4 Fgua 6: Moeto ão-peódo, o, 5; ;, ; ; 4 Fgua 7: Moeto quase-peódo, o, 5 ; ;, 5 ; ; 44 Fgua 8: Moeto -8, o, 5; ;, ; ; 44 Fgua 9: Moeto ão-peódo, o, 5; ;, ; ; 44 Fgua : Moeto -, o, 5; ;, ; ; 45 Fgua : Moeto -6, o, 5; ;, ; ; 45 Fgua : Moeto -6, o, 5; ;, ; ; 45 Fgua : Moeto -4, o, 5; ;, 5 ; ; 46 Fgua 4: Padão de oeto o Fgua 5: Padão de oeto o 5 5 Fgua : pltude Máa do sstea lea paa, 5 59 Fgua : Teo t e t o aação de 6 Fgua : Vaação de e ução de 6 Fgua 4: Padão de oeto -4 o Fgua 4: Se-Peíodo o Fgua 4: Se-Peíodo o Fgua 44: Modelo poposto po Shaw e Holes [Shaw-98] 69 Fgua 45: Se-Peíodo o Fgua 46: Se-Peíodo o 7 7 Fgua 5: Fluogaa poposto 77

11 LIST DE TELS Tabela - Padão dos oetos o a posção das odções de estêa 6

12 LIST DE SÍMOLOS a j : Teos da atz ; : Coeete de aoteeto; d : Teos da atz D,, j :, ; j : Veto de ase ete a esposta e a etação; : Núeo de tasções a pat do qual o estado estaoáo é alaçado; : Costate elásta da ola; : Massa do opo; : Núeo de tasções que ooe deto do peíodo da esposta; p : Fequêa de oslação da base; : Razão ete o oeete de aoteeto do º e º ojuto de aoteedo; : Razão ete a ostate elásta do º e º ojuto de olas; : Razão de dstbução ete os states de tasção pelo peíodo da esposta; s : Desloaeto da base; s : pltude de oslação da base; t : Tepo desoal; : Codção al de elodade; : Desloaeto adesoal; : Codção al de desloaeto; : Velodade adesoal; : eleação adesoal; : Veto de estado; y : Desloaeto elato ete o opo e a base oslate; y : Valo utlzado paa adesoalzação de y ; z : Desloaeto do opo; : pltude de esposta peaete do sstea lea assoado; T : Peíodo da esposta - T ;

13 Lsta de Síbolos (Cotuação) : Matz dâa do sstea; : Matz odada do sstea; ~ : Matz da esposta do sstea; C : Matz que elaoa as odções de ase ete os states de tasções pela ação de peíodo tasoda; D : Matz de establdade; I : Matz Idetdade; M : Matz de ajuste paa o º ojuto ola / aoteedo; R : Matz que adoa o º ojuto ola / aoteedo; P : Teo de podutos da atz T ; Q : Teo de podutos da atz T ; R : Teo de podutos da atz T ; S : Teo de podutos da atz T ; T : Matz obtda do apa paa as odções de tasção u oeto peódo; Síbolos Gegos : Folga absoluta; : Teo da solução paa a ase; : Teo da solução paa a ase; : Folga elata adesoal; : Âgulo de ase ete a etação e a esposta; : Teo da solução paa a ase; : Fução íta de ; : utoaloes da atz de establdade; a, b : utoaloes do sstea lea assoado;

14 4 Síbolos Gegos (Cotuação) : Tepo adesoal; : Tepo adesoal da -ésa tasção; : Fequêa atual de oslação do sstea; : Fequêa atual de oslação do sstea; :,45; : Fato de aoteeto; : Teo adoal e e e ução do º ojuto so-elásto; : Razão ete o oeete de aoteeto do º e º ojuto de aoteedo; : Razão ete a ostate elásta do º e º ojuto de olas; Substos e Sobestos : Relata a -ésa tasção; : Núeo de tasção deto do peíodo da esposta; ^ : Relato ao do poesso de tasção, odção de ío do oeto; ~ : Notação paa abeação de epessões; : Notação paa abeação de epessões;

15 5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 6 DESCRIÇÃO DO PROLEM 6 COMENTÁRIOS SORE SISTEM COM VIRO-IMPCTO 8 POSICIONMENTO DO TRLHO N LITERTUR 4 REVISÃO ILIOGRÁFIC 4 5 MOTIVÇÃO E OJETIVOS DO TRLHO 6 6 ORGNIZÇÃO D DISSERTÇÃO 8 MODELGEM MTEMÁTIC DO SISTEM EQUÇÃO DO MOVIMENTO MP ENVOLVENDO OS ESTDOS NOS INSTNTES DE TRNSIÇÃO 7 INDEXÇÃO DE TOPOLOGIS DE MOVIMENTOS EM RESPOST ESTCIONÁRI 4 4 EXISTÊNCI DE MOVIMENTO PERIÓDICO -4 SIMÉTRICO 46 MP DE MOVIMENTO PERIÓDICO 5 CONDIÇÕES DE EXISTÊNCI DE MOVIMENTOS PERIÓDICOS -4 SIMÉTRICOS 5 REGIÃO DE EXISTÊNCI DE TRNSIÇÕES NO MOVIMENTO LINER 58 REGIÃO DE EXISTÊNCI DE MOVIMENTO SIMÉTRICO NÁLISE DE ESTIILIDDE 6 4 NÁLISE DE ESTILIDDE PR MOVIMENTO -4 SIMÉTRICO 6 4 NÁLISE DE ESTILIDDE PR MOVIMENTO -4 SIMÉTRICO ESCOLHIDO 67 4 NÁLISE DE ESTILIDDE DE UM MOVIMENTO SEGUNDO SHW E HOLMES [SHW 98] LTERNTIV GENERLIZD PR VLIÇÃO DE ESTILIDDE DO MOVIMENTO CONCLUSÃO 76 5 CONCLUSÕES 76 5 SUGESTÕES DE TRLHO FUTURO 77 REFERÊNCIS ILIOGRÁFICS 79

16 6 INTRODUÇÃO O apítulo te oo objeto apeseta o poblea do sstea e estudo esta dssetação Ua esão bblogáa paa desoa os áos estudos sobe o tea, os objetos e a ogazação do tabalho DESCRIÇÃO DO PROLEM O odelo do sstea estudado osste de u bloo que se oeta ete u ojuto so-elásto, esse ojuto so-elásto está oetado a ua base oslate O odelo íso que epeseta o sstea é eotado a Fgua Z s s os( p t) Fgua : Sstea o ola, aoteedo e oslação da base É possíel da ateção a áos potos possíes paa o estudo do sstea Podeos ta: - o opotaeto dâo global, o a esposta da oslação e elação aos paâetos oados, objeto ao a se segudo este tabalho; - os eetos do desgaste po atto das pates que se teage e

