Capítulo VI Interferência Intersimbólica e Equalização de Canal

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1 aítulo VI Interferência Intersimbólica e Equalização de anal Um dos maiores (senão o maior!) obstáculos ara a confiabilidade de comunicações digitais é a interferência entre símbolos (ISI Inter-Symbol Interference), inerentemente resente em todos os canais disersivos, classe à que ertence a grande maioria dos canais de transmissão ráticos. É imerativa, ortanto, a desconvolução do canal no recetor, sob ruído, com o objetivo de equalizá-lo (ver Interferência Intersimbólica - Introdução disonível ara download em htt:// ). A informação a ser transmitida é enviada através de um canal disersivo, resultando em ISI no sinal recebido u (, onde n é um número inteiro. Reresentando a seqüência de símbolos s ( originados no transmissor digital, a cada instante nt, o transmissor envia o símbolo s (nt) Α através de, sendo Α = { s, s 1,! sm 1 } o alfabeto da informação a ser transmitida, constituído or M ossíveis símbolos, e T o intervalo de amostragem dos símbolos ou intervalo de Baud. onectado ao transmissor através do canal, o recetor deverá ser caaz de identificar a quais símbolos do alfabeto Α ertencem as amostras do sinal recebido u (, de acordo com a seqüência originalmente transmitida s (. A disersão de um canal é medida elo intervalo de L c amostras não nulas que resultam em resosta a uma excitação imulsiva imosta ao canal. A existência da ISI no sinal recebido, resultante da disersão de, é observada através do fato de u ( assumir inúmeros valores tal que u ( Α, mesmo sob ausência total de ruído. Portanto, ao transmitir s ( através de, u ( Α como conseqüência da convolução da fonte original s ( com a resosta ao imulso c ( de. ada elemento da seqüência recebida u ( consiste em uma soma onderada de todos os elementos révios de s (, com onderação determinada or c (. Sob o onto de vista humano-acústico, a ISI ode ser ercebida ao se estabelecer diálogo em um ambiente fechado com aredes de material reflexivo, como rocha olida. A reverberação acústica ou ISI ode atingir tal nível de incômodo a onto de não se comreender as alavras (símbolos) do interlocutor. Uma solução ara a distorção causada ela suerosição de símbolos recebidos é adicionar ao recetor um sistema caaz de comensar ou reduzir a ISI no sinal roveniente do canal. Tal sistema comensador é denominado de equalizador. omo a oeração geradora de ISI é uma convolução, o equalizador deve realizar a oeração inversa, a desconvolução [Haykin]. Em conseqüência, um equalizador é considerado eficaz em 1

2 atender ao objetivo a que se destina, se a convolução da resosta ao imulso do canal c( com a resosta ao imulso do equalizador f ( resultar em uma resosta imulsiva conjunta h ( definida or um único imulso δ ( n d) em algum instante d. A resosta δ ( n d) caracteriza uma resosta imulsiva conjunta sem nenhuma disersão. No domínio freqüência z, esta situação é exressa or H ( z) = ( z) F( z) = z d (6.1) É amlamente aceito, tendo sido sugerido or Bello em [Bello], que um canal disersivo, ou multi-ercurso, ode ser modelado através de uma função de transferência (z) do tio FIR [Strum]. Assim, de (6.1), a função F (z) do equalizador deve realizar, a menos do termo z d que define o atraso d da resosta conjunta δ ( n d) desejada, a inversa de (z). De fato, se d =, F (z) realiza exatamente 1 (z). A Figura 6.1 mostra o diagrama de blocos simlificado resultante do sistema no domínio freqüência z, onde Y ( z) = Ζ{ y( } é a resosta à excitação S( z) = Ζ{ s( } e U ( z) = Ζ{ u( } é a seqüência recebida u ( no domínio z, sendo Ζ {} o oerador Transformada Z [Strum]. Figura 6.1: Modelo do canal e equalizador no domínio freqüência. No domínio temo, a remoção de ISI efetuada or um equalizador de canal ode ser melhor comreendida através do exemlo mostrado na Figura 6.. A Figura 6.a mostra o alfabeto Α, ou constelação, dos símbolos comlexos referentes a uma fonte s ( cuja modulação (ou sinalização) é 56 QAM (QAM Quadrature Amlitude Modulation ) com variância unitária [Proakis]. N a = 5 símbolos do alfabeto Α da fonte de informação s (, gerados seqüencialmente com robabilidade uniforme, são enviados através do canal, caracterizado or dimensão de disersão L c = 18, cujo c ( é mostrado na Figura 6.d, resultando no conjunto de N a amostras u recebidas mostrado na Figura 6.b. Ao ser submetido ao equalizador, o conjunto de amostras u transforma-se no conjunto de amostras equalizadas y mostradas na Figura 6.c, róximo, ortanto, da constelação original mostrada na Figura 6.a. A resosta imulsiva conjunta h ( do equalizador e canal é mostrada na Figura 6.e, resultando em h( δ ( n 64), onde δ ( é a função imulso unitário discreta. Semre que h( δ ( n d) diz-se que o equalizador atingiu a condição (ou situação) ZF (zero forcing), quando então, ISI [Proakis][Haykin]. Esta situação também é conhecida como condição de olho comletamente aberto, devido ao sinal equalizado y (t) assemelhar-se a um olho aberto na tela de um osciloscóio quando o alfabeto Α é constituído or símbolos reais (não comlexos).

3 Fig. 6.1a: onstelação 56 QAM. Fig. 6.b: onjunto u na entrada do equalizador. Fig. 6.c: onjunto y na saída do equalizador. Fig. 6.d: Resosta imulsiva c ( do canal. Fig. 6.e: Módulo da resosta imulsiva combinada do canal e equalizador. Figura 6.: Exemlo do rocesso de desconvolução de um canal de comunicações. 6.1 Desconvolução de anal sob Ruído e Reflexão Múltila A tarefa de desconvolução do canal é dificultada ela resença inevitável de ruído e reflexões, inerentes a todo canal físico. À medida que a disersão do canal torna-se severa, 3

4 a onto de incluir comonentes originados or reflexão múltila, oderá haver diversas jθ freqüências definidas sobre o círculo de raio unitário z = 1. e no lano z, com " " 18 < θ 18, nas quais o canal aresenta ganho zero (ver Aêndice I deste caítulo). Assim, o equalizador aresentará um alto nível de ruído nestas freqüências, o que oderá imedir a sua convergência ara a condição ZF, conforme exlicamos a seguir. Existem freqüências esecíficas que deendem dos arâmetros físicos do canal, ara as quais, se o sinal do transmissor fosse nelas transmitido, daria origem a múltilos comonentes refletidos [Tijonov][Jasik][Dolukhanov][Nikolski]. Nestas freqüências, os comonentes refletidos, ao se combinarem na chegada ao recetor, somam-se com fase " 18 ao sinal direto, anulando-o. Estas freqüências, ortanto, quando resultam ocorrer na banda de Nyquist, constituem uma arcela dos zeros de (z). Note que os sinais aqui referidos forçosamente encontram-se em regime ermanente, caso contrário não oderiam ser identicamente anulados or soma fasorial. Tais sinais têm sua reresentação esectral definida sobre o círculo de raio unitário no lano z [Strum]. omo estes zeros de (z) originam-se do cancelamento de sinal or reflexão, e como cancelamento de sinal or reflexão imlica em sinais em regime ermanente, as freqüências destes zeros jazem forçosamente sobre o círculo de raio unitário no lano z. Da Equação (6.1), ao atingir a condição ZF, a função de transferência F (z) do equalizador aroxima-se do inverso da função de transferência (z) do canal. Portanto, as freqüências em que o canal (z) tem ganho nulo tenderão a ser infinitamente amlificadas or F (z) no equalizador. omo o ruído em geral é esectralmente branco, e está resente ao longo de todo ercurso do canal, inclusive na entrada do recetor, as freqüências de ruído que coincidirem com os zeros de (z) originados or reflexão múltila tenderão a ser amlificadas or F (z) até a eventual saturação do sistema equalizador Zeros Unitários Fora da Faixa de Passagem do anal O canal desconvoluído elo rocesso descrito na Figura 6. é um canal ruidoso com uma relação sinal-ruído SNR (SNR Signal to Noise Ratio) de 35dB na entrada u ( do equalizador no recetor recetor digital. A Figura 6.3 mostra os zeros deste canal no domínio freqüência comlexa z. Note jθ que o canal aresenta zeros róximos ao círculo de raio unitário z = 1. e aenas na faixa " de freqüência θ >1, na qual a atenuação do canal é altíssima (ganho zero) devido jθ " aos zeros sobre o círculo z = 1. e. Na faixa de assagem do canal, i.e. ara θ 1, jθ não existem zeros sobre o círculo z = 1. e. Um sinal a ser transmitido através de um canal através do qual se retenda enviar informação obrigatoriamente deve ter seu esectro contido na faixa de assagem do canal, caso contrário o sinal chegará no recetor com alta atenuação. Portanto, o sinal a ser desconvoluído elo equalizador no recetor é resultante da interação do esectro do sinal original com os zeros dentro da faixa de assagem do canal (e não com os zeros fora da 4

5 faixa de assagem), justamente orque o esectro do sinal transmitido deve obrigatoriamente estar nela contido. Vimos que, se um equalizador aroxima a situação ZF, então F (z) aroxima 1 (z), quando, então, os zeros de (z) tendem a se tornar ólos em F (z). No entanto, visto que um equalizador ajusta sua F (z) de acordo com o sinal recebido do canal, aenas os zeros de (z) dentro da faixa de assagem do canal tenderão a ser ólos de F (z). Zeros jθ fora da faixa de assagem sobre o círculo z = 1. e atenuam totalmente o sinal a ser transmitido e, ortanto, o equalizador tende a desconsiderá-los, não reresentando-os como ólos em F (z). z 1 e Portanto, na Figura 6.3, os zeros de (z) róximos ao círculo de raio unitário jθ =. na faixa de freqüência " θ >1 (fora da faixa de assagem do canal) não jθ induzem ólos sobre o círculo z = 1. e em F (z), não ocasionando, ortanto, a indesejada amlificação de ruído no equalizador. De fato, o equalizador utilizado no rocesso de desconvolução de canal descrito na Figura 6. atinge recisamente a condição ZF, aesar da resença de ruído. Em suma, zeros de (z) róximos ao círculo de raio unitário fora da faixa de assagem do canal não resultam em amlificação de ruído no equalizador. Em geral, tais zeros de (z) não são originados or reflexão múltila e sim or atenuação devido a erdas dielétricas e/ou magnéticas ao longo do canal de transmissão. Figura 6.3: Raízes de (z) ara o canal utilizado no exemlo da Figura 6.. O canal em questão é um cabo coaxial ara TV cabo. Ver Aêndice III deste caítulo caracterização do anal. 5

6 6. Equalizador LMS DD O equalizador utilizado no rocesso de desconvolução da Figura 6. é um equalizador denominado LMS DD e é baseado no algoritmo LMS [Haykin]. A Figura 6.4 mostra o diagrama de blocos de um equalizador LMS DD. Figura 6.4: Equalizador LMS DD. O equalizador LMS DD é clássico no contexto de equalização adatativa, contexto no qual o equalizador adata sua F (z) objetivando reduzir a ISI. A técnica baseia-se na transmissão de uma seqüência de treinamento reestabelecida [Widrow], a qual é conhecida a riori tanto no transmissor como no recetor. No recetor, o equalizador utiliza a seqüência de treinamento conhecida ara adatar F (z) de modo suervisionado, através do algoritmo LMS [Haykin], buscando atingir a condição ZF. É claro que, se o transmissor tivesse que enviar somente esta seqüência de suervisão, não haveria necessidade de equalizar o canal, já que este sinal de treinamento definido a riori não carrega informação útil. Na rática, no entanto, a seqüência de treinamento é transmitida somente na fase inicial do estabelecimento de comunicações onto a onto ou eriodicamente ara sistemas que oerem em modo broadcast. Aós a convergência do algoritmo LMS, situação em que o valor do erro médio quadrático (MSE Mean Squared Error) da saída com relação à seqüência de treino é baixo, o equalizador LMS DD transfere o rocesso de equalização ara o chamado algoritmo DD (DD Direct Decisio [Lucky]. O algoritmo DD disensa a seqüência de treino enquanto nenhuma alteração súbita e significativa ocorrer no canal. No algoritmo DD, a saída y do equalizador é alicada a um quantizador Q, que é um disositivo de decisão que estima a qual símbolo do alfabeto Α mais róximo se encontra o valor de y, conforme mostra a Figura 6.4. Aós o algoritmo LMS atingir um nível de MSE suficientemente baixo, a chave comuta da seqüência de treino d ( ara a estimativa da seqüência originalmente transmitida s ˆ( = Q{ y( }. O algoritmo Gradiente Estocástico [Haykin] adata F (z) objetivando minimizar a função de custo J, a qual mede o erro quadrático instantâneo entre a seqüência de saída y ( do equalizador e s ˆ( (ou mede o 6

