3 =4 :! 8 3 " =4 :! 8 3= " 3=21.412, , ,12=41.132,52

Transcrição

1 Dessa forma, teremos três anuidades: i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00 ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00 iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00 Assim, o valor futuro total é dado por: Letra D 3 =4 :! 8 3 =1.000 : E % = ,412312=21.412,31 3 =4 :! 8 3 =1.000 : % = ,412090=13.412,09 3 " =4 :! 8 3 " =1.000 :, % = ,308121=6.308,12 3= " 3=21.412, , ,12=41.132, (AFRF 2002/ESAF) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$ ,00 b) R$ ,00 Prof. Guilherme Neves 34

2 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Questão da mesma prova que a questão anterior e muito parecida. Eis o fluxo de caixa do problema. Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 3.000,00 durante seis períodos, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis períodos seguintes e R$ 1.000,00 mensalmente durante mais seis períodos. Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas que tratamos na exposição teórica porque os pagamentos não possuem os mesmos valores. Devemos, portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar as fórmulas de anuidades. Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00. Observe o primeiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00. O fluxo de caixa tomará a seguinte forma: Prof. Guilherme Neves 35

3 Dessa forma, teremos três anuidades: i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00 ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00 iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00 Assim, o valor atual total é dado por: Letra D? =4! 8? =1.000 E F% = ,659297=12.659,30? =4! 8? =1.000 F% = ,385074=9.385,07? " =4! 8? " =1.000, F% = ,242137=5.242,14?=? +? +? "?=12.659, , ,14=27.286, (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Abaixo encontram-se valores de uma tabela de fator de valor presente de séries uniformes de pagamento, na qual n é o número de prestações mensais e i a taxa de juros. Prof. Guilherme Neves 36

4 Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e uniformes, no valor de R$ 500 cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, formando uma série uniforme de pagamentos antecipada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da geladeira é a) R$ 2.000,00 b) R$ 1.858,55 c) R$ 1.895,43 d) R$ 1.914,30 e) R$ 1.654,80 Resolução Devemos projetar para o presente apenas as três últimas prestações, pois a primeira já se encontra na data 0 (1ª paga no ato). Letra D?= ! 8 = " "% = ,8286=1.914, (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: a) R$ 525,68. b) R$ 545,34. c) R$ 568,24. d) R$ 576,19. e) R$ 605,00. Resolução Prof. Guilherme Neves 37

5 Temos uma série uniforme de 2 pagamentos. O problema é que a prova não forneceu as tabelas financeiras. Devemos, portanto, resolver utilizando os conceitos de equivalência composta de capitais. Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o futuro devemos multiplicar o seu valor por (1+)!. A equação da equivalência fica: Letra D + (1+) =1.000 (1+) +1,1 =1.000 (1+0,10) 2,1 =1.210 =576, (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um indivíduo recebeu como herança um título perpétuo que paga R$ por trimestre. Esse indivíduo quer vender o título. Sabendo que a taxa de juros semestral, juros compostos, é de 44%, o valor presente de venda desse título é a) R$ 2.880,00 b) R$ 4.545,45 c) R$ ,00 d) R$ ,85 e) R$50.000,00 Resolução Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como Onde P é o valor da perpetuidade.?= 4 Prof. Guilherme Neves 38

6 Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um semestre é composto por 2 trimestres, (1+ O ) =(1+ P ) (1+ O ) =1,44 1+ O =1,2 O =0,20 = JIQH:JIH Dessa forma, o valor presente (atual) é dado por Letra C?= ,2 =10.000, (Auditor da Receita Estadual Amapá 2010/FGV) Antônio possui um investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de juros compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. A quantia que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como Onde P é o valor da perpetuidade.?= 4 A quantia que Antônio deve investir é o valor presente da perpetuidade. Letra E?= 450 0,006 =75.000, (Pref. Municipal de Cantagalo 2010/CEPERJ) Em um país sem inflação, existe um investimento que rende 0,7% ao mês. Se uma pessoa decide dar ao seu filho uma renda mensal perpétua de $350 (trezentos e cinqüenta unidades monetárias), o valor que ela deve investir para que esta renda seja eterna é: A) $42000 B) $50000 Prof. Guilherme Neves 39

