MM805- Tópicos de Análise I. Blue Sky Catástrofe em Sistemas Dinâmicos Reversíveis e Hamiltonianos

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1 MM805- Tópicos de Análise I Blue Sky Catástrofe em Sistemas Dinâmicos Reversíveis e Hamiltonianos Luiz Fernando da Silva Gouveia-RA: Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins MM805A - 2s/ Introdução Antes de estudarmos sobre a teoria em torno do problema do Blue Sky Catástrofe (BSC ), devemos primeiro mencionar sobre a teoria de Catástrofes, idealizada por René Thom [11], que consiste basicamente em estudar como que pequenas mudanças nos parâmetros iniciais geram comportamentos totalmente distintos Na teoria de Catástrofes, damos um foco maior às informações qualitativas de um fenômeno, pois tais informações nos dirão em quais condições o mesmo comportamento ocorre em problemas distintos. Logo, é natural que essa teoria seja aplicada no estudo de sistemas dinâmicos. No nosso trabalho estudaremos sobre o fenômeno chamado Blue Sky Catástrofe, cuja terminologia foi proposta por R. Abraham, veja [1], em sistemas Hamiltonianos e Reversíveis apresentado por Devaney[3] em Em seu artigo, Devaney mostra que os sistemas Hamiltonianos e Reversíveis são um ambiente natural para a ocorrência da BSC, pois suas órbitas fechadas permancem na família a um parâmetro de órbitas fechadas. Neste trabalho não apresentaremos nenhum exemplo concreto de um sistema admitindo BSC, no entanto, pode-se encontrar exemplos em [8] e em [5]. Neste último, de autoria de J. Henrard, é apresentado um exemplo de um sistema Hamiltoniano de dois graus de liberdade admintindo uma BSC, que se torna interessante por apresentar uma infinidade de mudanças de estabilidade ao longo da família das órbitas fechadas. Dividiremos o trabalho em Preliminares no qual definiremos o nosso meio de estudo, isto é, os sistemas Hamiltonianos e Reversíveis e em seguida definiremos alguns conceitos e provaremos alguns resultados já 1

2 2 com o intuito de mostrar o nosso resultado principal, ou seja, mostrar que sistemas Hamiltonianos e Reversíveis admitem uma BSC estável. 2. Preliminares Definição 1. Seja H : U R 2 R 2 uma função C 2 e H o seu respectivo gradiente. Um campo de vetores Hamiltoniano é um campo da forma X H = J H(x), x U, onde J é a matriz de alguma forma simplética. Usualmente define-se campo Hamiltoniano como um campo da forma ẋ = H (x, y) y ẏ = H (x, y) x Observação 2. Uma condição necessária e suficiente para que um sistema { ẋ = f(x, y) ẏ = g(x, y) seja Hamiltoniano é que as funções f : R 2 R 2 e g : R 2 R 2 satisfaçam f g (x, y) = (x, y) y x Note que este critério somente é válido quando a dimensão do espaço é 2 ou quando estamos trabalhando com a forma simplética usual. Uma das principais propriedades de Sistemas Hamiltonianos é o seu fluxo preservar volumes, logo as singularidades hiperbólicas de um sistema Hamiltoniano só podem ser pontos de sela, pois uma singularidade atratora ou repulsora acarretaria na diminuição ou no aumento do volume. A figura abaixo ilustra essas situações descritas.

3 Definição 3. Seja R : U R n φ(u) R n um difeomorfismo C. Dizemos que φ é uma involução se φ 2 = Id U. Teorema 4. (Teorema Cartan-Montgomery-Bochner) : Sega G um grupo compacto de difeomorfismos de uma variedade M de classe C k. Suponha que cada difeomorfismo em G seja de classe de C k. Então na vizinhança de um ponto fixo comum a todos os difeomorfismo em G, existe uma vizinhança de coordenadas de classe C k tais que cada um dos difeomorfismo seja linear. A demonstração deste teorema pode ser encontrada em [2] ou [7]. Definição 5. Seja X um campo vetorial em R 2n, X(0) = 0 e R : U R 2n φ(u) R 2n uma involução com dimf ix(r) = n. Dizemos que X é R-reversível se R (x)x(x) = X(R(x)) para todo x R 2n, onde F ix(r) = {x R 2n ; R(x) = x}. Observação 6. A exigência da involução R ter fixo com metade da dimensão do espaço é bem específico, pois assim conseguimos garantir que o campo seja compatível com um campo Hamiltoniano. Em geral, a hipótese de R ser difeomorfismo não é obrigatória, tal hipótese é assumida apenas para podermos aplicar o Teorema de Cartan-Montgomery-Bochner e consequentemente facilitar os cálculos. Propriedades 1. a) O retrato de fase de um sistema reversível é simétrico com respeito a F ix(r). 3 Figura 1. Simetria do retrato de fase de um Sistema Reversível b) Se X(p) = 0, p F ix(r) então p não é atrator ou respulsor. O mesmo vale para órbitas periódicas que interceptam F ix(r). c) Se X(p) = 0 e p F ix(r) então X(R(p)) = 0 d) Se uma órbita regular γ intercepta F ix(r) em dois pontos distintos, então γ é uma órbita periódica simétrica. e) Se X(p) 0 e p F ix(r) então X(p) T p F ix(r).