7 erro quadrático instantâneo entre y ( e a seqüência de treino d ( quando a chave está na osição LMS ). Note que se s ˆ( = s( então o algoritmo DD torna-se idêntico ao LMS. Em [Macchi] é mostrado que equalizadores com base no algoritmo DD convergem ara a condição ZF quando inicializados em uma condição de olho arcialmente aberto. Assim, como corolário, o algoritmo DD é caaz de acomanhar, de modo adatativo, lentas variações em (z) sem a necessidade exlícita de se retransmitir novamente o sinal de treinamento. O equalizador LMS DD é um equalizador não-autodidata ou suervisionado orque tem acesso à seqüência de símbolos originais s ( através da seqüência de treino d (. Isto torna o rocesso de desconvolução suervisionado muito mais fácil do que o rocesso de desconvolução denominado autodidata, o qual não necessita deste sinal de referência. No entanto, esta facilidade imlica na resultante enalidade de reduzir a banda assante do sistema digital como um todo, conforme discutiremos na Seção Funcionamento do Equalizador LMS DD A Figura 6.5 detalha um Equalizador LMS DD. A seqüência de amostras u( 1 1 recebida do canal é seqüencialmente armazenada na fila (queue) de blocos z ( z : saída do bloco atrasada de uma amostra com relação à entrada). omo um grande número de sistemas digitais utiliza modulação M-QAM e M-PSK, as amostras u ( são, em geral, números comlexos. O conjunto de saídas da fila de blocos z 1 define o vetor = r r!, denominado regressor do canal. O conjunto de coeficientes r [ r ] T 1 L 1 { W W,, W }, 1! L 1 define os ganhos dos caminhos que chegam ao somador Σ. O somador Σ 1 estabelece a soma das saídas dos blocos z onderadas elo conjunto de coeficientes 1 L 1 { W, W 1,!, W L 1 }, de forma que F ( z) = W + W1 z +! + W L 1z. A F (z) assim imlementada define um filtro FIR transversal [Strum] e um equalizador cuja arquitetura seja a mostrada na Figura 6.5 é denominado de equalizador transversal. Figura 6.5: Diagrama do Equalizador LMS DD. A seqüência d reresenta a seqüência de treino enviada elo transmissor (chave na osição LMS na Figura 6.4) ou a saída do quantizador Q (chave na osição DD na Figura 6.4) 7

8 Passamos a analisar o equalizador Equalizador LMS DD. A Figura 6.5 mostra o equalizador no instante n. omo o instante é definido, visando a comacidade das equações no desenvolvimento que segue, não exlicitaremos o indexador n ara as variáveis envolvidas a menos que n não seja inequivocamente definido elo contexto. A artir de sua inicialização, o vetor de esos [ ] T W W W1 W L 1 =! é atualizado elo Gradiente Estocástico, visando minimizar a função de custo J. Observe que J mede o quadrado da norma Euclidiana entre a saída do equalizador e o símbolo da seqüência de treino (ou o símbolo na saída do quantizador Q se a chave estiver na osição DD na Figura 6.4). or Seja o vetor reresentativo do n-ésimo regressor do canal r (, n =,1,!, definido r k ( = u( L 1 k +, k =, 1,!, L 1 (6.) onde L é a dimensão do equalizador e u é a seqüência de amostras recebida do canal. A saída do equalizador é dada or y = W T r (6.3) ou que é identicamente equivalente à = Re y = L 1 k= W k r k L 1 L 1 y = k k k k k= k= [ Re{ W } Re{ r } Im{ W } Im{ r }] + j [ Re{ W } Im{ r } + Im{ W } Re{ r }] {} y + j Im{} y, j = 1 k k k k = (6.4) (6.5) A minimização da função de custo J é feita através de sucessivos ajustes do vetor W elo algoritmo Gradiente Estocástico, à medida que n é incrementado: onde J 1 = E { d y } = lim J( n { d() n y( } 1 J( = ( J( ), = 1,, 1 (6.6) (6.7) W ( n + 1) = W ( + η,l- (6.8) w! W é o -ésimo eso do vetor de esos W, J = R J+ j I J J = Re η é o asso de adatação, η >, e w { W } Im{ W } + j J w (6.9) 8

9 é o -ésimo comonente do vetor gradiente comlexo de J tomado com relação à variação do -ésimo comonente do vetor W. Substituindo (6.7) em (6.9), Mas de (6.5), d y = Re + Im = J 1 = d y Re d y + j { W } Im{ W } ( {} d Re{} y ) + ( Im{ d} Im{ y} ) L 1 {} d [ Re{ W } Re{ r } Im{ W } Im{ r }] k = L 1 { d} [ Re{ W } Im{ r } + Im{ W } Re{ r }] k = (6.1) Re = (6.11) De (6.11), com referência à (6.1), d y Re Im { W } d y { W } = = k k [ Re{} d Re{} y ] [ Im{} d Im{} y ] [ Re{} d Re{} y ] [ Im{} d Im{} y ] k k Re Re Im Re Re Im Im Im k k {} d { W } {} d { W } {} d { W } {} d { W } k k Re Im + Im Re { r } + + { r } { r } + { r } (6.1) (6.13) Mas d é um valor constante indeendente do vetor W, ortanto todas as derivadas de d em (6.1) e (6.13) são nulas. Tendo este fato em mente e substituindo (6.1) e (6.13) em (6.1), temos J = [ Re{} Re{} y ] Re{ r} Im{} d Im{} y Im r [ ] { } [ Im{} d Im{} y ] Re{ r} Re{} d Re{} y Im r d + + (6.14) + j [ ] { } Substituindo (6.14) em (6.8), obtém-se a equação de atualização do vetor W ara a minimização da função de custo J através do Gradiente Estocástico: 9

10 W ( n +1) = W + η w ( + { } { } [ Re{ d() n } Re{ y( }] Re r () n [ Im{ d() n } Im{ y( }] Im r () n + + j { } [ Im{ d() n } Im{ y( }] Re r () n + [ Re{ d() n } Re{ y( }] r () n Im{ } (6.15) ou, visto que e() n d() n y() n mas W ( n +1) = W =, { } { } { e() n } Re r ( { e() n } Im r ( Re + ( + η w + Im Im j Re { } { e() n } Re r ( { e() n } r ( Im{ } * ( Re{} e Re{ r } Im{} e Im{ r }) + j( Im{} e Re{ r } Re{} e Im{ r }) = e r daí, (6.16) ode ser re-escrita como ou em forma vetorial, (6.16) + (6.17) () n r * () n W ( n + 1) = W ( + η e (6.18) w () n r * () n W ( n + 1) = W ( +η e (6.19) w A Tabela 6.1 esquematiza o rocedimento adotado no Equalizador LMS DD quando alicado à equalização de canal: Etaa Procedimento 1 Inicializar o vetor L dimensional W : W = + j onde j = 1 e L é o tamanho (dimensão) do equalizador. Inicializar o indexador de regressor do canal (ou indexador de instante/iteração): n = 3 Obter o vetor que define o n-ésimo regressor do canal r ( : r k ( = u( L 1 k +, k =, 1,!, L 1 onde u é a seqüência de amostras recebida do canal. 4 Obter a saída do equalizador no instante n: T y( = W ( r( 5 alcular erro: e() n = d() n y() n 6 Atualizar o vetor de esos W : W ( n +1) = W ( +η e() n r * w () n 7 Incrementar indexador: n=n+1 1

11 8 omutação da chave LMS DD : Se o MSE dado ela média dos últimos L valores de e () n é menor que o valor da Tabela 6. então comuta a chave ara DD, caso contrário comuta a chave ara LMS (neste último caso o recetor deve sinalizar ao transmissor ara que este reinicie o envio da seqüência de treino). 9 Reetir as etaas 3 a 9 até que todas as amostras enviadas tenham sido rocessadas. Tabela 6.1: Sumário do algoritmo utilizado no Equalizador LMS DD alicado à equalização de canal. 6.3 Técnicas de Equalização Usuais Discussão Na grande maioria dos sistemas de comunicação digital de alta velocidade a função de transferência (z) do canal de roagação não é conhecida a riori. Além do canal não ser conhecido, a sua caracterização varia com o temo, devido à alterações nas condições ambientais do ercurso do canal ou devido ao movimento relativo entre transmissor e recetor. Portanto, é bastante desejável que o equalizador seja imlementado baseado em técnicas adatativas, de forma a oder acomanhar as variações de (z) ao longo do temo. No entanto, o uso de uma seqüência de treinamento ara o equalizador constitui deserdício de banda assante, já que seqüências de treinamento não transortam informação útil. A necessidade imeriosa de sistemas de comunicação digital de alta velocidade não se coaduna com a não otimização da ocuação de banda. Mesmo ara comunicações onto a onto, em que a seqüência de treinamento necessitaria ser transmitida somente na fase inicial, não é raro alguma variação drástica no canal (ossivelmente equenas aeronaves na linha de visada entre antenas ou ássaros na região de camo róximo [Jasik] de uma das antenas ) obrigar a arada momentânea do sistema ara que seja efetuada a reinicialização do equalizador LMS DD elo algoritmo LMS. É imerativo, ortanto, a conceção de equalizadores que oerem com base no sinal recebido e com base em alguma característica estatística da fonte s (, mas não necessariamente com base na seqüência de símbolos originais s ( (imlícita na seqüência de treino d ( ). Tal classe de equalizadores é denominada autodidata. Um equalizador autodidata, ortanto, efetua a desconvolução autodidata do canal sem a necessidade de conhecer a seqüência s ( originalmente transmitida, ao contrário dos algoritmos suervisionados LMS e LMS DD, que forçosamente recisam desta referência (dada ela seqüência de treino d ( ) ara que a condição ZF seja alcançada. Os equalizadores autodidatas, ou não-suervisionados, são também conhecidos como equalizadores cegos (blind equalizers), ela maneira como buscam atingir a condição ZF. Existe uma variedade de técnicas ara equalização autodidata de canal que utilizam distintas filosofias em sua imlementação. Endres, em [Endres1], faz uma exaustiva análise entre as diversas filosofias atuais, incluindo vários exemlos comarativos de equalização autodidata de canais comrovadamente encontrados na rática de transmissão digital. A conclusão a que chega Endres em [Endres1] e que se alinha com o observado no cenário de equalização autodidata é: o algoritmo MA (onstant Modulus Algorithm), roosto 11

12 indeendentemente or Godard [Godard] e Treichler [Treichler3], sob amostragem fracionária de canal [Proakis], aresenta desemenho suerior em relação às demais técnicas e filosofias autodidatas, rincialmente no que diz reseito à velocidade de convergência. omarativamente, o MA necessita oucas amostras recebidas ara atingir o onto de convergência. Até orque, nas raras situações em que a erformance do algoritmo MA é sulantada, tal melhora de erformance é obtida às custas de um custo comutacional roibitivo. Por estas razões, esta estudo focalizará no algoritmo MA como termo de referência ara equalização autodidata. Um exemlo de classe de algoritmos de alta erformance mas de custo roibitivamente alto são os chamados detetores de máxima verossimilhança ou detetores MLSD (MLSD Maximum Likelihood Sequence Detectio [Forney1]. O equalizador de um detetor MLSD é um decodificador em treliça baseado no algoritmo de Viterbi [Forney]. Para cada símbolo a ser decodificado, o algoritmo de Viterbi recisa comutar Lc +1 as métricas de M caminhos distintos na treliça, onde M é o número de símbolos do alfabeto Α da fonte de informação e L c é a dimensão da disersão do canal. Pode-se ter uma idéia do grau de comlexidade desta classe de algoritmos ao se constatar que, ara um canal com disersão de L c = 16 amostras, utilizando uma corriqueira modulação 16 QAM, 17 a cada símbolo recebido o equalizador necessita comutar 16 = métricas. Uma outra classe de algoritmo que aarece com alguma freqüência na rática de equalização autodidata são os algoritmos or decomosição em sub-esaços, os quais exloram a ortogonalidade entre os sub-esaços de sinal e ruído, obtidos da matriz de correlação do sinal recebido. Exemlos desta classe de algoritmos odem ser encontrados em [Moulines], [Xu] e [Tong1]. Aresentando um custo comutacional considerado moderado, esta classe de algoritmos sofre do inconveniente de ser imossível estabelecer uma delimitação clara entre os sub-esaços de sinal e ruído, o que freqüentemente resulta em alto MSE residual aós um longo rocesso de convergência [Endres1]. omo último exemlo, cita-se ainda os chamados equalizadores DFE (DFE Decision Feedback Equalizer). Equalizadores DFE somam ao sinal recebido uma realimentação negativa da filtragem das estimativas s ˆ( = Q{ y( } dos símbolos originalmente transmitidos, na eserança de anular a disersão do canal ela subtração da disersão estimada elo filtro. Não imortando ser o filtro adatado elo algoritmo LMS ou elo algoritmo MA, equalizadores DFE inerentemente aresentam o chamado erro de roagação [asas][kennedy], o qual causa, de maneira imrevisível, a elevação da robabilidade de erro nos símbolos recebidos SER (SER Symbol Error Rate) a níveis inaceitáveis durante longos intervalos de temo. Isto acontece orque, ao ocorrer uma estimativa errada s ˆ( = Q{ y( }, o erro se roagará elo filtro durante vários intervalos amostrais, realimentando-se sobre si mesmo. As recentes tentativas de minimizar o erro de roagação em equalizadores DFE têm aresentado resultados aenas moderados [Balakrishnan]. Faremos uma breve descrição de equalizadores DFE na Seção 6.6. O rocedimento universalmente adotado no cenário de equalização autodidata com relação ao algoritmo MA é, uma vez atingida a situação de olho arcialmente aberto, comuta-se ara o algoritmo DD, de modo semelhante ao algoritmo LMS DD. Este 1

