FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE SISTEMAS CONTROLADOS ENVOLVENDO DISPOSITIVOS PIEZOELÉTRICOS: UMA ANÁLISE POR ELEMENTOS FINITOS, TEORIA CLÁSSICA

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1 5 a 8 e Outubro e IBN FUNÇÃO RANFRÊNIA IMA ONROLAO NVOLVNO IPOIIVO PIZOLÉRIO: UMA ANÁLI POR LMNO FINIO, ORIA LÁIA Mateu e amargo, Lenon Mene Pereira, Luiz Henry Monken e ilva RUMO: O preente etuo e refere a problema que relacionam funçõe e tranferência e itema controlao envolveno atuaore e enore piezoelétrico ipoto em placa, que ão amplamente utilizao na teoria e controle. oavia a reolução e tai moelo e maneira analítica é inviável, eno um obtáculo para a utilização em meio prático. O trabalho analiou funçõe e tranferência ee itema, por meio o métoo e elemento finito, eenvolveno aim, uma bae metoológica para o uo extenivo ea itemática em itema controlao. Nee trabalho é uaa a teoria cláica e placa fina, ma para o moelo e elemento finito erá tetao o elemento icreto e Kirchoff (K) para levar em conieração ao meno parcela a tenõe e cialhamento, e aim obter moo e vibraçõe. O projeto teve início com um levantamento bibliográfico obre a formulaçõe e elemento finito exitente, a funçõe e interpolação, o elemento finito utilizao para formação a matrize o moelo, a coniçõe e contorno e a reolução o itema algébrico reultante. m eguia, foram analiaa a equaçõe contitutiva o material, enteneno que eu comportamento é repreentao na forma e matriz, cujo coeficiente que a compõem trauzem o eempenho e a interepenência entre a eformaçõe e a tenõe exitente. PALAVRA-HAV: feito piezoelétrico, elemento finito, função e tranferência. INROUÇÃO A palavra piezoeletriciae é e origem grega e ignifica eletriciae por preão te nome foi propoto por Hankel em 88 (KAZIR, 6) para nomear o fenômeno ecoberto ano ante pelo irmão Pierre e Jacque urie. le obervaram que carga poitiva e negativa apareciam em ivero locai a uperfície o critai quano comprimio em iferente ireçõe (VIV, 8). Atualmente ivero itema que envolvam controle têm feito uo e ipoitivo piezoelétrico. O projeto e um itema e controle tem início pelo conhecimento precio e ua função e tranferência (PIFOR & PRUMON, ). m itema e controle envolveno atuaore e enore piezoelétrico, o etabelecimento a função e tranferência recai na análie e problema etático ou inâmico e comportamento etrutural pela teoria e placa (IMOHNKO & KRIGR, 959), acoplao a análie e atuaore e enore piezoelétrico (ALLIK & HUGH, 97). Acaêmico o curo e ngenharia e ontrole e Automação o entro Univeritário e Maringá UMAR, Maringá Paraná. Bolita o Programa e Iniciação ientífica o eumar (PROBI). mateucamargo77@gmail.com Acaêmico o curo e ngenharia e ontrole e Automação o entro Univeritário e Maringá UMAR, Maringá Paraná. Bolita o PIBI/NPq. lenonmene@gmail.com Orientaor, Profeor outor e oorenaor o curo e ngenharia e ontrole e Automação o entro Univeritário e Maringá UMAR,. luiz.ilva@ceumar.br Anai letrônico VII ncontro Internacional e Proução ientífica eumar UMAR entro Univeritário e Maringá

2 m âmbito teórico, a olução ee tipo e problema ó é poível por meio numérico. Pelo reultao alcançao na reolução e problema e mecânica o ólio e e equaçõe iferenciai parciai (ON & RY, 976), e por er e uo ifunio no meio científico e epecializao em mecânica etrutural (FAIRWAHR, 978), o Métoo e lemento Finito é inicao para a moelagem e análie ee tipo e problema. Nee trabalho propõem-e uma aboragem etrutural pela teoria cláica e placa fina (BAOZ, 98), empregano elemento finito que levam em conieração e maneira icreta tenõe e cialhamento (BAH, 98) e apreentam bom comportamento em análie e vibraçõe naturai. Aina, a teoria cláica e placa eno apropriaa para pequena eformaçõe, junto com elemento finito como ante referio, agregam o comportamento fíico e eformaçõe e tenõe eejao para análie ee itema e controle, implificano a análie. Na equência o etuo foi neceário moelar fíica e matematicamente atuaore e enore piezoelétrico, partino a formulação iferencial (forte) obter uma formulação variacional (fraca), moelaa por elemento finito. Pretene-e que ee trabalho eja conoliao no entio e criar uma bae metoológica e análie e itema controlao pelo métoo e elemento finito, incluive levano o tratamento o reultao para er utilizao em uma interface e tratamento e inal. MARIAL MÉOO O preente projeto e iniciação cientifica é um eenvolvimento teórico com bae em bibliografia epecializaa na área e mecânica o ólio, na área e controle e e equaçõe contitutiva e materiai. Inicialmente foi realizaa uma revião bibliográfica e a obtenção o etao a arte, relacionano a hitória, caracterítica e particulariae o materiai piezoelétrico, ferroelétrico e piroelétrico. Baeano-e na pequia e Piefort (6, p. 5) na qual foi utilizao o PZ (Lea Zirconate itanate, igla em inglê para itanato Zirconato e humbo), poteriormente foram efinia a matrize que repreentam o comportamento ete material, aim como a equaçõe contitutiva, a matrize e atuação e matrize e enoriamento. omo uma etapa eencial para o eenvolvimento a etapa ubequente, uma análie, irecionaa à equaçõe contitutiva o material ecolhio, foi realizaa, que efiniu o tipo e material, ua contante e a matrize que etabelecem eta equaçõe. Feito io, foi realizao um etuo obre o Métoo e lemento Finito voltao para análie e ua formulaçõe, ito é, o ponto e partia o tratamento numérico e e formação a matrize o moelo numérico e ua reolução, em âmbito e itema e grane porte. RULAO IUÃO o etuo proceio na fae inicial o projeto, contatou-e que a formulação a er utilizaa para a reolução ee tipo e problema e controle é o métoo e compatibiliae, o qual utiliza o elocamento tranveral a placa como incógnita. eguino, foram verificaa a caracterítica o ipoitivo piezoelétrico. onforme Jone (975, p. 6), um material é ito ortotrópico quano a matriz que relaciona tenão-eformação e um material poui nove contante inepenente, como é evienciao na figura. A ortotropia inica que um material ao receber a açõe e uma tenão normal em uma ireção, eforma-e e moo a etener na ireção a tenão e a contrair-e na ireção perpenicular. A magnitue eta extenão quano ob uma tenão normal em uma ireção apreenta um móulo iferente a extenão o Anai letrônico VII ncontro Internacional e Proução ientífica eumar UMAR entro Univeritário e Maringá

3 Anai letrônico VII ncontro Internacional e Proução ientífica eumar UMAR entro Univeritário e Maringá material ob a mema tenão em outra ireção. A figura a eguir ilutra ete comportamento. Figura - omportamento e um material ortotrópico e acoro com a tenõe aplicaa obre ele (JON, 975, p.). τ τ τ σ σ σ = γ γ γ εε ε quação - Matriz tenão-eformação genérica para materiai ortotrópico (JON, 975, p.6). A matriz no centro ão a contante inepenente, o vetor equero ão a tenõe e o vetor ireito inica a eformaçõe. Feito tal levantamento, foi poível obter a moelagem para o preente cao, eno parte e um termo imilar à matriz tenão-eformação genérica e outro termo que acopla a funçõe e enoriamento e atuação o ipoitivo piezoelétrico. = quação - Atuação o itema aotao (PIFOR, 6, p. 5). ij ão a tenõe na ireção ij, ij é o campo elétrico na ireção ij, a matriz tenão eformação é a que poui coeficiente ij, a matrize e acoplamento ão a que pouem coeficiente ij e o coeficiente ε ij etão na matrize e permiiviae.

4 = ε ε ε quação - enoriamento o itema aotao (PIFOR, 6, p.5). ij ão a tenõe na ireção ij, ij é o campo elétrico na ireção ij, a matriz tenão eformação é a que poui coeficiente ij, a matrize e acoplamento ão a que pouem coeficiente ij e o coeficiente ε ij etão na matrize e permiiviae. A matriz e eformaçõe é tranpota a matriz preente na equação. O vetor ij repreenta o campo e elocamento elétrico na ireção ij eno obtio a moelagem o enore e atuaore piezoelétrico, poe-e ar início àc aplicação o Métoo e lemento Finito. 4 ONLUÃO O Métoo e lemento Finito e motra aequao para a análie e itema controlao, teno em vita que há uma grane generalização na aboragem ee tipo e itema. Para bon reultao erem alcançao com a teoria cláica, etuo exploratório com elemento conteno ou que pouem grau e liberae icreto o qual não é aociao a funçõe e interpolação o quai levam em conta tenõe e cialhamento. om io, é eperao que tai elemento icreto tenham a mema função que o grau e liberae itribuío que poui a teoria e Minlin, melhorano a frequência naturai e móulo e vibração. obre o material piezoelétrico, foi contatao que ele poui boa proprieae e atuação e enoriamento, poeno er utilizao na mai ivera aplicaçõe, como acelerômetro, máquina têxtei e nano-poicionamento. O projeto e encontra aina em anamento em vita o etuo orientao envolverem muito aunto avançao referente particularmente à mecânica o ólio, análie e vibraçõe, tipo e formulaçõe e moelagem e problema fíico, reolução numérica e itema e autovalore e autovetore e grane porte. RFRÊNIA ALLIK, H. & HUGH,.J.R. Finite lement Metho for Piezoelectric Vibration. International Journal for Numerical Metho in ngineering, v., pp. 5-57, 97. BAH, K. J. Finite lement Proceure In ngineering Analyi. New Jerey: Prentice-Hall, 98. BAOZ, J. L. An xplicit formulation for an efficient triangular plate bening element. International Journal for Numerical Metho in ngineering, v. 8, pp , 98. JON, Robert M.. Mechanic of ompoite Material.. e. Philaelphia: aylor & Franci, 975. KAZIR,. he Beginning of Piezoelectricity. orrecht: pringer, 6. Anai letrônico VII ncontro Internacional e Proução ientífica eumar UMAR entro Univeritário e Maringá

5 Piefort, V. & Preumont, A. Finite lement Moeling of Piezoelectric tructure. Active tructure Laboratory. Bruel, Belgium,. imohenko,. P. & Krieger, W.. heory of plate an hell. e., okyo, McGraw- Hill Kogakuha, 959. VIV, Antonio Arnau. Piezoelectric tranucer an aplication. New York: pringer, 8. ZINKIWIZ, O.., AYLOR, R. L. & OO, J. M. Reuce Integration echnique in General Analyi of Plate an hell. International Journal for Numerical Metho in ngineering, v., pp. 75-9, 97. Anai letrônico VII ncontro Internacional e Proução ientífica eumar UMAR entro Univeritário e Maringá