A ABORDAGEM DE PROBLEMAS INVERSOS PARA A CARACTERIZAÇÃO TÉRMICA DE MATERIAIS

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1 A ABORDAGEM DE PROBLEMAS INVERSOS PARA A CARACTERIZAÇÃO TÉRMICA DE MATERIAIS Flávia Rodrigues dos Santos 1 frsantos@irj.uerj.br Fernando Reiszel Pereira 1 reiszel@irj.uerj.br Gil de Carvalho 1 gilde@irj.uerj.br Antônio J. Silva Neto 12 ajsneto@irj.uerj.br ajsneto@lmn.con.ufrj.br 1 Instituto Politécnico IPRJ Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ CP Nova Friburgo RJ Brasil. 2 Programa de Engenharia Nuclear COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ CP Rio de Janeiro RJ Brasil. Resumo. Neste trabalho é emregado o método de Levenberg-Marquardt (LM) ara a solução do roblema inverso em condução de calor ara se estimar a condutividade térmica e o calor esecífico de novos materiais São utilizados dados exerimentais reais obtidos através do método do fio quente. Resultados são aresentados ara amostras de oliestireno exandido (isoor) ael jornal rensado e aelão ondulado. Palavras-chave: Problemas inversos Caracterização térmica Levenberg-Marquardt Método do fio quente. 1. INTRODUÇÃO O roblema inverso clássico em transferência de calor or condução é aquele associado à estimativa do fluxo de calor ou da distribuição de temeratura na suerfície de contorno do meio sob análise. Porém outros roblemas inversos em condução com alicações tecnológicas relevantes envolvem de forma indeendente ou de forma combinada a estimativa de condições iniciais geometria termos fonte e roriedades térmicas. Devido a sua imortância em modelos matemáticos desenvolvidos ara o rojeto e a análise de equiamentos e comonentes térmicos diversos trabalhos têm sido ublicados aresentando técnicas analíticas ou numéricas ara a determinação de roriedades térmicas a artir de medidas exerimentais indiretas tal como a distribuição de temeraturas em algum onto da amostra a artir da imosição de um fluxo de calor no contorno ou da geração térmica no interior da mesma (Artyukhin 1976 Omel chenko e Pchelkina 1976 Goryacheve Yudin 1983 Artyukhin e Nenarokomov 1988 Artyukhin et al Zhang et al Dowding et al. 1999). Em muitos casos é determinada aenas uma roriedade tal como a condutividade térmica ( Lin e Cheng 1997 Jurkowski et al Lesnic et al Yang 1999) ou a

2 difusidade térmica ( Morilov et al Shai et al Griesinger et al. 1997). Porém em alguns trabalhos é considerada a estimativa simultânea da condutividade térmica e da difusidade térmica ou do calor esecífico (Flach e Özisik 1989 Huang e Özisik 1991 Guimarães et al Carvalho e Silva Neto 1999 Lima e Silva et al Santos et al Silva Neto e Soeiro 2001). Mais recentemente tem sido observado o interesse na determinação do coeficiente de troca térmica or convecção (Tseng et al Xu e Chen 1998 Chantasiriwan 1999 Abou Khachfe e Jarny 2001). O desenvolvimento de novos materiais tem sido uma área de esquisa intensa que tem recebido uma demanda tecnológica crescente. Portanto é necessário o uso de técnicas adequadas ara a caracterização destes novos materiais através da determinação de suas roriedades. Usando uma abordagem teórico-exerimental onde a determinação das grandezas desconhecidas é feita através do acolamento do exerimento com a solução de roblemas inversos um número maior de graus de liberdade ode ser maniulado envolvendo até mesmo a determinação de novas incógnitas introduzidas no roblema através das modelagens físicas matemática e comutacional mais recisas (Carvalho e Silva Neto 1999 Silva Neto e Soeiro 2001). Nas seções seguintes é feita uma comaração entre o enfoque exerimental tradicional com uso do método do fio quente e a abordagem aqui roosta usando a solução de roblemas inversos. São também aresentados resultados ara amostras de oliestireno exandido ael jornal rensado e aelão ondulado. 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA E SOLUÇÃO DO PROBLEMA DIRETO Considere a situação aresentada na Fig.1 onde uma resistência elétrica linear é inserida no centro de uma amostra ara a qual se deseja determinar as roriedades térmicas. A modelagem matemática do roblema de transferência de calor or condução em uma amostra cilíndrica de raio R com uma fonte linear de calor no centro trocando calor com o ambiente que a envolve na temeratura T é dada or amb 1 T 1 ρc r + g( r = r r r k k T ( r t em 0 < r < R ara t > 0 (1) com a condição de contorno T k = h( T Tamb ) em r = R ara t > 0 (2) r com a condição inicial T ( r0) = Tamb em 0 r R ara t = 0 (3) onde k é a condutividade térmica g( r é a densidade volumétrica de otência ρ é a massa esecífica c é o calor esecífico e h é o coeficiente de troca térmica or convecção. Observe que está imlícita nesta formulação a hiótese de que a amostra é longa o bastante de forma que a transferência de calor é considerada unidimensional na direção radial.