13 rocedimento é amlamente aceito como solução ara um roblema inerente ao algoritmo MA: o MSE residual relativamente alto aós a convergência, o qual imede o uso direto do equalizador MA em sistemas digitais com constelações densas. Quanto mais densa a constelação maior a velocidade de transmissão ossível ao sistema, mas, simultaneamente, menor é o MSE de regime ermanente exigido do equalizador [Proakis][Endres1]. No entanto, a transferência ara o algoritmo DD somente é ossível quando o MSE, aós a convergência do algoritmo MA, atinge um nível suficientemente baixo dado ela Tabela 6.. Portanto, o êxito de um equalizador MA DD é condicionado or um suficientemente baixo MSE residual do algoritmo MA. A tentativa de efetuar a transferência do algoritmo MA ara o algoritmo DD sob um MSE de regime maior que o mostrado na Tabela 6. usualmente imlica na não-convergência do algoritmo DD. Modulação: Nível máximo de MSE ara transferência: 16 QAM QAM QAM QAM.11 Tabela 6.: Nível máximo de MSE ara transferência ao algoritmo DD. 6.4 Equalização Autodidata de anal Em um sistema de transmissão digital, o roblema de equalização autodidata do canal é aenas um em uma miríade. Resectivo a cada roblema a ser resolvido, há elo menos um sub-sistema destinado a resolvê-lo. omo exemlo, cita-se aqui aenas o sub-sistema de sincronismo, or estar intimamente associado ao equalizador. A solução do roblema de equalização de canal em um recetor exige, como ré-requisito, a solução dos roblemas de sincronismo de ortadora e de sincronismo de símbolo. A reresentação de um sistema digital em banda base, a ser utilizada ao longo deste estudo, só é ossível caso recetor e transmissor estejam em erfeito sincronismo. Em geral, o sincronismo de ortadora e o sincronismo de símbolo são obtidos a artir de dois PLLs (hase locked loos) [Gardner]. Um PLL amarra a freqüência do oscilador local do recetor com a freqüência da ortadora no transmissor. A seguir, um outro PLL amarra a fase dos símbolos (comlexos) recebidos com os símbolos do quantizador do recetor Descrição do Problema Muito do trabalho analítico envolvendo algoritmos de desconvolução autodidata considera a reresentação em banda base do equalizador com a seqüência de entrada definida or amostras do canal esaçadas no temo de um intervalo igual ao intervalo de amostragem T utilizado no transmissor. Tal forma de amostragem é denominada amostragem não-fracionária e qualquer sistema de equalização nela baseado é dito ser não-fracionário [Proakis]. É ossível mostrar formalmente que equalizadores MA não-fracionários são globalmente convergentes desde que a fonte de informação tenha 13

14 distribuição uniforme e indeendente e desde que o equalizador tenha uma dimensão tal que considere as infinitas amostras assadas do canal [Godard][Foschini][Bellini]. Obviamente, esta é uma situação limite irrealizável. Para contornar esta limitação teórica, a rática faz uso de um número suficientemente grande de amostras assadas do canal tal que condicione a convergência do equalizador a um bom termo. Este desagradável sentimento desertado elo termo infinitas amostras assadas associado ao universo dos equalizadores não-fracionários é totalmente dissiado quando considera-se, em contraartida, a classe de equalizadores ditos fracionários ou suer-amostrados. Equalizadores baseados em amostragem fracionária foram historicamente desenvolvidos visando o roblema de sincronização [Ungerboeck][Gitlin1]. No entanto, mais recentemente, Gardner [Gardner1] mostrou que a amostragem fracionária tem a roriedade de transformar o rocesso estocástico associado ao sinal recebido, convertendo-o de estacionário no sentido amlo ara ciclo-estacionário. No contexto de equalização, esta transformação ermite que um equalizador fracionário atinja erfeitamente a condição ZF conhecendo aenas um número finito de amostras assadas do canal [LeBlanc], sob determinadas condições ideais, a serem definidas na Seção A Figura 6.6 mostra o diagrama de blocos de um equalizador baseado em amostragem fracionária. O caminho entre a fonte de informação discreta s ( do transmissor, com intervalo de Baud dado or T, até o sinal analógico recebido u (t), é modelado através de um conversor D/A (D/A digital to analog) que envia o sinal contínuo s (t) através de um canal com função de transferência ( s) = Λ{ c( t) }, onde Λ {} é o oerador Transformada de Lalace [Kreyszig] e c (t) é a resosta ao imulso do canal. Figura 6.6: Diagrama de um sistema ara equalização de canal em transmissão digital. O sinal recebido u (t) é amostrado a intervalos de T K segundos, onde K é um nt inteiro ositivo. A seqüência u ( ) resultante é submetida ao equalizador, com função de K nt transferência F (z), cuja saída y ( ) é decimada 1 or K, gerando a seqüência de saída K nt equalizada y (. Por ser resultante da decimação or K de y ( ), o intervalo de Baud K associado a y ( é o intervalo T originalmente usado no transmissor. O quantizador Q é 1 Decimação no sentido de sub-amostragem. 14

15 um disositivo de decisão que estima a qual símbolo do alfabeto da fonte s ( mais se aroxima o valor de y (. Seguindo a tendência da surema maioria das imlementações ráticas atuais, a função de transferência F (z) é imlementada or um filtro FIR transversal com L coeficientes F i, i =, 1,!, L 1, onde L é denominado dimensão do equalizador. A função de custo J gera a informação de erro necessária ao algoritmo adatativo dos coeficientes ou esos F i, sendo usualmente minimizada elo algoritmo Gradiente Estocástico [Haykin]. Por exemlo, no caso de um equalizador suervisionado com base no algoritmo LMS, a função de custo minimizada elo algoritmo Gradiente 1 Estocástico é dada or J( n ) = d( y(, onde d ( é a seqüência de treino transmitida elo transmissor, conforme já visto na Seção Equalizadores Não-Fracionários Para K = 1 o equalizador torna-se ertencente à classe de equalizadores não-fracionários. É instrutivo analisar esta classe de equalizadores quanto à viabilidade de convergência, antes de se analisar a classe fracionária. Seja = [ ] T 1! Lc 1 o vetor com dimensão igual à da disersão de canal L c contendo as amostras da resosta ao imulso c ( do canal tal que n = c(, n =, 1,!, Lc 1. Note que o equalizador, reresentado or F (z), enxerga o canal através do amostrador, e ortanto enxerga a resosta imulsiva discreta c ( e não a resosta contínua c (t). Seja [ F F F ] T 1 L F =! 1 o vetor com dimensão L definido elos coeficientes F i, i =, 1,!, L 1, do filtro FIR transversal que reresenta o equalizador, conforme a Figura 6.6. omo a resosta ao imulso f ( de um filtro FIR é definida elo valor de seus coeficientes F i [Strum], a resosta ao imulso do equalizador é dada or f ( = Fi, i = n =, 1,!, L 1. Note que, como a amostragem é não-fracionária, elementos adjacentes no vetor encontram-se com uma searação T relativa ao domínio temo contínuo. Mesma observação vale ara elementos adjacentes no vetor F. A resosta imulsiva combinada do canal e equalizador h ( no domínio temo ode ser reresentada no domínio freqüência or H ( z) = ( z) F( z), onde H ( z) = Ζ{ h( }, ( z) = Ζ{ c( } e F( z) = Ζ{ f ( }, sendo Ζ {} o oerador Transformada Z [Strum]. No domínio temo, h ( é dada ela convolução das resostas imulsivas individuais c ( do canal e f ( do equalizador: i= h ( = f ( i) c( n i) = c( i) f ( n i) i= (6.) omo c ( é limitado a L c amostras e como f ( é limitado a L amostras, a resosta imulsiva combinada h ( ode ser reresentada elo vetor [ H H ] T H1 Lc + L H =! tal que H i = h(, i = n =, 1,!, L + L, com H dado c 15

16 elo roduto da matriz de convolução do canal χ elo vetor F reresentativo da resosta ao imulso do equalizador: H H H = # H Lc + 1 L = χ 1 # F = L c 1 # Lc 1 onde, 1,!, 1 são os elementos do vetor. L c 1 $ $ $ $ $ $ # 1 Lc 1 F F # FL 1 1 (6.1) Observe que χ é uma matriz Töelitz [Golub], com L c + L 1 linhas e L colunas, que é uma conseqüência natural de (6.) na medida em que L c e L são finitos. onforme já visto no início deste caítulo, a condição ZF é definida or h( = hd ( = δ ( n d), ara algum d inteiro não negativo. Em (6.1) a condição ZF imlica que H = H d onde H d é um vetor de dimensão L c + L 1 cujos comonentes são todos nulos, exceto o de valor unitário na osição d, isto é onde d Lc + L. [ 1 ] T H =!! (6.) d H H d H Lc + L A conclusão imediata da Equação (6.1) com H = H d é que, como L c + L 1 > L, o sistema de equações resultante é sobre-determinado com relação às incógnitas F i, i =, 1,!, L 1. Portanto, ara um equalizador não-fracionário não existe uma solução F tal que a situação ZF ossa ser atingida exceto quando L. Note que nesta discussão não foi incluído o efeito do ruído, quando então a solução do sistema é mais condicionada ainda. Este caso é discutido em [Johnson]. A rática de equalizadores não-fracionários faz uso de L suficientemente grande tal que o sistema definido or (6.1) aresente um erro quadrático H d χ F aceitável ara a oeração do equalizador com o canal a ser equalizado. Matematicamente, a melhor 16

17 solução do MSE PURS Faculdade de Engenharia Deartamento de Engenharia Elétrica F otimo do sistema sobre-determinado (6.1), sob o onto de vista da minimização L c 1 + L H d χ F, é dada ela chamada Solução de Wiener [Haykin], F = χ + (6.3) otimo H d onde o oerador {} + reresenta a seudo-inversa de Moore-Penrose da matriz argumento. Equalizadores cujo filtro FIR é obtido de (6.3) são denominados de equalizadores MMSE (MMSE Minimum Mean Squared Error), orque o erro médio quadrático é minimizado ela seudo-inversa de Moore-Penrose [Golub][Press]. Esta classe de equalizadores não é adatativa, o que a torna não muito oular or exigir o conhecimento a riori da resosta imulsiva do canal ara a obtenção de χ. No entanto, equalizadores MMSE constituem o limite teórico ara a minimização do MSE de equalizadores adatativos, visto que os últimos aresentam o efeito denominado MSE de Excesso [Haykin] Equalizadores Fracionários Para K > 1 na Figura 6.6, o sinal recebido u (t) é amostrado a uma razão maior que 1 T, que é a razão de amostragem utilizada no transmissor ara enviar os símbolos da fonte s sob um intervalo de Baud T através do canal. Nesta situação, o equalizador é chamado nt fracionário ou suer-amostrado. A seqüência u ( ), obtida or amostragem fracionária, K resulta em um rocesso ciclo-estacionário ara qualquer K inteiro desde que K > 1 [Gardner1]. Sob este onto de vista, utilizar K > constitui um deserdício inútil, ois forçosamente imlicaria no aumento da freqüência do clock dos circuitos digitais emregados, e em conseqüência, no aumento de seu custo. Assim, este texto limitar-se-á ao estudo do caso em que K =, situação em que o equalizador assa a ser referido como equalizador sob amostragem fracionária T, ou simlesmente equalizador fracionário T. O sinal analógico transmitido s (t) é aroximado no temo contínuo or s( t) = i= a( i) δ ( t it ) (6.4) onde a i) Α i Α = s, s 1,! sm 1 o alfabeto da informação a ser transmitida, constituído or M ossíveis símbolos, δ (t) é a Função Delta de Dirac [Zeldovich] e T é o intervalo de amostragem dos símbolos ou intervalo de Baud do transmissor [Proakis]. Na ausência de ruído, o sinal analógico recebido u (t) é dado ela convolução da resosta ao imulso c (t) do canal com o sinal analógico transmitido s (t) : (, sendo { } 17

18 i= u( t) = s( τ ) c( t τ ) dτ = a( i) δ ( τ it ) c( t τ ) dτ i= (6.5) Mas, como o canal é um sistema linear, elo rincíio da suerosição, a resosta a uma soma de excitações alicadas ao canal é a soma das resostas individuais a cada uma delas. A artir deste fato, e utilizando as roriedades da Função Delta [Zeldovich], têm-se: u( t) = = i= i= i= a( i) a( i) δ δ ( τ it ) c( t τ ) dτ = a( i) δ ( τ it ) c( t τ ) ( τ it ) c( t τ ) dτ = a( i) c( t it ) i= i= No recetor, o sinal u (t) é amostrado a cada intervalo T T T u n = a( i) c n it i= dτ = (6.6), gerando a seqüência (6.7) Note que valores ares de n em (6.7) definem a seqüência u PAR ( k), com esaçamento T entre amostras de índice k, esaçamento imosto elo fato de n = k =,, 4,! ara k =, 1,,!, e dada or i= ( k i) T ) u PAR ( k) = u( kt) = a( i) c (6.8) Da mesma forma, note também que valores ímares de n em (6.7) definem a seqüência u IMPAR ( k), com esaçamento T entre amostras de índice k, esaçamento imosto elo fato de n = k 1 =1, 3, 5! ara k =1,, 3,!, e dada or T T u ( k) = u( kt ) = a( i) c ( k i) T (6.9) IMPAR i= O transmissor emite o símbolo s (nt) Α, aguarda T segundos, e então emite o símbolo s ( n + 1) T ) Α. omo a chave do amostrador na Figura 6.6 fecha a cada T segundos, e como o recetor é assumido estar em sincronismo com o transmissor, dois tios de amostras u odem ser gerados da oeração da chave: I. Amostras u geradas em um instante de amostragem da chave que coincida com o instante de emissão de um símbolo s (nt ) elo transmissor. II. Amostras u geradas em um instante de amostragem da chave que coincida com o instante localizado na metade do intervalo entre a emissão dos símbolos s (nt ) e s n + 1 T elo transmissor. ( ) ) 18