17 7 - as aateístas das odas sooas pooadas pelos patos o segudo ojuto de olas e aoteedoes No que elaoa aos aspetos da dâa global, pode-se eatza as odções de estêa e establdade de oetos peódos, as odções de tasção paa o aos, o otole de ssteas aótos, as osdeações de desos odelos paa o pato e a dsspação de eega o pato Ltado ao estudo da dâa global do sstea, o pesete tabalho poua eploa aateístas que alte a sua opeesão a pat do apeaeto do estado os states de tasção, leado-se e ota as tasções ateoes e abodado aspetos da estêa e da establdade de oetos de etas topologas Não se aão aálses detalhadas o apas de Poaé, e tapouo o dagaas de buação O objeto ao é apeseta ua estatéga de apeaeto que: aule a deção das odções as da sulação uéa do sstea a de poupa esoço oputaoal até atg o estado estaoáo, se ele est; e oteha eta ssteatzação, a qual alte a geação de poedetos de aálse das desas topologas de oeto possíes abosa [abosa-] estudou este eso u sstea seelhate, as ão aalsou os dos aspetos aa eoados, tedo dado ao eoque a obseações sobe os oetos do sstea a pat, ppalete, das sulações uéas É eessáo desee alguas aateístas do odelo De oa geal: despeza-se o atto seo a supeíe do oeto; osdea-se que a ola e o aoteedo soso possue opotaeto lea;

18 8 o sstea ealza pato udeoal, ou seja, o sstea oe-se soete a deção hozotal e o pato ete o opo e o batete ígdo aoplado à base seá sepe otal; e põe-se o oeto oslatóo a base, de oa que as olsões e o pópo oeto do bloo ão duze qualque petubação E outas palaas, osdea-se que a eega eâa é sueteete obusta, opesado todas as petubações eteas e a do oeto do pópo bloo, paa gaat a oslação pesta da base COMENTÁRIOS SORE SISTEM COM VIRO-IMPCTO Ssteas e que patos ooe epetdaete dedo a bações são ostueaete deoados ssteas o bo-pato Na Egehaa podeos eota deetes tpos de ssteas baoas É o aso, po eeplo, de atelos batóos, aoteedoes de pato e aoteedoes po pato, etadoes eletoeâos (etal shaes), bateestaas, ohos e áquas ooadoas [Luo-8] Os patos batóos pode se desejáes, oo, po eeplo, e áquas o olgas, e egeages, e odeos de taspote eoáo, e toadoes de alo, os quas a bação é duzda pelo luo os tubos Cta-se, tabé, ssteas de tubulações e ass po date, pos pooa alhas, desgaste, pttg, sog, adga supeal, aueto dos íes de uído e dução da da útl Nesses asos, a estgação sobe a dâa do bo-pato te u sgado potate a supessão de uído, a aálse de oabldade e a otzação do pojeto de áquas o olgas ou obstáulos ígdos Po sso é eessáo ohee a dâa do sstea e ada aso paa que se possa teta ateua os eetos do pato [Koalea-4][Mattos-998][Luo-8]

19 9 Vale da que as otes de bo-pato pode se as oças poeetes de desbalaeaeto e eos, de teação ete egeages, de eplosões e otoes de obustão tea, ou ada, pelo luo duzdo e tubos, oo já eoado [Mattos-998][Luo-8] Paa que se peta o uso otíuo do opoete após a tasção, é eessáo que o pato da tasção ão ause deoação peaete, ou seja, a tesão dee peaee a egão elásta [Noto-7] Ua ote suposção o estudo de sstea o pato é a de que os opos são ígdos e que, potato, ão este deoações destes opos duate a olsão o oeto da tasção, ou estas pode se despezadas se pobleas paa a esposta que se a obte No etato, a ooêa de deoações os opos sob pato ão ola a dea de opos ígdos Os opos são ígdos quado o úo oeto potate ates e depos da olsão o oeto da tasção é o oeto de opo ígdo [Chattejee-997] Dee-se u odelo oo a epesetação de alguas das aateístas do sstea, as ão todas utlzação de u odelo depede do oteto de ada poblea e, ada, o objeto de se deseolê-lo detea quas aateístas do sstea dee se epoduzdas de oa apoada, pos odelos o popedades bastate deetes pode se deseoldos [gue-] ss, utas ezes odelos sples paa a olsão / tasção são aplados a aálse de ssteas e esultados aetáes são obtdos ss, os eleetos que se quse utlza a aálse do sstea de bo-pato deeão se leados e ota a odelage Váos eeplos pode se aplados, oo: - se as oças de atto a supeíe de otato são osdeadas, é eessáo que o odelo as lee e ota E este odelo pode ão depede apeas das popedades dos ateas dos opos, as tabé do estado de oeto Paa utos patos b ou tdesoas, a oça de atto ão podeá se desosdeada, pos esses tpos de pato aaete as opoetes de

20 oças paalelas à supeíe de otato seão ulas poque aaete a oal àquela supeíe passaá pelo eto de assa dos opos e olsão; - se as deoações são leadas e ota, pode se osdeadas ua elação lea ou ão lea, o as oças que atua a egão de otato Essa osdeação depede, ão apeas das popedades dos ateas dos opos e olsão, oo, tabé, da sua geoeta; - quado a peoupação do estudo ea sobe as tesões que se deseole a egão de otato duate o pato, a odelage dessas oças e a deção do que seja a egão de otato (este depede de áos atoes, tas oo a gdez dos opos e olsão e geoeta destes opos, alé da pópa tesdade das oças eoldas o pato) ese de potâa [Mattos-998] Quado o opo atge os batetes da ola-aoteedo do segudo ojuto, a-se u poesso de olsão a tasção que dee se adequadaete odelado É osdeado aqu o odelo de olsão a tasção oeoal, a sabe: - uta duação do eeto O lapso da olsão o oeto da tasção seá osdeado ulo Isto é ua dealzação do poto de sta de que haeá oesão de eega, ete éta e poteal, be oo dsspação u tealo de tepo zeo O sstea aalsado a dssetação é lea po tealos O oeto ete os batetes e ates que o poesso de olsão ooa é aalsado oo u sstea lea (lebe-se que o aoplaeto so-elásto tabé é lea) No etato, o pato ete o opo e a base ula ao odelo ateáto ua desotudade o oeto, toado o sstea ão-suae Co sso, eboa o sstea seja lea e tealos de sua esposta, ele é ão lea e sua dâa global É bo leba que ssteas ão-leaes ão satsaze ao pípo da supeposção e da popooaldade