7 C) $56000 D) $60000 Resolução Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como Onde P é o valor da perpetuidade.?= 4 A quantia que a pessoa deve investir é o valor presente da perpetuidade. Letra B?= 350 0,007 =50.000, (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um indivíduo possui um título que paga mensalmente de R$ 500,00, perpetuamente. O indivíduo quer vender esse título, sabendo que a taxa de desconto é de 1% ao mês. O preço justo desse título é: a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Resolução O preço justo a ser pago é o valor atual da perpetuidade. Letra C?= 4 =500 0,01 =50.000, (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo comprou um título perpétuo que paga R$ 500,00 por semestre. Sabendo que a taxa de juros anual, juros compostos, é de 21%, o valor presente desse título é: a) R$ 4.761,90. b) R$ 5.000,00. c) R$ 6.857,25. d) R$ 7.500,00. e) R$ ,00. Resolução Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como Prof. Guilherme Neves 40

8 Onde A é o valor da perpetuidade. VP= A i Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um semestre é composto por 2 trimestres, Dessa forma, o valor presente é dado por Letra B (1+i V ) =(1+i W ) (1+i V ) =1,21 1+i V =1,1 i X =0,10 ao semestre VP= 500 0,1 =5.000,00 Prof. Guilherme Neves 41

9 Problemas envolvendo rendas diferidas O modelo que estudamos como padrão foi o de renda temporária, imediata e postecipada. Eis o fluxo de caixa correspondente. Há casos em que o problema trabalha com a renda diferida, ou seja, quando houver carência para o pagamento da primeira anuidade. É comum aparecer a seguinte situação: Compre agora a sua televisão e pague a primeira prestação só depois do Natal!!. A loja faz isso porque ela gosta de você? É óbvio que não. Neste período de carência (a carência é a diferença entre hoje e a data do primeiro pagamento) você pagará juros. Neste tópico colocaremos a solução para esses tipos de problemas (STN 2005/ESAF) No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ ,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqüentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Resolução A taxa fornecida está ao ano. Mas o prazo está em meses. Precisamos achar a taxa mensal. Para achar taxas equivalentes em juros compostos, vamos criar dois investimentos equivalentes. Primeiro investimento: aplicamos R$ 1,00 a uma taxa de 60,1032% ao ano, durante um ano. Qual o montante obtido? M = C ( 1+ i) M = 1 (1+ 0,601032) Prof. Guilherme Neves 42 n 1 = 1, Para fazer este cálculo, utilizamos a tabela I, colocada ao final da aula.

10 Segundo investimento: aplicamos R$ 1,00 a uma taxa i ao mês, durante 12 meses, obtendo um montante de R$ 1, Esta taxa mensal i é equivalente à taxa de 60,1032%. M = C ( 1+ i) 1,601032=(1+ i) Vamos consultar a tabela I. Vamos encontrar um valor de i tal que 1+i elevado a 12 seja igual a 1, Esta taxa é de 4%. i =4% Pronto. A taxa de juros contratada é de 4% ao mês. Vamos construir o fluxo de caixa. Dia 10 de setembro será a data zero. Dia 10 de outubro será a data 1 e assim por diante. O primeiro pagamento ocorre em 10 de novembro, que é a data 2. n 12 O fluxo de caixa original está representado pelas setas vermelhas. Vamos usar a tabela II para achar o valor do fluxo de caixa na data 1 (seta verde). Lembrem-se que, com a tabela II, conseguimos trazer todo o fluxo de caixa para um período antes do primeiro pagamento. Vamos consultar a tabela II para n = 10 (porque são dez pagamentos) e i = 4%. O valor obtido é de aproximadamente 8,1109 Portanto, o valor do fluxo de caixa na data 1 é: S = P S = ,1109= (valor aproximado) Vamos agora pegar este valor e transportar para a data zero. Estamos voltando 1 mês na linha do tempo. Haverá um desconto. Estamos trocando a seta verde, referente à data 1, correspondente a R$ , por um valor referente à data zero. Este valor será igual ao valor financiado. a n i Prof. Guilherme Neves 43

11 N A= ( 1 + i) n A = (1+ 0,04) E podemos usar a tabela II para transformar esta divisão em uma multiplicação. É como se tivéssemos uma série de 1 pagamento. E queremos transportar toda esta série para um período antes do primeiro (e único) pagamento. Basta usar o fator de valor atual para n=1 e i = 4%. Consultando a tabela II: Portanto: 1 1,04 1 = 0, A = = ,9615= (1+ 0,04) Letra A Esta solução, apesar de válida, é um pouco demorada, pois exige duas multiplicações, sendo que a segunda foi meio chata de fazer, pois envolveu números mais complicados. Uma outra idéia, que diminui as contas, é a que segue. No fluxo de caixa original, podemos criar um pagamento adicional, referente à data 1. Vejam: Mas, para não alterarmos o fluxo de caixa, devemos criar, na mesma data 1, um recebimento de ,00, para cancelar o pagamento acrescentado. Vou representar o recebimento com uma seta azul para cima, para diferenciar dos pagamentos. Não existe regra para representar as setas no diagrama. O diagrama de fluxo de caixa é só uma ferramenta, você usa do jeito que preferir. O importante é que você seja organizado, e mantenha um padrão do início ao fim. Neste desenho, estou representando Prof. Guilherme Neves 44

12 os pagamentos com setas vermelhas para baixo e o recebimento com seta azul para cima. Ok? Para transportar todos os pagamentos (setas vermelhas) para a data zero, devemos consultar a tabela II para n = 11 e i = 4%. a 11,4% = 8, ,760 Com isso, o valor dos doze pagamentos, na data zero, fica: ,760 Mas ainda falta transportar o recebimento de Recebimentos e pagamentos devem ter sinais opostos. Como usei o sinal + para os pagamentos, vou usar para os recebimentos. Temos uma série de 1 recebimento e queremos transportá-la para um período antes do primeiro (e único) recebimento. Basta consultar a tabela II para n=1 e i=4%. O valor do recebimento, na data zero, é de: a 1,4% = 0, , ,962 Com isso, o valor do fluxo de caixa na data zero será de: , , 962= = (8,76 0,962) = , 798 = Esta segunda solução é muito melhor. Ficamos com apenas uma multiplicação, que é bem tranqüila. Isto porque multiplicar por é fácil. Basta dobrar o número e andar 4 casas com a vírgula. Este fato inclusive ajuda a achar a resposta com exatidão. Como a multiplicação é fácil, nem precisaríamos ter aproximado. Bastaria fazer: (8, ,961538) = , = , (Prefeitura Municipal de Fortaleza 2003/ESAF) Um financiamento no valor de R$ ,00 é obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano para ser amortizado em doze prestações semestrais iguais vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros semestrais devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Desprezando os centavos, calcule a prestação semestral do financiamento. a) R$ 1.614,00 b) R$ 2.540,00 c) R$ 3.210,00 d) R$ 3.176,00 Prof. Guilherme Neves 45

13 e) R$ 3.827,00 Comentários: Antes de começarmos a resolver o problema temos que achar a taxa efetiva. A taxa de 24% ao ano é apenas nominal. O exercício não disse expressamente que o período de capitalização é semestral. Ele apenas deixa isso meio que implícito. Na minha opinião, não custava nada deixar isso bem claro. Então o período de capitalização é semestral e o período da taxa nominal é anual. Os prazos não coincidem. Nestes casos, a taxa nominal só serve para aplicarmos a regra de três e encontrarmos a taxa efetiva. Aplicando a regra de três. Multiplicando cruzado: Agora vamos realmente à questão. 24% corresponde a 2 semestres. i corresponde a 1 semestre. 24% i i = 24% 1 i= 12% Vou fazer direto a resolução mais rápida, nos moldes do que vimos no exercício anterior. Vou usar aquele atalho que cria pagamentos Vamos colocar datas para ficar mais fácil visualizar o problema. O financiamento foi feito em 01/01/2003. Esta é a data zero. Em 01/07/2003 temos a data 1. Em 01/01/2004 temos a data 2. Em 01/07/2004 temos a data 3. Em 01/01/2005 temos a data 4. E aqui termina o período de carência. O primeiro pagamento é feito seis meses após esta data. Em 01/07/2005 temos a data 5, quando é feito o primeiro pagamento. Estes pagamentos reais serão representados por setas vermelhas. Em verde temos os pagamentos criados E o fluxo de caixa fica assim (a unidade de tempo está em semestres): Prof. Guilherme Neves 46

14 Queremos trazer todo este fluxo de caixa para a data zero. Temos 16 pagamentos (12 reais e 4 criados). Usando a tabela II, conseguimos transportar todo este fluxo de caixa para a data zero, um período antes do primeiro pagamento. Da tabela II, temos: a = 6, ,12% Logo, o valor do fluxo de caixa, na data zero, é de: X 6, Mas ainda precisamos excluir o valor referente aos quatro pagamentos criados. Vamos ver qual o valor atual destes 4 pagamentos. Para tanto, basta consultar a tabela II, para n= 4 e i = 12%. a 4 12% = 3, O valor dos pagamentos criados (setas verdes), quando transportados para a data zero, é de: X 3, Portanto, o valor atual do fluxo de caixa original (ou seja, que contempla apenas os 12 pagamentos em vermelho) é de: X ( 6, ,037349) = 3, X E nós sabemos que o valor do financiamento é de R$ ,00. 3,936635X = X = , Como o denominador é um pouquinho menor que 4, então a fração será um pouquinho maior que Com isso já dá para marcar a letra B. Letra B Empréstimos Internacionais Colocamos este tópico de Matemática Financeira que já foi bem cobrado pela ESAF em provas passadas (e foi cobrada na última prova da CVM em 2010). Em suma a situação é a seguinte: determinado país toma um empréstimo por meio do lançamento de certa quantidade de bônus no mercado internacional. O valor recebido na data zero é chamado de valor de lançamento do bônus (ou preço de lançamento do bônus). O país então se compromete a efetuar pagamentos periódicos ao comprador do bônus. Estes pagamentos periódicos são chamados de cupons. Normalmente, no momento de pagar o último cupom, o país paga ao comprador do bônus o valor nominal do bônus lançado. Prof. Guilherme Neves 47

15 Resumindo: O valor de lançamento do bônus é o que o país recebe na data 0. Em seguida ele efetuará pagamentos periódicos (cupons) e no momento de pagar o último cupom ele paga também o valor nominal do bônus. Quando o valor recebido na data 0 (valor de lançamento do bônus) é maior que o valor nominal dizemos que ocorre ágio. Quando o valor recebido na data 0 é menor que o valor nominal dizemos que ocorre deságio. Os bônus são certificados (títulos ou obrigações) emitidos, principalmente pelo governo, como uma modalidade empregada para captar recursos. Por meio destes certificados, os investidores emprestam dinheiro ao governo, que paga juros sobre o crédito obtido. Esses juros variam de acordo com vários aspectos. Os principais deles são as condições econômicas globais (se mais otimistas ou pessimistas), a oferta de dinheiro no mercado e o risco de crédito do país perante a banca internacional. A chave para resolver este tipo de problema é saber responder as seguinte perguntas: o que é bônus? o que é valor nominal? o que são os cupons? o que é ágio? O que é deságio? A menos que alguém tenha contato com operações assim no seu cotidiano, aí está todo o problema. Traduzindo para um português mais claro, um país precisava de certa quantia, e não dispunha de tal quantia, decidindo por fazer um empréstimo; recorreu ao mercado internacional e a garantia oferecida foi um título (ações de uma entidade pública, por exemplo); esse "título" é chamado de bônus. Entretanto, o interesse do país é supervalorizá-lo na negociação, e o valor pelo qual este for tido será o nominal; ou seja, o valor nominal de um título nada mais é do que um valor declarado, e não, necessariamente, o de mercado; o lucro obtido pelo país nessa declaração é o que se chama de "ágio". Voltando à história: o mercado internacional aceita o título como garantia e oferece o seguinte: o valor nominal do título será dado ao país, e o mercado internacional esperará cinco anos para o seu ressarcimento; enquanto isso, o país paga juros semestrais, "prestações", que são os cupons. Vamos ver esta situação na prática (AFRF /ESAF) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1, cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1, b) US$ c) US$ d) US$ e) US$ Prof. Guilherme Neves 48

16 Comentários: O país pegou um empréstimo na data de hoje (data zero). O país recebe o dinheiro por meio do lançamento de um bônus de US$ 1.000,00 com doze cupons de US$ 60,00. Grosso modo funciona assim. Na data zero o país recebe o dinheiro. O valor recebido na data zero é chamado de valor de lançamento do bônus (ou preço de lançamento do bônus). A cada semestre o país resgata um cupom de US$ 60,00. O país paga US$ 60,00 ao seu credor e resgata o cupom. Ao final dos doze semestres, o país resgata o último cupom e resgata também o bônus, pagando seu valor de face (US$ 1.000,00). Este valor de US$ 1.000,00, que o país tem que resgatar no final do período, é chamado de valor nominal do bônus. Passa o primeiro semestre e estamos na data 1. O país resgata o primeiro cupom por meio do pagamento de US$ 60,00. Passa o segundo semestre. Estamos na data 2. O pais resgata o segundo cupom por meio do pagamento de mais US$ 60,00. E assim por diante. No décimo primeiro semestre (data 11), o país resgata o décimo primeiro cupom por meio do pagamento de mais US$ 60,00. Passa mais um semestre e estamos na data 12. O país resgata o último cupom, pagando pela última vez os US$ 60,00. E, também na data 12, paga o valor do bônus, de US$ 1.000,00. A pergunta é: quanto o país recebeu de empréstimo na data zero? O fluxo de caixa é: As setas estão fora de escala. Vamos transportar todos os valores para a data zero. Precisamos saber qual a taxa de juros efetiva. A taxa nominal é de 14% ao ano. E o exercício não disse qual o período de capitalização. Como todas as operações estão separadas de períodos de 1 semestres, dá para supor Prof. Guilherme Neves 49

17 que o período de capitalização é semestral. Mas eu acho que não custava nada o enunciado deixar isso bem claro. E, de fato, esta é a consideração necessária para chegarmos à resposta. A partir da taxa nominal, podemos achar a taxa efetiva por meio de uma regra de três. 14% corresponde a 2 semestres i corresponde a 1 semestre 14% i Multiplicando cruzado: 2 i = 14% i= 7% A taxa efetiva é de 7% ao semestre. Sabendo a taxa efetiva, podemos começar a transportar os valores. Vamos começar pelos pagamentos destacados em amarelo da figura abaixo: São doze pagamentos iguais a 60,00. Queremos transportar todos eles para a data zero, 1 semestre antes do primeiro pagamento. Para isso usamos a tabela II. Vamos consultar a tabela para n=12 (pois são 12 pagamentos) e i=7%. Consultando a tabela temos: 7, O valor desses doze pagamentos na data zero fica: 60 a n 60 7, i E ainda falta transportar o pagamento de 1.000,00. Queremos transportá-lo para a esquerda, voltando no tempo doze semestres. Teremos um desconto. N A= A = n 12 ( 1+ i) (1+ 0,07) Prof. Guilherme Neves 50

18 Consultando a tabela I: A = , RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Esta conta é meio chata de fazer. Para fugir da divisão, podemos criar mais 11 pagamentos de 1.000,00 (nas datas de 1 a 11) e, em seguida, excluí-los. Com isso, teremos: % a11 7% ) ( a = (7, ,498674) = 444,01 Fazer esta alteração é bem vantajoso. Trocamos uma divisão complicada por uma multiplicação por (onde basta andar com a vírgula). E o valor total dos pagamentos na data zero é: 60 7, ,01= 920,57 Letra D Este valor de 920,57 é o valor de lançamento do bônus. É o valor que o país consegue captar quando ele lança o bônus. Geralmente este valor vem expresso na forma de um deságio (ou ágio) sobre o valor nominal do bônus. Como o valor nominal do bônus foi de 1.000,00 e o bônus foi lançado por 920,57, dizemos que houve um deságio de 79, (AFRF 2003/ESAF) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000,00 e de cada cupom US$ Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc. a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8% Comentários. O bônus foi lançado com ágio de 7,72% sobre seu valor nominal (ou seja, sobre US$ 1.000,00). O valor nominal é de US$ 1.000,00. O ágio foi de: 0, = 72 Ou seja, o bônus foi lançado por US$ 1.072,00. Este foi o valor que o país conseguiu captar de empréstimo. Este valor foi recebido na data zero. Prof. Guilherme Neves 51

19 Na data 1, seis meses depois, este país paga o primeiro cupom. Na data 2 o país paga o segundo cupom. E assim por diante até a data 10 quando é pago o último cupom mais o valor nominal do bônus. O fluxo de caixa é: Vamos transportar todos esses valores para a data zero. Vamos começar pelos 10 pagamentos iguais de 60,00. Ainda não podemos consultar a tabela II porque não sabemos qual a taxa. O valor dos dez pagamentos de 60,00 na data zero fica: 60 a n i = 60 a 10 i Agora vamos transportar o valor de 1.000,00 da data dez para a data zero. Estamos voltando no tempo dez semestres. Haverá um desconto. N A= A= n 10 ( 1+ i) (1+ i) Para fugir desta divisão, podemos criar 9 pagamentos de 1.000,00 e, em seguida, excluílos. Ficamos com: A = ( a 10 i a9 i) E o valor total dos pagamentos na data zero é: 60 a 10 i ( a10 i a 9 i) E sabemos que este valor é igual a 1.072, a 10 i ( a10 i a 9 i) = Para achar a taxa de juros praticada, precisamos resolver esta equação aí de cima. Só que esta equação dá muito trabalho para resolver. É melhor a gente ver primeiro as alternativas. As alternativas indicam taxas ao ano nominais. Para obtermos as respectivas taxas efetivas semestrais, precisamos aplicar a regra de três. Prof. Guilherme Neves 52

20 A taxa nominal de 16% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 8% ao semestre. A taxa nominal de 14% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 7% ao semestre. A taxa nominal de 12% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 6% ao semestre. A taxa nominal de 10% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 5% ao semestre. A taxa nominal de 8% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 4% ao semestre. Por qual delas começar? Basta pensar o seguinte. Vamos imaginar a situação em que o bônus é lançado exatamente pelo seu valor nominal. Ou seja, vamos imaginar a situação em que o bônus é lançado por 1.000,00. Nesta situação, a taxa de juros é exatamente igual à divisão entre o valor do cupom e o valor do bônus. A taxa de juros fica: 60 i = = 6% Veja como tudo se encaixaria. O país pega emprestado 1.000,00. Passa o primeiro semestre e a dívida já está em 1.060,00 (aumentou 6% de 1.000). Desta dívida, o país paga só valor dos juros (=60,00). E a dívida volta a 1.000,00. Mas o país ainda continua com os 1.000,00 que pegou emprestado. Passa o segundo semestre. Novos juros de 6%. Ao final do segundo semestre a dívida atinge novamente o montante de 1.060,00. E o país paga somente o valor dos juros (=60,00). A dívida volta a 1.000,00. Mas o país ainda continua com os 1.000,00 que pegou emprestado. Passa o terceiro semestre. Novos juros de 6%. E tudo se repete. Ao final do nono semestre, após o pagamento dos juros, o país volta a dever 1.000,00. Passa mais um semestre. Teremos novos juros de 6%. No final do décimo semestre a dívida está em 1.060,00. O país novamente paga o valor dos juros (=60,00, referente ao último cupom). E paga também os 1.000,00 que tinha pegado emprestado, nada mais devendo. Se esta fosse a situação do problema, ou seja, se o bônus tivesse sido lançado sem ágio e sem deságio, a taxa de juros seria de 6%. Vamos tomar esta situação como base para analisarmos as alternativas. Como o bônus foi lançado com ágio, isto significa que o país conseguiu pegar mais que 1.000,00 emprestado. Comparando com a situação base, pegamos mais dinheiro emprestado, mantendo os mesmos pagamentos. Isto significa que estamos suportando uma taxa de juros menor que 6%. Prof. Guilherme Neves 53