19 Amostras do tio I têm um conteúdo de informação redominante associado aos símbolos emitidos elo transmissor, enquanto que amostras do tio II têm um conteúdo de informação redominante associado à disersão do canal. Note que, se não houvesse disersão, as amostras do tio I seriam iguais aos símbolos transmitidos e as amostras do tio II seriam identicamente nulas, or não haver reverberação (ISI) no canal. Neste estudo assume-se que o sincronismo seja tal que a seqüência u PAR ( k) reresente o conjunto de amostras do tio I e a seqüência u IMPAR ( k) reresente o conjunto de amostras do tio II. Portanto, amostras recebidas do canal com índice ar referem-se a instantes em que o transmissor emite símbolos e amostras recebidas do canal com índice ímar referem-se a instantes localizados na metade do intervalo entre a emissão de símbolos elo transmissor. As amostras da resosta imulsiva dos canais descritos Aêndice III deste caítulo obedecem a este critério, isto é, amostras ares referem-se a instantes de emissão de símbolos elo transmissor. As Equações (6.8) e (6.9) sugerem que a reresentação da resosta ao imulso c do canal também ode ser subdividida em comonentes ares e comonentes ímares. Seja, então, = [ ] T 1! Lc 1 o vetor com dimensão igual à da disersão de canal L contendo as amostras resultantes da amostragem fracionária T da resosta ao c nt imulso c (t) do canal tal que n = c( ), n = 1,, Lc 1,!. Sejam dois vetores, PAR e IMPAR, ambos com esaçamento T entre seus elementos, obtidos de tal que um vetor mantenha um esaçamento relativo T em relação ao outro: PAR = [! ] T IMPAR, [! ] T 4 = (6.3) omo a resosta ao imulso de um sistema FIR define os coeficientes de sua função PAR de transferência [Strum], define PAR IMPAR ( z) e define IMPAR ( z). Assim, a Equação (6.3) sugere o modelo multi-canal mostrado na Figura Figura 6.7: Modelo com dois sub-canais (ar e ímar) resultante da amostragem fracionária T do canal original. Semelhantemente, o equalizador sob amostragem fracionária T também terá uma reresentação subdividida em comonentes ares e ímares. Da Figura 6.6, seja f ( i) = a resosta ao imulso do filtro FIR do equalizador, i =, 1,!, L 1. No domínio F i 19

20 nt temo suer-amostrado, a saída y ( ) é dada ela convolução das amostras recebidas do nt nt canal u ( ) com a resosta ao imulso f ( ) do equalizador: L 1 nt it nt it it T (6.31) y ( ) = f ( ) u( ) = f ( ) u( ( n i) ) i= i= Para cada n, na convolução definida em (6.31), o indexador i do somatório ora refere-se a instantes associados a amostras ares da seqüência recebida suer-amostrada nt nt u ( ), ora refere-se a instantes associados a amostras ímares de u ( ). Portanto, a saída nt suer-amostrada y ( ) ode ser convertida em uma seqüência y (kt), com esaçamento T entre amostras, decomonível em duas seqüências y PAR ( kt) e y IMPAR ( kt) definidas conforme os arágrafos que seguem. Seja i = j e n = k em (6.31). Então, y IMPAR PAR L 1 j= ( k j) y ( kt) = f ( jt ) u( T ) Seja i = j + 1 e n = k em (6.31). Então, y( k) = y ( kt ) = L 1 f ( ( j +1) T ) u( T L 1 ( k ( j +1 ) ) = f ( jt + ) u( ( k j) i= j= Portanto, a reresentação total é dada or PAR ( k) + y IMPAR ( k) = L 1 i= f ( it ) u( T ( k i) T) + f ( it + ) u( ( k i) T T T ) T T ) (6.3) (6.33) (6.34) Deendendo do sistema, o bloco decimador K na Figura 6.6 ode manter as nt amostras ares e eliminar as amostras ímares da saída suer-amostrada y ( ), ou ode nt manter as amostras ímares e eliminar as amostras ares de y ( ). omo u PAR ( k) reresenta o conjunto de amostras do tio I, o decimador K manterá as amostras ara n ar nt e eliminará as amostras ara n ímar na saída suer-amostrada y ( ). Portanto, a saída aós o decimador K é dada or y ( = y PAR ( k).

21 F = 1! F L 1 de coeficientes do nt filtro FIR do equalizador, os quais são definidos ela sua resosta ao imulso f ( ), isto A Equação (6.34) sugere que o vetor [ F F ] T nt é, F n = f ( ), n = 1,, L 1,!, ode ser decomosto em F PAR = f ( kt ) e T F IMPAR = f kt, k =, 1,,!. Ou seja, PAR F [ f () f ( T ) f ( T )! ] T =, F IMPAR T = f ( ) 3T f ( ) 5T f ( )! T (6.35) omo os coeficientes de um filtro FIR definem os coeficientes de sua função de PAR transferência [Strum], F define PAR IMPAR F ( z) e F define F IMPAR ( z). Isto sugere o modelo multi-canal ara o equalizador mostrado na Figura 6.8. Figura 6.8: Modelo em dois sub-filtros (ar e ímar) ara o equalizador, resultante da oeração sob amostragem fracionária T do canal. ombinando as Figuras 6.7 e 6.8, obtêm-se o modelo não-fracionário (esaçamento T entre amostras adjacentes em s e y) equivalente ara o sistema de equalização: Figura 6.9: Modelo equivalente não-fracionário ara um sistema de equalização com amostragem fracionária T. O esaçamento entre amostras adjacentes em s e y é T. Algum cuidado é necessário na interretação do equalizador fracionário através do sistema equivalente mostrado na Figura 6.9. A fonte s (kt) emite símbolos com esaçamento temoral T. No entanto, ao encontrar a bifurcação, o fluxo de sinal da fonte s é dividido em dois fluxos, ar e ímar. A artir da bifurcação, o fluxo ar transorta os símbolos s (kt ) efetivamente emitidos ela fonte s, o qual origina amostras do tio I no recetor. O fluxo ímar transorta símbolos fictícios, gerados na bifurcação, o qual origina amostras do tio II no recetor. Estes símbolos fictícios são gerados na bifurcação em instantes de temo que coincidem com instantes de temo localizados na metade do 1

22 s e ( ) ) intervalo entre a emissão dos símbolos (kt ) s k + 1 T. Este é o motivo de o decimador K eliminar as amostras do tio II, mantendo as amostras do tio I, já que é desejado equalizar o fluxo de símbolos efetivamente emitidos or s e não o fluxo de símbolos fictícios associados à reverberação no canal. Em conseqüência, o rocedimento de determinação do filtro F do equalizador será feito objetivando equalizar o fluxo de sinal ar. Assim, a H (z) equivalente no domínio freqüência é dada or PAR PAR IMPAR IMPAR H ( z) = ( z) F ( z) + ( z) F ( z) (6.36) Sob condição ZF, têm-se que h( = hd ( = δ ( n d), o que imlica em H ( z) = H d ( z) = Ζ{ hd ( }, onde Ζ {} é o oerador Transformada Z. É interessante observar que, ao imor H ( z) = H d ( z) em (6.36), a equação é transformada na conhecida Identidade de Bezout [hen], no contexto da Análise de Sistemas Lineares. Utilizando o conceito de matriz de convolução, a Equação (6.36) é dada no domínio temo or, PAR PAR IMPAR IMPAR H = χ F + χ F (6.37) omarando a Equação (6.37) com a Equação (6.1) verifica-se que, se o filtro F de um equalizador não-fracionário sob ZF aroxima a inversa do canal através de χ +, um equalizador fracionário sob ZF não necessariamente o faz, visto que dois termos envolvendo as matrizes de convolução de cada sub-canal, distintas da matriz do canal, definem a resosta imulsiva H em (6.37). O rocedimento ara determinação do filtro F de um equalizador fracionário é análogo ao caso não-fracionário, isto é, faz-se H = H d na Equação (6.37) objetivando que o equalizador atinja ZF. No entanto, como o decimador K elimina as amostras ímares, a determinação de F é tal que o termo χ PAR F PAR, com F PAR = F, seja o resonsável or forçar H = H d na interretação multi-canal dada or (6.37). Isto é, F é determinado de forma que aenas as comonentes ares de H sejam forçadas a igualarem H d. omo conseqüência, o termo χ IMPAR F IMPAR resultante de F assim determinado isto é, ara IMPAR F = F é um vetor que resulta do rocesso de equalização do fluxo de sinal ar na Figura 6.9, mas que não tem nenhuma influência direta sobre tal rocesso. Para que se roceda a determinação de F, faz-se necessário um conjunto de definições reliminares. Seja [ ] T =! o vetor com dimensão igual à da 1 Lc 1 disersão de canal L c contendo as amostras resultantes da amostragem fracionária T da resosta ao imulso c (t) do canal tal que = c ), n =, 1,!, Lc 1. Seja L c um número inteiro ositivo ar, de modo que inclua todas as amostras ares e ímares n nt (

23 (condição não obrigatória na rática) da resosta imulsiva. Seja = [ F F! ] T F 1 F L 1 o vetor de coeficientes do filtro FIR do equalizador fracionário, contendo as amostras da nt ( resosta ao imulso fracionária f ) do equalizador, isto é, F = f ), n =, 1,!, L 1. Antes do decimador K (ver Figura 6.6), a resosta combinada H do canal e equalizador ode ser descrita de modo análogo a (6.1), através de uma matriz de convolução fracionária χ equivalente. Para o caso não-fracionário reresentado or (6.1), o intervalo relativo entre as linhas desta matriz de convolução é T. No entanto, ara a matriz χ do caso fracionário o intervalo relativo entre suas linhas é T o que imlicitamente gera, a nível de matriz de convolução, o conceito de fluxo de sinal ar e ímar. Tal sistema matricial, quando referido à saída do decimador K, terá suas linhas ares mantidas e suas linhas ímares eliminadas, resultando no sistema H = H H H H # 4 Lc + L 1 1 = χ F # L c = # 1 3 Lc 1 # Lc 1 $ $ $ $ $ $ $ $ $ n # 1 3 Lc 1 nt ( F F1 F # F L 1 (6.38) onde {} é o oerador que resulta na eliminação das linhas ímares da matriz argumento e. é o oerador que resulta no inteiro mais róximo e maior que o argumento. Por exemlo, seja = L = 4 [ F F F F ] T L c tal que [ ] T 1 3 = e F = 1 3. Referida à entrada do decimador K, têm-se uma matriz de convolução fracionária equivalente χ que origina o sistema de equações 3

24 4 = = = F F F F F H H H H H H H H χ (6.39) A matriz χ, ao ser referida à saída do decimador K, dá origem ao sistema de equações = = = F F F F F H H H H H χ (6.4) Observe que χ é uma matriz com + L 1 L c linhas e L colunas. A condição ZF alicada em (6.4) imlica que = d H H onde d H é um vetor de dimensão + L 1 L c cujos comonentes são todos nulos exceto o de valor unitário na osição d. Para que o sistema de equações (6.4) tenha elo menos uma solução ara o vetor de incógnitas F, solução que objetiva determinar F ara que o equalizador atinja ZF, é necessário que L L L c 1 +, ou equivalentemente, 1 c L L. Esta é uma exigência radicalmente mais factível do que a exigência L necessária à classe de equalizadores não-fracionários. Note que a obtenção de F através de (6.4) ara = d H H imlica que o termo PAR F PAR χ, com F F = PAR, força as comonentes ares de H a igualarem d H na interretação multi-canal dada or (6.37). Semre que ) ( PAR z e ) ( IMPAR z aresentarem zeros comuns, (6.36) ode ser escrita como

