Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C 0 e

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1 ERMAC 2: I ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL - 3 de Novembro de 2, São João del-rei, MG; pg Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C e Aplicações Francis F. C. Puma Instituto de Matemática, IM, UFRJ Rio de Janeiro, RJ fcordova [email protected] Jaime E. M. Rivera Instituto de Matemática, IM, UFRJ Rio de Janeiro, RJ [email protected] Resumo: Seja H um espaço de Hilbert complexo e seja A o gerador infinitesimal do semigrupo de classe C, e ta, em H. Sejam ω (A) o tipo do semigrupo e ω σ (A) a cota espectral. Um dos problemas mais importante dentro da teoria de estabilização de semigrupos é saber quando o sistema apresenta decaimento exponencial. Em caso afirmativo, o problema seguinte é obter uma taxa ótima de decaimento, um caminho para tal fim é obter o princípio de estabilidade linear para e ta, isto é, ω (A) = ω σ (A). Além disso, se e ta é um semigrupo analítico e ρ(a) então o semigrupo é exponencialmente estável. Neste trabalho aplicamos resultados recentes sobre estabilização de semigrupos para estudar o comportamento assintótico e analiticidade das soluções dos problemas de valor inicial e fronteira para mistura de dois sólidos: com dissipação friccional ()-(2) e viscoelástica (3)-(4). Em cada caso, mostramos a existência e unicidade de soluções globais fortes quando a matriz [a ij ] 2 2 é definida positiva. Daremos condições sobre a matriz [b ij ] 2 2 que caracteriza a analiticidade do semigrupo associado a (3)-(6) e condições suficientes para obter a estabilidade exponencial do semigrupo associado a ()-(2). Nosso principal resultado é caracterizar a estabilidade exponencial de ()-(2) quando [b ij ] é uma matriz singular. Palavras-chave: Semigrupos C, Estabilidade Exponencial, Estabilidade linear, Analiticidade, Misturas viscoelástica e com dissipação friccional Preliminares. Modelos de misturas Os sistemas de mistura de sólidos é um assunto que tem recebido muita atenção nos últimos anos. Os primeiros trabalhos sobre este tema foram as contribuções de Truesdell e Toupin (96), Green e Naghdi (965,968) ou Bowen e Wiese (969). Apresentações dessas teorias podem ser encontradas nos artigos de Atkin e Craine [] ou Iesan D. [2]. Nos últimos anos, um crescente interesse tem sido dirigido para o estudo das propriedades qualitativas das soluções de este tipo de modelos. Em particular, podemos encontrar vários resultados sobre a existência, unicidade, depêndencia contínua e estabilidade assintótica, ver [3], [4], [8] ou [9]. Queremos enfatizar o estudo do comportamento das soluções para o caso de uma viga unidimensional composta por uma mistura de dois sólidos (elástica com atrito) e queremos saber quando podemos esperar estabilidade exponencial das soluções de esta classe de sistemas. No contexto mecânico o decaimento exponencial significa que depois de um certo período de tempo os deslocamentos mecânicos são muito pequenos e podem ser desprezados; em caso contrário os deslocamentos podem ser apreciados no sistema após algum tempo, porém, a natureza das soluções determina