3 Fig.1 Arranjo exerimental da técnica adrão do fio quente Para se calcular a condutividade térmica k utilizando o método do fio quente é reciso considerar que a fonte térmica linear começa a liberar calor or efeito Joule no instante t = 0 no interior de um meio infinito que se encontra inicialmente na temeratura T = T 0. Para instantes de temo suficientemente osteriores a t = 0 e ara distâncias radiais r róximas à fonte linear o acréscimo na temeratura θ (r aresenta a seguinte deendência com o temo (Bejan 1993) q θ ( r = T ( r T0 ln t (4) 4πk onde T ( r é a temeratura q é a densidade linear de otência e k é a condutividade térmica do meio. Considerando um determinado onto do meio sendo tomadas duas medidas de temeratura em instantes de temo distintos t e t obtém-se a artir da Eq.(4) 1 2 θ 2 θ1 q inclinação = = ln t ln t 4πk 2 1 q ln( t t ) 4π θ θ 2 1 k = (5ab) 2 1 No enfoque exerimental tradicional são medidas ortanto as temeraturas T em diferentes instante de temo t i.e. ( t T i i i ) i = I onde I é o número total de medidas exerimentais e a artir do ajuste or mínimos quadrados dos ontos (lnti θ i ) obtém-se o coeficiente angular da reta calculando-se então a condutividade térmica do material. No algoritmo considerado neste trabalho ara a solução do roblema inverso é usada a solução do roblema direto emregando as estimativas ara as incógnitas obtidas a cada iteração do rocedimento iterativo. Para a solução do roblema direto (1-3) foram usadas três abordagens: (i) diferenças finitas com formulação exlícita; (ii) diferenças finitas com formulação imlícita; e (iii) volumes finitos. 3. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA E SOLUÇÃO DO PROBLEMA INVERSO 3.1. Formulação do roblema inverso i

4 O roblema inverso aqui considerado é formulado como um roblema de otimização onde busca-se minimizar o funcional de resíduos quadrados N T 2 Q( Z) = ( Tcalc ( Z) Tmed ) = F F (6) i i i= 1 onde F = T T T e T reresentam resectivamente as temeraturas calculadas e medidas i calc i med i N { k c h T } calc med é o número total de medidas exerimentais e Z é o vetor de incógnitas Z = (7) 3.2. Solução do roblema inverso Silva Neto e Carvalho (1999) usaram o método de Levenberg-Marquardt (LM) ara resolver o roblema inverso descrito na seção anterior. Este método é baseado na minimização da norma dada ela Eq. (6) com um arâmetro de regularização α (Silva Neto e Moura Neto1999). r r r r 2 T Q( Z) = F F + α Z (8) Escrevendo a equação de onto crítico Q Z = 0 fazendo uma exansão de Taylor e retendo aenas os termos até a rimeira ordem obtém-se a equação normal T T ( J J + α I) Z = J F (9) onde Z é um vetor de correções ara as incógnitas I é a matriz identidade e J é a matriz Jacobiana cujos elementos são dados or J ij Tcalci = i = N e j = 123 (10) Z j onde N é o número total de incognitas. Constrói-se então um rocedimento iterativo no qual a artir de uma estimativa inicial 0 Z novas estimativas são calculadas usando Z n+ 1 = Z n + Z n n = (11) onde as correções são calculadas a artir da Eq. (9). 4. COEFICIENTES DE SENSIBILIDADE Na solução de roblemas diretos caso se tenha ouco conhecimento acerca de um arâmetro do modelo uma roriedade física ou química ou mesmo um dado oeracional é interessante que a sensibilidade relacionada a este arâmetro seja equena ois assim sua influência na resosta do modelo será equena e este desconhecimento assará desaercebido.