4 4 f) Se γ é uma órbita periódica de X que não intercepta F ix(r), então R(γ) também é uma órbita periódica que não intercepta F ix(r). Figura 2. Propriedades d) e f) 3. Blue Sky Catástrofe Seja X τ uma família de campos vetoriais a um parâmetro dependendo continuamente de um parâmetro real τ. Suponhamos τ < τ 0, e que X τ possua uma órbita periódica fechada γ τ dependendo continuamente também de τ. Dizemos que X τ0 admite uma Blue Sky Catástrofe se o período de γ τ tende ao infinito conforme τ se aproxima de τ 0. Como já foi dito anteriormente, iremos estudar esse típico particular de bifurcação em sistemas Hamiltonianos e Reversíveis. Para tais sistemas, as órbitas fechadas permanecem sendo famílias a um parâmetro de órbitas fechadas. O objeitvo principal deste trabalho é mostrar que a bifurcação do tipo Blue Sky Catástrofe ocorre de forma estável em sistemas Hamiltonianos e Reversíveis. 4. Órbitas Simétricos de Sistemas Reversíveis Denotaremos por φ t o fluxo de X, que por simplicidade assumiremos que é completo, isto é, φ t é um difeomorfismo para cada t R. Uma vez que DR(X) = X R, segue que para cada t (1) φ t R = R φ t Definição 7. Um ponto de equilíbrio p de X é chamado ponto simétrico se p F ix(r). Uma órbita γ de X é chamada simétrica se R(γ) = γ.

5 Proposição 8. Seja X um campo R-reversível e suponha que p, φ t (p) F ix(r), com t 0. Então, a órbita através de p é simétrica e periódica de período 2t. Além disso, essas órbitas interceptam F ix(r) em dois pontos. Demonstração: De (1), temos φ t (p) = R(φ t (p)) = φ t (R(p)) = φ t (p), isto é, φ 2t = p. Para a segunda parte, note que Rφ s (p) = φ s (p) φ s (p) = φ s (p). Observação 9. Note que esta proposição nos diz que para encontrarmos órbitas periódicas, basta olharmos apenas para o conjunto F ix(r), pois se X(p) 0 então X não é tangente à F ix(r) em p. Por outro lado DR(X(p)) = X(p), o que contradiz a reversibilidade do sistema. Logo, para encontrarmos órbitas simétricas de X, basta olharmos para as auto-interseções de F ix(r) sob o fluxo φ t. Proposição 10. 1) Seja p um ponto crítico simétrico de X. Então, os autovalores de DX(p) aparecem em pares, µ e µ. Se zero é um autovalor então terá multiplicidade dois. 2) Seja γ uma órbita fechada de X. Então, os multiplicadores característicos de γ aparecem em pares λ e λ. Se +1 é multiplicador característico então +1 terá multiplicidade dois. 5 Demonstração: Iremos demonstrar apenas 1), uma vez que a demonstração de 2) é análoga. Vamos denotar por A a matriz DX(p). Da reversibilidade temos AR = RA, ou seja, A = RAR 1 = RAR. Daí, det(a λi) = det( RAR λi) = det( (RAR + λi)) = det(a + λi). Dada γ uma órbita fechada simétrica de X, sejam p e q pontos de γ F ix(r). Em p e q considere seções transversais R-invariante Σ p

6 6 e Σ q respectivamente com R(Σ p ) = Σ q. Seja agora ψ : Σ q Σ p um difeomorfismo local. Definimos ψ como a Aplicação de Poincaré obtida através do fluxo passando por Σ q até a interseção com Σ p Definição 11. Uma órbita simétrica fechada é dita elementar se ψ(f ix(r)) é transversal à F ix(r) em p. Definição 12. Seja γ uma órbita fechada simétrica passando por q F ix(r). Definimos como pseudo aplicação de Poincaré a função ϕ = Dφ + Dφ 1. Proposição 13. Seja γ uma órbita fechada simétrica de X. Então, λ é um multiplicador característico de γ se, e somente se λ + λ 1 é um autovalor associado a pseudo aplicação de Poincaré. Observação 14. Esta proposição nos motra que para determinarmos os multiplicadores característicos das órbitas, precisamos olhar apenas para os vetores tangentes a F ix(r). 5. Órbitas Simpetricas Homoclínicas A partir de agora assumiremos que todo p é um ponto de equilíbrio hiperbólico do campo X. As variedades estáveis e instáveis de X em p são dadas por W S (p) = {x R 2n ; φ t (x) p quando t } W U (p) = {x R 2n ; φ t (x) p quando t } Proposição 15. Seja p um ponto de equilibrío hiperbólico simétrico de X. Então, i) W S (p) e W U (p) são imersões de espaços euclidianos de dimensão n. ii) R(W S (p)) = W U (p).