21 Popp [Popp-998] apeseta ua são geal, do poto de sta da aplação, dos ssteas dâos ão-suaes e essalta os desaos que estes tpos de ssteas são paa egeheos e ateátos U sstea ão suae é detado pelas aateístas da oça e/ou do oeto, as quas ão são otíuas, ou deeáes Segue eeplos: ) tatado-se as aateístas de oças ão suaes, te-se os eleetos que oalete se aopla a assas ou outos eleetos paa oa u sstea dâo, oo: - duas olas leaes o eação, tabé haada de gdez atsséta (balash); - olas leaes o pé-aga; e - eleetos deslzates o atto seo, ou atto Coulob; ) tatado-se as aateístas de oetos, eepla-se: - o pato de duas assas; e - o pato de ua assa o ua paede ígda Popp [Popp-998] osta algus pobleas de pato e de atto seo, jutaete o os oespodetes odelos eâos Taz, ada, ua esão de tabalhos o pobleas eoledo ssteas ão-suaes ateoes àquela époa Ete os pobleas elaoados ao pato ta-se: - o do bloo e balaço (og blo) o ou se etação de base, a data de 956, o House, o qual o pojeto de udações paa edíos sob etação dedo a teeoto teha sdo dsutdo; HOUSNER, GW Lt desg o stutues to esst eathquaes Po o the Wold Coeee o Eathquae Egeeg, 956

22 - o da bola oslate (boug ball), o qual dz-se que o opotaeto do oeto egula é egdo pelo úeo de peíodos de etação ete os patos subseqüetes e a peoddade do oeto e s Esse odelo é seelhate e ua áqua de peuação de peussão e a publação de Moo [Moo-4] dz-se que este odelo tabé é apláel paa a aeleação dos elétos e apos eletoagétos; - a tepdação das aas de egeages (attlg gea boes), ode as odas detadas ão estão aegadas; e - o oslado de pato (pat osllato), estgado o o oe de sstea de bo-pato (bo-pat syste) po abtsy Neste, u oo tpo de buação te sdo eotado, o gazg buato, ode o aso lte de pato, o elodade zeo, é dado po Noda, udd e Du 4 Co elação a ssteas peódos o tepo, estes desepeha u papel potate as Cêas e a Egehaa, e são objeto de estgação desde 868, ada po Matheu, ao aalsa as bações de ua ebaa elípta Desde aquela époa, o estudo das equações peódas o tepo te eotado aplações e utas áeas, tas oo a establdade dâa de estutuas, a teoa de utos, os ssteas de otole, a dâa de satéltes, de eos otatos, de héles de oto de helópteo, da eâa quâta e da boeâa (loooção huaa ou aal, ou odelage do uoaeto do oação) [Sha-] E geal, ão é possíel obte soluções eatas de ssteas ão-leaes peódos o tepo Paa a esolução das equações de oeto e bo-pato, a aplação dos étodos aalítos é uto oplea e ltada, tedo e ota o ato de que as soluções são do tpo tasedetal, ou seja, eles ão pode se eotados e ua oa ehada, ua ez que os oetos oslatóos são ITSKY, VI The theoy o bo-pat systes Naua, Mosow, 976 (e usso) NORDMRK, No-peod oto aused by gazg dee a pat osllato Joual o Soud ad Vbato, 45, 79-97, 99 4 UDD, C, DUX, F Chatteg ad elated behaous pat osllatos Po R So Lod 47, 65-89, 994

23 teopdos po patos No etato, as alteações que ooe a dâa de u deteado sstea eâo ão pesa se eessaaete quatadas, ou seja, a aoa das aplações, pode se suete: - obte soluções apoadas; - sabe algo sobe a estêa, ou ão, de potos os e deteadas egões do espaço ode os paâetos pode aa; - ohee algo sobe a establdade destes potos os; e - e algo sobe os easos de buação Paa estes asos e que ão é eessáo quata a esposta tepoal do sstea, a dea é, de algua oa, ela a depedêa tepoal eplíta e toa o sstea autôoo e passíel de aplações de u gade úeo de teoas deseoldas paa ssteas aates o tepo Os étodos paa a esolução desses pobleas são baseados a aplação de étodos uéos e gáos o a tepetação dos dados geoétos, sto é, étodos pelos quas se estga as alteações qualtatas da dâa dos ssteas O apa de Poaé e os dagaas de buação são eaetas potates paa a aálse geoéta da dâa de ssteas [Sha-][Stogatz-994][Mtć-997] [Mattos-998][Hhs-997] POSICIONMENTO DO TRLHO N LITERTUR O Pogaa de Pós-Gaduação e Egehaa Meâa da UFES e se dedado e lhas de pesqusa ao estudo da Dâa de Ssteas Não Leaes, espeaete e Ssteas o Vbo-Ipato À ete da Meâa dos Sóldos o Poesso Douto Máo Coelho de Mattos E 6, Daão Medes de leda estudou e aalsou u Sstea Co Vbo- Ipato ataés da aplação da Tasoada Waelet O objeto do estudo é eota algua oelação teessate ete aateístas da esposta do

24 4 sstea e os oeetes Waelet, as oelações ete algus oeetes Waelet e a olga do sstea e ete o aoteeto do sstea Já e 9, Dalo de leda abosa eou a Estêa e Establdade de Moetos Peódos e Ssteas Co Vbo-pato Haoaete Etados U sstea o aalsado a sua oa adesoal ode o oo da pesqusa se oetou a busa de odções de estêa e establdade de etos tpos de oeto E, Sdeae Mattos De Nada se oetou a Estêa e a Establdade de Moetos Peódos e Ssteas Co Vbo-pato Co Folga Séta, e patula, oetos peódos de padão - E, alé da deesa desta tese, o estado Máo Luís Zewes deede sua tese o o tea Estêa e Establdade de Moetos Peódos e Ssteas o Vbo-pato o Dos Gaus de Lbedade É possíel peebe que o Depataeto de Egehaa Meâa o seu Pogaa de Pós-Gaduação e busado ada ez as aueta o teesse a áea de Sstea o Vbo-Ipato 4 REVISÃO ILIOGRÁFIC O teesse pelo estudo de ssteas o bo-pato auetou uto a últa déada, e atualete há u ogesso teaoal dedado a este tea, o Iteatoal Coeee o Vbo-pat Systes (ICOVIS) Shaw e Holes [Shaw - 98] desoba oetos haôos, subhaôos e aótos e aalsaa as buações a que estes oduze É aalsado u sstea de u gau de lbedade, aotedo, o etação de base e estção ulateal elásta îdeu [îdeu - ] deseoleu u oo étodo deto paa o estudo de establdade e ssteas de bo-pato e que as odções de establdade são