25 H ( z) = ZOM ( z) PAR PAR IMPAR IMPAR ( r ( z) F ( z) + r ( z) F ( z) ) (6.41) onde ZOM ( z) z z m, sendo z m, m =, 1,!, N zc 1, a m-ésima freqüência do conjunto de N zc zeros comuns a é o olinômio em z resultante do roduto de todos os monômios ( ) PAR IMPAR PAR ( z) e IMPAR PAR ( z) IMPAR ( z) ( z), com r ( z) = e ZOM r ( z) =. ZOM ( z) ( z) Utilizando o conceito de matriz de convolução, (6.41) é dada no domínio temo or, ZOM PAR PAR IMPAR IMPAR H = χ ( χr F + χr F ) (6.4) Observe que a matriz de convolução fracionária equivalente do sistema de equações (6.4) não é mais identicamente searável em comonentes ares e ímares, como o é (6.37). Portanto, ao referir-se tal matriz à saída do decimador K, or não haver mais um conjunto de linhas ares searável do conjunto de linhas ímares, o sistema de equações resultante não é mais factível de ser reduzido à forma dada em (6.38). Nesta situação, a condição ZF não é mais garantida aenas fazendo-se L L c 1. No entanto, é mostrado em [Johnson1] que um equalizador MA fracionário destinado a equalizar um canal físico que aresente zeros comuns aos sub-canais PAR ( z) e IMPAR ( z) ode convergir ara a condição ZF desde que L seja suficientemente grande, mas não necessariamente infinito. A rática mostra que isto é verdadeiro, muito embora a convergência de um equalizador MA fique algo dificultada quando os sub-canais aresentam muitos zeros comuns. Em [Endres1] é mostrado que o único algoritmo a convergir satisfatoriamente com este tio de canal, dentre os resentes no atual cenário e ara SNR=35dB, é o LMS cíclico [Giannakis]. O LMS cíclico minimiza a função de custo J ( n ) = y( s( n d ) LMS, onde y ( é a saída do equalizador e s( n d) é a seqüência originalmente transmitida com um atraso d. O LMS cíclico aresenta o inconveniente de necessitar da estimativa a riori do coeficiente do canal e da variância da fonte no sinal recebido. omo isto não é ossível na rática, J LMS é minimizada com um grau de liberdade tal que ocorre redução de ISI, mas com magnitude e fase da constelação de saída desconhecidas. Aliás, [Endres1] dá indício que este é o único caso em que o LMS cíclico aresenta desemenho melhor que o MA. De fato, o desemenho do LMS cíclico é, em geral, sofrível se comarado com o elenco de algoritmos atuais. É ossível mostrar que zeros comuns aos sub-canais PAR ( z) e IMPAR ( z) equivalem a ares de zeros de (z) situados em osições eqüidistantes da origem do lano z sobre uma reta que a contém [Jury][Fijalkow][Tugnait][Tong]. No jargão de equalização, é dito que a condição ZF é erfeitamente alcançável se há disaridade (nenhuma raiz comum) entre os sub-canais ou, equivalentemente, se não há ares de raízes refletidas de (z) com relação à origem. A Figura 6.1 mostra a equivalência entre raízes de (z) refletidas e raízes comuns aos sub-canais PAR ( z) e IMPAR ( z). 5

26 Fig. 6.1a: Zeros de (z). Fig. 6.1b: Zeros de PAR ( z) e IMPAR ( z) *. Figura 6.1: Equivalência entre ares de raízes de (z) refletidas com relação à origem e ares de raízes comuns entre os sub-canais PAR ( z) e IMPAR ( z). Para cada ar de raízes aroximadamente refletidas sobre a origem na Figura 6.1a existe um ar de raízes róximas na Figura 6.1b ondições Ideais ara ZF em um equalizador MA Tendo em vista a discussão anterior em toda a sua extensão, é ossível, então, definir as condições ideais ara que um equalizador MA suer-amostrado atinja erfeitamente a situação ZF. É imortante ressaltar que o conjunto destas condições constitui uma idealização não encontrada em nenhum caso rático, servindo aenas de referência ara uma rimeira avaliação do ambiente oeracional em que um equalizador MA fracionário deverá funcionar. Quanto mais róximo o ambiente oeracional estiver das referidas condições, mais facilidade terá o equalizador em atingir um onto de convergência róximo à situação ZF. As condições oeracionais ideais ara ZF são: I. aracterística estatística da fonte de informação: A seqüência que reresenta a fonte de informação ossui média zero, distribuição uniforme, e aresenta indeendência estatística entre amostras. Em [LeBlanc] Le Blanc faz um exaustivo estudo do comortamento de equalizadores fracionários MA quanto à correlação e quanto à distribuição estatística da fonte. O resultado que emerge de [LeBlanc] é que, ara fontes cuja distribuição aresenta valor de curtose κ entre a da distribuição uniforme ( κ = 1) e a da distribuição Gaussiana ( κ = 3), os mínimos da função de custo J G do algoritmo MA resultam factíveis de serem alcançados elo Gradiente Estocástico (à medida que κ aroxima-se de 3, menor torna-se o gradiente de J G na direção dos mínimos), e, ortanto, a convergência do MA é ossível ara esta situação. Para fontes cuja distribuição aresenta κ > 3 o MA diverge. É mostrado também que a correlação da fonte influencia o desemenho do MA na medida em que altera a osição dos mínimos o que não imede a 6

27 II. III. IV. PURS Faculdade de Engenharia Deartamento de Engenharia Elétrica convergência. No entanto, ara fontes altamente correlacionadas, falsos mínimos são acrescentados à J G, o que ode imedir a convergência do MA. Ruído aditivo: Não há ruído aditivo no canal de transmissão. Obviamente esta é uma situação ideal que jamais é encontrada na rática. Disaridade de sub-canais: Não existem raízes comuns às funções de transferência FIR PAR ( z) e IMPAR ( z) que reresentam os sub-canais. Esta condição estende-se também a sistemas que utilizam múltilos canais originados or diversidade esacial (suer-amostragem é considerada diversidade temoral), como or exemlo, sistemas que utilizam um conjunto de múltilas antenas recetoras [Gesbert][Fijalkow]. Dimensão do equalizador: O equalizador aresenta um dimensão L tal que L L c 1, onde L c é a dimensão da disersão de canal. Em [Endres1] é aresentado um estudo de considerável abrangência sobre a sensibilidade de um equalizador fracionário MA quanto à violação desta condição Algumas Definições Oeracionais Muito se falou em ISI neste estudo até o resente momento, associando-a à idéia de reverberação no canal, mas não foi sugerida ainda uma definição quantitativa da mesma. Uma ossível definição, que será adotada neste estudo, é denominada de ISI de ico [Gitlin], e é dada or onde ISI = k H k k max H max H H k é o k-ésimo comonente do vetor k k k H definido em (6.38). (6.43) Ainda resta determinar a forma de imlementação do bloco decimador K na Figura 6.6. Embora a reresentação da oeração de decimação or um bloco esecífico seja instrutiva, na rática ela não é imlementada desta forma. Ao invés disto, utiliza-se o conceito de regressor fracionário de canal. O n-ésimo regressor fracionário do canal é o L vetor r(, n,1,!, N 1, é o conjunto dos números comlexos, vetor dado or = r onde: L é a dimensão do equalizador, r k ( = u( L 1 k + i), k =, 1,!, L 1 (6.44) u é a seqüência de amostras recebida or amostragem fracionária T i 1, 3,!, N 1 variando na medida em que n, 1,!, N 1 tal que i = n + 1, = a = r do canal, com N a é o número total de amostras a serem recebidas or amostragem fracionária do canal, 7

28 Na L 1 Nr = +1 é o número total de regressores a serem obtidos do canal, T é o intervalo entre os símbolos gerados no transmissor, é o oerador que resulta no inteiro mais róximo e menor que o argumento. Desta maneira, a saída y (, no instante n, é simlesmente dada or T y( = F ( r( (6.45) onde ( F = F F1! F L 1 que define os coeficientes do filtro do equalizador no instante n. Note que o intervalo de temo contínuo associado ao intervalo entre os instantes discretos n e n+1 é o intervalo de Baud do transmissor, ou T. Assim, a cada símbolo s ( transmitido elo transmissor é gerado um corresondente regressor de canal r ( no recetor, ficando, ortanto, imlicitamente imlementada a oeração de decimação. No entanto, o intervalo de temo contínuo associado ao intervalo entre os T comonentes de cada regressor r é, garantindo a convolução fracionária realizada elo filtro. F é o vetor [ ] T 6.5 Equalização com o Algoritmo MA No cenário de desconvolução autodidata, o algoritmo MA (onstant Modulus Algorithm) é universalmente utilizado, seja ara canais eletromagnéticos ou acústicos. Tem havido um imenso interesse da comunidade de esquisadores neste algoritmo, desde sua roosição em 198 or Godard, em arte devido ao seu baixo custo comutacional e em arte devido à sua caacidade de desconvoluir canais ara os quais os demais algoritmos ara desconvolução autodidata flagrantemente falham. A caacidade autodidata e a versatilidade do algoritmo MA é amlamente reconhecida quanto à tarefa de desconvoluir o conjunto de símbolos recebidos a artir de uma situação inicial de alto ISI, conhecida como olho fechado, até a convergência do algoritmo, situação de baixo ISI conhecida como olho aberto. No entanto, o requerimento de alta velocidade de transmissão dos sistemas digitais atuais tem levado ao uso de constelações de símbolos cada vez mais densas. Para tais constelações densas, o erro de regime ermanente do algoritmo MA é insuficiente ara que a robabilidade de erro nos símbolos recebidos, ou SER (Symbol Error Rate), reduza-se a níveis aceitáveis. Devido à excelente erformance autodidata do algoritmo MA, a comunidade de esquisadores tem referido conviver com o roblema de alto erro de regime ermanente deste algoritmo. A solução universalmente roosta ara contornar este roblema é utilizar o algoritmo MA até a ISI atingir a melhor condição de olho aberto ossível e então comutar ara um algoritmo auto-suervisionado denominado Decisão Direta (DD Direct Decisio. O algoritmo DD é incaaz de desconvoluir o conjunto de símbolos a artir de uma situação inicial de olho fechado. Mas, uma vez inicializado a artir de uma situação 8

29 de ISI relativamente baixa, é caaz de atingir níveis de erro de regime ermanente muito menores que o algoritmo MA. O algoritmo baseia-se na minimização de uma função de custo J M que objetiva ajustar uma otência P inteira do conjunto de saídas do equalizador a uma constante real e ositiva R P. Esta constante é escolhida de modo a rojetar sobre um círculo todos os ontos da constelação de saída do equalizador. Em [Godard] J M é definida como J M 1 = E 4 P ( y R ) (6.46) ara algum inteiro P. Note que J M é uma disersão estatística de ordem P [Paoulis] e que inerentemente utiliza estatísticas de ordem suerior do conjunto de saídas y do equalizador. Quando P = 1, J M reduz-se à função de custo utilizada no ioneiro trabalho de Sato [Sato], em Embora P ossa teoricamente assumir qualquer valor inteiro, a surema maioria das imlementações de equalizadores autodidatas atuais alica o algoritmo MA com a função de custo J M ara P =, minimizada elo Gradiente Estocástico [Treichler1][Proakis][Haykin]. Assim, neste estudo, a função J M ara P = será referida como Função de usto MA ou Função de usto de Godard, reresentada or J, e dada or G ( y γ ) 1 (6.47) J G = E 4 onde γ é a constante de disersão do algoritmo MA definida or sendo Α = { s s 1,! sm 1 } E γ = E 4 { Α } { Α } (6.48), o conjunto de M ossíveis símbolos, ou alfabeto, referente ao tio de modulação utilizada. Godard mostra em [Godard] que γ, assim definido, minimiza J G aracterísticas do Algoritmo MA A função J G, definida em (6.47), é uma função não-convexa, e ortanto ossui mínimos locais. Isto condiciona a minimização de J G até o mínimo global à trajetória ercorrida elo Gradiente Estocástico. É ossível que a trajetória do gradiente fique resa em um mínimo local não significativo, quando a convergência ara o mínimo global jamais é alcançada [Ding]. Isto faz com que a convergência de equalizadores MA com base em filtros FIR transversais seja fortemente deendente da inicialização dos coeficientes (ou esos) do filtro [hung]. Ainda, ara que a estabilidade da delicada dinâmica do rocesso de minimização de J G não seja comrometida, o asso de adatação deve ficar nas vizinhanças do valor 1 1-3, como um comromisso entre velocidade de convergência e erro de regime ermanente [Endres1]. 9

30 Observe também de (6.47) que a minimização de J G é um rocedimento que, em última análise, rocura minimizar a variância da diferença entre o quadrado da norma Euclidiana do conjunto de saídas y do equalizador e a constante de disersão γ. Ocorre que a norma Euclidiana imõe uma ambigüidade de fase ara y, ou seja, jϕ y e j ϕ = y e = y. Assim, ara qualquer rotação de fase ϕ, J ( y) = J ( y e jϕ ). Portanto, ao se utilizar modulação cujo alfabeto de símbolos seja comlexo, como M PSK e M QAM, a saída de um equalizador MA ode convergir ara a constelação de símbolos originalmente transmitida, mas girada de um ângulo ϕ deendente da inicialização, da dinâmica de atualização e também do rório canal [Garth]. Para M PSK esta convergência esúria do algoritmo MA é contornada utilizando-se codificação diferencial DPSK [arlson]. Para M QAM o efeito desta convergência esúria não é tão severa, mas, ara certas situações é necessário utilizar um circuito adicional searado ara girar a saída do equalizador aós a sua convergência [Garth][Treichler4]. Neste momento, é oortuno lembrar que a minimização de J G busca rojetar sobre um círculo todos os ontos da constelação de saída do equalizador, tal que y = γ ara todo y. Se este resultado reresenta a equalização correta ara modulação M PSK, ois todos os símbolos deste alfabeto ossuem módulo constante, ara M QAM seria considerado uma comleta falha do rocesso de equalização. Por que, então, o algoritmo MA é universalmente utilizado ara desconvolução de canais com sinalização M QAM, já que os símbolos do alfabeto M QAM não aresentam módulo constante? Ocorre que a minimização de J G é feita com base em uma estrutura adatativa cuja arquitetura é a de um simles filtro FIR transversal. Quando a minimização de J G é feita com base na adatação dos arâmetros livres de tal estrutura esecífica, como efeito secundário do rocesso de minimização de J G, obtém-se o rocesso de desconvolução do canal [Treichler3]. É interessante notar que, se um equalizador MA com arquitetura FIR transversal desconvoluir o canal com γ dado or (6.48), o mesmo rocesso de desconvolução será obtido ara qualquer outro valor de γ : Para um equalizador com γ não definido or (6.48)! ortanto com γ não ótimo! a única diferença observada na constelação de saída será um fator de escala real [LeBlanc]. Desta maneira, o canal é desconvoluído elo ajuste do filtro FIR transversal mesmo quando J G é arametrizada or um valor não ótimo de γ ara a constelação dada. Portanto, nem toda estrutura adatativa! mesmo aquelas consideradas oderosas o suficiente ara arender o rocesso estocástico subjacente ao sinal recebido! conduzirá ao êxito o rocesso de desconvolução autodidata do canal. Os autores deste estudo exerimentaram a minimização de J G com base no ajuste via Gradiente Estocástico dos arâmetros livres de estruturas adatativas denominadas redes neurais RBF (Radial Basis Functio [Haykin3]. Para as várias arquiteturas exerimentadas [Kassam][Zhang][McLaughlin][Mulgrew], o único resultado obtido foi a rojeção de todos os ontos da constelação de saída do equalizador no único onto do lano comlexo G G 3