5 Entretanto na solução de roblemas inversos é fundamental que a sensibilidade à incógnita que se deseja determinar seja grande o bastante fazendo com que as resostas do modelo reflitam até mesmo equenas mudanças nos valores desta incógnita (Lugon Jr. 2000). Dowding et al. (1999) analisaram o cálculo e o uso de coeficientes de sensibilidade (Beck e Arnold 1977) em roblemas de condução de calor demonstrando como estes fornecem informações sobre os efeitos dos arâmetros nas resostas dos modelos. Lembrando que o objetivo do resente trabalho é a obtenção da condutividade térmica k do calor esecífico c e do coeficiente de troca térmica or convecção h torna-se necessária uma análise da sensibilidade do modelo de cálculo da temeratura em relação a essas roriedades. Para oder comarar os valores dos coeficientes de sensibilidade ara incógnitas com diferentes unidades e magnitude entre si e assim determinar se um coeficiente é grande o bastante ou equeno demais utilizam-se os coeficientes modificados. Estes coeficientes são obtidos multilicando o coeficiente de sensibilidade elo valor estimado da incógnita obtendo então todos os coeficientes com as mesmas unidades. No roblema inverso aqui considerado eles têm ortanto unidades de temeratura. Os coeficientes de sensibilidade modificados são definidos com base na rimeira derivada da temeratura em relação aos arâmetros sendo dados então or X k X c X h T = k (12) k T = c (13) c T = h (14) h Observa-se que ara o sucesso da estimação simultânea de k c e h é necessário que os coeficientes sejam linearmente indeendentes e ainda ossuam os maiores valores ossíveis (Beck e Blackwell 1990). Nas Figs. 2 e 3 são reresentados resectivamente os coeficientes de sensibilidade ara os exerimentos realizados com uma amostra adrão de oliestireno exandido e de aelão ondulado. Observa-se que em ambos os casos onde no rimeiro o sensor de temeratura está localizado a 5mm do centro da amostra e no segundo a 2mm a maior sensibilidade é relativa à condutividade térmica. Conforme eserado ara temos longos a sensibilidade ao calor esecífico diminui e a sensibilidade ao coeficiente de troca térmica aumenta. Nestes casos o transiente já está róximo ao fim e o calor já chegou à suerfície da amostra.

6 X k 30 sensibilidade X h 10 X c temo Figura 2 Coeficiente de sensibilidade modificado ara a amostra adrão de oliestireno exandido e com o sensor de temeratura a 5mm do centro da amostra sensibilidade X k 5 X c X h temo Figura 3 Coeficiente de sensibilidade modificado ara a amostra de aelão ondulado e com o sensor de temeratura a 2mm do centro da amostra. 5. RESULTADOS Foram ensaiadas três amostras: (i) oliestireno exandido; (ii) ael jornal rensado; e (iii) aelão ondulado. A rimeira amostra foi fornecida foi fornecida ela emresa Termotécnica localizada em Santa Catarina. Esta emresa determinou o valor da

7 condutividade térmica desta amostra usando a norma ASTM obtendo o seguinte resultado: k = 00384W / mk. A segunda e a terceira amostras foram fornecidas ela emresa Unisafe Metalúrgica Ltda. de Nova Friburgo R.J.. Esta emresa deositou uma atente de um refrigerador ara uso em hotéis e está analisando o uso de novos materiais ara isolamento acústico e térmico. Para estas duas últimas amostras não disomos de valores das roriedades térmicas obtidas com outras técnicas. Emregamos ortanto a rimeira (i) como adrão ara validação da metodologia descrita neste trabalho e a emregamos então ara a determinação das roriedades térmicas das amostras (ii) e (iii). Na Fig.4 é aresentada uma comaração das temeraturas calculadas e das temeraturas exerimentais ara a amostra adrão (i) usando os valores estimados k = 004W / mk e c = 2000J / kgk usando um sensor de temeratura localizado a 5mm do centro da amostra ou seja a 5mm do centro do fio quente. Observa-se que este valor está em excelente concordância com aquele obtido ela emresa Termotécnica usando uma técnica diferente. 500 Temeratura (ºC) calculada exerimental k = 004 W/mK c = 2000 J/kgK ρ = 19 kg/m temo (s) Figura 4 Distribuição de temeratura na amostra adrão (oliestireno exandido) ara um sensor de temeratura localizado a 5mm do centro da amostra. Na Fig.5 é aresentada uma comaração das temeraturas calculadas e das temeraturas exerimentais ara a amostra de ael jornal rensado (ii) usando os valores estimados k = 01405W / mk e c = 1500J / kgk usando um sensor de temeratura localizado a 8mm do centro da amostra.