7 7 Demonstração: O item i) segue da teoria de variedades. O item ii) segue de R( lim t φ t (x)) = lim t R(φ t (x)) = lim t φ t R(x) = W U (p). Definição 16. Uma órbita homoclínica γ é chamada simétrica se i) existe q γ F ix(r) e i) W U (p) é transversal a F ix(r) em q. Definição 17. Uma órbita simétrica homoclínica γ é chamada de não degenerada se dim(t γ W S (p) T γ W U (p)) = 1. Antes de enunciarmos o teorema principal deste trabalho, enunciaremos um importante resultado, conhecido como λ-lema, que facilitará a demonstração do resultado principal. Lema 18. (λ-lema) Seja M uma varieadade compacta C sem bordo, p M um ponto fixo hiperbólico para o difeomorfismo f Diff 1 (M). Se D é um disco transversal a variedade estável W S (p) em um ponto q W S (p), então dado r e ɛ reais positivos, existe N 0 tal que para todo n N 0, a componente conexa de f n (D) Λ ɛ (Wr U (p)) que contém f n (p) está ɛ C 1 próximo de WR U(p), no qual W R U (p) é a variedade instável de p de raio r e Λ ɛ (Wr U (p)) é uma vizinhança de disntância ɛ de Wr U (p). A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [4] ou [9] Teorema 19. Seja γ uma órbita homoclínica não degenerada (simétrica) do campo X. Então, existe uma família de órbitas fechadas γ τ a um parâmetro convergindo a γ. Além disso, o parâmetro τ > t pode ser tomado como o período das órbitas fechadas e assim, teremos o período tendendo ao infinito quando γ τ tende à γ.

8 8 Demonstração: Seja q um ponto de interseção de γ com F ix(r) e N uma vizinhança de q em F ix(r). Assim, segue que N é transversal a W S (p) em q. Seja V uma vizinhança de p na variedade local em p. Note que V intercepta F ix(r) transversalmente em p. Assim, toda vizinhança suficientemente C 1 -próxima à V intercepta F ix(r) em um único ponto próximo a p. Considere agora φ t (N) para t > 0. Pelo λ-lema, φ t (N) se acumula em W U (p). Em particular, dado ɛ > 0, existe T > 0 tal que, se t > T, então φ t (N) contém uma vizinhança N t C 1 -fechada a V. Logo, N t F ix(r) é um único ponto x t. Tome então γ t a órbita passando por x t. Como φ t (x t ) N, segue da proposição (8) que γ t é uma órbita fechada simétrica. Assim, quando ɛ 0, a família {φ t (x t )} q e t. Portanto, γ t γ. 6. Conclusão Após todo esse novo estudo, fica claro que podemos concluir que existe uma vizinhança O de sistemas Hamiltonianos e Reversíveis satisfazendo que cada campo vetorial em O admite uma Blue Sky Catástrofe estável, isto é, que não pode ser perturbada. Referências [1] Abraham, R., In fifty problems in dynamical systems, Dynamical Systems- Warwick, 1974, Springer-Verlag Lecture Notes, No 468, [2] Bochner, S., Compact Groups of Differentiable Transformation, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 46, No. 3. (Jul., 1945), pp [3] Devaney, R., Blue Sky Catastrophes in Reversible and Hamiltonian Systems, Tufts University, 1975 [4] Filho, J.R.A.V., Dinâmica Hiperbólica e Teoria Ergódica, Notas, IMPA. [5] Henrard, J., Proof of a Conjecture of E. Stromgrem, Celestial Mechanisc 7,1973, [6] Martins, R. M., A Estrutura Hamiltoniana do Campos Reversíveis 4D, Dissertação de Mestrado, Unicamp, [7] Montgomery, D., Zippin, L., Topological Transformations Groups, Interscience, [8] Gavrilov, N., Shilnikov, A., Example of a Blue Sky Catastrophe, Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 200, 2000 [9] Palis, J, On Morse-Smale dynamical systems, Topology 8,1969, [10] Sotomayor, J., Singularidades de Aplicações Diferenciáveis, IMPA, [11] Thom, R., Structural stability and morphogenesis (Transl. D. H. Fowler) Benjamin, New York 1975.