31 γ jθ e, onde θ deende da inicialização da estrutura. A lição arendida aqui é que de nada adianta utilizar arquiteturas oderosas (redes neurais RBF são consideradas aroximadores não-lineares universais [Haykin]) ara minimização de uma função de custo se o mínimo desta função de custo não exressa exatamente o resultado que se almeja O Algoritmo MA Aesar de todos estes condicionantes e detalhes esecíficos, o equalizador MA FIR transversal é o mais amlamente utilizado e testado na imlementação de equalizadores autodidatas [Haykin1], ois, em sistemas ráticos, seu desemenho tem sido comrovadamente suerior ao dos demais métodos de desconvolução autodidata vigentes [LeBlanc][Endres1]. A Figura 6.11 mostra um tíico equalizador MA FIR transversal no instante n. omo o instante é definido, não exlicitar-se-á o indexador n ara as variáveis envolvidas, a menos que n não seja inequivocamente definido elo contexto. Este rocedimento será adotado visando a comacidade das equações no desenvolvimento que segue. Figura 6.11: Equalizador MA com filtro FIR transversal. A artir de sua inicialização, o vetor de esos [ ] T V V V1 V L 1 =! é atualizado elo Gradiente Estocástico [Haykin] objetivando minimizar a função de custo de Godard J G. onde: Seja o n-ésimo regressor do canal r (, n, 1,!, N 1, definido or L é a dimensão do equalizador, = r r k ( = u( L 1 k + i), k =, 1,!, L 1 (6.49) 31

32 u é a seqüência de amostras recebida or amostragem fracionária T do canal, com i 1, 3,!, N 1 variando na medida em que n, 1,!, N 1 tal que i = n + 1, = a = r N a é o número total de amostras a serem recebidos or amostragem fracionária do canal, Na L 1 Nr = +1 é o número total de regressores a serem obtidos do canal, T é o intervalo entre os símbolos gerados no transmissor, é o oerador que resulta no inteiro mais róximo e menor que o argumento. A saída do equalizador é dada or y = V T r (6.5) ou que é identicamente equivalente à = Re y = L 1 k= V k r k L 1 y = k= k= L 1 [ Re{ Vk} Re{ rk } Im{ Vk} Im{ rk }] + j [ Re{ Vk} Im{ rk } + Im{ Vk} Re{ rk }] {} y + j Im{} y, j = 1 = (6.51) (6.5) A minimização da função de custo J G é feita através de sucessivos ajustes do vetor V elo algoritmo Gradiente Estocástico [Haykin], à medida que n é incrementado: onde V J G ( y ) = lim J G ( 1 = E γ 4 J G ( 1 = 4 n ( y( γ ) ( J ( ), = 1,, 1 (6.53) (6.54) n + 1) = V ( + η,l- (6.55) ( G! V é o -ésimo eso do vetor de esos V, η é o asso de adatação, η >, e J G = R J G + j I J G J = Re G + j J G { V } Im{ V } (6.56) é o -ésimo comonente do gradiente comlexo de J G tomado com relação à variação do -ésimo comonente do vetor V. Substituindo (6.54) em (6.56), 3

33 y = Mas de (6.5), J G ( {} y ) + ( Im{ y} ) 1 = ( y γ ) y Re + j y { V } Im{ V } (6.57) Re = (6.58) mas = J G L 1 k = L 1 [ { } { } { } { }] [ { } { } { } { }] Re Vk Re rk Im Vk Im rk + Re Vk Im rk + Im Vk Re rk De (6.58), com referência à (6.57), { V } k= y (6.59) = ( Re{} y Re{ r} + Im{} y Im{ r} ) Re y (6.6) = ( Im{ y} Re{ r} Re{ y} Im{ r} ) Im { V} Substituindo (6.59) e (6.6) em (6.57) e multilicando or 1, = ( γ y ) Re{} y Re{ r} + Im{} y Im{ r} [( ) + j( Im{ y} Re{ r} Re{ y} Im{ r} )] * ( Re{} y Re{ r} Im{} y Im{ r} ) + j( Im{} y Re{ r} Re{} y Im{ r} ) = y r e substituindo (6.6) em (6.61) (6.61) + (6.6) ( y ) * J = y γ r (6.63) G Substituindo (6.63) em (6.55), obtém-se a equação de atualização do vetor V ara a minimização da função de custo J G através do Gradiente Estocástico: sendo ( = y( ( y( ) ( y( ) r * ( V ( n + 1) = V ( + η y( γ (6.64) e cma γ denominado de Função de Erro do algoritmo MA [LeBlanc]. A Tabela 4.1 esquematiza o algoritmo MA alicado à equalização de canal: 33

34 Etaa 1 Inicializar o vetor V: + j, k =, 1,! L 1, V k = 1+ j, k = ξ k ξ Procedimento onde j = 1, L é a dimensão do vetor V (dimensão do equalizador) e ξ, < ξ < L 1, é o índice do único eso do vetor de esos V a ser inicializado com o valor 1+j. Esta inicialização é amlamente utilizada na rática de equalizadores MA e é denominada de inicialização single sike [LeBlanc][Haykin4][Endres1][hung]. Inicializar o indexador de amostras recebidas or amostragem fracionária do canal: = 1 i 3 Inicializar o indexador de regressor do canal (ou indexador de instante/iteração): n = 4 Obter o n-ésimo regressor do canal r ( : r k ( = u( L 1 k + i), k =, 1,!, L 1 onde u é a seqüência de amostras recebida or amostragem fracionária T do canal, com i = 1, 3,!, Na 1 variando na medida em que n =, 1,!, Nr 1, sendo N a o número total de amostras a serem recebidas or amostragem fracionária do canal, Na L 1 Nr = +1 é o número total de regressores a serem obtidos do canal e T é o intervalo entre os símbolos gerados no transmissor. é o oerador que resulta no inteiro mais róximo e menor que o argumento. 5 Obter a saída do equalizador no instante n: T y( = V ( r( 6 Atualizar o vetor de esos V : V ( n +1) = V ( + η y( ( γ y( ) r * ( onde η é o asso de adatação do vetor V, η >. 7 Incrementar indexadores : i=i+ n=n+1 34

35 8 Testar fim de loo: Se L + i > N FIM a caso contrário reetir etaas 4 a 8. Tabela 4.1: Sumário do algoritmo MA alicado à equalização de canal Exemlos de Oeração do Algoritmo MA Nos exemlos que seguem, a fonte de informação s ossui média zero, variância unitária, distribuição uniforme e indeendente e é transmitida através do canal or meio de modulação 16 QAM. Os dois canais de microondas a serem equalizados, M e M6, aresentam SNR=35dB ruído branco Gaussiano é adicionado na entrada do equalizador tal que a razão entre a variância do sinal e a variância do ruído seja 35dB. A dimensão do equalizador L é igual à dimensão da disersão de canal L c tal que L = L c = 16. A inicialização do vetor V segue a estratégia denominada single sike [hung], que consiste em inicializar V com 1+ j na osição ξ = L, mantendo nulos os elementos nas demais osições. Em caso de não convergência, o equalizador faz novas tentativas em torno de ξ = L, isto é, ξ = L ± λ, λ =1,,! [Haykin4]. O asso de adatação η do filtro do equalizador MA é exerimentalmente ajustado objetivando atender o comromisso entre ráida convergência e baixo MSE de regime ermanente. São aresentados os seguintes resultados: 1- Gráfico da constelação Γ na saída y do equalizador aós a convergência, tendo como referência a constelação do alfabeto Α da fonte, sendo Α reresentado no gráfico elo conjunto de símbolos +. - Gráfico da constelação Φ na entrada u do equalizador que resulta na constelação Γ na saída y, tendo como referência a constelação do alfabeto Α da fonte, sendo Α reresentado no gráfico elo conjunto de símbolos Gráfico da curva ISI(i ), i =,,!, N a 1, onde N a é o número total de amostras recebidas or amostragem fracionária T do canal, e ISI(i ) é a medida de reverberação no sinal equalizado y no instante i, obtida ela Equação (6.43) calculada ara este instante. 4- Gráfico da curva MSE(i ), i =,,!, N a 1, sendo MSE(i ) o erro médio quadrático entre a saída equalizada y e a seqüência original transmitida s, considerando-se ara a média o intervalo de amostras que inclui o instante i e as L + L c 1 amostras anteriores ao mesmo. Adicionalmente, este gráfico mostra a reta horizontal NT que define o nível de MSE máximo ermissível (ver Tabela 1.1) ara que a transferência do algoritmo MA ao algoritmo DD seja ossível, caso se deseje efetuar esta oeração. 35

36 5- Gráfico do módulo h ( e fase h (, em graus, da resosta imulsiva combinada do canal e equalizador h ( definida elos comonentes do vetor H obtido da Equação (6.38) comutada aós a convergência. A Figura 6.1 mostra os resultados obtidos ara a equalização do canal de microondas M (ver Aêndice III deste caítulo), canal considerado "comortado", ois não ossui muitas raízes sobre o círculo de raio unitário e nenhum ar de raízes exatamente refletidas sobre a origem. A Figura 6.13 mostra os resultados ara o canal de microondas M6. Note que, ara este canal, a ISI(i ) é menor e o MSE(i ) é maior do que ara o canal M. Isto ocorre orque o cursor (elemento de maior módulo) de h (, ara quaisquer η e " ξ, aresenta um ângulo de fase não nulo ( 14 na Fig. 6.13e) aós a convergência, imlicando no giro corresondente da constelação Γ. 36

37 Fig. 6.1a: Γ Fig. 6.1b: Φ Fig. 6.1c: ISI(i) Fig. 6.1d: MSE(i) Fig. 6.1e: h ( e h ( [ ] Figura 6.1: Resultados obtidos ara o canal M, modulação 16 QAM ( γ = 1. 3 ), 3 SNR=35dB. Parâmetros: N = 3, η = 1 1 e ξ = 8. a 37

38 Fig. 6.13a: Γ Fig. 6.13b: Φ Fig. 6.13c: ISI(i) Fig. 6.13d: MSE(i) Fig. 6.13e: h ( e h ( [ ] Figura 6.13: Resultados obtidos ara o canal M6, modulação 16 QAM ( γ = 1. 3 ), 3 SNR=35dB. Parâmetros: N = 3, η = 1 1 e ξ = 1. a 38

39 6.6 Equalizador DFE Equalizadores DFE (DFE Decision Feedback Equalizer) somam ao sinal recebido y uma realimentação negativa da filtragem das estimativas s ˆ( = Q{ o( } dos símbolos originalmente transmitidos, na eserança de anular a disersão do canal ela subtração da disersão estimada elo filtro, conforme mostra a Figura Um DFE não consegue desconvoluir o canal sem que o diagrama de olho esteja elo menos arcialmente aberto. Portanto, um DFE necessita que haja um equalizador transversal révio a ele. Assim, y na Figura 6.14 reresenta a saída de um equalizador transversal. Um DFE não sofre do roblema de amlificação de ruído inerente ao equalizador transversal, visto que um DFE não aroxima a inversa do canal. A ISI é reduzida ela subtração da disersão do canal estimada elo filtro do DFE. Desta maneira, um DFE consegue reduzir significativamente o MSE residual na saída y do equalizador transversal révio. Observe na Figura 6.14 que a saída o é realimentada à entrada através do quantizador Q e do filtro B. Assim, ao ocorrer uma estimativa errada s ˆ( = Q{ o( }, o erro se roagará elo filtro durante vários intervalos amostrais, realimentando-se sobre si mesmo. Esta situação define o chamado erro de roagação [asas][kennedy]. O erro de roagação em um DFE causa, de maneira imrevisível, a elevação da robabilidade de erro nos símbolos recebidos SER (SER Symbol Error Rate) a níveis inaceitáveis durante longos intervalos de temo. Por este motivo o uso de DFEs ode resultar em uma faca de dois gumes quanto ao desemenho de um sistema digital. As recentes tentativas de minimizar o erro de roagação em equalizadores DFE têm aresentado resultados aenas moderados [Balakrishnan]. Analisaremos aqui um DFE ara sinais modulados cujos símbolos sejam reais (8-VSB, or exemlo). A Figura 6.14 mostra o equalizador DFE no instante n. Portanto, como o instante é definido, visando a comacidade das equações no desenvolvimento que segue, continuaremos não exlicitando o indexador n ara as variáveis envolvidas a menos que n não seja inequivocamente definido elo contexto. 39

