Capítulo III O Processo de Desconvolução de um Canal Dispersivo

Transcrição

1 or F... De astro e M..F. De astro a. III aítulo III O Processo de Desconvolução de um anal Disersivo Vimos no aítulo I que ao transmitir uma seqüência de símbolos s (nt ) através de um canal de transmissão disersivo, a seqüência u (nt ) recebida no recetor é tal que u (nt ) Α em conseqüência da convolução da seqüência original s (nt ) com a resosta ao imulso discreta c (nt ) do canal, sendo Α { s, s,! sm } o alfabeto da informação a ser transmitida (conjunto de símbolos do tio de modulação utilizada), constituído or M ossíveis símbolos, e T o intervalo de amostragem dos símbolos ou intervalo de Baud. O grau de disersão de um canal disersivo é medido elo intervalo de L c amostras não nulas que resultam em resosta a uma excitação imulsiva imosta ao canal. onectado ao transmissor através do canal disersivo, o equalizador no recetor deverá efetuar a desconvolução do canal de modo ao demodulador ser caaz de identificar a quais símbolos do alfabeto Α ertencem as amostras do sinal recebido u (n), de acordo com a seqüência originalmente transmitida, s (n). Neste contexto, o resente caítulo estuda os rinciais rocessos ara desconvolução de um canal de transmissão disersivo. Desconvolução de anal sob Ruído e Reflexão Múltila onforme já discutido no aítulo I, um equalizador em série com um canal disersivo rocura imlementar adatativamente uma função de transferência F (z) que é igual ao inverso da função de transferência (z) do canal, a menos de um termo de atraso H d z : ( ) ( ) ( ) d () z z F z z

2 or F... De astro e M..F. De astro a. III A tarefa de desconvolução de um canal disersivo é dificultada ela resença inevitável de ruído e reflexões, inerentes a todo canal físico. À medida que a disersão do canal torna-se severa, a onto de incluir comonentes originados or reflexão múltila, oderá haver diversas jθ freqüências definidas sobre o círculo de raio unitário z. e no lano z, " " com 8 < θ 8, nas quais o canal aresenta ganho zero. Uma vez que o equalizador rocura imlementar adatativamente uma função de transferência F (z) que se aroxima do inverso da função de transferência (z) do canal, o equalizador tentará imlementar ólos nas freqüências dos zeros do canal, aresentando um alto nível de ruído nestas freqüências, o que oderá imedir a sua convergência ara a condição ZF, conforme exlicamos a seguir. Existem freqüências esecíficas que deendem dos arâmetros físicos do canal, ara as quais, se o sinal do transmissor fosse nelas transmitido, daria origem a múltilos comonentes refletidos [Tijonov][Jasik][Dolukhanov][Nikolski]. Nestas freqüências, os comonentes refletidos, ao se combinarem na chegada ao recetor, " somam-se com fase 8 ao sinal direto, anulando-o. Estas freqüências, ortanto, quando resultam ocorrer na banda de Nyquist, constituem uma arcela dos zeros de (z). Note que os sinais aqui referidos forçosamente encontram-se em regime ermanente, caso contrário não oderiam ser identicamente anulados or soma fasorial. Tais sinais têm sua reresentação esectral definida sobre o círculo de raio unitário no lano z [Strum]. Uma vez que estes zeros de (z) originam-se do cancelamento de sinal or reflexão, e como cancelamento de sinal or reflexão imlica em sinais em regime ermanente, as freqüências destes zeros jazem forçosamente sobre o círculo de raio unitário no lano z. Ao atingir a condição ZF, a função de transferência F (z) do equalizador aroxima-se do inverso da função de transferência (z) do canal. Portanto, as freqüências em que o canal (z) tem ganho nulo tenderão a ser infinitamente amlificadas or F (z) no equalizador.

3 or F... De astro e M..F. De astro a. III omo o ruído em geral é esectralmente branco, e está resente ao longo de todo ercurso do canal, inclusive na entrada do recetor, as freqüências de ruído que coincidirem com os zeros de (z) originados or reflexão múltila tenderão a ser amlificadas or F (z) até a eventual saturação do sistema equalizador.. Zeros Unitários Fora da Faixa de Passagem do anal A Figura mostra os zeros no domínio freqüência comlexa z do canal, caracterizado no aítulo II. Note que o canal aresenta zeros jθ róximos ao círculo de raio unitário z. e aenas na faixa de " freqüência θ >, na qual a atenuação do canal é altíssima (ganho jθ zero) devido aos zeros sobre o círculo z. e. Na faixa de assagem " jθ do canal, i.e. ara θ, não existem zeros sobre o círculo z. e. Figura : Raízes de (z) ara o canal, caracterizado no aítulo II. 3

4 or F... De astro e M..F. De astro a. III Um sinal a ser transmitido através de um canal através do qual se retenda enviar informação obrigatoriamente deve ter seu esectro contido na faixa de assagem do canal, caso contrário o sinal chegará no recetor com alta atenuação. Portanto, o sinal a ser desconvoluído elo equalizador no recetor é resultante da interação do esectro do sinal original com os zeros dentro da faixa de assagem do canal (e não com os zeros fora da faixa de assagem), justamente orque o esectro do sinal transmitido deve obrigatoriamente estar nela contido. Vimos que, se um equalizador aroxima a situação ZF, então F(z) aroxima (z), quando, então, os zeros de (z) tendem a se tornar ólos em F (z). No entanto, visto que um equalizador ajusta sua F (z) de acordo com o sinal recebido do canal, aenas os zeros de (z) dentro da faixa de assagem do canal tenderão a ser ólos de F (z). Desta maneira, zeros fora da faixa de assagem sobre o círculo jθ z. e atenuam totalmente o sinal a ser transmitido e, ortanto, o equalizador tende a desconsiderá-los, não reresentando-os como ólos em F (z). Assim, na Figura, os zeros de (z) róximos ao círculo de raio jθ " unitário z. e na faixa de freqüência θ > (fora da faixa de jθ assagem do canal) não induzem ólos sobre o círculo z. e em F (z), não ocasionando, ortanto, a indesejada amlificação de ruído no equalizador. Portanto, zeros de (z) róximos ao círculo de raio unitário fora da faixa de assagem do canal não resultam em amlificação de ruído no equalizador. Em geral, tais zeros de (z) não são originados or reflexão múltila e sim or atenuação devido a erdas dielétricas e/ou magnéticas ao longo do canal de transmissão. 4