25 5 detaete e apdaete obtdas O étodo é aplado e ssteas de u ou as gaus de lbedade, ujo oeto o aalsado ataés das Equações de Lagage Coo eeplos oa apesetados e aalsados e detalhe u aso patula o u gau de lbedade ealzado po u easo bela-aela, e, de oa geal, outo sstea o dos gaus de lbedade O auto aa que, o estudo de oetos peódos e ssteas o bo-pato o dos gaus de lbedade é bastate díl dedo ao gade olue de álulos eessáo paa a deteação das odções de establdade Co a ajuda das Equações de Lagage e do étodo deto, as odções de establdade pode se deteadas eeteete Ja e Laaque [Ja - ] tê oo oo as sguladades o apa de Poaé de u sstea de u gau de lbedade, aotedo, oçado e o pato O opotaeto do apa de Poaé a zhaça de u poto o ão-deeáel é estgado, e osta, a pat do apa apoado, que a solução peóda é estáel quado os ultpladoes de Floquet são eas Koalea [Koalea - 4] apeseta a aálse de u sstea dâo estoásto o pato de ua estutua leíel, odelada oo u sstea de últplos gaus de lbedade e que ua das assas, a da base, olde o u atepao ígdo Paa o auto, o eae do odelo eduzdo pelo étodo da éda estoásta pete a estata das popedades estatístas do oeto de bo-pato Luo e Xe [Luo - 4] estuda u sstea de dos gaus de lbedade o batetes ígdos e abos os lados de ua assa, aotedos, e oçados e abas as assas Paa eles, ua potate aplação do odelo é a dâa de tubos de toadoes de alo de eatoes uleaes que são pojetados paa tee olgas os potos de supote paa pet a epasão téa a que a esposta destes ssteas é uto oplada e o desgaste destes tubos são u dos aoes pobleas a dústa ulea passage do luo do ludo e a ga pode esulta e oetos aótos e deste odo o opotaeto de buação e oetos aótos pode poe ua apopada eaeta o estudo de desgaste o tubo No atgo é aalsada a establdade e a buação de Hop e ptho paa u oeto séto de dos patos po peíodo

26 6 Sososy e Shebao [Sososy - 7] ealzaa estudos a áea de tboadga assoado ao bo-pato No atgo, tata de daos esduas egulaes, deoados de eôeo toppy, que ooe a áea de otato e atto de olaeto oo o esultado de u poesso ão-estaoáo de deoação íla e u sstea o bo-pato Eles aa u aegaeto o bopato e u sstea ato e o esultado epeetal das aaas o estudado Fo eta a odelage ateáta e sulação de dstbução de tesões azheo et al [azheo - 9] osdeaa deetes étodos de odelage do pato e ssteas o bo-pato, seja pela oça de teação do otato a qual pode se osdeada oo oça elásta, be oo a oça oespodete a Le de Hetz, o a ajuda do étodo da odção de otoo utlzado o oeete de esttução É eta a opaação dos esultados da odelage po eo desses étodos e popostas eoedações paa suas aplações abosa [abosa-], as sulações ostaa oetos peódos estáes de padões ous quado opaados o aqueles aalsados a lteatua Chaa a ateção à estêa de oetos o eleado úeo de patos po peíodo e a peepção de que as equêas das quas a equêa de etação é últpla a ooêa destes oetos peódos estahos é as poáel 5 MOTIVÇÃO E OJETIVOS DO TRLHO dssetação te po objetos detos: - aalsa as odções de estêa e establdade de u padão espeío de oeto peódo; - aateza esse oeto espeío popo etodologa de aálse quato à sua estêa e establdade ataés de u odelo de estado; e

27 7 - aalsa aateístas do apa que elaoa estado os states de tasção Eboa desos autoes eploe ssteas o bo pato, a de ega, a aálse de estêa e de establdade oduzda os atgos pessupõe oetos de topologa sples s topologas as opleas são aalsadas e geal ataés de apas de Poaé, epoetes de Lyapuo, dagaas de buação e loalzação de atatoes aótos No tabalho de abosa [abosa-], as sulações ostaa oetos peódos estáes de padões ous quado opaados o aqueles aalsados a lteatua Chaa a ateção à estêa de oetos o eleado úeo de patos po peíodo e a peepção de que as equêas das quas a equêa de etação é últpla a ooêa destes oetos peódos estahos é as poáel aálse detalhada de topologas de ssteas o bo-pato, o a deteação de padões e a aálse da estêa ão é algo que é etodologaete eploada a lteatua osultada Faz-se eessáa ua uosa aálse do sstea o bo-pato, que possu leadades otes, a de que se teha qualtataete u estudo do opotaeto destes ssteas dssetação te po objetos detos: - aalsa as odções de estêa e establdade de u padão de oeto peódo espeío de topologa sples; - aateza esse oeto e popo etodologa de aálse quato à sua estêa e establdade ataés de u odelo de estado; e - aalsa aateístas de apas que elaoa estados os states de tasção

28 8 doalete, busa-se: - otetualza o estado da ate o que espeta ao estudo dos ssteas o bo-pato, otadaete sobe estêa e establdade de oetos; - desee a odelage do sstea seleoado paa estudo, eploado aateístas que alte sua aálse o espaço-estado 6 ORGNIZÇÃO D DISSERTÇÃO dssetação é oposta de 4 apítulos, alé do apítulo todutóo, totalzado potato 5 apítulos O Capítulo apeseta o poblea de teesse o áas osdeações petetes Dspôs oetáos aea da potâa do estudo de ssteas o bo-pato, da aálse da establdade e de hpóteses ouete ealzadas e ssteas o pato e, após ua seção dspoíel o a esão bblogáa E seguda está a otação, objetos e a estutuação da dssetação O Capítulo apeseta o sstea dâo e toda a odelage ateáta eolda Todo o deseoleto a oa adesoal e epesetado po atzes paa a ostução do apa ão lea São ostados ada algus apas de oetos o topologas aadas e as opleas No Capítulo são apesetadas as odções eessáas paa a ooêa da topologa estudada oeto -4 séto s egões de estêa de tasções e a egão de estêa paa o oeto de topologa -4 séto No Capítulo 4 são ostadas as osdeações eessáas paa a aálse da establdade paa o padão de oeto peódo esolhdo oeto -4 opaação da etodologa utlzada o outa etodologa e a luêa dos paâetos ou odções as a dâa global do sstea

29 9 E po, o Capítulo 5, as olusões sobe o oeto peódo estudado e as aálses o as poposções paa utuos tabalhos

30 MODELGEM MTEMÁTIC DO SISTEM O apítulo te oo objeto apeseta o equaoaeto do oeto e sua oa autôoa, os detalhes do apa ão-lea, a deação de topologas de oeto, be oo as odções de estêa EQUÇÃO DO MOVIMENTO O odelo íso do sstea a se estudado está desto a Fgua a segu Cosste de ua base oslate o u opo de assa que está peso à base ataés de u ojuto de olas o oeete de gdez e u aoteedo soso o oeete de aoteeto Nesse peo ojuto, a olga ete o opo e u segudo ojuto de olas e aoteedoes é deoada po O oeto do opo de assa é ltado po outas duas olas o oeete de gdez e dos aoteedoes sosos o oeete de aoteeto O opo de assa pode se desloa e ução da oslação s s os( p ) t Z s s os( p t) Fgua : Sstea o ola, aoteedo e oslação da base

31 Co a aplação da Le da Meâa Clássa de Newto, as equações de oeto pode se estas ooe a equação () e a equação () O oeto do bloo e da base pode se dado, espetaete, pelas oodeadas z e s Pode-se de as equações do oeto o: () Paa z s ; () Paa z s Dedo ( z s) y oo o oeto elato, pode-se esee as duas stuações possíes: () Paa: z s, ou seja, y te-se: y y y s () y y y s, paa y () () Paa: z s, ou seja, y te-se: ( z s) ˆ ( z s ) ( z s) ˆ ( z s) z () ( ˆ ) y ( ˆ ) y ˆ y s (4) y y y s ˆ, paa y (5) O oeto haôo da base é dedo po s s os( p t), ode s e p são a apltude e a equêa da etação espetaete