40 Figura 6.14: Diagrama de um Equalizador DFE. A entrada y é roveniente da saída de um equalizador transversal révio ao DFE. B = 1! B L 1 é atualizado elo Gradiente Estocástico, visando minimizar a função de custo J. Observe que J mede o quadrado da diferença entre a saída Q {} o do quantizador (o símbolo mais róximo de o) e a saída o do equalizador. A saída do equalizador é dada or A artir de sua inicialização, o vetor de esos [ B B ] T onde [ D D ] T D 1 D L 1 =!, ou () n B() n T o( = y( D (6.65) o ( = y( L 1 k= B k () n D () n k (6.66) A minimização da função de custo J é feita através de sucessivos ajustes do vetor B elo algoritmo Gradiente Estocástico, à medida que n é incrementado: onde J 1 = J( n ) E {( Q{} o o) } = limj( n {( Q{ o() n } o( ) } 1 = n ( J( ), = 1,, 1 (6.67) (6.68) B ( n + 1) = B ( + η,l- (6.69)! B é o -ésimo eso do vetor de esos B, η é o asso de adatação, η >, e 4

41 J J = B (6.7) é o -ésimo comonente do vetor gradiente de J tomado com relação à variação do -ésimo comonente do vetor B. Substituindo (6.68) em (6.7), J () n = 1 ( Q{ o() n } o( n ) B () n (6.71) Mas ara n, quando o rocesso de atualização do vetor B suostamente converge, Q { o() n } torna-se um valor constante e indeendente do vetor B. Portanto a derivada de Q { o() n } em (6.71) é nula sob convergência do rocesso. Tendo este fato em mente, (6.71) torna-se J () n = ( Q{ o() n } o( ) () n o B () n mas, a artir de (6.66), e como y não deende de B, temos que L 1 L 1 o() n = y n Bk () n Dk () n Bk n D B () n B () n ( ) = k B () n = k= () () n = D () n k (6.7) (6.73) e substituindo (6.73) em (6.7) temos J n = Q o n o n D n (6.74) () ( { ()} ( )) ( ) () n = ( o() n Q{ o() n }) D ( J (6.75) substituindo (6.75) em (6.69), B ( n + 1) = B ( + η o n Q o n D n, = 1,,,L- (6.76) ( () { ()}) ( ) 1! ou em forma vetorial B ( n + 1) = B( + η o n Q o n D n (6.77) ( () { ()}) () A Equação (6.77) define a atualização adatativa do vetor B do filtro do DFE mostrado na Figura

42 Aêndice I A Transformada Z AI.1 Revisão de Transformada de Lalace e Freqüência omlexa Seja x (t) uma função contínua no domínio temo. Define-se como Transformada de Lalace de x (t) a reresentação matemática: sendo s = α + jω X(s) = L { x() t } = x(t)e st dt (A1.1) A Equação (A1.1), determina o Esectro de Freqüências omlexas do sinal x (t), isto é, X (s). Analisemos o orquê desta denominação. Visto que s = α + jω, então X (s) é uma função com domínio s comlexo. A imagem X (s) é também comlexa ois (A1.1) ode ser interretada como uma soma onderada de valores de x (t) ao longo de intervalos infinitesimais de temo com fatores de onderação dado or números comlexos e st. Visto que a variável de integração t em (A1.1) tem a dimensão de temo, o exoente da exonencial e st deve ser uma grandeza adimensional, caso contrário estaria em desacordo com a interretação de (A1.1) como uma soma de valores de x (t) ao longo de intervalos infinitesimais de temo. Por exemlo, se x (t) é dado em [ volt ] então X (s) é dado em [ volt segundo]. Portanto, o arâmetro s deverá ter a dimensão do inverso do temo, isto é, freqüência, ou, equivalentemente, variação. Sendo assim, s é uma grandeza comlexa que reresenta modos de variação. A arte real α de uma esecífica freqüência comlexa s = s, sendo s = α jω ertencente ao conjunto s de freqüências comlexas do esectro que + reresenta x (t), está associada à variação exonencial α e t da função x (t). Por outro lado, a arte imaginária ω de s = α + jω está associada à variação oscilatória senoidal jωt e = cos ωt jsenωt da função x (t), naquela freqüência s = α + jω. Portanto, visto que e st αt = e ( cosωt jsenωt), a Transformada de Lalace decomõe um sinal no temo x (t) em modos de variação exonenciais (não-oscilatórias) e senoidais (oscilatórias), cada um deles determinado or cada freqüência do conjunto s de freqüências comlexas. 4

43 X ( s ) PURS Faculdade de Engenharia Deartamento de Engenharia Elétrica O módulo da comonente esectral comlexa { X ( s )} j X ( s ) X ( s ) e =, i.e., reresenta a intensidade da contribuição daquele modo de variação na freqüência s. A fase { ( )} X s do número comlexo X ( s ) reresenta o ângulo associado a quão jωt deslocada no temo está a contribuição da variação oscilatória e na freqüência s. Um ângulo de fase ara X s ) de π/ radianos, or exemlo, significa que o modo de ( variação oscilatório na freqüência s é jω t j e e ( π ) j( ω t + π ) = e π π π T j t + j t + T T 4 = e = e (A1.) ou seja, o modo de variação está deslocado T 4 segundos no temo, sendo T o eríodo da comonente oscilatória senoidal na freqüência comlexa s definido or T = π ω. A interretação acima baseia-se no fato de (A1.1) somar onderando ao longo do temo x (t) com a exonencial e st, isto é, (A1.1) rocura estabelecer o grau de semelhança entre x (t) e e st. Esecificamente, (A1.1) rocura estabelecer o grau de semelhança entre x (t) e variações exonenciais e/ou senoidais definidas ela freqüência comlexa s. Quanto mais semelhante for x (t) com o fator e st na freqüência s, maior será o roduto x(t) e st j { X ( s) }, e, ortanto, maior será o módulo X (s) de X ( s) = X ( s) e. Ainda, o grau de semelhança X (s) na freqüência s é válido ara um deslocamento no temo da variação senoidal dado or { X () s } T π segundos, ou seja, a variação jω( t + { X () s } T π ) oscilatória na freqüência s é caracterizada or e, sendo T = π ω. Resumindo: O esectro X (s), distribuído ao longo do lano comlexo s, define como x (t) é construída a artir de variações senoidais e exonenciais. Tendo isto em mente, a artir de (A1.1) é ossível mostrar que [Zeldovich]: x(t) = 1 L αm+ j 1 πj αm j st { X () s } = X(s)e ds (A1.3) A Equação (A1.3) é a chamada Transformada de Lalace Inversa de X (s). Dado o esectro X (s), a Equação (A1.3) esecifica como reconstruir x (t) no temo. A artir do Teorema de auchy (ver Aêndice II), é ossível mostrar que os limites de integração α m j a α m + j em (A1.3), muito embora definam um caminho retilíneo, equivalem a varrer onto a onto o lano comlexo s. Esta varredura total do lano s é garantida desde que a reta α m esteja à direita do ólo de X (s) mais à direita no lano s. Assim, (A1.3) ode ser interretada como uma varredura em todo lano s efetuando uma soma 43

44 onderada das comonentes esectrais X (s), com fator de onderação dado or e st. Em outras alavras, (A1.3) reconstrói (exande) x (t) a artir de uma série infinita de termos e st, onderados or coeficientes X (s), infinitesimalmente distintos entre si, já que s é uma variável contínua. Para encerrar a análise interretativa da Transformada de Lalace, consideremos, a título de exemlo, a função do temo x (t) e resectivo Esectro de Freqüências omlexas X (s), sendo X (s) obtido de x (t) através de (A1.1) e sendo x (t) obtido de X (s) através de (A1.3) : x(t). e 5t ( 6t " (A1.4) = 15 cos ).u(t) = s + 7 X(s) s +1 s + 61 (A1.5) A Figura A1.1 mostra a localização dos ólos e zeros de X (s) no lano s e um ossível caminho de integração ao longo da reta α m ara cômuto da Transformada Inversa de Lalace (Equação (A1.3)). Foi dito ossível orque qualquer valor de α m que localize o caminho retilíneo de integração à direita de todos os ólos de X (s) é válido. Figura A1.1: Root Locus de X (s) e contorno de integração ara cômuto de (A1.3). 44

45 As Figuras A1. e A1.3 mostram a vista tridimensional da Figura A1.1, resectivamente as suerfícies de módulo e ângulo do esectro X (s). Obviamente, visto que X (s) é um número comlexo, são necessários dois gráficos tridimensionais ara definir X (s), um ara a suerfície da função X (s) e outro ara a suerfície da função { X () s }, lotadas contra o lano s, que é o conjunto de domínio destas funções. Figura A1.: Módulo do esectro de freqüências comlexas X (s) com too dos ólos limitado em 1.. Figura A1.3: Ângulo do esectro de freqüências comlexas X (s). 45

46 AI. A Transformada Z Suonhamos, agora, que uma função x (t), cujo esectro de freqüências comlexas é X (s), seja amostrada no temo sob um eríodo de amostragem T a, isto é, x(t) = x(nta ), n = 1,,,! (A1.6) Para um sinal x (t) desta forma amostrado, temos que a Equação (A1.1) assume a forma X Definindo nt nt n= a a snt st n st ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) n a a a s = x nta e d nta = x nta e d nta = x n e e substituindo (A1.8) em (A1.6): X z=e st a n= n () z = x() n z n= n= (A1.7) (A1.8) (A1.9) A equação (A1.9) constitui a Transformada Z da seqüência x (. Note que tanto n como z são ambas grandezas adimensionais. O fato de n ser adimensional torna-se óbvio ela equação (A1.6), isto é, n é aenas o índice da amostra. A grandeza z é adimensional ela equação (A1.8), orque sendo a dimensão de s [temo] -1 e sendo a dimensão de T a [temo], a função exonencial alicada sobre uma grandeza adimensional ( o roduto de s or T a ), resultará em uma grandeza também adimensional. AI.3 A Interretação da Transformada Z O que reresenta z e X () z, já que z é uma grandeza adimensional? A artir de (A1.8) e definindo a freqüência de amostragem z=e s α jω α jω st a fa fa fa f a r j θ = e = e = e e = e e = f = 1 T temos: + (A1.1) θ ρe j Ou seja, z é o resultado da normalização do lano s de freqüências comlexas em relação à freqüência de amostragem f a, com subsequente maeamento através da u transformação z = e [hurchill], onde u = s f a reresenta o lano s normalizado em relação a f a. Em outras alavras, quando um sinal x (t) é amostrado a uma freqüência de amostragem f a, dando origem à uma seqüência x (, não existe mais um domínio s de freqüências comlexas absolutas, mas sim, um domínio de freqüências relativas u, cujo arâmetro de referência é a freqüência de amostragem f a. Sobre este domínio relativo u alica-se a transformação u z = e, no sentido de simlificar o trabalho comutacional a a 46

47 envolvido na Equação (A1.7), eliminando assim o cômuto adicional da exonencial que haveria caso mantivéssemos o domínio da função resultante de (A1.9) como sendo s e não z. O cômuto da exonencial em (A1.7) imõe um custo comutacional desnecessário visto que, conforme veremos a seguir, todas as informações contidas no lano s são maeadas no lano z através de (A1.8). Pela análise de (A1.1) verifica-se que o maeamento or ela definido é tal que uma trajetória aralela ao eixo α no lano s (variação somente em α) é maeado em uma fa trajetória radial no lano z (variação somente em ρ), uma vez que ρ = e. Por análise semelhante, uma trajetória aralela ao eixo jω no lano s (variação somente em ω) é maeada em uma trajetória circular no lano z (variação somente em θ), uma vez que jω f jθ e a = e. De onde odemos inferir que f θ = ω f = a π. f a α (A1.11) jθ Note de (A1.1) que o eixo jω do lano s transforma-se em um círculo 1e com raio unitário no lano z, de tal forma que todos os ontos à esquerda do eixo jω no lano s jθ são maeados dentro do círculo de raio unitário 1 e no lano z e os ontos à direita do jθ eixo jω no lano s são maeados fora do círculo de raio unitário 1 e no lano z. Observe também que os ontos ω [, + ) no semi-eixo ositivo jω no lano s são maeados no jθ semi-círculo 1 e no lano z, com θ [,π ); e que os ontos ω (, ] no semi-eixo jθ negativo jω no lano s são maeados no semi-círculo e θ π,. 1 no lano z, com ( ] Ainda, de (A1.11), note que a máxima freqüência f M = f a ermitida no esectro de x (t) ara que não ocorra aliasing no rocesso de amostragem é maeada sobre o círculo de raio unitário nos ontos θ = ± π. De fato, a medida que o esectro de x(t) contenha qualquer freqüência f > f a, esta será maeada em um onto sobre o círculo jθ 1 e ara o qual já exista maeada alguma outra freqüência f < f a, caracterizando, assim, a suerosição esectral resultante do aliasing. Sob este onto de vista, X () z reresenta esectro, a diferença sendo que o domínio freqüência encontra-se distorcido ela assagem de s ara z através da u transformação simlificadora z = e. Poderíamos erguntar orque então não usar a Transformada de Lalace X (s) ara um sinal amostrado x ( nta ) em vez da Transformada Z X () z, já que ambas resultam em uma reresentação esectral? A resosta a esta ergunta ode ser dividida em três artes: 1- O custo comutacional da determinação de X () z é menor do que o de X (s) devido à sta inexistência do termo exonencial e. 47