5 or F... De astro e M..F. De astro a. III Desconvolução de anal via Equalizador LMS DD O equalizador LMS DD é clássico no contexto de equalização adatativa, contexto no qual o equalizador adata sua F (z) objetivando reduzir a ISI. A técnica baseia-se na transmissão de uma seqüência de treinamento reestabelecida [Widrow], a qual é conhecida a riori tanto no transmissor como no recetor. No recetor, o equalizador utiliza a seqüência de treinamento conhecida ara adatar F (z) de modo suervisionado, através do algoritmo LMS [Haykin], buscando atingir a condição ZF. A Figura mostra o diagrama de blocos de um equalizador LMS DD. Figura : Equalizador LMS DD. O rocesso de desconvolução inicia com a chave na osição LMS, e, aós o algoritmo LMS atingir um nível de MSE ( Mean Square Error e () n médio ) suficientemente baixo, a chave comuta ara a osição DD, disensando a transmissão da seqüência de treino d (n) ara a estimativa da seqüência originalmente transmitida s ˆ( n) Q{ y( n) }. No algoritmo DD, a saída y do equalizador é alicada a um quantizador Q, que é um disositivo de decisão que estima a qual símbolo do alfabeto Α mais róximo se encontra o valor de y, conforme mostra a Figura. Aós o algoritmo LMS atingir um nível de MSE suficientemente baixo, a chave comuta da seqüência de treino d (n) ara a estimativa da seqüência originalmente transmitida s ˆ( n) Q{ y( n) }. 5

6 or F... De astro e M..F. De astro a. III O algoritmo Gradiente Estocástico [Haykin] adata F (z) objetivando minimizar a função de custo J, a qual mede o erro quadrático instantâneo entre a seqüência de saída y (n) do equalizador e s ˆ( n) (ou mede o erro quadrático instantâneo entre y (n) e a seqüência de treino d (n) quando a chave está na osição LMS ). Note que se s ˆ( n) s( n) então o algoritmo DD torna-se idêntico ao algoritmo LMS. Em [Macchi] é mostrado que equalizadores com base no algoritmo DD convergem ara a condição ZF quando inicializados em uma condição de olho arcialmente aberto. Assim, como corolário, o algoritmo DD é caaz de acomanhar, de modo adatativo, lentas variações em (z) sem a necessidade exlícita de se retransmitir novamente o sinal de treinamento. É claro que, se o transmissor tivesse que enviar somente esta seqüência de suervisão, não haveria necessidade de equalizar o canal, já que este sinal de treinamento definido a riori não carrega informação útil. Na rática, no entanto, a seqüência de treinamento é transmitida somente na fase inicial do estabelecimento de comunicações onto a onto ou eriodicamente ara sistemas que oerem em modo broadcast. Aós a convergência do algoritmo LMS, situação em que o valor do erro médio quadrático (MSE Mean Squared Error) da saída com relação à seqüência de treino é baixo, o equalizador LMS DD transfere o rocesso de equalização ara o chamado algoritmo DD (DD Direct Decision) [Lucky]. O algoritmo DD disensa a seqüência de treino enquanto nenhuma alteração súbita e significativa ocorrer no canal. O equalizador LMS DD é um equalizador não-autodidata ou suervisionado orque tem acesso à seqüência de símbolos originais s(n) através da seqüência de treino d (n). Isto torna o rocesso de desconvolução suervisionado muito mais fácil do que o rocesso de desconvolução denominado autodidata, o qual não necessita deste sinal de referência. No entanto, esta facilidade imlica na resultante enalidade de reduzir a banda assante do sistema digital como um todo, conforme discutiremos na Seção 3. 6

7 or F... De astro e M..F. De astro a. III. Descrição do Equalizador LMS DD A Figura 3 descreve um Equalizador LMS DD. A seqüência de amostras u (n) recebida do canal é seqüencialmente armazenada na fila (queue) de blocos z ( z : saída do bloco atrasada de uma amostra com relação à entrada). Figura 3: Diagrama de um Equalizador LMS DD com L delays. O equalizador é mostrado no instante n. A seqüência d reresenta a seqüência de treino enviada elo transmissor (chave na osição LMS na Figura ) ou a saída do quantizador Q (chave na osição DD na Figura ) Uma vez que um grande número de sistemas digitais utiliza modulação M-QAM e M-PSK, as amostras u (n) são, em geral, números comlexos. O conjunto de saídas da fila de blocos z define o vetor [ r r! ] T, denominado regressor do canal. r r L O conjunto de coeficientes { W W,, W L },! define os ganhos dos caminhos que chegam ao somador Σ. O somador Σ estabelece a soma das saídas dos blocos z onderadas elo conjunto de coeficientes { W, W,!, W }, de forma que L ( z) W + W z + + W L z. L F! A F (z) assim imlementada define um filtro FIR transversal [Strum] e um equalizador cuja arquitetura seja a mostrada na Figura 3 é denominado de equalizador transversal. 7

8 or F... De astro e M..F. De astro a. III. Análise do Equalizador LMS - DD A Figura 3 mostra o equalizador no instante n. omo o instante é definido, visando a comacidade das equações no desenvolvimento que segue, não exlicitaremos o indexador n ara as variáveis envolvidas a menos que n não seja inequivocamente definido elo contexto. A artir de sua inicialização, o vetor de esos W [ W W W ] T! L é atualizado elo Gradiente Estocástico, visando minimizar a função de custo J. Observe que J mede o quadrado da norma Euclidiana entre a saída do equalizador e o símbolo da seqüência de treino (ou o símbolo na saída do quantizador Q se a chave estiver na osição DD na Figura ). Seja o vetor reresentativo do n-ésimo regressor do canal r (n), n,,!, definido or () r k ( n) u( L k + n), k,,!, L onde L é a dimensão do equalizador e u é a seqüência de amostras recebida do canal. A saída do equalizador é dada or ou y W y que é identicamente equivalente à Re L k T r W k r k L L y k k k k k k [ Re{ W } Re{ r } Im{ W } Im{ r }] + j [ Re{ W } Im{ r } + Im{ W } Re{ r }] {} y + j Im{} y, j k k k (3) (4) k (5) 8

9 or F... De astro e M..F. De astro a. III A minimização da função de custo J é feita através de sucessivos ajustes do vetor W elo algoritmo Gradiente Estocástico, à medida que n é incrementado: W J E { d y } lim J( n) n { d() n y( } J( n) n) ( J( n) ),,, (8) ( n + ) W ( n) + η,l- w! onde W é o -ésimo eso do vetor de esos W, adatação, η w >, e J R J+ j I J J Re { W } Im{ W } + j J (6) (7) η w é o asso de é o -ésimo comonente do vetor gradiente comlexo de J tomado com relação à variação do -ésimo comonente do vetor W. (9) Substituindo (7) em (9): Mas de (5): d y Re + Im J d y Re d y + j { W } Im{ W } ( Re{} d Re{} y ) + ( Im{ d} Im{ y} ) L { d} [ Re{ W } Re{ r } Im{ W } Im{ r }] k L { d} [ Re{ W } Im{ r } + Im{ W } Re{ r }] k k k k k k k k k + () () 9