32 Paa epessa as equações dâas do sstea ua oa adesoal, dee-se: t, y, y p,, (6) Ode é a equêa atual de oslação do sstea e o ato de aoteeto De odo que, paa as duas opções de oeto () e (), tê-se: () Paa z s, ou seja, y a equação () pode se esta a oa: d y dy d s y (7) dt dt dt Mapulado a equação (7) adequadaete de aodo o as equações (6), te-se: d y dy d s y (8) d d d Dddo a equação (8) po, te-se: y y y s (9) Fazedo: y y, dy y, dy y d, y y, te-se: d s y ()

33 Reodado que s s os pt s os p s os te-se: s s os Logo, a equação () aá: s os () y Reodado das elações e (6): e, a equação () aá: s os () y dotado: y s, te-se a equação () a oa adesoal: os () () Paa z s, ou seja, y a equação (5) pode se esta a oa: d y dy dy ˆ d s ˆ y y ˆ (4) dt dt dt dt Mapulado a equação (4) adequadaete de aodo o as equações (6), te-se: d y dy dy ˆ d s ˆ y y ˆ (5) d d d d Dddo a equação (5) po, te-se:

34 4 ˆ ˆ ˆ s y y y y y (6) Fazedo: y y, y d dy, d y dy, y y ˆ ˆ ˆ y y s (7) Reodado que os os os s p s pt s s te-se: os s s Logo, a equação (7) aá: ˆ os ˆ ˆ y y s (8) Reodado das elações e (6): e, adotado s y e dedo que ˆ e ˆ, logo: ˆ e ˆ, a equação (8) aá: os (9) Quado o opo atge o segudo ojuto de ola e aoteedo soso, o desloaeto y s z ) ( desto pela equação (4) equale justaete à olga, sedo eessáo esee essa olga a oa adesoal Dedo s e adotado: y y y, te-se a equação (9) a oa adesoal: os ) ( ) ( ()

35 5 Pode-se de, de oa geal, tato paa a odção (): y e (): y tê-se as odções das equações () e () oo: ( ) ( ) os () Na equação (), ada pode-se esee: ( ) ( ) os (), Ode:,, y s, y O póo passo é a aálse da esposta da equação () e paa sso, é eessáo leba a osdeação desta o apítulo ateo do ío tealo de duação da tasção Co sso, as odções de ío do oeto são a posção e a elodade o do poesso de tasção Potato, o tepo tabé seá otado a pat do state al da tasção Etão: ( ˆ ) ˆ e ( ˆ ) ˆ Supõe-se que o sstea seja sub-aotedo, ou seja, o, obté-se: a e ( ) ( ) a e os os se se R e ( ) ( ) a a e os se se os () e ( ) ( ) a a e os os se se

36 6 Ode: j j (4) ) ( os se Logo: os (5)-a se s (5)-b s ostates a e a as equações () são dadas po: )) os( ) se( ( ˆ ) ) se( ) os( ˆ ( s s R a (6)-a )) os( ) se( (ˆ ) ) se( ) os( ( ˆ s s R a

37 7 O teo depedete a equação () R : R (7) Quado todos os teos elaoados e (4) e (5) e as espostas otdas e () são substtuídos a equação () ea-se a equação de oeto é gual a os, ooe se pode ea o º ebo da equação () Quado os teos de (4) e (5) são substtuídos e e, equações e (), pode se obseado se a esposta satsaz as odções as do poblea Dessa oa, paa espeado ˆ ˆ ˆ, eota-se e ˆ ˆ, ooe MP ENVOLVENDO OS ESTDOS NOS INSTNTES DE TRNSIÇÃO Obseado as equações e () o elação à esposta e azedo a suposção de que o estado do sstea o state seja ohedo Equato o poto de tasção ão o atgdo, o estado do sstea pode se deteado pelas equações (8) a e ( ) ( ) a e os s se R (8)-a ( ) ( ) a e a e se os (8)-b s

38 8 Da esa oa que e (4), (5) e (6), teos: j j (9) ) ( os se logo: os ()-a se s ()-b s ostates a e a as equações (8), aão ooe a segu: s ostates a e a as equações () são dadas po: )) os( ) se( ( ˆ ) ) se( ) os( ˆ ( s s R a () )) os( ) se( (ˆ ) ) se( ) os( ( ˆ s s R a

39 9 Pode-se esee o oeto ataés do eto ( ) ( ) que epeseta o estado do sstea, ooe a equação (8) da segute oa: R M se os ˆ se ˆ os ˆ), ~ ( ( ˆ) ˆ), ( ) ( () Ode: ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( e e ) e (e e e e e a a a a ()-a s s ()-b ~ ~ ~ ~ ~ b b b b ()- e: ) e e ( ) e (e ~ ) e e ( ) e (e ~ ) e (e ) e e ( ~ ) e (e ) e e ( ~ ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( s s s s b b b b (4) Obsea-se que ˆ ˆ,,, oo pode se eado: ˆ, s s b a a a a a ˆ, b b b b, o:

40 4 ˆ ˆ ˆ ˆ a b b a b e e e e b a s b a ˆ b ˆ b ˆ a ˆ e e e e b s b a b a ˆ b ˆ b ˆ a ˆ b e e e e b a ˆ b ˆ b ˆ ˆ b s ab e e b e a e a b a b s b a ss, pode-se esee:, ˆ (5) Te-se ada a equação (), o teo depedete que pode dedo oo: M M (6) M Sedo: M e e (7)-a T T e ( ) e ( ) M e e (7)-b T T e ( ) e ( ) R (7)- Desta oa, obseado a equação (), os teos de ()-a, ()-b, ()- e a gualdade e (5), a solução baseada o estado e o state ˆτ é: osˆ os ( ) (, ˆ) ( ˆ) (, ˆ) M R (8) seˆ se

41 4 ode t é o eto de estado, é a atz dâa do sstea e tabalha oo ua atz odada de etada Se o osdeado o state ˆ a equação (8), a equação tal é eotada, ou seja, ˆ ˆ, já que ˆ, ˆ detdade I, o I epesetado a atz INDEXÇÃO DE TOPOLOGIS DE MOVIMENTOS EM RESPOST ESTCIONÁRI Ua esposta estaoáa do sstea, quado epessa pela equação (8), pode se esta a oa,,, (9) ode epeseta u úeo de tasções a pat do qual o estado estaoáo é alaçado Pode-se agoa aateza o oeto do estado estaoáo po duas de suas aateístas, a sabe: a azão ete o peíodo da esposta e o peíodo da etação, que deoaeos ode do peíodo da esposta; o úeo de tasções que ooe deto do peíodo da esposta; ss, u oeto -4 da que o peíodo da esposta é o eso da etação e ooe 4 tasções a ada peíodo do oeto Da Fgua até a Fgua, apeseta-se alguas topologas de oeto:

42 4 Pode-se obsea que da Fgua até a Fgua 6, o úo paâeto que se altea é o alo de Paa os outos aloes:,, e peaee os esos Esse destaque te oo objeto osta que o sstea poposto a Fgua é sesíel ao paâeto, ou seja, o sstea é depedete desse alo X tepo / T Fgua : Moeto -6, o, 5 ; ;, 5 ; ; X tepo / T Fgua : Moeto -, o, 5 ; ;, 4 ; ;

43 X tepo / T Fgua 4: Moeto -6, o, 5 ; ;, ; ; 5 4 X tepo / T Fgua 5: Moeto -8, o, 5 ; ;, ; ; 5 5 X tepo / T Fgua 6: Moeto ão-peódo, o, 5 ; ;, ; ;

44 X tepo / T Fgua 7: Moeto quase-peódo, o, 5 ; ;, 5 ; ; 4 X tepo / T Fgua 8: Moeto -8, o, 5; ;, ; ; X tepo / T Fgua 9: Moeto ão-peódo, o, 5 ; ;, ; ;

45 X tepo / T Fgua : Moeto -, o, 5 ; ;, ; ; X tepo / T Fgua : Moeto -6, o, 5; ;, ; ; X tepo / T Fgua : Moeto -6, o, 5 ; ;, ; ;

46 X tepo / T Fgua : Moeto -4, o, 5 ; ;, 5 ; ; 4 EXISTÊNCI DE MOVIMENTO PERIÓDICO -4 SIMÉTRICO s odções de estêa de u oeto peódo de topologa -4 pode se estas oo: 4 4 T 4 T 4 (9) Pode-se de tabé dos tpos dsttos de oetos -4 o tepo, a sabe: - Moeto séto o tepo: 4 - Moeto ão séto o tepo: 4 No pesete tabalho, seá tatado apeas o oeto séto

47 47 Paa que o oeto peódo poposto seja séto osdeado ada o oeto -4, ada é eessáo: T T (4) Paa alta a esta, pode-se esee a equação (8), osdeado u oeto de topologa -4 e os estados de tasção da segute oa: M R (4)-a R M (4)-b R M (4)- 4 4 R M (4)-d Ode:, e R M oa dedas e ()-a, ()-b e (7) O teo se os, de aodo o a equação (8), dee a odção de ase paa o oeto -4 Logo, pode-se esee o teo oo: C (4)

48 48 Ode: C os se se os (4) Da equação (4), paa o aso séto, te-se que:,,, (44) Ode é o úeo de tasções e u peíodo T, já que: T, T e,, (45) Logo, das equações (4) e (4) te-se: os, se se, os os, se se os e 4 os (46) se Mattos [Mattos-] aalsou as odções possíes do oeto - Paa u oeto -4, tabé é eessáo à eação possíel paa a ooêa do oeto Paa sso, a eação da odção de seta posta o ío da seção az-se eessáo: T 4 (47) T

49 49 Patdo-se, etão, dos estados de tasção e 4, te-se as equações a segu: R M (48) 4 4 R M (49) Substtudo os aloes de e, que pode se eados as equações (4)- a e (4)-, te-se as oas equações paa e 4 : R M R M (5) 4 4 R M R M (5) Fazedo 4, te-se: 4 R M R M R M R M (5)

50 5 Paa as odções postas de u oeto -4, podeos te duas possbldades de oeto, ooe as Fgua 4 e 5, a segu: Fgua 4: Padão de oeto o Fgua 5: Padão de oeto o Paa os padões de oeto possíes as Fguas 4 e 5, plaá as odções a segu: ; ; ;R,R ;R R α α (5) Logo, a equação (5) aá: 4 (54) Coo o oeto peódo poposto põe: 4, te-se a equação (54): (55)

51 5 s soluções possíes paa a elação e (55), são: - I, esta solução ão está elaoada ao poblea íso; -, esta solução é a de teesse, pos e 4 Potato, toado-se a elação da equação (55) e as Fguas 4 e 5, soete o oeto séto -4 ooe a Fgua 4 é possíel de ooe

52 5 MP DE MOVIMENTO PERIÓDICO Neste teeo apítulo, apeseta-se alete o oeto de topologa -4 séto, a pat daí, o étodo paa a aálse de estêa do oeto Co o tuto de lusta a aplação desta etodologa, aalsa-se os oetos de topologa -4 CONDIÇÕES DE EXISTÊNCI DE MOVIMENTOS PERIÓDICOS -4 SIMÉTRICOS s odções de estêa de u oeto de topologa -4 pode se estas oo: T T () Cosdeado u oeto de topologa -4 teos paa a equação (8): R M ()-a R M ()-b R M ()- 4 4 R M ()-d Ode -

53 5 Substtudo as equações ()-a, ()-b e ()- e ()-d, tê-se: 4 4 M R M R M R M R X X () Ua oa geal pete esee a equação () o 4 oo: 4 R M X (4) Mapulado a equação (4) ada pode-se esee: 4 R M X (5) Cosdeado ada que: C (6) equação (5) é esta oo ostado a equação (46): 4 R M C X (7)

54 54 alsado-se a equação (7) paa as odções eessáas: T T (8) Toado-se etão: R M C X (9) Daí: R M C X I () Da equação (), ea-se: S C R ~ Q P () Ode: I P ()-a Q ()-b

55 55 R ~ ()- MR ()-d S O teo C ooe a equação ()-e C os se se os ()-e Dee-se agoa, po a equação () as estções: P Q R ~ C P S () Sedo ueodetasções e as atzes P, Q, R ~, S e C deteadas espetaete pelas equações ()-a, ()-b, ()-, ()-d e ()-e Da equação ()-e, paa o aso séto, te-se que:,,, (4) Ode é o úeo de tasções e u peíodo T, já que: T, T e,, (5)

56 56 Paa alula as odções de ase do oeto, segue o poedeto utlzado Voltado a equação (), az-se: S T P (6) E dee-se ua atz T, que de oa geal pode se esta oo: T P Q R ~ C (7) as atzes P, Q, R ~, S e C deteadas espetaete pelas equações ()-a, ()-b, ()-, ()-d e ()-e Na equação (6) ada te-se o teo atz : P S que pode se dedo oo ua P S (8) Logo, o as elações e (6), (7) e (8), te-se: t t os t t se (9) Resoledo as equações (9), te-se: t se t os os ()-a t se t os os ()-b s equações ()-a e ()-b ada pode se estas oo:

57 57 t se t os os ()-a t se t os os ()-b Ode t j é o teo da -ésa lha e da j-ésa olua da atz T É eessáa que a elação os se equação () te-se a segute solução paa a ase: tabé seja satseta Daí, da os se () Ode: ; t t ; t t t t () t t Dee-se ota que a odção de estêa do padão de oeto dado depede do teo, que dee se posto ou ulo paa que os e se, seja eas Veja-se que a odção eessáa os se paa qualque alo de Etão, paa que o oeto estudado esta, a odção (eessáa, as ão suete) e (4) dee se satseta: (4) De posse das odções de ase a equação (), a equação ()-b oeeá a elodade eessáa, opletado as odções de estêa do padão de oeto, de oa que se pode esee: t t t t (5)

