todo meu apoio e também com o apoio da equipe de tutores especialmente escolhida para acompanhar você ao longo dessa jornada. Boa sorte a todos. Neste

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL I AULA 01: FUNÇÃO E OPERAÇÕES COM FUNÇÕES TÓPICO 01: CONCEITO DE FUNÇÃO MULTIMÍDIA Ligue o som do seu computador! Obs.: Alguns recursos de multimídia utilizados em nossas aulas, como vídeos legendados e animações, requerem a instalação da versão mais atualizada do programa Adobe Flash Player. Para baixar a versão mais recente do programa Adobe Flash Player, clique aqui! [1] PALAVRA DO COORDENADOR DA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL I VERSÃO TEXTUAL DO VIDEO Seja muito bem vindo ao curso de Cálculo Diferencial I, meu nome é Jonatan Floriano, sou doutor pelo departamento de matemática da Universidade Federal do Ceará, e responsável por essa disciplina. Nosso objetivo é fornecer uma base necessária para estudar o módulo Cálculo Integral I, além de apresentar as varias aplicações para os diversos ramos da ciência, uma palavra sobre como devemos estudar matemática, há uma diferença entre um texto de cálculo e ler um jornal ou um romance, você deve ter lápis e papel para reproduzir os teoremas, os exemplos, verificar as afirmações feitas pelo autor e tentar fazer os seus próprios exemplos, é comum o aluno ter necessidade de ler mais de uma vez uma passagem do texto, leia cada tópico da aula com bastante atenção para compreender os conceitos, as demonstrações dos teoremas e os exemplos resolvidos, depois tem que resolver os problemas propostos, lembre-se aprendemos por imitação e prática. Finalmente, quero resaltar que nossos tutores e eu estaremos sempre ao seu dispor para ajudar-lhes a eliminar as eventuais dúvidas, o fórum pode e deve ser usado como nossa sala de aula, o aluno escreve a sua dúvida e a resposta do tutor e de um colega pode ser visto por todos, isso certamente trará um beneficio para a turma, pois a dúvida de um, muitas vezes é a dúvida de outros. Espero que você tire bastante proveito desse curso, conte sempre com

2 todo meu apoio e também com o apoio da equipe de tutores especialmente escolhida para acompanhar você ao longo dessa jornada. Boa sorte a todos. Neste tópico será apresentada a função que é o elemento fundamental no estudo do Cálculo Diferencial e Integral. A função está presente em quase todos os ramos da Matemática e em outras ciências, inclusive em Física, daí sua relevância na vida prática; esta aula é o passo inicial de um longo percurso que o estudante terá na sua formação. Em relação a outras partes da Matemática que já estudamos até o Ensino Médio, o surgimento da função é recente; a palavra função foi introduzida pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva, que não tem nada haver com o significado moderno; a palavra função foi posteriormente usada pelo matemático suíço Leonhard Euler ( ) e criou a notação usada até a época atual; o entendimento moderno do significado de função foi uma contribuição do matemático alemão Peter Gustav Lejuine Dirichlet ( ); entretanto, foi somente com a teoria dos conjuntos da análise moderna do matemático inglês George Boole ( ) e outros, que o conceito finalmente teve sua formalização. Estendendo a definição de função, os matemáticos foram capazes de estudar objetos matemáticos, inicialmente considerados como puramente imaginários e até chamados genericamente de monstros, tais objetos matemáticos foram já no final do século XX, considerados de grande importância para a construção de modelos matemáticos aplicados para explicar fenômenos físicos. O conceito de função será introduzido de forma geral, de modo que à medida que serão estudados os tipos particulares de funções neste módulo e nos subsequentes de Cálculo, serão feitas apenas as particularizações dos conjuntos que estão envolvidos no conceito. Logo após o conceito geral de função, será definido o tipo particular de função que se estudará neste módulo e no seguinte (ou seja, em Cálculo II), que é a função real de uma variável real. Antes de definir o que é função, considere alguns exemplos de relações funcionais que o estudante neste estágio já tenha utilizado. São relações dadas através de equações (ou regras ou leis de formações) envolvendo duas ou mais grandezas e satisfazendo certas condições, tais condições serão explicadas em seguida nos exemplos e comentários Exemplo usado no comércio. Suponha que se deseja adquirir um determinado produto, então o valor do produto (indicando esse valor por V)