10 or F... De astro e M..F. De astro a. III De (), com referência à (): d y Re Im { W } d y { W } [ Re{} d Re{} y ] [ Im{} d Im{} y ] [ Re{} d Re{} y ] [ Im{} d Im{} y ] Re Re Im Re Re Im Im Im {} d { W } {} d { W } {} d { W } {} d { W } Re Im + Im Re { r } + { r } { r } + { r } () (3) Mas d é um valor constante indeendente do vetor W, ortanto todas as derivadas de d em () e (3) são nulas. Tendo este fato em mente e substituindo () e (3) em (), temos J [ Re{} d Re{} y ] Re{ r} Im{} d Im{} y Im r [ ] { } + + j [ Im{} d Im{} y ] Re{ r} + [ {} {}] { } Re d Re y Im r (4) W ( n +) W + η w W Substituindo (4) em (8), obtém-se a equação de atualização do vetor W ara a minimização da função de custo J através do Gradiente Estocástico: ( n) + { } { } [ Re{ d() n } Re{ y( n) }] Re r () n [ Im{ d() n } Im{ y( n) }] Im r () n Ou, visto que e() n d() n y() n ( n +) W mas ( n) + η w + + j : { } { } { e() n } Re r ( n) { e() n } Im r ( n) Re + + Im { } [ Im{ d() n } Im{ y( n) }] Re r () n [ Re{ d() n } Re{ y( n) }] r () n Im j Re { e() n } Re r ( n) { e() n } r ( n) + Im{ } { } Im{ } * ( Re{} e Re{ r } + Im{} e Im{ r }) + j( Im{} e Re{ r } Re{} e Im{ r }) e r e daí (6) ode ser re-escrita como (7) (6) (5)

11 or F... De astro e M..F. De astro a. III W ou em forma vetorial, ( n +) W ( n) + η W ( n +) W ( n) +η w w e e () n r * () n () n r * () n (8) (9) A Tabela esquematiza o rocedimento adotado no Equalizador LMS DD quando alicado à equalização de canal: Etaa Procedimento Inicializar o vetor L dimensional W : W + j onde j e L é o tamanho (dimensão) do equalizador. Inicializar o indexador de regressor do canal (ou indexador de instante/iteração): n 3 Obter o vetor que define o n-ésimo regressor do canal r (n) : r k ( n) u( L k + n), k,,!, L onde u é a seqüência de amostras recebida do canal. 4 Obter a saída do equalizador no instante n: T y( n) W ( n) r( n) 5 alcular erro: e() n d() n y() n 6 Atualizar o vetor de esos W : W ( n +) W ( n) +η e n r * n w () () 7 Incrementar indexador: nn+ 8 omutação da chave LMS DD : Se o MSE dado ela média dos últimos L valores de e () n é menor que o valor da Tabela 6. então comuta a chave ara DD, caso contrário comuta a chave ara LMS (neste último caso o recetor deve sinalizar ao transmissor ara que este reinicie o envio da seqüência de treino). 9 Reetir as etaas 3 a 9 até que todas as amostras enviadas tenham sido rocessadas. Tabela : Sumário do algoritmo utilizado no Equalizador LMS DD alicado à equalização de canal.

12 or F... De astro e M..F. De astro a. III 3 Técnicas de Equalização Usuais Discussão Na grande maioria dos sistemas de comunicação digital de alta velocidade a função de transferência (z) do canal de roagação não é conhecida a riori. Além do canal não ser conhecido, a sua caracterização varia com o temo, devido à alterações nas condições ambientais do ercurso do canal ou devido ao movimento relativo entre transmissor e recetor. Portanto, é bastante desejável que o equalizador seja imlementado baseado em técnicas adatativas, de forma a oder acomanhar as variações de (z) ao longo do temo. No entanto, o uso de uma seqüência de treinamento ara o equalizador constitui deserdício de banda assante, já que seqüências de treinamento não transortam informação útil. A necessidade imeriosa de sistemas de comunicação digital de alta velocidade não se coaduna com a não otimização da ocuação de banda. Mesmo ara comunicações onto a onto, em que a seqüência de treinamento necessitaria ser transmitida somente na fase inicial, não é raro alguma variação drástica no canal (ossivelmente equenas aeronaves na linha de visada entre antenas ou ássaros na região de camo róximo [Jasik] de uma das antenas ) obrigar a arada momentânea do sistema ara que seja efetuada a reinicialização do equalizador LMS DD elo algoritmo LMS. É imerativo, ortanto, a conceção de equalizadores que oerem com base no sinal recebido e com base em alguma característica estatística da fonte s (n), mas não necessariamente com base na seqüência de símbolos originais s (n) (imlícita na seqüência de treino d (n) ). Tal classe de equalizadores é denominada autodidata. Um equalizador autodidata, ortanto, efetua a desconvolução autodidata do canal sem a necessidade de conhecer a seqüência s (n) originalmente transmitida, ao contrário dos algoritmos suervisionados LMS e LMS-DD, que forçosamente recisam desta referência (dada ela seqüência de treino d (n) ) ara que a condição ZF seja alcançada. Os equalizadores autodidatas, ou não-suervisionados, são também conhecidos como equalizadores cegos (blind equalizers), ela maneira como buscam atingir a condição ZF.

13 or F... De astro e M..F. De astro a. III Existe uma variedade de técnicas ara equalização autodidata de canal que utilizam distintas filosofias em sua imlementação. Endres, em [Endres], faz uma exaustiva análise entre as diversas filosofias atuais, incluindo vários exemlos comarativos de equalização autodidata de canais comrovadamente encontrados na rática de transmissão digital. A conclusão a que chega Endres em [Endres] e que se alinha com o observado no cenário de equalização autodidata é: o algoritmo MA (onstant Modulus Algorithm), roosto indeendentemente or Godard [Godard] e Treichler [Treichler3], sob amostragem fracionária de canal [Proakis], aresenta desemenho suerior em relação às demais técnicas e filosofias autodidatas, rincialmente no que diz reseito à velocidade de convergência. Estudaremos detalhadamente o Algoritmo MA no aítulo IV. omarativamente, o MA necessita oucas amostras recebidas ara atingir o onto de convergência. Até orque, nas raras situações em que a erformance do algoritmo MA é sulantada, tal melhora de erformance é obtida às custas de um custo comutacional roibitivo. Por estas razões, esta estudo focalizará no algoritmo MA como termo de referência ara equalização autodidata. Um exemlo de classe de algoritmos de alta erformance mas de custo roibitivamente alto são os chamados detetores de máxima verossimilhança ou detetores MLSD (MLSD Maximum Likelihood Sequence Detection) [Forney]. O equalizador de um detetor MLSD é um decodificador em treliça baseado no algoritmo de Viterbi [Forney]. Para cada símbolo a ser decodificado, o algoritmo de Viterbi recisa comutar as métricas de L c + M caminhos distintos na treliça, onde M é o número de símbolos do alfabeto Α da fonte de informação e L c é a dimensão da disersão do canal. Pode-se ter uma idéia do grau de comlexidade desta classe de algoritmos ao se constatar que, ara um canal com disersão de L c 6 amostras, utilizando uma corriqueira modulação 6-QAM, a cada símbolo 7 recebido o equalizador necessita comutar métricas. Uma outra classe de algoritmo que aarece com alguma freqüência na rática de equalização autodidata são os algoritmos or decomosição em sub-esaços, os quais exloram a ortogonalidade entre os sub-esaços de sinal e ruído, obtidos da matriz de correlação do sinal recebido. Exemlos desta classe de algoritmos odem ser encontrados em [Moulines], [Xu] e 3

14 or F... De astro e M..F. De astro a. III [Tong]. Aresentando um custo comutacional considerado moderado, esta classe de algoritmos sofre do inconveniente de ser imossível estabelecer uma delimitação clara entre os sub-esaços de sinal e ruído, o que freqüentemente resulta em alto MSE residual aós um longo rocesso de convergência [Endres]. omo último exemlo, cita-se ainda os chamados equalizadores DFE (DFE Decision Feedback Equalizer). Equalizadores DFE somam ao sinal recebido uma realimentação negativa da filtragem das estimativas s ˆ( n) Q{ y( n) } dos símbolos originalmente transmitidos, na eserança de anular a disersão do canal ela subtração da disersão estimada elo filtro. Não imortando ser o filtro adatado elo algoritmo LMS ou elo algoritmo MA, equalizadores DFE inerentemente aresentam o chamado erro de roagação [asas][kennedy], o qual causa, de maneira imrevisível, a elevação da robabilidade de erro nos símbolos recebidos SER (SER Symbol Error Rate) a níveis inaceitáveis durante longos intervalos de temo. Isto acontece orque, ao ocorrer uma estimativa errada ˆ( n) Q{ y( n) } s, o erro se roagará elo filtro durante vários intervalos amostrais, realimentando-se sobre si mesmo. As recentes tentativas de minimizar o erro de roagação em equalizadores DFE têm aresentado resultados aenas moderados [Balakrishnan]. Faremos uma breve descrição de equalizadores DFE na Seção 6. O rocedimento universalmente adotado no cenário de equalização autodidata com relação ao algoritmo MA é, uma vez atingida a situação de olho arcialmente aberto, comuta-se ara o algoritmo DD, de modo semelhante ao algoritmo LMS DD. Este rocedimento é amlamente aceito como solução ara um roblema inerente ao algoritmo MA: o MSE residual relativamente alto aós a convergência, o qual imede o uso direto do equalizador MA em sistemas digitais com constelações densas. Quanto mais densa a constelação maior a velocidade de transmissão ossível ao sistema, mas, simultaneamente, menor é o MSE de regime ermanente exigido do equalizador [Proakis][Endres]. No entanto, a transferência ara o algoritmo DD somente é ossível quando o MSE, aós a convergência do algoritmo MA, atinge um nível suficientemente baixo dado ela Tabela. Portanto, o êxito de um equalizador MA DD é 4

15 or F... De astro e M..F. De astro a. III condicionado or um suficientemente baixo MSE residual do algoritmo MA. A tentativa de efetuar a transferência do algoritmo MA ara o algoritmo DD sob um MSE de regime maior que o mostrado na Tabela usualmente imlica na não-convergência do algoritmo DD. Modulação: Nível máximo de MSE ara transferência: 6 QAM QAM.8 56 QAM.45 4 QAM. Tabela : Nível máximo de MSE ara transferência ao algoritmo DD. 4 O Sistema de Sincronismo Vimos na Seção que o equalizador de um RX digital utiliza a seqüência de amostras u (n) recebidas do canal ara arender a inversa da função de transferência (z) do canal através de um rocesso de adatação dos coeficientes da função de transferência F (z) do equalizador. O rocesso de adatação ajusta F (z) objetivando minimizar a suerosição de símbolos gerada no canal sobre a seqüência de símbolos s (n) originalmente transmitida elo TX digital. Assim, o arendizado do equalizador imlicitamente necessita do conhecimento do instante exato de ocorrência dos símbolos (symbol timing) ara que o sinal originado de ecos e reverberação no canal não seja interretado como um símbolo. Portanto, ara que o arendizado do equalizador seja eficaz, é necessário que o RX amostre o canal em sincronismo com o TX. Em outras alavras, o funcionamento correto do equalizador de um RX digital exige como remissa o estabelecimento do sincronismo de ortadora e do sincronismo de símbolo entre TX e RX. 5

16 or F... De astro e M..F. De astro a. III Para que o RX digital estabeleça o sincronismo com o TX digital, três incertezas necessitam ser resolvidas: ) A incerteza na freqüência f c da ortadora do sinal recebido elo RX, incerteza originada em conseqüência do: a) Desvio fc na freqüência do oscilador mestre do TX devido à variações nas condições oeracionais/ambientais (oscillator drift). b) Desvio f d de freqüência or Efeito Doler devido ao movimento relativo entre TX e RX. ) A incerteza na fase φ da ortadora do sinal recebido elo RX, incerteza originada em conseqüência do: a) Temo de Proagação τ (transmission delay) da onda (usualmente uma onda eletromagnética) quando esta viaja através do canal de transmissão, artindo do TX até a chegada no RX. Uma onda senoidal de freqüência f c sofre um deslocamento de fase de 36 a cada intervalo de temo T fc transcorrido. A menos que o temo τ que a onda leva ara viajar do TX até o RX seja um múltilo inteiro de T, a fase da onda recebida elo RX será diferente daquela originalmente transmitida elo TX. b) Deslocamento de Fase (hase shift) ( jω) gerado quando uma onda senoidal de freqüência f c atravessa o canal de transmissão j jω jω jω e, ω πf. com função de transferência ( ) ( ) 3) A incerteza no instante de ocorrência exato dos símbolos (symbol timing) imlícitos no sinal recebido elo RX, incerteza originada em conseqüência do: a) Temo de Proagação τ (transmission delay) da onda quando esta viaja através do canal de transmissão, artindo do TX até a chegada no RX, efeito já discutido em a). Note que mesmo sendo o temo τ um múltilo inteiro de T, o symbol timing continuará uma incerteza ara o RX orque o RX não sabe quantas vezes τ é maior que T (τ é função da distância entre TX e RX, e, usualmente o RX está em movimento relativo ao TX). Matematicamente, o valor do sinal analógico () t r (ainda não amostrado) recebido or um RX digital no instante t ode ser exresso or: 6

17 or F... De astro e M..F. De astro a. III r onde ( t τ ) ( t) Av( t τ ) cos[ π ( f + f + f )( t τ ) + ( jω) ] c Av é o ulso reresentativo do sinal em banda-base gerado na j A saída do Filtro de Nyquist do modulador digital, sendo A Ae o valor do símbolo digital que foi transmitido no instante t τ elo TX. c d () A Equação () ode ser re-escrita como r () t Av( t τ ) cos[ π ( f + f + f ) t π ( f + f + f ) τ + ( jω) ] Av ( t τ ) cos[ π ( f + f + f ) t + φ] c c c c d d c c d () onde φ ( jω) π ( f f f )τ c + c + d Na rática, o sincronismo de ortadora e o sincronismo de símbolo são obtidos a artir de dois PLLs (hase locked loos) [Gardner]. Para o sincronismo de ortadora, um PLL amarra a freqüência e fase do oscilador mestre do RX com a freqüência e fase da ortadora recebida do transmissor através do canal, fazendo com que o oscilador mestre (oscilador local) do RX oscile a uma freqüência fc + fc + fd com uma fase φ. Para o sincronismo de símbolo, um outro PLL amarra o instante de ocorrência dos símbolos que são demodulados no RX com o instante em que o TX emite símbolos, eliminando a incerteza devido ao atraso de temo τ. 5 Equalizadores Não-Fracionários Equalizadores Fracionários No assado recente, muito do trabalho analítico envolvendo algoritmos ara desconvolução autodidata considerava a reresentação em banda base do equalizador com a seqüência de entrada definida or amostras do canal esaçadas no temo de um intervalo igual ao intervalo de amostragem T utilizado no transmissor. 7

18 or F... De astro e M..F. De astro a. III Tal forma de amostragem é denominada amostragem não-fracionária e qualquer sistema de equalização nela baseado é dito ser não-fracionário [Proakis]. É ossível mostrar formalmente que equalizadores não-fracionários são globalmente convergentes desde que a fonte de informação tenha distribuição uniforme e indeendente e desde que o equalizador tenha uma dimensão tal que considere as infinitas amostras assadas do canal [Godard][Foschini][Bellini]. Obviamente, esta é uma situação limite irrealizável. Para contornar esta limitação teórica, a rática faz uso de um número suficientemente grande de amostras assadas do canal tal que condicione a convergência do equalizador a um bom termo. Este desagradável sentimento desertado elo termo infinitas amostras assadas associado ao universo dos equalizadores não-fracionários é totalmente dissiado quando considera-se, em contraartida, a classe de equalizadores ditos fracionários ou suer-amostrados. Equalizadores baseados em amostragem fracionária foram historicamente desenvolvidos visando auxiliar o Sistema de Sincronismo, brevemente discutido na Seção 4. No entanto, mais recentemente, Gardner [Gardner] mostrou que a amostragem fracionária tem a roriedade de transformar o rocesso estocástico associado ao sinal recebido, convertendo-o de estacionário no sentido amlo ara ciclo-estacionário. No contexto de equalização, esta transformação ermite que seja ossível a um equalizador fracionário atingir a condição ZF conhecendo aenas um número finito de amostras assadas do canal [LeBlanc]. A Figura 4 mostra o diagrama de blocos de um equalizador baseado em amostragem fracionária. O caminho entre a fonte de informação discreta s (n) do transmissor, com intervalo de Baud dado or T, até o sinal analógico recebido u (t), é modelado através de um conversor D/A (D/A digital to analog) que envia o sinal contínuo s (t) através de um canal com função de transferência ( s) Λ{ c( t) }, onde Λ {} é o oerador Transformada de Lalace [Kreyszig] e c (t) é a resosta ao imulso do canal. 8

19 or F... De astro e M..F. De astro a. III Figura 4: Diagrama de um sistema ara equalização de canal em transmissão digital. O sinal recebido u (t) é amostrado a intervalos de T K segundos, onde K é um inteiro ositivo. nt A seqüência u ( ) resultante é submetida ao equalizador, com função K nt de transferência F (z), cuja saída y ( ) é decimada or K, gerando a K seqüência de saída equalizada y (n). nt Por ser resultante da decimação or K de y ( ), o intervalo de Baud K associado a y (n) é o intervalo T originalmente usado no transmissor. O quantizador Q é um disositivo de decisão que estima a qual símbolo do alfabeto da fonte s (n) mais se aroxima o valor de y (n). A função de transferência F (z) é usualmente imlementada or um filtro FIR transversal com L coeficientes F i, i,,!, L, onde L é denominado dimensão do equalizador. A função de custo J gera a informação de erro necessária ao algoritmo adatativo dos coeficientes ou esos F i, sendo usualmente minimizada elo algoritmo Gradiente Estocástico [Haykin]. Por exemlo, no caso do equalizador suervisionado com base no algoritmo LMS estudado na Seção, a função de custo minimizada elo algoritmo Gradiente Estocástico é dada or J( n ) d( n) y( n), onde d (n) é a seqüência de treino transmitida elo transmissor. Decimação no sentido de sub-amostragem. 9

20 or F... De astro e M..F. De astro a. III 5. Equalizadores Não-Fracionários Para K o equalizador torna-se ertencente à classe de equalizadores não-fracionários. É instrutivo analisar esta classe de equalizadores quanto à viabilidade de convergência, antes de se analisar a classe fracionária. Seja [ ] T Lc! o vetor com dimensão igual à da disersão de canal L c contendo as amostras da resosta ao imulso c(n) do canal tal que n c(n), n,,!, Lc. Note da Figura 4 que o equalizador, reresentado or F (z), enxerga o canal através do amostrador, e ortanto enxerga a resosta imulsiva discreta c (n) e não a resosta contínua c (t). Seja F [ F F F ] T L! o vetor com dimensão L definido elos coeficientes F i, i,,!, L, do filtro FIR transversal que reresenta o equalizador, conforme a Figura 4. Uma vez que a resosta ao imulso f (n) de um filtro FIR é definida elo valor de seus coeficientes F i [Strum], então a resosta ao imulso do equalizador é dada or f ( n) Fi, i n,,!, L. Note que, como a amostragem é não-fracionária, elementos adjacentes no vetor encontram-se com uma searação T relativa ao domínio temo contínuo. Mesma observação vale ara elementos adjacentes no vetor F. A resosta imulsiva combinada do canal e equalizador h (n) no domínio temo ode ser reresentada no domínio freqüência or H ( z) ( z) F( z), onde H ( z) Ζ{ h( n) }, ( z) Ζ{ c( n) } e F( z) Ζ{ f ( n) }, sendo Ζ {} o oerador Transformada Z [Strum]. No domínio temo, h (n) é dada ela convolução das resostas imulsivas individuais c (n) (do canal) e f (n) (do equalizador):

21 or F... De astro e M..F. De astro a. III i h ( n) f ( i) c( n i) c( i) f ( n i) i () Uma vez que c (n) é limitado a L c amostras e como f (n) é limitado a L amostras, então o somatório efetuado em () torna-se finito e a convolução ode ser efetuada or uma oeração matricial, resultando em uma seqüência h (n) de L c + L amostras. Esecificamente nesta situação, h (n) assa a ser reresentada elo! tal que H i h(n), i n,,!, Lc + L. vetor H [ H H H ] T Lc + L O vetor H, de dimensão L c + L, é obtido elo roduto da matriz χ elo vetor F, sendo χ a matriz de convolução do canal e F o vetor reresentativo da resosta ao imulso do equalizador: H H H # H Lc + L χ F # L c # L c $ $ $ $ $ $ # L c F F # FL onde,, L c! Lc contendo as amostras da resosta ao imulso c (n) do canal tal que n c(n), n,,!, Lc.,! são os elementos do vetor [ ] T Observe que χ é uma matriz Töelitz [Golub], com L c + L linhas e L colunas. As dimensões de χ são uma conseqüência natural de () na medida em que L c e L são finitos. (3)

22 or F... De astro e M..F. De astro a. III Observe também que o conjunto de vetores formado elas linhas de χ é o conjunto de regressores de canal que seria obtido em um equalizador LMS-DD (ver Seção ) se o TX transmitisse um único imulso. onforme já discutido, a condição ZF é definida or h( n) hd ( n) δ ( n d), ara algum d inteiro não negativo. A condição ZF em (3) imlica que H H d, onde H d é um vetor de dimensão L c + L cujos comonentes são todos nulos, exceto o de valor unitário na osição d, isto é: onde d Lc + L. [! ] H! d H H d H T L + L Poderíamos substituir H H d em (3) objetivando obter os coeficientes do equalizador que levam o sistema à ZF através de F χ H d. No entanto, observe que o número de linhas de χ é maior de que o de colunas, isto é L c + L > L. Isto significa que o sistema de equações reresentado or (3) é sobre-determinado com relação às incógnitas F i, i,,!, L. Portanto, ara um equalizador não-fracionário não existe uma solução F tal que a situação ZF ossa ser atingida exceto quando L, orque nesta situação L c + L L. Note que nesta discussão não foi incluído o efeito do ruído, quando então a solução do sistema de equações dado or (3) é mais condicionada ainda. Este caso é discutido em [Johnson]. Na rática, ao rojetarmos equalizadores não-fracionários, é usual adotar or exerimentação um valor de L suficientemente grande tal que o sistema definido or (3) aresente um erro quadrático H d χ F aceitável ara a oeração do equalizador com o canal a ser equalizado. c (4)

23 or F... De astro e M..F. De astro a. III A melhor solução ossível F otimo do sistema sobre-determinado (3), sob o onto de vista da minimização do erro médio quadrático (MSE Mean Squared Error) definido or MSE H d χ F, é dada Lc + L ela chamada Solução de Wiener [Haykin]: + (5) F χ otimo H d onde o oerador {} + reresenta a Pseudo-Inversa de Moore-Penrose da matriz argumento. Equalizadores cujo filtro FIR é obtido de (5) são denominados de equalizadores MMSE (MMSE Minimum Mean Squared Error), orque o erro médio quadrático é minimizado ela seudo-inversa de Moore-Penrose [Golub][Press]. Esta classe de equalizadores não é adatativa, o que a torna não muito oular or exigir o conhecimento a riori da resosta imulsiva do canal ara a obtenção de χ. No entanto, equalizadores MMSE constituem o limite teórico ara a minimização do MSE de equalizadores adatativos, visto que os últimos aresentam o efeito denominado MSE de Excesso [Haykin]. 5. Equalizadores Fracionários Para K > na Figura 4, o sinal recebido u (t) é amostrado a uma razão maior que T, que é a razão de amostragem utilizada no transmissor ara enviar os símbolos da fonte s sob um intervalo de Baud T através do canal. Nesta situação, o equalizador é chamado fracionário ou suer-amostrado. nt A seqüência u ( ), obtida or amostragem fracionária, resulta em um K rocesso ciclo-estacionário ara qualquer K inteiro desde que K > [Gardner]. 3

24 or F... De astro e M..F. De astro a. III Sob este onto de vista, utilizar K > constitui um deserdício inútil, ois forçosamente imlicaria no aumento da freqüência do clock dos circuitos digitais emregados, e em conseqüência, no aumento de seu custo. Assim, limitaremos nosso estudo do caso em que K, situação em que o equalizador assa a ser referido como equalizador sob amostragem fracionária T, ou simlesmente equalizador fracionário T. O sinal analógico transmitido s (t) é aroximado no temo contínuo or s( t) i a( i) δ ( t it ) onde a i) Α i Α s, s,! sm o alfabeto da modulação adotada, constituído or M ossíveis símbolos, δ (t) é a Função Delta de Dirac [Zeldovich] e T é o intervalo de amostragem dos símbolos ou intervalo de Baud do transmissor [Proakis]. (, sendo { } Na ausência de ruído, o sinal analógico recebido u (t) é dado ela convolução da resosta ao imulso c (t) do canal com o sinal analógico transmitido s (t) : i u( t) s( τ ) c( t τ ) dτ a( i) δ ( τ it ) c( t τ ) dτ i Mas, uma vez que o canal é um sistema linear, então vale o Princíio da Suerosição, e a resosta a uma soma de excitações alicadas ao canal é a soma das resostas individuais a cada uma delas. Daí temos que: u( t) i i i a( i) a( i) δ δ ( τ it ) c( t τ ) dτ a( i) δ ( τ it ) c( t τ ) ( τ it ) c( t τ ) dτ a( i) c( t it ) i i dτ (6) (7) (8) 4

25 or F... De astro e M..F. De astro a. III No recetor, o sinal u (t) é amostrado a cada intervalo T, gerando a seqüência T T u n a( i) c n it i Note que valores ares de n em (9) definem a seqüência u PAR ( k), com esaçamento T entre amostras de índice k, esaçamento imosto elo fato de n k,, 4,! ara k,,,!, e dada or PAR i u ( k) u( kt ) a( i) c (( k i) T ) Da mesma forma, note também que valores ímares de n em (9) definem a seqüência u IMPAR ( k), com esaçamento T entre amostras de índice k, esaçamento imosto elo fato de n k, 3, 5! ara k,, 3,!, e dada or IMPAR T u ( k) u( kt ) a( i) c i ( k i) T T O transmissor emite o símbolo s (nt ) Α, aguarda T segundos, e então emite o símbolo s (( n + ) T ) Α. Uma vez que a chave do amostrador na Figura 4 fecha a cada T segundos, e como o recetor é assumido estar em sincronismo com o transmissor, então dois tios de amostras u odem ser gerados da oeração da chave: (I) Amostras u geradas em um instante de amostragem da chave que coincida com o instante de emissão de um símbolo s (nt ) elo transmissor. (II) Amostras u geradas em um instante de amostragem da chave que coincida com o instante localizado na metade do intervalo entre a emissão dos símbolos s (nt ) e s( ( n + ) T ) elo transmissor. Amostras do tio (I) têm um conteúdo de informação redominante associado aos símbolos emitidos elo transmissor, enquanto que amostras do tio (II) têm um conteúdo de informação redominante associado à disersão do canal. (9) (3) (3) 5

26 or F... De astro e M..F. De astro a. III Note que, se não houvesse disersão, as amostras do tio (I) seriam iguais aos símbolos transmitidos e as amostras do tio (II) seriam identicamente nulas, or não haver reverberação (ISI) no canal. Neste estudo assume-se que o Sistema de Sincronismo seja tal que a seqüência u PAR ( k) reresente o conjunto de amostras do tio (I) e a seqüência u IMPAR ( k) reresente o conjunto de amostras do tio (II). Portanto, amostras recebidas do canal com índice ar referem-se a instantes em que o transmissor emite símbolos e amostras recebidas do canal com índice ímar referem-se a instantes localizados na metade do intervalo entre a emissão de símbolos elo transmissor. As amostras da resosta imulsiva dos canais SPIB descritos no aítulo II obedecem a este critério, isto é, amostras ares referem-se a instantes de emissão de símbolos elo transmissor amostras do tio (I). As Equações (3) e (3) sugerem que a reresentação da resosta ao imulso c do canal também ode ser subdividida em comonentes ares e comonentes ímares. Seja, então, [ ] T Lc! o vetor com dimensão igual à da disersão de canal L c contendo as amostras resultantes da amostragem fracionária T da resosta ao imulso c (t) do canal tal que nt n c( ), n,,!, Lc. PAR IMPAR Sejam dois vetores, e, ambos com esaçamento T entre seus elementos, obtidos de tal que um vetor mantenha um esaçamento relativo T em relação ao outro: PAR [! ] T IMPAR, [! ] T 4 3 (3) Visto que a resosta ao imulso de um sistema FIR define os PAR coeficientes de sua função de transferência [Strum], então define 6

27 or F... De astro e M..F. De astro a. III PAR IMPAR IMPAR ( z) e define ( z). Assim, a Equação (3) sugere o modelo multi-canal mostrado na Figura 5: Figura 5: Modelo com dois sub-canais (ar e ímar) resultante da amostragem fracionária T do canal original. Da mesma forma que o canal, um equalizador oerando sob amostragem fracionária T também terá uma reresentação subdividida em comonentes ares e ímares. Da Figura 4, seja f ( i) Fi a resosta ao imulso do filtro FIR do equalizador, i,,!, L. No domínio temo suer-amostrado, a saída nt y( ) do equalizador é dada ela convolução das amostras recebidas do nt nt canal u ( ) com a resosta ao imulso f ( ) do equalizador: L nt it nt it it T y ( ) f ( ) u( ) f ( ) u( ( n i) ) i i (33) Para cada n, na convolução definida em (33), o indexador i do somatório ora refere-se a instantes associados a amostras ares da nt seqüência recebida suer-amostrada u ( ), ora refere-se a instantes nt associados a amostras ímares de u ( ). 7

28 or F... De astro e M..F. De astro a. III nt Portanto, a saída suer-amostrada y ( ) ode ser convertida em uma seqüência y (kt), com esaçamento T entre amostras, decomonível em duas seqüências y PAR ( kt ) e y IMPAR ( kt ) definidas conforme segue. Seja i j e n k em (33). Então, PAR L j ( k j) y ( kt ) f ( jt ) u( T ) (34) y IMPAR Seja i j + e n k em (33). Então, ( kt ) L f ( ( j +) T ) u( T L ( k ( j +) ) ) f ( jt + ) u( ( k j) i j T T T ) (35) Portanto, a reresentação total é dada or y( k) y PAR ( k) + y IMPAR ( k) L i f ( it ) u( T ( k i) T ) + f ( it + ) u( ( k i) T T ) (36) Deendendo do sistema, o bloco decimador K na Figura 4 ode manter nt as amostras ares e eliminar as amostras ímares da saída y ( ), ou ode nt manter as amostras ímares e eliminar as amostras ares de y ( ). omo, ara os canais SPIB do aítulo II, u PAR ( k) reresenta o conjunto de amostras do tio (I), então o decimador K manterá as amostras ara n ar e eliminará as amostras ara n ímar na saída suer-amostrada nt y ( ). A grande maioria dos estudos e trabalhos adota esta convenção. Portanto, a saída aós o decimador K é dada or ( n) y PAR ( k) y. 8

29 or F... De astro e M..F. De astro a. III A análise da Equação (36) sugere que o vetor F [ F F F ] T! L de coeficientes do filtro FIR do equalizador, ode ser decomosto em F PAR T f ( kt ) e F IMPAR f kt, k,,,!. Ou seja: F PAR F IMPAR [ f () f () T f ( T )! ] T, T f ( ) 3T f ( ) 5T f ( ) T! (37) Uma vez que os coeficientes de um filtro FIR definem os coeficientes PAR de sua função de transferência [Strum], F define PAR IMPAR F ( z) e F IMPAR define F ( z). Isto sugere o modelo multi-canal ara o equalizador mostrado na Figura 6.8. Figura 6: Modelo em dois sub-filtros (ar e ímar) ara o equalizador, resultante da oeração sob amostragem fracionária T do canal. ombinando as Figuras 5 e 6, obtêm-se o modelo não-fracionário (esaçamento T entre amostras adjacentes em s e y) equivalente ara o equalizador fracionário: Lembre que os coeficientes do filtro FIR do equalizador são definidos ela sua nt nt resosta ao imulso f ( ), isto é, F n f ( ), n,,!, L. 9

30 or F... De astro e M..F. De astro a. III Figura 7: Modelo equivalente não-fracionário ara um sistema de equalização com amostragem fracionária T. O esaçamento entre amostras adjacentes em s e y é T. Algum cuidado é necessário na interretação do equalizador fracionário através do sistema equivalente mostrado na Figura 7:! A fonte s (kt ) emite símbolos com esaçamento temoral T.! No entanto, ao encontrar a bifurcação, o fluxo de sinal da fonte s é dividido em dois fluxos, ar e ímar.! A artir da bifurcação, o fluxo ar transorta os símbolos s(kt ) efetivamente emitidos ela fonte s, o qual origina amostras do tio (I) no recetor.! O fluxo ímar transorta símbolos fictícios, gerados na bifurcação, o qual origina amostras do tio (II) no recetor.! Estes símbolos fictícios são gerados na bifurcação em instantes de temo que coincidem com instantes de temo localizados na metade do intervalo entre a emissão dos símbolos s (kt ) e s( ( k + ) T ).! Este é o motivo de o decimador K eliminar as amostras do tio (II), mantendo as amostras do tio (I), já que é desejado equalizar o fluxo de símbolos efetivamente emitidos or s e não o fluxo de símbolos fictícios associados à reverberação no canal.! Em conseqüência, o rocedimento ara determinação do filtro F de um equalizador objetiva equalizar o fluxo de sinal ar. Portanto, da Figura 7, a H (z) equivalente no domínio freqüência é dada or PAR PAR H ( z) ( z) F ( z) + IMPAR ( z) F IMPAR ( z) (38) 3

31 or F... De astro e M..F. De astro a. III Vimos na análise de (3) que χ é a matriz de convolução do canal. Utilizando o mesmo conceito de matriz de convolução, (38) ode ser dada no domínio temo or: PAR PAR H χ F + χ IMPAR F IMPAR omarando a Equação (39) com a Equação (3) observamos que:! De (3) temos que H χ F, indicando que o filtro F de um equalizador não-fracionário oerando sob ZF (ZF H H d ver equação (4)) aroxima a inversa do canal através da inversa da matriz de convolução do canal, isto é, através de F χ + H.! De (39) inferimos que um equalizador fracionário oerando sob ZF não necessariamente aroxima a inversa do canal através da inversa da matriz de convolução do canal, visto que em (39) dois termos PAR IMPAR envolvendo as matrizes de convolução χ e χ de cada sub-canal, distintas da matriz do canal, definem a resosta imulsiva H. O rocedimento ara determinação do filtro F de um equalizador fracionário é análogo ao caso não-fracionário, isto é, faz-se H H d na Equação (39) objetivando que o equalizador atinja ZF. No entanto, como o decimador K elimina as amostras ímares, a determinação de F é tal que o termo χ PAR F PAR, com F PAR F, fica sendo o resonsável or forçar H H d na interretação multi-canal dada or (39). Isto é, F é determinado de forma que aenas as comonentes ares de H sejam forçadas a igualarem H d. Em conseqüência, o termo χ IMPAR F IMPAR resultante de F assim IMPAR determinado isto é, ara F F é um vetor que resulta do rocesso de equalização do fluxo de sinal ar na Figura 7, mas que não tem nenhuma influência direta sobre tal rocesso. d (39) 3

32 or F... De astro e M..F. De astro a. III Uma vez que o rocesso de desconvolução é feito sobre o fluxo de sinal ar (amostras do tio (I) fluxo de símbolos efetivamente transmitidos elo TX), lembremos que:! é o vetor com dimensão igual à da disersão de canal L c contendo as amostras resultantes da amostragem fracionária! [ ] T Lc nt (, T da resosta ao imulso c (t) do canal tal que n c ) n,,!, Lc.! L c deve ser um número inteiro ositivo ar, de modo que inclua todas as amostras ares e ímares da resosta imulsiva. aso a disersão L c do canal não seja um número ar, força-se L c a ser um valor ar. É claro que ara esta situação haverá um imulso de amlitude nula na resosta ao imulso do canal.! o vetor de coeficientes do filtro FIR do equalizador fracionário, contendo as amostras da resosta ao imulso! Seja F [ F F F ] T L nt ( nt ( fracionária f ) do equalizador, isto é, F n f ), n,,!, L. Antes do decimador K (ver Figura 4), a resosta combinada H do canal e equalizador ode ser descrita de modo análogo a (3), através de uma matriz de convolução fracionária χ equivalente, isto é, através de H χ F. Para o caso não-fracionário, reresentado or (3), o intervalo relativo entre as linhas da matriz de convolução χ é T. No entanto, ara a matriz χ equivalente ara o caso fracionário, o intervalo relativo entre suas linhas é T o que imlicitamente gera, a nível de matriz de convolução, o conceito de fluxo de sinal ar e ímar. Tal sistema matricial, quando referido à saída do decimador K, terá suas linhas ares mantidas e suas linhas ímares eliminadas, resultando no seguinte sistema de equações: 3

33 a. III or F... De astro e M..F. De astro L L L L L L L F F F F F H H H H H c c c c c # # $ $ $ $ $ $ $ $ $ # # # # χ (4) onde {} é o oerador que resulta na eliminação das linhas ímares da matriz argumento e. é o oerador que resulta no inteiro mais róximo e maior que o argumento. Por exemlo, seja 4 L L c tal que [ ] T 3 e [ ] T F F F F F 3. Referida à entrada do decimador K, têm-se uma matriz de convolução fracionária equivalente χ que origina o seguinte sistema de equações: F F F F F H H H H H H H H χ (4)

34 or F... De astro e M..F. De astro a. III A matriz χ em (4), ao ser referida à saída do decimador K, dá origem ao seguinte sistema de equações: H Observe que colunas. H H H H 4 6 χ F 3 χ em (4) é uma matriz com F F F 3 F L c 3 + L linhas e L A condição ZF alicada em (4) imlica que H H d onde H d é L c + L um vetor de dimensão cujos comonentes são todos nulos exceto o de valor unitário na osição d. Para que o sistema de equações (4) tenha elo menos uma solução ara o vetor de incógnitas F, solução que objetiva determinar F ara que o L c + L equalizador atinja ZF, é necessário que equivalentemente, L L c. (4) L, ou Note que a exigência L L c, necessária ara que um equalizador fracionário atinja ZF, é muito mais factível do que a exigência L necessária à classe de equalizadores não-fracionários. Note ainda que a obtenção de F através de (4) ara H H d imlica que o termo χ PAR F PAR, com F PAR F, seja o resonsável or forçar as comonentes ares de H a igualarem H d na interretação multi-canal reresentada or (39). 34

35 or F... De astro e M..F. De astro a. III 5.. O Efeito de Zeros omuns aos Sub-anais Par e Ímar Semre que PAR ( z) e IMPAR ( z) aresentarem zeros comuns, (38) ode ser escrita como H ( z) ZOM ZOM ( z) PAR PAR IMPAR IMPAR ( r ( z) F ( z) + r ( z) F ( z) ) onde ( z) é o olinômio em z resultante do roduto de todos os monômios ( z z m ), sendo z m, m,,!, N zc, a m-ésima freqüência do conjunto de N zc zeros comuns a PAR ( z) e IMPAR ( z), com PAR PAR ( z) r ( z) ZOM e ( z) IMPAR IMPAR ( z) r ( z) ZOM. ( z) Utilizando o conceito de matriz de convolução, (43) ode ser dada no domínio temo or, ZOM χ PAR PAR IMPAR IMPAR ( F F ) H χ r + Observe que a matriz de convolução fracionária equivalente do sistema de equações (44) não é mais identicamente searável em comonentes ares e ímares, como o é em (39). Portanto, ao referir-se tal matriz à saída do decimador K, or não haver mais um conjunto de linhas ares searável do conjunto de linhas ímares, o sistema de equações resultante não é mais factível de ser reduzido à forma dada em (4). Nesta situação, a condição ZF não é mais garantida aenas fazendo-se L L c. No entanto, é mostrado em [Johnson] que um equalizador fracionário destinado a equalizar um canal físico que aresente zeros comuns aos sub-canais PAR ( z) e IMPAR ( z) ode convergir ara a condição ZF desde que L seja suficientemente grande, mas não necessariamente infinito. χ r (43) (44) 35