8 exerimental Temeratura (ºC) calculada k = W/mK c = 1500 J/kgK ρ = 205 kg/m temo (s) Figura 5 Distribuição de temeratura na amostra de ael jornal rensado ara um sensor de temeratura localizado a 8mm do centro da amostra. Na Fig.6 é aresentada uma comaração das temeraturas calculadas e das temeraturas exerimentais ara a amostra de aelão ondulado (iii) usando os valores estimados k = 01198W / mk e c = 1000J / kgk usando um sensor de temeratura localizado a 8mm do centro da amostra Temeratura (ºC) calculada exerimental k = W/mK c = 1000 J/kgK ρ = 162 kg/m temo (s) Figura 6 Distribuição de temeratura na amostra de aelão ondulado ara um sensor de temeratura localizado a 8mm do centro da amostra. Nas Figs. 4-6 observa-se a excelente concordância dos valores de temeratura calculados com as estimativas ara as roriedades térmicas com aqueles medidos exerimentalmente.

9 Lima e Silva et al. (2001) fizeram uma estimativa ara a condutividade térmica e ara o valor esecífico de uma amostra olimérica com lignina (Carvalho e Silva Neto 1999) emregando a técnica descrita or Guimarães et al. (1995). Os resultados obtidos aresentam excelente concordância com aqueles obtidos or Carvalho e Silva Neto (1999) Silva Neto e Carvalho (2000) e Silva Neto e Soeiro (2001) emregando a mesma metodologia descrita neste trabalho. 6. CONCLUSÕES Os resultados aqui aresentados demonstram a viabilidade do emrego de uma a abordagem de solução de roblemas inversos ara estimativa de roriedades térmicas a artir dos dados exerimentais transientes obtidos com o método do fio quente. No estágio atual do trabalho busca-se o uso das informações fornecidas elos coeficientes de sensibilidade ara que as incógnitas sejam estimadas emregando os dados exerimentais que tenham maior sensibilidade às mesmas. Por exemlo em simulações numéricas foi ossível estimar o coeficiente de troca térmica or convecção mas busca-se agora determinálo emregando as temeraturas exerimentais ara temos longos ou seja t > 500s ara os materiais considerados nas Figs. 2 e 3. Além disso busca-se também a determinação dos intervalos de confiança ara as estimativas realizadas. 7. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem às emresas TERMOTÉCNICA e UNISAFE Metalúrgica Ltda. elo fornecimento das amostras usadas neste trabalho. 8. REFERÊNCIAS Abou Khachfe R. e Jarny Y Determination of Heat Sources and Heat Transfer Coefficient for Two-Dimensional Heat Flow - Numerical and Exerimental Study Int. J. Heat Mass Transfer Vol Artyukhin E.A. e Nenarokomov A.V Coefficient Inverse Heat-Conduction Problem Journal of Engineering Physics Vol. 53 No Artyukhin E.A Determination of Thermal Diffusivity from Exerimental Data Journal of Engineering Physics Vol.29 No Artyukhin E.A. Ivanov G.A. e Nenarokomov A.V Determining the Set of Thermohysical Proerties of Materials from Unsteady-State Temerature Measurements High Temerature Vol.31. No Beck J. V. e Arnold K. J Parameter Estimation in Engineering and Science John Wiley and Sons Inc. New York. Beck J. V. e Blackwell B. F Inverse roblems Handbook of Numerical Heat Transfer Bejan A Heat Transfer John Wiley & Sons New York. Carvalho G. e Silva Neto A.J An Inverse Analysis for Polymers Thermal Proerties Estimation Proc. 3rd International Conference on Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice Port Ludlow USA Chantasiriwan S Inverse Heat Conduction Problem of Determining Time-Deendent Heat Transfer Coefficient Int. J. Heat Mass Transfer Vol Dowding K. J. Blackwell B. F. e Cochan R. J Alications of Sensitivity Coefficients for Heat Conduction Problems Numerical Heat Transfer Part B Vol

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