NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076. Vetor: Escalar: a, b, c,...
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- Milena Rios César
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1 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76. ÁGEBRA ATRICIA.. ATRIZ, VETOR, ESCAAR A trz: [ m m m m Vtor: v v v v Esclr:, b, c,.... ATRIZES ESPECIAIS... trz Nul: A [ tl qu m r, Emlo: A... trz Dgol: A [ tl qu r todo. Emlo: A... trz Esclr: é um mtrz dgol A tl qu (sclr r todo. trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág
2 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 Emlo: 4 A 4, trz Idtdd: é um mtrz sclr A tl qu. Emlo: A,..5. trz Trsost: d mtrz A [ m é mtrz A' [ m. Emlo: Trsost d A 5 4 Prordds d trsost: ( (b (c (d (A'' A (A' A', sclr (A + B' A' + B' (AB' B' A'..6. trz Smétrc: é um mtrz qudrd A tl qu A' A. Emlo: A 4-5, os: A' A trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág
3 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76.. OPERAÇÕES CO ATRIZES... Adção: C A + B [ m + [b m [ + b m [c m Emlo: A 4 - B - 4, Prordds: ( A + B B + A (comuttv (b A + (B + C (A + B + C (ssoctv (c A + (-A ( stêc do lmto oosto, sdo mtrz ul (d A + A (stêc do lmto utro, sdo mtrz ul... Subtrção: C A - B [ m [b m [ b m [c m Emlo: A 4 - B - 4,... ultlcção d sclr or mtrz: C.A [ m [. m [c m Emlo: -; A, 4 Prordds d multlcção d sclr or mtrz (.A A. (b (A+B.A +.B (c (AB A(B (AB trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág
4 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág ultlcção tr mtrzs: sm s mtrzs: A: m B:, tão C, m, m, m,,,,,, m b b b b b b b b b.[b [ A.B c m [ Emlo: A 4 B C AB ( ( ( ( ( ( Prordds d multlcção d mtrzs: ( A(B + C AB + AC (ª Dstrbutv (b (A + BC AC + BC (ª Dstrbutv (c A(BC (ABC ( ssoctv (d AB BA (Em grl ão vl Comuttv ( AB ão mlc cssrmt qu A ou B. Emlo: (f AB AC ão mlc cssrmt qu B C. Emlo: (g AI IA A
5 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76.4 ATRIZ INVERSA Sdo A B mtrzs d ordm ts qu AB BA I, tão B é vrs d A ou A é vrs d B. A tm vrs s é ão-sgulr ( dt. A é qudrd. A vrs é úc. S A é ão-sgulr AB AC B C A vrs od sr dtrmd l fórmul: A d(a, sdo dt A d(a mtrz dut d mtrz A (é mtrz trsost d mtrz dos coftors. A mtrz dos coftors é obtd d A substtudo-s cd lmto d A lo rsctvo coftor. Cd coftor é clculdo l + fórmul: cof ( (.dt(a, sdo A mtrz rsultt d A o lmrmos lh colu..5. TRAÇO DE UA ATRIZ Emlo O trço tr d um mtrz qudrd A é som dos lmtos dgos (dgol rcl d mtrz A, ou s, A. A tr(a ATRIZ ORTOGONA Um mtrz qudrd A é ortogol s Emlo: AA ' A' A I, sto é, A' A. / A / / / / / / trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 5
6 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76.7. VETORES INEARENTE DEPENDENTES (.D. Os vtors,,..., d msm dmsão são lrmt ddts s stm costts c, c,...,c, m tods uls, tl qu c + c c, ortto um vtor é C.. dos outros. Em cso cotráro os vtors são chmdos d lrmt ddts. Ercíco : Vrfqu s [,,, [,, [,, são lrmt ddts. Ercíco : Vrfqu s [,, [4, 4, são lrmt ddts..8. PRODUTO INTERNO DE VETORES Cosdr os dos vtors rs -dmsos: [ ' y [ y y y ', o roduto tro tr sss vtors é y y + y + y y. Emlo: y y + + ( COPRIENTO OU NORA DE U VETOR O comrmto ou orm do vtor [ ' é dfdo or '. + + Emlo: + ( + 4 trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 6
7 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76.. AUTOVAORES E AUTOVETORES Dzmos qu um mtrz qudrd A tm um utovlor λ com o corrsodt utovtor s A. λ.. Prordd Um mtrz qudrd smétrc A: tm rs d utovlors utovtors: (λ,, (λ,,..., (λ,. Os utovlors odm sr scolhdos d tl form qu (ormlzdos. Prordd S A um mtrz qudrd I mtrz dtdd. Etão, os sclrs λ, λ,..., λ, stsfzdo qução A λi (qução crctrístc são os utovlors d A. Emlo: Dtrm os utovlors utovtors ormlzdos d mtrz A. Dtrm os utovlors utovtors ormlzdos d mtrz smétrc B... FORAS QUADRÁTICAS Um form qudrátc Q( s vrávs,,..., é dfd or Q( ( 'A, od [,,..., A é um mtrz qudrd smétrc d ordm. A form qudrátc Q( od sr scrt como Q( Emlo: Dsvolv form qudrátc com [ A trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 7
8 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76.. ATRIZ POSITIVA DEFINIDA A mtrz qudrd A é ostv dfd s A >, r qulqur. S A mtrz A é ostv sm-dfd (ou ão-gtv. S A < mtrz A é gtv dfd... TEOREA DA DECOPOSIÇÃO ESPECTRA (OU DECOPOSIÇÃO DE JORDAN Qulqur mtrz smétrc A: od sr scrt como A PΛP' λ ' λ ' +λ ' + + λ ' od: Λ é um mtrz dgol com os utovlors d mtrz A, ou s, λ Λ λ O λ P é um mtrz ortogol cus colus são os utovtors ormlzdos d mtrz A. P [ O Emlo ostr qu mtrz A é ostv dfd. Dv-s mostrr qu A >, r qulqur. Obsrvção: Usdo o Torm d Dcomosção Esctrl od-s mostrr qu um mtrz smétrc A: é um mtrz ostv dfd s somt s todos os trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 8
9 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 utovlors d A são ostvos. El srá um mtrz ão-gtv dfd s somt s todos os utovlors d A são mors ou gus zro..4. ATRIZ RAIZ QUADRADA A dcomosção sctrl rmt rssr vrs d um mtrz qudrd m trmos dos sus utovlors utovtors sto lv um mtrz útl: mtrz rz / qudrd. A mtrz λ ' PΛ P' A é dotd or A /. Prordds: / / ( ( A ' A (A / é smétrc. ( A / A / A / ( ( A ' PΛ são. λ ' / (4 A A / / / A A I Emlo: λ / P', od A A / é chmd mtrz rz qudrd d A / Λ é um mtrz dgol cuos lmtos A / / A A. / / od ( Dtrm mtrz rz qudrd d 4 A..5. VETOR AEATÓRIO Um vtor ltóro é um vtor cuos lmtos são vrávs ltórs. Vtor ltóro:, sdo:,,..., vrávs ltórs. trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 9
10 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE ESPERANÇA DE U VETOR AEATÓRIO E( S : um vtor ltóro. A srç d é E( E( E(. No vtor ltóro cd lmto d é um vrávl ltór com crt dstrbução d robbldd mrgl. As méds mrgs,, s vrâcs,, são dfds como E( E(,,,...,, rsctvmt. Escfcmt, tmos qu: + f ( d ( s s é um V.A.C. com fd é um V.A.D.com fução d robbldd f ( ( + ( - f ( d ( - ( s s é um V.A.C. com fd é um V.A.D.com fução d robbldd f ( ( Emlo robbldd Suoh, sdo vrávs ltórs dscrts com fução d - (,,,4 (,8, Dtrm E(..5.. ATRIZ DE COVARIÂNCIA DE U VETOR AEATÓRIO Ddo o vtor ltóro :, tm-s qu mtrz d covrâc do vtor é V( trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág
11 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág E[ E( E[ - E[( - (- [ E ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( E E( ( E( ( E( ( E( E( ( E( ( E( ( E( E( od é covrâc tr s vrávs + +, ( cout d robbldd V.A.D.com fução são, s, ( ( (, ( f cout fd com são V.A.C., s d d, ( f ( ( ( E[( (,,,..., são s méds mrgs. Qudo, s covrâcs torm-s s vrâcs mrgs. Emlo:
12 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 Dtrm mtrz d covrâc r s dus vrávs ltórs troduzds o mlo tror sdo su fução d robbldd cout (, dd sgur: ( -,4,6,,6,4,,4,,4 (,8, Dtrm mtrz d covrâc r s vrávs ltórs, sbdo-s qu f (, 4 f (, ATRIZ DE CORREAÇÃO DE U VETOR AEATÓRIO S um vtor ltóro : Σ corrsodt mtrz d covrâc, tão mtrz d corrlção srá O O od (md o gru d ssocção lr tr s vrávs dsvo drão d -ésm vrávl dsvo drão d -ésm vrávl. Emlo. S mtrz d covrâc 4 Σ 9, dtrm mtrz d corrlção 5 trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág
13 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE VETOR ESPERANÇA E ATRIZ COVARIÂNCIA DE UA COBINAÇÃO INEAR DE VARIÁVEIS AEATÓRIAS Pr um vrávl ltór udmsol, sbmos qu: E(c. c.e( c. (c costt V(c. E(c. c. c.v( c. S é um sgud vrávl ltór b são costts: Cov(., b. E[(. -. (b. b. b E[( -. ( b.cov(, b Pr um combção lr + b, tmos: E( + b E( + be( + b V( + b E[( + b ( + b E[( - + b( - E[ ( - + b ( - + b( - ( - E( - + b E( - + b cov(, V( + b V( + b cov(, + b + b Em otção mtrcl: com c [, b, + b od sr scrto como [ b c Alogmt, E( + b + b od sr rsso como c [ b trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág
14 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 Sdo Σ mtrz covrâc d, tão V( + b V(c c Σc b + b + b. b com c Σc [ Os rsultdos trors odm sr grlzdos r um combção lr d vrávs ltórs. A combção lr c c + c c tm méd: E(c c vrâc: V(c c Σc, od: E( Σ cov ( Cosdrdo q combçõs lrs d vrávs ltórs,,...,, Z c + c c Z c + c c... Z q c q + c q c q Ou Z c c c Z Z c c c C Zq cq cq cq As combçõs lrs Z C têm * méd: Z E(Z E(C C trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 4
15 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 * covrâc: Σ Z cov(z cov(c CΣ C od Σ são vtor méd mtrz covrâc d. Emlo S um vtor ltóro com méd mtrz covrâc Σ. Ecotr mtrz covrâc r s combçõs lrs: Z Z AIIZAÇÃO DE FORA QUADRÁTICA O roblm cosst m mmzr um form qudrátc B, od B é um mtrz ostv dfd. Portto, s B: um mtrz ostv dfd com utovlors λ λ... λ > utovtors ormlzdos ssocdos,,...,. Etão m ' B ' λ é stsfto qudo m ' B ' λ é stsfto qudo lém dsso, m,..., ' B ' λ + é stsfto qudo +,,,...,..7. ATRIZ DESVIO PADRÃO Dd mtrz d covrâc Σ do vtor ltóro, dfmos mtrz dsvo drão or trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 5
16 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 V / O Rsultdo mortt: S o vtor ltóro com mtrz d corrlção d ordm,, mtrz dsvo drão V /, s ordm, tão mtrz d covrâc d é Σ V / V /. Emlo: V /. S mtrz d covrâc 4 Σ 9. Dtrm mtrz dsvo drão 5 Qul é mtrz d corrlção?.8. A GEOETRIA DA AOSTRA UTIVARIADA Um obsrvção multvrd smls é um colção d mdds sobr vrávs dfrts tomds do msmo tm ou sos (rov, rêc. S obsrvçõs form obtds, os ddos odm sr rrdos m um mtrz d ordm como Obs. Obs. Obs. od cd lh d rrst um obsrvção multvrd. Ess mtrz (mtrz d ddos, rrst um mostr d tmho rovt d um oulção -vrd. A mostr tão cosst d mdds, cd um tdo comots. trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 6
17 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 Emlo: Clcul o vtor d méds r os ddos d mtrz. Plotr os otos ddos m um sço loclzr o vtor d méds o dgrm rsultt VETOR ÉDIO AOSTRA D mtrz d ddos tmos o vtor médo mostrl qu stm o vtor médo oulcol, od ( Emlo: S mostr d ddos costruíd com s obsrvçõs rltvs 5 studts. As crctrístcs obsrvds form: dd, so ot m um rov. Obsrvção (Idd (Not (So 8,45 7 8,4 65 8, , ,4 94 Dtrm o vtor médo mostrl qu stm o vrddro vtor médo (oulcol. trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 7
18 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE ATRIZ DE COVARIÂNCIA AOSTRA D mtrz d ddos obtmos mtrz d covrâc mostrl Σˆ qu stm vrddr mtrz covrâc oulcol Σ. Σ ˆ ( ( ' O stmdor Σˆ é vcdo, l é o EV d Σ. A mtrz d covrâc com stmtvs ão-vcds é dd or S ( ( ' Σˆ.8.. ATRIZ DE CORREAÇÃO AOSTRA S mtrz D / s s O s mtrz dsvo drão qu stm vrddr dsvo drão V /, s Σˆ um stmdor d mtrz Σ, tão mtrz d corrlção mostrl ˆ qu stm mtrz d corrlção oulcol é dd or ˆ D / ΣˆD / Emlo: Estm mtrz d covrâc mtrz d corrlção r os ddos d mtrz tror..9. VARIÂNCIA GENERAIZADA Com um smls vrávl, vrâc mostrl é frqutmt usd r dscrvr vrção s mdds dqul vrávl. Qudo vrávs são obsrvds r cd tm, vrção é dscrt l mtrz vrâc-covrâc mostrl. s s S s s s s s s, od: s ( ( s trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 8
19 NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 A mtrz covrâc mostrl cotém vrâcs (/(- covrâcs. uts vzs é dsávl ssumr um vlor umérco úco r rssr vrção dd or S. Um scolh r ss vlor úco é o dtrmt d S, o qul s rduz à vrâc mostrl qudo. Ess dtrmt é chmdo vrâc mostrl grlzd: VAR. AOSTRA GENER. S Emlo: Cosdr o ctl totl ( os rdmtos d sguros ( r 5 grds sgurdors dos EUA. A mtrz d covrâcs S, obtd dos ddos m /5/ (Fortu é S. Dtrm vrâc grlzd Pr mtrz d corrlção R: VAR. GENER. AOSTRA DE VARIÁVEIS PADRONIZADAS R Dmostr-s qu: S (s.s.....s. R Emlo: Sdo grlzds. 4 S 9 R / / / / / /, dtrm s vrâcs Outr grlzção d vrâc: Df-s vrâc totl mostrl como som dos lmtos dgos d mtrz covrâc mostrl S. Assm, Emlo: VAR. TOTA AOSTRA s + s S PP Dtrm vrâc totl mostrl r o últmo mlo. trl Rtrdo ds Aostls dos Profs. Jr ds rqus Aslmo Chvs Nto Pág 9
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076. Vetor: Escalar: a, b, c,... [ tal que a ij = 0 para todo i j.
NOTAS DE AUA DA DISCIPINA CE76 terl Retrdo ds Aostls dos Profs. Jr edes rques e Aselmo Chves Neto Pág. ÁGEBRA ATRICIA.. ATRIZ, VETOR, ESCAAR trz: [ ] m m m m A Vetor: v v v v Esclr:, b, c,.... ATRIZES
ESTIMATIVA: é o valor numérico obtido para o estimador numa certa amostra.
I- STIMAÇÃO D PARÂMTROS 9 INTRODUÇÃO: Sj,,, um mostr ltór com fução (dsdd d proldd cohcd, sj d θ um vtor dos prâmtros dst vrávl ltór Assm θ {θ, θ,, θ k } os k prâmtros qu chmmos d spço d prâmtros dotdo
1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS
.6- MÉTODOS ITRATIVOS D SOLUÇÃO D SISTMAS LINARS PRÉ-RQUISITOS PARA MÉTODOS ITRATIVOS.6.- NORMAS D VTORS Defção.6.- Chm-se orm de um vetor,, qulquer fução defd um espço vetorl, com vlores em R, stsfzedo
sendo classificado como modelo de primeira ordem com (p) variáveis independentes.
RGRSSAO MULTIPLA - comlmtação Itrodução O modlo lar d rgrssão múltla é da forma: sdo classfcado como modlo d rmra ordm com () varávs ddts. od: é a varávl d studo (ddt, xlcada, rsosta ou dóga); é o cofct
EQUAÇÕES LINEARES E DECOMPOSIÇÃO DOS VALORES SINGULARES (SVD)
EQUAÇÕES LINEARES E DECOMPOSIÇÃO DOS VALORES SINGULARES (SVD) 1 Equções Leres Em otção mtrcl um sstem de equções leres pode ser represetdo como 11 21 1 12 22 2 1 x1 b1 2 x2 b2. x b ou A.X = b (1) Pr solução,
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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR EIO DE DETERINANTES Dtrmt um mtrz su orm Sj mtrz: O trmt st mtrz é: Emlo: Vmos suor o sstm us quçõs om us óts y: y y Est sstm quçõs o sr srto orm mtrl: y Est qução r três mtrzs:.
3 Solução Analítica Exata para Viga Infinita no Caso Linear
37 3 Solução Alítc Ext pr Vg It o Cso Lr st cpítulo são borddos os procdmtos pr rsolução d qução (.4, pr o cso spcíco d um vg prsmátc d comprmto to. st sstm os dslocmtos rotçõs tdm pr o zro à mdd qu s
4.21 EXERCÍCIOS pg. 176
78 EXERCÍCIOS pg 7 Nos rcícios d clculr s drivds sucssivs t ordm idicd, 5 7 IV V 7 c d c, 5, 8 IV V VI 8 8 ( 7) ( 8), ( ) ( ) '' ( ) ( ) ( ) ( ) 79 5, 5 8 IV, 8 7, IV 8 l, 9 s, 7 8 cos IV V VI VII 5 s
ESTIMATIVA: é o valor numérico obtido para o estimador numa certa amostra.
9 - STIMAÇÃO D PARÂMTROS 9 INTRODUÇÃO: Sj,,, u ostr ltór co fução (dsdd) d proldd cohcd, sj d u vtor dos prâtros dst vrávl ltór Ass {,,, k } os k prâtros qu chos d spço d prâtros dotdo por Θ tão o ojtvo
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CAPÍTULO Exrcícios.. b) Sj séri. A fução f( x) é cotíu, dcrsct l x l x positiv o itrvlo [, [. D l x pr x, tmos dx dx. x l x x dx x covrgt Þ l x covrgt. l d) Sj séri 0 m [ 0, [. Tmos: x 4. A fução f( x)
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Móulo Not m, ltur sts potmtos ão sps moo lum ltur tt lor prpl r Cm-s à tção pr mportâ o trlo pssol rlzr plo luo rsolvo os prolms prstos lor, sm osult prév s soluçõs proposts, áls omprtv tr s sus rspost
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+ 8...... Sdo Arg( ) θ, tm-s sja, taθ θ.º quadrat, tão Portato,. Pág. 8 taθ θ.º Q, ou θ. + + b ( + ) + b( + ) + c b c + + + + c + + + b b c b+ b+ c ( b ) b+ c+ b+ c b c + b b c b Portato, b c.. + S Arg(
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3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
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Motvção: O prole d det Itrodução os Sstes Leres U pesso e det ecesst dgerr drete s segutes qutddes de vts: g de vt A 6 g de vt B 4 g de vt C El deve suprr sus ecessddes prtr do cosuo de três letos dferetes
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