2 233 o comportamento temporal do sistema e é importante ser capaz de classificá-los. Consideremos uma viga composta por uma mistura de dois sólidos interagindo de forma contínua, com densidades de massa ρ > e ρ 2 >, que ocupa o intervalo (, l) e fixada nos extremos. Se u = u(x, t) e w = w(x, t) representam os deslocamentos verticais das partículas de cada material componente no tempo t; x (, l) obtemos os seguintes modelos: Mistura de dois sólidos com dissipação friccional ρ u tt = a u xx + a 2 w xx b u t b 2 w t em (, l) (, ) () ρ 2 w tt = a 2 u xx + a 22 w xx b 2 u t b 22 w t em (, l) (, ) (2) Mistura de dois sólidos viscoelástica com condições iniciais ρ u tt = a u xx + a 2 w xx + b u xxt + b 2 w xxt em (, l) (, ) (3) ρ 2 w tt = a 2 u xx + a 22 w xx + b 2 u xxt + b 22 w xxt em (, l) (, ) (4) u(x, ) = u o (x); u t (x, ) = u (x); w(x, ) = w o (x); w t (x, ) = w (x) em (, l) (5) e condições de fronteira submetido às seguintes hipóteses: (H.) ρ, ρ 2 >. u(, t) = u(l, t) = w(, t) = w(l, t) = em (, ), (6) (H.2) A = [a ij ] é uma matriz quadrada, simétrica e definida positiva, isto é, a > e α := a a 22 a 2 2 >. Portanto a forma quadrática associada é definida positiva: Q A (x, y) := a xx + a 2 (xy + yx) + a 22 yy > (x, y) (, ). (H.3) B = [b ij ] é uma matriz quadrada, simétrica e semidefinida positiva. Portanto a forma quadrática associada é semidefinida positiva, isto é, Q B (x, y) := b xx + b 2 (xy + yx) + b 22 yy, (x, y) C C.2 Estabilização de semigrupos Sejam H um espaço de Hilbert e A : D(A) H H um operador linear e fechado e seja e ta o semigrupo C gerado por A. Então definimos: Tipo do semigrupo. ω (A) := lim t ln e At t Cota espectral. ω σ (A) := sup{re(λ) : λ σ(a)} Princípio de estabilidade linear ou PCDE. ω (A) = ω σ (A). Semigrupo exponencialmente estável. ω < tal que: e ta L(H) Me ωt, t.

3 234 Teorema. (Estabilidade Linear) Sejam A := A + A 2 gerador de um semigrupo C num espaço de Hilbert H, A um operador normal e A 2 L(H). Se existem constantes M > e n N tais que: (a) Se λ σ(a ) e λ > M, então λ é um autovalor isolado com multiplicidade finita. (b) Se z > M, então o número de autovalores de A no disco D(z, ), com suas multiplicidades, não excede n. Então ω (A) = ω σ (A). Demonstração. Ver [3] Teorema 2. (Estabilidade Exponencial) Seja e At um semigrupo de classe C de contrações num espaço de Hilbert H. Então e At é exponencialmente estável se, somente se, {iβ : β R} ρ(a) Demonstração. Ver [5], []. lim sup (iβi A) L(H) <. β Semigrupo Analítico. Seja T (t) um semigrupo C em H. T (t) é Analítico se admite uma extensão T (λ) a θ := {λ C; arg(λ) < θ} tal que λ T (λ) é analítica e (a) lim λ T (λ)z z =, z X, λ θ. (b) T (λ + µ) = T (λ) T (µ), para todo λ, µ θ Teorema 3. (Analiticidade) Seja e ta um semigrupo C de contrações num espaço de Hilbert H. Suponha que {iβ : β R} ρ(a). Então e ta é analítico se, e somente se, Demonstração. Ver [5], []. lim sup β(iβi A) L(H) <, β R. β 2 Mistura de sólidos com dissipação friccional Nesta seção mostraremos a boa colocação do problema para o modelo de mistura com dissipação friccional e estudaremos a estabilidade do semigrupo associado. Consideremos o espaço vetorial que, munido com o produto interno (u, w, v, η); (ũ, w, ṽ, η) H H = H := H (, l) H (, l) L 2 (, l) L 2 (, l) (a u x ũ x + a 2 (u x w x + w x ũ x ) + a 22 w x w x )dx +ρ vṽdx + ρ 2 η ηdx,