58 58 pós, é eessáo alula a egão de estêa do oeto que obedeça a elação pesete e (4) Paa sso, deu-se u REGIÃO DE EXISTÊNCI DE TRNSIÇÕES NO MOVIMENTO LINER Das equações (9), te-se de e s que: (6) s equação (6) epeseta a apltude áa paa o ege peaete o tealo lea s odções z s são osdeadas essa equação, ou seja, equação (7) a segu lea e osdeação a possbldade de tasção paa a odção z s, ou seja, : (7) s Co sso, a egão e que a olga ão eede a apltude do oeto do sstea lea, paa z s, este a possbldade de tasções ua lte paa que tasções ooa paa, 5, e e apesetada a Fgua :

59 59 Fgua : pltude Máa do sstea lea paa, 5 Tabela a segu osta os padões de oeto ooe os paâetos as dedos as Fguas a Fgua Nas oluas X,,,,, 4, os aloes epeseta, espetaete, a posção e a elodade, ou seja, o estado de oeto e ada tasção Pode-se ea tabé que: X4 X e X X, ou seja, o padão de oeto é peódo

60 6 Tabela - Padão dos oetos o a posção das odções de estêa Moeto X X X X X4-6 5/ 5/ [57] [ ] [584] [ ] [ ] [ ] [-58458] [ ] [549] [ ] - 5/ 4/ [46] [5977] [59586] [ ] [ ] [ ] [-5958] [ ] [448] [59777] - 6 5/ / [7] [777968] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [7] [777968] - 8 5/ / [] [ ] [ ] [48] [ ] [ ] [ ] [-454] [56] [ ] N P 5/ / [] [ ] [5678] [ ] [ ] [ ] [-56686] [ ] [59] [ ] N P 5/ 5/ [5] [7654] [ ] [-76467] [-54] [-76565] [ ] [76469] [ ] [76496] - 8 5/ / [ ] [955474] [79956] [ ] [ ] [ ] [ ] [845966] [ ] [ ] N P 5/ / [ ] [ ] [8595] [49] [-] [ ] [-8594] [-47] [ ] [ ] - 5/ / [] [-6784] [85867] [76755] [ ] [67894] [-85889] [-76754] [ ] [-6795] - 6 5/ / [[9] [ ] [[597495] [8758] [ ] [ ] [ ] [-877] [5] [ ] - 8 5/ / [ ] [ ] [-94958] [ ] [ ] [ ] [949588] [ ] [999999] [ ] - 4 5/ 5/ [ ] [-6856] [-559] [-54845] [-5] [6856] [5594] [5489] [ ] [-68567]

61 6 REGIÃO DE EXISTÊNCI DE MOVIMENTO SIMÉTRICO -4 Co a equação paa e () e a equação (6), dee-se: (7) t t equação de a depede de,,, e Dee-se ea paa quas aloes de a equação pode se satseta dados os deas paâetos Segudo esta etodologa, desas topologas de oetos pode se aalsadas Da equação (7) tê-se os teos: t (8) t (9) t t Na Fgua é plotado ada teo aa, t e t Na Fgua é plotado detaete a ultplação de t e t, ou seja, Pode-se peebe que a odção de é sepe obededa ooe (4)

62 6 Fgua : Teo t e t o aação de Fgua : Vaação de e ução de

63 6 4 NÁLISE DE ESTIILIDDE Neste apítulo é aalsada a establdade de oetos paa deteados paâetos do sstea O objeto é deosta a aplação dos apas apesetados os apítulos e Paa o oeto de topologa adotado ooe Fgua 4, oeto séto e -4, e eado a seta e T - Fgua 4, é eessáo que se estabeleça a establdade do oeto o se-peíodo paa que a establdade do oeto seja atedda Fgua 4: Padão de oeto -4 o 4 Fgua 4: Se-Peíodo o 4 NÁLISE DE ESTILIDDE PR MOVIMENTO -4 SIMÉTRICO Supohaos X tasção, ou seja, é dado po:, sto e, estado ua tasção O estado a póa X,,,, (4) desde que se deseja u oeto -4 séto

64 64 Te-se que:,,,,,,,, (4) Coo dedo o Capítulo 4, X X, a aálse de establdade paa o oeto -4 ealzada e T e deado os dos lados da equação (4), paa a aálse da establdade de u oeto, te-se:,, X (4) que esulta: X X (44) solução da equação (44) oeeá as segutes deadas: e, obtdas a pat da pea lha; e o as soluções do te ateo, substtu-se as equações e, que são obtdas a seguda lha Paa o oeto de topologa -4 séto, a equação (), a equação (4) toa-se:

65 65 D d d d d (45) Ode D é a atz de establdade e os teos da equação (45) são dedos oo: (46) Resoledo o lado deto da gualdade a equação (46) e gualado à equação (45) tê-se os teos da atz D: d (47)-a d (47)-b d (47)- d (47)-d Pela odção de peoddade do oeto -4 osdeado, taz-se que:

66 66 T (48) Os autoaloes da equação (45) dee esta otdos deto de u íulo de ao utáo, paa que, o deteados paâetos, o sstea seja estáel, e pode se alulados ooe a equação (49) Detea-se as aízes da atz D ooe Shaw e Holes [Shaw 98], sto é, j T D T D 4 D (49) ode T D e D são, espetaete, o taço e o deteate da atz D Os possíes autoaloes epesetados a equação (49) lea, paa deteados paâetos esolhdos, aos segutes esultados paa o sstea: j estáel j stáel, (4) eto j

67 67 4 NÁLISE DE ESTILIDDE PR MOVIMENTO -4 SIMÉTRICO ESCOLHIDO Leado e osdeação a Fgua 4 a segu, te-se: Fgua 4: Se-Peíodo o Paa o peíodo opleto, te-se: 4 4 (4)-a 4 T 4 (4)-b Paa o se-peíodo pla e: T (4) Logo, pode-se olu da equação (4) que: (4) esa deção ale paa a elodade dedo a equação (48) que: (44) deada seá:

68 68 (45) Co essas deções, pode-se olu que a Matz D e (45) a: D d d d d (46) Logo, os teos da atz D as equações (47)-a, (47)-b, (47)- e (47)-d aão: d (47)-a d (47)-b d (47)- d (47)-d Logo, o T D e solução do teo aá e ução de,,,,, Logo, plaá que os autoaloes j da equação (49) o as odções e 4 tabé aão e ução de:,,,,, j (48) Ou seja, depedeão dos states de tasção,,, de, e tabé de