3 depende da quantidade do produto que você necessita (indicando essa quantidade por q), observe que uma mesma quantidade do produto não terá dois preços diferentes, neste caso, diz-se que V é função de q. Exemplo usado em Física. Se um carro se desloca da sua residência à rodoviária de seu município, então até que o carro chegue num determinado local do itinerário, já terá transcorrido algum tempo a partir do momento em que ele estava na residência, isto é, à distância percorrida pelo carro (chamando essa distância de s) depende do tempo (que se indica pela letra t), além disso após um certo tempo de iniciado o movimento do carro, ele terá percorrido uma única distância, assim diz-se que s é função de t. Exemplo usado em Geometria Plana. A área de um círculo (indicando pela letra A) de raio r é dada pela fórmula, como dois círculos de mesmo raio não terão áreas diferentes, diz-se que A é função de r. Como ficou claro através destes exemplos, para falar em relação funcional, deve-se ter no mínimo duas grandezas, considerando tal quantidade de grandezas e chamando essas grandezas de y e x, onde elas estão relacionadas para que uma dependa da outra, então suponha que y depende de x; diz-se que y é função de x, se para cada x a relação faz corresponder um único y. Como foi mencionado, essa relação funcional pode ser dada por uma: equação, regra ou lei de formação. Foi definido o que é uma grandeza depender funcionalmente de outra através de uma relação, é de interesse algo mais formal, como segue: sejam A e B conjuntos, uma função f de A em B, que se indica por é uma relação associada a A e B tal que essa relação faz corresponder a cada elemento x em A um único elemento y em B. Para indicar que um determinado y foi obtido de algum x através da função f, usa-se o símbolo que se lê y é igual a f de x. A figura ilustra que todo elemento de A está associado a algum elemento de B, mas não necessariamente todo elemento de B tem um correspondente em A. O conjunto A é chamado de domínio da função f e é indicado por D(f), e o conjunto B é dito o contradomínio da função f. O elemento f(x) que corresponde a x por intermédio da relação funcional é denominado a imagem de x através de f (ou ainda, valor de f em x se, onde R indica o conjunto dos números reais (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). A imagem da função f é o conjunto indicado por I(f) e constituído pelas imagens de todos os elementos x de A através de f, ou seja,

4 Uma função real de uma variável real (função real de uma variável real - - (ou simplesmente, uma função real de uma variável) ) é uma função em que seu domínio é um subconjunto de R e o contradomínio é o conjunto R. Neste caso, diz-se que o elemento arbitrário x (gerador do domínio de f) é a variável independente de f ( variável independente de f -- (isto é, o elemento gerador da imagem de f)) de f e que y= f(x) é a variável dependente de f. A partir deste momento, neste módulo e no seguinte, somente será estudada a função real de um variável. OBSERVAÇÃO Observe que uma função f está completamente definida, somente quando são dados o domínio D(f), o contradomínio B e a relação que estabelece a correspondência dos elementos do D(f) com elementos de B. Entretanto, quando f é uma função real de uma variável, normalmente f é definida apenas pela relação (que é comum ser uma equação) e possivelmente o domínio; quando na definição da função, somente a relação for dada (isto é, o domínio não for estabelecido), significa que o domínio da função é o conjunto de todos os valores onde a relação faz sentido e a função é indicada somente pela relação. Por exemplo: se a função f é definida por y = x 2 com, significa que a relação definindo f é dada pela equação y =x 2 e que o mas, se f é definida apenas pela equação y = x 2, então D (f)= R, pois todo número real pode ser elevado ao quadrado e invés de escrever "a função f definida por y =x 2 com D(f)= R, escreve-se apenas "a função f(x) = x 2 ". PARADA OBRIGATÓRIA Este é o momento para revisar sobre: conjugado como é o produto de conjugados, o conceito de valor absoluto e os diversos tipos de intervalos. Você vai precisar a partir do próximo exemplo. Sejam a e b valores ou expressões obtidas através de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) com valores numéricos ou literais, então a + b é o conjugado de a - b e a - b é o conjugado de a + b. Usando a propriedade distributiva dos números reais, obtém-se que

5 EXEMPLO RESOLVIDO Dada a função 1encontrar: (a) f(1), f (a+1) se a 0 e f(b 2 + 2b + 2) se b -1; (b) se a 0; (c) O domínio e a imagem de f. SOLUÇÃO (CLIQUE AQUI)

6 (a) Para achar os valores de f indicados, deve-se substituir em os valores de x que são dados entre parênteses. Assim, e pois b uma vez que b -1; (b) Como tem-se (c) Sendo D(f) o conjunto de todos os valores de x onde tem sentido, x D(f) se x-1 0, pois a raiz quadrada só está definida para valores não negativos (isto é, valores maiores ou iguais a zero), assim x 1 ou seja, D(f) = [1, + ) Para achar a imagem de f, considera-se os valores x no seu domínio e então se obtém os valores y= correspondentes. Sendo assim, x D(f) se x 1, ou seja, se x-1 0 daí logo I(f) = [0, + ). EXERCICIO PROPOSTO Se mostrar que: (a) g(3)=2, g(a 2-1)=a se a 0 e g(b 2 +2b) = b+1 se b -1; (b) [g(x+t) - g(x)]= se t 0 (c) D(g) = [-1, + ) e I(g) = [0, + ). DICA Leia o texto sugestões ao estudante. Para isso vá na seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo SugestoesAoEstudante.doc ou (clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)). Reflita se não tenho razões de sobra.

7 LEITURA COMPLEMENTAR Cálculo Diferencial e Integral (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Exercitando(Aula01_Top1).doc ou Clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)para abrir o exercitando e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 4, 9 e 11 do exercitando, são as respectivas questões 1 até 3 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar. As questões 4 e 5 do trabalho, serão indicadas no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado. FONTES DAS IMAGENS 1. Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual