FUNÇÕES. Correspondências. Definição de função. Antes de começar

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1 FUNÇÕES 7º ANO Correspondências. Definição de função Nuno Marreiros Antes de começar Na nossa vida quotidiana temos muitos eemplos de epressões usando depende de ou equivalentemente é função de O tempo de viagem é função (depende), entre outras coisas, da distância percorrida. O consumo de combustível é função (depende), entre outras coisas, da velocidade. Perímetro de um triângulo é função (depende) da medida de seus lados. O preço a pagar pela energia elétrica utilizada, varia em função (depende) do consumo. Inconscientemente estamos frequentemente a utilizar funções. 1

2 Um pouco de história O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. Foi sendo construído e aperfeiçoado ao longo de vários séculos. É possível detetar sinais de que os Babilónios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função. São conhecidas tábuas de quadrados, de cubos e de raízes quadradas utilizadas por este povo na Antiguidade. Um pouco de história Em 1673, foi usado pela primeira vez o termo matemático função pelo matemático alemão Gottfried Leibniz, muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. No entanto, a definição de função surge mais tarde, com Leonard Euler, matemático suíço que escreveu Se é uma quantidade variável, então toda a quantidade que depende de de qualquer maneira, ou que seja determinada por aquela, chama-se função da dita variável. Ele é o matemático que utiliza pela primeira vez a notação f(). Leibniz ( ) Euler ( ) 2

3 POTÊNCIAS E RAÍZES TIAGO 3

4 POTÊNCIAS E RAÍZES TOMÉ Boletim do Tiago Boletim do Tomé Jogos Gil Vicente- Porto Beira-mar- Nacional Aves-Benfica Olhanense-Marítimo Apostas 1 X 2 Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto Beira-mar-Nacional Aves-Benfica Olhanense-Marítimo Arouca-Braga Arouca-Braga Estoril- Sporting Estoril-Sporting Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta. 4

5 Boletim do Tiago Boletim do Tomé Jogos Gil Vicente- Porto Beira-mar- Nacional Aves-Benfica Olhanense-Marítimo Apostas 1 X 2 Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto Beira-mar-Nacional Aves-Benfica Olhanense-Marítimo Arouca-Braga Arouca-Braga Estoril- Sporting Estoril-Sporting Nestes dois boletins há uma diferença fundamental: 1. no boletim do Tiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma aposta; 2. no boletim do Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma aposta. Dizemos que, no 1º caso, eiste uma correspondência unívoca entre o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas, enquanto que, no 2º caso, não eiste correspondência unívoca. Assim podemos concluir que o boletim do Tiago representa uma função, enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função. Nº 1 Nº 2 Nº 3 Nº 4 Nº 5 Nº 6 Boletim do Tiago Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente- Porto Beira-mar- Nacional Aves-Benfica Olhanense-Marítimo Arouca-Braga Estoril- Sporting Correspondência unívoca. Representa uma função. Nº 1 Nº 2 1 Nº 3 X Nº 4 Nº 5 2 Nº 6 5

6 A correspondência neste boletim não é unívoca. Não representa uma função Nº 1 Nº 2 Nº 3 Nº 4 Nº 5 Nº 6 Boletim do Tomé Jogos Apostas 1 X 2 Gil Vicente-Porto Beira-mar-Nacional Aves-Benfica Olhanense-Marítimo Arouca-Braga Estoril-Sporting Nº 1 Nº 2 1 Nº 3 X Nº 4 Nº 5 2 Nº 6 Nem todas as correspondências são funções. Uma correspondência entre dois conjuntos diz-se unívoca, quando a cada elemento do 1º conjunto corresponde um e um só elemento do 2º conjunto. Por eemplo, eiste uma correspondência unívoca entre o conjunto dos alunos de uma turma e o conjunto das cadeiras da sala de aula, pois a cada aluno corresponde uma e uma só cadeira. Observação: Podem ficar cadeiras vazias mas um aluno não pode ficar sem cadeira nem se pode sentar, ao mesmo tempo, em duas cadeiras distintas. Função é toda a correspondência unívoca, isto é, uma correspondência entre dois conjuntos A e B, de tal modo, que a cada elemento do 1º conjunto corresponde um e um só elemento do 2º conjunto. 6

7 Uma definição de função mais formal Dados dois conjuntos A e B (o conjunto de partida e o conjunto de chegada, respetivamente), fica definida uma função f (ou aplicação) de A em B quando a cada de A se associa um e um só elemento de B, representado por f(). A f B f() Obs: Escrever f() é o mesmo que escrever y. A f B f() O diagrama sagital, dada a sua simplicidade e eficácia na transmissão da informação, é uma das formas mais usadas para representar correspondências (funções ou não). Curiosidade: O adjetivo sagital significa que tem a forma de uma seta, e é por esse motivo que estes diagramas se chamam diagramas sagitais. 7

8 POTÊNCIAS E RAÍZES Vamos praticar Indica se os seguintes pares de diagramas sagitais representam funções. Justifica. É FUNÇÃO Esta correspondência é uma função porque a cada elemento do conjunto de partida (A) corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada (B). POTÊNCIAS E RAÍZES Vamos praticar Indica se os seguintes pares de diagramas sagitais representam funções. Justifica. NÃO É FUNÇÃO Esta correspondência não é uma função porque eistem elementos do conjunto de partida (A) com mais do que um correspondente no conjunto de chegada (B). 8

9 POTÊNCIAS E RAÍZES Vamos praticar Indica se os seguintes pares de diagramas sagitais representam funções. Justifica. NÃO É FUNÇÃO Esta correspondência não é uma função porque eistem elementos do conjunto de partida (A) ao qual não correspondente nenhum elemento do conjunto de chegada (B). POTÊNCIAS E RAÍZES Vamos praticar Indica se os seguintes pares de diagramas sagitais representam funções. Justifica. É FUNÇÃO Esta correspondência é uma função porque a cada elemento do conjunto de partida (A) corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada (B). 9

10 POTÊNCIAS E RAÍZES Praticando e Resumindo Os seguintes diagramas sagitais representam funções. POTÊNCIAS E RAÍZES Praticando e Resumindo Já os seguintes diagramas sagitais não representam funções. 10

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