69 69 4 NÁLISE DE ESTILIDDE DE UM MOVIMENTO SEGUNDO SHW E HOLMES [SHW 98] O odelo poposto po Shaw e Holes [Shaw 98] segue abao ooe Fgua 44: os( t) Fgua 44: Modelo poposto po Shaw e Holes [Shaw-98] No odelo poposto, o deteate D e T D a ooe: T e s s e a b b b (49)-a (49)-b Ode: s se e os b s se e os a (4)-a b a (4)-b b equêa atual e (4)- a equêa atual e (4)-d

70 7 Shaw e Holes [Shaw 98] obseaa que a olusão sobe a establdade do oeto a opoetda poque, as equações (4)-a e (4)-b, o tepo é desohedo, eboa se teha posto, pela topologa do oeto o lapso tepoal Paa otoa esta duldade, Shaw e Holes [Shaw 98] deteaa estpulado, o base epía e esultados de sulação uéa, que: (4)-a b (4)-b a Ode: b a (4) b a Logo, o as equações (4)-a e (4)-b pla e: a (4) b e, s s de de se s, os (44) Isto é o que haaa de potate obseação (9-4, p 6), a pat da qual soluoaa o poblea de autoalo do apa Paa os aloes de D potate obseação que: e T D, Shaw e Holes [Shaw-98] toaa o

71 7 () as equações (49)-a e (49)-b só podea ale quado osse pequeo e elação à pltude do sstea poposto e; () os autoaloes j dedos a equação (49) ão depede de No odelo poposto a Fgua e as equações (), ()-a, ()-b, ()-, (6) e (7) depede oteete Co sso, a deteação de D e T D, poposto po Shaw e Holes [Shaw-98] ão pode se apladas ao odelo dedo a Fgua 44 LTERNTIV GENERLIZD PR VLIÇÃO DE ESTILIDDE DO MOVIMENTO -4 Essa seção te oo objeto apeseta ua alteata geal o estudo da establdade do sstea poposto e, dedo o tpo de oeto, u sstea geal Toado a Fgua 4 oo eeplo, a deteação das deadas paas da atz D,,, os states de tasção, e, X ão pode se alete deteados Coo obseado a Seção 4, a gade duldade do odelo poposto po Shaw e Holes [Shaw-98] está a deteação desses states de tasção s hpóteses de olga, ooe odelo da Fgua 44, pete apoações paa a deteação dos states e Resulta, poé, que D e T D a depedetes da olga, o que, o udo, eete a ua otadção do poto sta da ísa, sto é, da dâa do sstea No odelo poposto pela Fgua, e as equações (), ()-a, ()-b, ()-, (6) e (7) depede oteete Relebado das odções eessáas paa u Moeto Séto -4, te-se:

72 T 4 (45) T Poé, as odções as equações dedas e (45) ão pete, de edato, deta as elações a segu: - ; - Obseado etão, as Fguas 45 e 46, toado os states de tasção,, e X, X X e as odções postas as equações (45), pode-se obsea o, eso oeto de duas oas deetes, ou seja, T e T : Fgua 45: Se-Peíodo o Fgua 46: Se-Peíodo o Obseado oaete a atz de establdade D a equação (46), podeos esee oaete oo: D g j j (46) Logo, a equação (46) aá:

73 7 g g g g (47) Sabedo que os estados de tasção X, X e X são ohedos, ou seja: - Paa X, teos: se os,,,, a a X (48) - Paa X, teos: se os,,,, a a X (49) - Paa X, teos: se os,,,, b b X (4) Lebado-se das equações (46) e (6):

74 74 se os (4) S P T X (4) Pode-se alete detea os states : (4) Essa deteação é possíel dedo à posção das odções de estêa o oeto do tpo -4 goa, oheedo os aloes de, ooe a equação (4), os eleetos j g e j a ooe a segu: - Paa j g, teos: e e e b g (44) e e g (45) e e e e e b b b g (46)

75 75 e e e e g (47) - Paa j, teos: e e e a (48) e e (49) e e e e e a a a (44) e e e e (44) goa s, de aodo o o odelo poposto po Shaw e Holes [Shaw-98], teos: D 4 D T D T j (44) Sedo que o D e D T pode se eotados oo: g g det det det (44) e g g g g T (444)

76 76 5 CONCLUSÃO 5 CONCLUSÕES O equaoaeto o apesetado o oato de espaço-estado, possbltado elho sualzação e aálse do opotaeto do eôeo de bo-pato aálse do sstea o espaço-estado ataés da etodologa apesetada pete que as equações seja estas de oa as odesada lé dsto, os apas que elaoa os estados do sstea os states de tasção pode se oputados de oa as edete estêa de oetos peódos de ode as alta, o gade úeo de tasções po peíodo ou ostada este tabalho, oo se pode e o Capítulo estêa de oeto de topologa -4 séto (ode o 4 tasções po peíodo) a odoada a oetos sétos o peíodo Cooe ostado o Capítulo Não o eotada a lteatua deostação da possbldade de oetos assétos o esta topologa aálse de desas topologas pode se obtda po eo da aplação do apa geal apesetado, sedo que, o apa é sla paa a esa quatdade de tasções po peíodo, potato, é peso apeas a deteação da azão, a qual já pode lusa a ode do oeto ss, pode se apesetadas as odções de estêa e establdade destes oetos O étodo de otzação da sulação pete, po eo de apopadas odções as, obte u oeto peódo logo após a pea tasção Já a obteção da topologa de teesse, depede se o oeto este e é estáel paa deteados paâetos do sstea No que se eee ao oeto peódo de topologa -4 séto, poede-se ua opaação o a etodologa de Shaw & Holes, lagaete eeeada a lteatua Deosta-se, todaa, que os pessupostos daquela etodologa de

77 77 aálse só pete sua aplação e stuações uto patulaes, quado a ola que só atua após o oeto ultapassa a olga te ua pequea deleão e elação à pópa olga Isto osta poque a aálse de establdade do oeto poposto po Shaw & Holes ão depede da pópa olga, petdo ua epessão e oa ehada boda-se este poto poque, a despeto das utas eeêas ao tabalho de Shaw & Holes, ão o eotada ehua eeêa a este poto e patula, poto que o auto eputa uto potate e ao qual se dee deda as ateção e tabalhos utuos Outo poto a se osdeado o pesete tabalho é o estabeleeto das Codções de Estêa, ooe Capítulo, ates de se estabelee as Codções de Establdade Fgua 5, a segu, osta outa deeça adotada po Shaw & Holes, e que os esoços a obteção das Codções de Establdade oa adotados se que as Codções de Estêa osse dedaete deteadas, oo pode se sto pelo aho e taejado Fgua 5: Fluogaa poposto 5 SUGESTÕES DE TRLHO FUTURO Se peda da estutua apesetada, pode-se aalsa o sstea estudado sob odção de olga asséta

78 78 Pode-se eploa a estutua algéba, de oa a eb algu padão da atz D de establdade Pode-se ada adota u odelo de olsão as opleo, ou que tete hega o as póo possíel da odção eal ala a aplabldade, e egehaa, dos eetos de dsspação de eega as deetes topologas Talez esta oação possa se potate paa ajuste de absoedoes de bação po pato

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