4 é um espaço de Hilbert. A norma induzida. H é dada por 235 (u, w, v, η) 2 H = (a u x u x + a 2 (u x w x + w x u x ) + a 22 w x w x )dx +ρ vvdx + ρ 2 ηηdx. Pode-se mostrar que tal norma é equivalente à norma usual. de H. Além disso, { } l (u, w, v, η) 2 H c u x 2 dx + w x 2 dx + v 2 dx + η 2 dx, Definimos o operador A : D(A) H como D(A) := H (, l) H2 (, l) H (, l) H2 (, l) H (, l) H (, l) Então o problema torna-se AU := v η ρ (a u xx + a 2 w xx b v b 2 η) ρ 2 (a 2 u xx + a 22 w xx b 2 v b 22 η). U t = AU, U() = (u, w, u, w ) (7) Aplicando os teoremas de estabilização de semigrupos, nos conseguimos os seguintes resultados: Teorema 4. Seja A uma matriz definida positiva. Então A é gerador infinitesimal de um semigrupo C, e ta em H. Além disso o semigrupo satisfaz o princípio de estabilidade linear. Se B é uma matriz definida positiva, então e ta é exponencialmente estável. Seja B uma matriz singular. e ta é exponencialmente estável max{b, b 22 } > e 2γr α b 2 > onde 2γr α b 2 é um número que só depende das constantes a ij e b ij. 3 Mistura de sólidos viscoelástica Nesta seção mostraremos a boa colocação do problema para o modelo de mistura viscoelástica e estudaremos a analiticidade do semigrupo associado a (3)-(6). Definimos o operador A : D(A) H, como sendo D(A) := { U = (u, w, v, η) H; (v, η) H (, l) H (, l) a u + a 2 w + b v + b 2 η H 2 (, l) a 2 u + a 22 w + b 2 v + b 22 η H 2 (, l) } AU := v η ρ (a u xx + a 2 w xx + b v xx + b 2 η xx ) ρ 2 (a 2 u xx + a 22 w xx + b 2 v xx + b 22 η xx ) Aplicando a teoria de semigrupos e o teorema 3 (analiticidade), nos conseguimos os seguintes resultados: Teorema 5. Seja A uma matriz definida positiva.

5 236 Se B é uma matriz semidefinida positiva, então A é gerador infinitesimal de um semigrupo C de contrações. Se B é uma matriz definida positiva, então e ta é analític. Se B é uma matriz singular, então e ta não é analítico. Se B é uma matriz singular, max{b, b 22 } > e a 2, então o semigrupo é exponencialmente estável. Referências [] ATKIN, R.J. and CRAINE, R.E. Continuum theories of mixtures: basic theory and historical development. Quat. J. Mech. Appl. Math. 29, , 976. [2] IESAN, D. On the theory of mixtures of thermoelastic solids. J. Thermal Stresses 4, , 99. [3] IESAN, D. and QUINTANILLA, R. A theory of porous thermoviscoelastic mixtures. Jour. Therm. Stress. 3, , 27. [4] IESAN, D. and QUINTANILLA, R. On a theory of thermoelasticity with microtemperatures. Jour. Therm. Stress. 23, 99-25, 2. [5] LIU Z. and ZHENG S. Semigroups associated with dissipative systems. CHAPMAN and HALL/CRC, 999. [6] [7] [8] [9] MUÑOZ RIVERA, J. E. Tópicos em Termoelasticidade e Viscoelasticidade. Rio de Janeiro, LNCC, 997. MUÑOZ RIVERA, J. E. Energy Decay Rates in Linear Thermoelasticity. Funkcialaj Ekvacioj, Nro.35, pp 9-3, 992. MUÑOZ RIVERA, J. E. and ALVES M. S. Analyticity of semigroups associated with thermoviscoelastic mixtures of solids. Journal of thermal stresses Nro. 32, pp 986-4, 29. MUÑOZ RIVERA, J. E. and QUINTANILLA R. Exponential decay in thermoelastic mixture of solids. Internacional Journal of Solids and Structures Nro. 46, pp , 29. [] PAZY, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 983. [] PRÜSS, J. On the Spectrum of C -Semigroups. Transaction of the American Mathematical Society, 284, Nro. 2, pp , 984. [2] PRÜSS, J., BATKAI A., ENGEL K. and SCHNAUBELT R. Polynomial stability of operator semigroups. Match. Nachr., 279, Nro., pp , 26. [3] RENARDY, M. On the Type of Certain C -Semigroups. Commun. in Partial Diferential Equations, 8(7-8), pp , 993. [4] YOSIDA K. Functional Analysis. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 97.