48 - Ao usar X (s) ao invés de X () z estaríamos automaticamente incluindo em X (s) comonentes esectrais redundantes decorrentes do rocesso de amostragem que nada teriam a ver com as comonentes esectrais do sinal útil em si x (, o qual efetivamente constitui a informação a ser transmitida e/ou rocessada. 3- O uso de X (s) ao invés de X () z dificultaria a análise de qualquer sistema amostrado excitado or um sinal esectralmente definido or X (s), visto que tal esectro conteria comonentes somente úteis e significativas no contexto da amostragem e que inevitavelmente serão eliminadas elo filtro assa-baixa no rocesso inverso da digitalização. Uma vez obtido o esectro de um sinal no domínio z através da Transformada Z, a análise deste sinal torna-se indeendente da freqüência de amostragem f a, desde que reseitadas os critérios ara não-ocorrência de aliasing [Oenheim][Stearns], situação decorrente da suerosição no domínio freqüência Z imlicada or θ > π em (A1.11). Assim como na Transformada de Lalace utilizamos o conceito de que x (t) ode ser reconstruído a artir das comonentes esectrais definidas em X (s) (Equação (A1.3)), da mesma forma x ( ode ser reconstruído elas comonentes esectrais definidas em X () z [Oenheim], através da relação : x () n = X () z z n 1 dz (A1.1) A Equação (A1.1) é a chamada Transformada Z Inversa de X () z, ou seja, dado o esectro X () z, (A1.1) esecifica como reconstruir x ( no domínio temo discreto. Note que a integração é realizada sobre um contorno fechado em z. Este contorno fechado nada mais é do que a reta α m ( α m j a α m + j ) de (A1.) maeada de s ara z através u da transformação z = e. Assim como a reta α m deve estar à direita do ólo de X (s) mais à direita no lano s conforme já discutido na análise da Equação (A1.3), o contorno de integração fechado de (A1.1) deve estar localizado externamente ao ólo de X () z mais afastado da origem do lano z, obedecendo, assim, ao maeamento dado or (A1.1). Esta região na qual obrigatoriamente deve estar contido denomina-se RO (Region Of onvergence), mas absolutamente não imlica que X () z inexista fora dela. Assim como X (s) continua existindo mesmo à direita da reta α m (ver Figuras A1. e A1.3), X () z existe e é definida mesmo fora da RO. abe aqui observar que estamos tratando de seqüências x ( causais, orque estamos relacionando a Transformada de Lalace com a Transformada Z [Stearns]. A Transformada Z, no entanto, ermite a determinação do esectro X () z de seqüências não-causais, o que equivaleria na Transformada de Lalace a inverter o sentido do caminho de integração da reta α e, em conseqüência, admitir a existência do sinal x (t) somente m 48

49 ara t <. Nesta situação hiotética, a reta α m deveria estar à esquerda dos ólos de X (s) e conseqüentemente deveria estar localizado internamente aos ólos de X () z. onsideremos, a título de exemlo, o ar de transformadas, definido elas equações (A1.4) e (A1.5), mas suonhamos que x (t) seja agora amostrado sob um eríodo de amostragem Ta =. 1segundos. Nesta situação, a função no temo discreto x ( e resectivo Esectro de Freqüências omlexas X () z, relacionados através das equações (A1.9) e (A1.1), são: x( = 15. e. 5n cos(. 6n " )u( (A1.13) = z(z. 367 ) (A1.14) X(z) z z A Figura A1.4 mostra a localização dos ólos e zeros de X () z no lano z e um ossível caminho de integração ao longo do contorno definido elo círculo denominado limite interno da RO ara cômuto da Transformada Z Inversa (Equação (A1.1)). Foi dito ossível orque qualquer círculo externo à este seria válido como contorno ara cômuto de (A1.1). Note que ao maearmos no lano z os ólos em s de X (s) (Equação (A1.5) e Figura A1.1) através de (A1.1) com f a = 1 Ta = 1 Hertz, as osições maeadas em z coincidem com as osições dos ólos de X () z dada or (A1.14). Figura A1.4: Root Locus de X () z sendo a RO reresentada ela região sombreada. As Figuras A1.5 e A1.6 mostram o gráfico tridimensional da Figura A1.4, resectivamente as suerfícies de módulo e ângulo do esectro X () z. 49

50 Figura A1.5: Módulo do esectro X () z com too dos ólos limitado em 4.. Figura A1.6: Ângulo do esectro X () z. 5

51 Aêndice II Reconstrução de x(t) a artir de suas omonentes Esectrais no lano s Seja uma função no temo x (t), com instante inicial em t =, e seja X (s) seu esectro de freqüências comlexas, onde s = α + jω. Seja x (t) construída a artir de seu esectro X (s) através de exressão x 1 (A.1) = π j s st () t X () s e ds ou seja, a integral (A.1) varre todo lano comlexo s rocurando as infinitas e infinitesimalmente distantes entre si comonentes esectrais X (s) no intuito de restituir a cada uma delas a variação temoral, onderando-as com a exonencial no temo e st de mesma freqüência comlexa s que a comonente esectral sendo onderada. Ocorre que o custo comutacional de (A.1) é altíssimo, visto que imlica na varredura onto a onto de todo lano comlexo s. No sentido de reduzir este custo comutacional vamos definir uma estratégia de varredura do lano s que evite esta situação, mas que seja equivalente. Uma maneira de varrer o lano s seria articioná-lo em infinitos contornos retangulares de dimensões infinitesimais, como mostra a Figura A.1. Note que as fronteiras de cada quatro contornos adjacentes se anulam devido aos sentidos contrários de integração nas fronteiras, resultando em um contorno equivalente que envolve os quatro originais. Figura A.1: Plano s subdividido em infinitos contornos retangulares de dimensões infinitesimais. ada quatro contornos adjacentes equivalem a um contorno envolvendo os quatro originais. 51

52 Se cada quatro contornos adjacentes resultam em um único contorno de dimensões equivalentes à soma dos quatro originais, odemos alicar este rocedimento em todo lano s e executar a varredura à rocura de comonentes esectrais simlesmente executando a integral definida or (A.1) ao longo de um caminho retangular de lados tendendo ao infinito, conforme mostra a Figura A.. Figura A.: Varredura do todo lano s realizada ela integração ao longo de um contorno retangular de lados L tendendo ao infinito. Mas se os lados do contorno retangular tendem ao infinito, um observador sentado no lano s localizado em qualquer osição finita não oderá distinguir as fronteiras do contorno da Figura A.. Sendo assim, a forma do contorno não imorta, desde que suas fronteiras estejam no infinito. Portanto o contorno de integração da integral definida ela Equação (A.1) ode ser o mostrado na Figura A.3. Figura A.3: Varredura do todo lano s realizada ela integração ao longo de um contorno circular de raio tendendo ao infinito. 5

53 Mas sabemos do Teorema de auchy [Zeldovich][hurchill] que a integral de uma função comlexa ao longo de um caminho fechado definido sobre o lano comlexo de domínio da função é nula se o caminho fechado não engloba nenhum ólo ou singularidade da função comlexa. Sendo assim, vamos dividir o contorno da Figura A.3 em dois contornos 1 e, searados ela fronteira em α, de tal forma que todos os ólos de X (s) estejam à esquerda da fronteira α m, conforme mostra a Figura A.4. m Figura A.4: Varredura do todo lano s realizada ela integração ao longo dos contornos 1 e. Todos os ólos de X (s) estão à esquerda da fronteira α m. 53

54 Mas, elo Teorema de auchy, a integral definida or (A.1) ao longo do contorno é nula. Se fizermos, aós esta consideração, o raio do contorno 1 tender efetivamente ao infinito teremos o contorno definido na Figura A.5. Note que este é o caminho de integração definido na equação (A1.3), e or mais estranho que ossa arecer, estamos realizando a varredura sobre todo lano s se aenas fizermos a integral (A.1) sobre este caminho retilíneo. Figura A.5: Varredura do todo lano s a rocura de comonentes esectrais realizada ela integração ao longo do caminho definido ela reta α m. A reta α m está à direita de todos os ólos de X (s). 54

55 Aêndice III Modelos de anais Objetivando testar novos sistemas equalizadores em situações mais róximas o ossível da oeração real, a comunidade de esquisadores da área costuma utilizar modelos de canais disoníveis na base de dados da Universidade de Rice, Houston, Texas, USA. Esta base de dados é conhecida como Signal Processing Information Base (SPIB) e ode ser acessada em htt://sib.rice.edu/. A SPIB tem sido bastante utilizada como referência em muitos trabalhos recentes que rocuram evitar o cunho de serem aenas acadêmicos, visto que a base de dados é resultante de medidas e simulações em camo de sistemas reais e ráticos. Informações adicionais, incluindo estudos e artigos com base na SPIB, odem ser encontradas no site do Blind Equalization Research Grou (BERG) em htt://backhoe.ee.cornell.edu/berg/, ertencente à Universidade de ornell, Ithaca, New York, USA. AIII.1 Descrição da Base de Dados Os modelos de canais de microondas a serem utilizados odem ser acessados em htt://sib.rice.edu/sib/microwave.html. Estes modelos constituem a resosta ao imulso, medida em camo, de diversos canais de microondas reais. Muito embora seja aresentada nesta estudo a caracterização comleta de cada canal utilizado, tanto no domínio temo como no domínio freqüência, informações adicionais odem ser obtidas em [Johnson3], [Treichler] e [Endres]. A resosta ao imulso dos canais de microondas da SPIB é obtida sob uma razão de amostragem alta, da ordem de dezenas de megabauds or segundo, resultando em resostas imulsivas com centenas de amostras. Isto ermite que cada esquisador decime a seqüência resultante or um fator adequado ao seu caso de articular interesse, sem que se erca informação significativa. A surema maioria dos trabalhos raramente utiliza uma resosta imulsiva de canal com mais de algumas dezenas de amostras. Neste estudo, ara que se mantenha termo de comaração com recentes trabalhos na área [LeBlanc][Endres1][hung], os canais de microondas SPIB serão decimados ara 16 amostras. A Tabela AIII.1 identifica os canais SPIB utilizados e estabelece a resectiva designação a ser doravante aqui adotada. Por exemlo, ao referir-se ao canal M neste texto, entenda-se: o canal cuja resosta ao imulso resulta da decimação ara 16 amostras da seqüência de amostras do arquivo chan.mat da base de dados SPIB referente a canais de microondas. 55

56 Arquivo SPIB: (microondas) PURS Faculdade de Engenharia Deartamento de Engenharia Elétrica Razão de amostragem 1 T do transmissor em Mbauds/s (conforme htt://sib.rice.edu/sib/microwave.html ): Número de amostras no arquivo SPIB resultante da amostragem fracionária T da resosta imulsiva recebida do canal: Designação, neste estudo, da resectiva resosta imulsiva gerada or decimação do arquivo SPIB ara 16 amostras: chan.mat.5 3 M chan6.mat 3 3 M6 Tabela AIII.1: Modelos de canais de microondas da base de dados SPIB utilizados neste estudo. Para que a localização dos zeros da função de transferência FIR de um canal SPIB não seja alterada, utiliza-se decimação no domínio freqüência [Strum][Endres1]. Esecificamente, o número de amostras em um arquivo SPIB é estendido ara a róxima otência inteira de mediante o acréscimo de amostras nulas em seqüência. A seguir é alicada a FFT (FFT Fast Fourier Transform) sobre a seqüência estendida e a resultante seqüência no domínio freqüência é decimada ara 16 amostras. Alica-se então a IFFT (IFFT Inverse Fast Fourier Transform) sobre a seqüência decimada no domínio freqüência resultando em uma seqüência de 16 amostras no domínio temo, corresondente à resosta imulsiva decimada. aso fosse utilizada decimação no domínio temo, seriam gerados efeitos de aliasing [Strum], alterando, em esecial, a osição das raízes refletidas e das raízes róximas ao círculo de raio unitário, o que oderia transformar os canais SPIB em um conjunto de canais acadêmicos. Outro tio de modelo de canal utilizado neste estudo é o reresentativo de canais ara TV a cabo, os quais odem ser acessados em htt://sib.rice.edu/sib/cable.html. A razão de amostragem utilizada ara estes canais da SPIB é a usualmente utilizada em decodificadores de TV a cabo ráticos. Assim, ara que se mantenha termo de comaração com trabalhos na área, estes canais não serão decimados. A Tabela AIII. identifica o canal de TV a cabo SPIB utilizados e estabelece a resectiva designação a ser doravante aqui adotada. Por exemlo, ao referir-se ao canal neste estudo, entenda-se: o canal cuja resosta ao imulso é dada ela seqüência de amostras do arquivo chan.mat da base de dados SPIB referente a canais de TV a cabo. Arquivo SPIB: (TV a cabo) Número de amostras no arquivo SPIB resultante da amostragem fracionária T da resosta imulsiva recebida do canal: (conforme htt://sib.rice.edu/sib/cable.html.) Designação, neste estudo, da resectiva resosta imulsiva associada: chan.mat 18 Tabela AIII.: Modelo de canal de TV a cabo da base de dados SPIB utilizado neste estudo. AIII. aracterização dos anais Neste estudo, os canais M, M6 e, RR serão caracterizados or: 56

57 1- Módulo c ( e fase c( (em graus) da resosta imulsiva c ( resultante da amostragem fracionária T da resosta ao imulso c (t) do canal. - O lugar no lano z dos zeros de (z). 3- O lugar no lano z dos zeros de PAR ( z) e IMPAR ( z). Fig. AIII.1a: c (. Fig. AIII.1b: c( em graus. Fig. AIII.1c: Zeros de (z). Figura AIII.1: aracterização do canal M. Fig. AIII.1d: Zeros de PAR ( z) e IMPAR ( z) *. 57