21 Com isso, concluímos que a resposta do exercício só pode ser a letra D ou a letra E (respectivamente 5% e 4%). Vamos testar a taxa de 4%. Consultando a tabela II, temos: 60 a ( a a ) = 10 4% % 9 4% = 60 8, (8, ,435331) = 1.162,17 Não chegamos aos US$ 1.072,00. Precisamos aumentar um pouco a taxa de juros para diminuir o valor atual. Conclusão: a resposta é 5%. Vamos tentar a taxa de 5%. Consultando a tabela II: 60 a ( a a ) = 10 5% % 9 5% 60 7, (7, ,107821) = E chegamos bem próximo aos 1.072,00. A taxa efetiva seria bem próxima de 5% ao semestre e a taxa nominal seria próxima de 10% ao ano. Letra D 032. (CVM 2010/ESAF) Um certo número de bônus de valor de face de USD, e constituído por 12 cupons semestrais no valor de 50 USD cada um, é lançado por uma empresa no mercado internacional com o objetivo de levantar um empréstimo. A empresa se compromete a pagar o valor de cada cupom no fim de cada semestre e o valor de face do bônus ao fim de seis anos juntamente com o valor do último cupom. Caso cada bônus seja vendido hoje por 841,15 USD, já descontadas as despesas de lançamento, qual o valor mais próximo da taxa de juros paga pela empresa lançadora do bônus? a) 4% ao semestre. b) 5% ao semestre. c) 7% ao semestre. d) 6% ao semestre. e) 8% ao semestre. Resolução O valor de lançamento do bônus é de 841,14 USD. Esse é o valor atual. Vamos transportar todos os valores para a data ,15= (1+) Substituindo os valores das alternativas, chegamos ao gabarito da letra C. Prof. Guilherme Neves 54

22 841,15= (1+7%) +50 `% 841,15= , , ,15=444,01+397,14 841,15=841,15 (GHIMMHI=) Letra C Prof. Guilherme Neves 55

23 Relação das questões comentadas 01. (Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ ,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ ,00. Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de: ,03 1,03 a) ,03 1,03 b) 2 3 c) d) 2 3 1, , , , e) 2, , (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na resposta.) a) R$ 2.122,00. b) R$ 1.922,00. c) R$ 4.041,00. d) R$ 3.962,00. e) R$ 4.880, (AFC STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R $ ,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ ,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ ,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ ,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Prof. Guilherme Neves 56

24 04. (AFC STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ ,00 e uma parcela de R $ ,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ ,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (AFRF 2001/ESAF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (Auditor Fiscal de Fortaleza 2003/ESAF) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ ,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ ,00 que vai vencer daqui a seis meses? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ ,00 ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as duas opções é a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma rede de lojas, que atua na venda de eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma: - R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou Prof. Guilherme Neves 57

25 - 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra. Embora na propaganda seja utilizada a expressão sem juros, os clientes que escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente: (Utilize se necessário: 7=2,646.) a) 13,5% b) 20,0% c) 21,5% d) 19,0% e) 9,5% 09. (AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ ,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 1,176. O valor de X é igual a a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: (A) R$ 525,68. (B) R$ 545,34. (C) R$ 568,24. (D) R$ 576,19. (E) R$ 605, (MDIC 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ ,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês? Prof. Guilherme Neves 58

26 a) R$ 7.455,96 b) R$ 7.600,00 c) R$ 7.982,12 d) R$ 8.270,45 e) R$ 9.000, (INSS 2002/ESAF) Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 2% ao mês, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ ,00 ao fim de dez meses. a) R$ 5.825,00 b) R$ 5.000,00 c) R$ 4.782,00 d) R$ 4.566,00 e) R$ 3.727, (CVM 2003/FCC) Depositando R$ ,00 no início de cada ano, durante 10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data do último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao ano, durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de valor único é de a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (Técnico da RF 2006/ESAF) Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros compostos de 3% ao mês. a) R$ 500,00 b) R$ 535,00 c) R$ 542,00 d) R$ 559,00 e) R$ 588, (DNOCS 2010/FCC) Um investidor deposita R$ ,00 no início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,20 e) R$ ,00 Prof. Guilherme Neves 59

27 016. (Fiscal de Rendas SP 2009/FCC) Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ ,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (Instituto de Resseguros do Brasil 2004/ESAF) Uma série de doze valores monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de tempo representa o fluxo de caixa esperado de uma alternativa de investimento. Considerando que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$ ,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo período, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período. (Despreze os centavos) a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (ATE-MS 2001/ESAF) A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente durante seis meses; a quantia de R$ 2.000,00 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de R$ 3.000,00 é aplicada mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do montante das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as aplicações foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa de juros compostos de 4% ao mês? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (AFRF 2002/ESAF) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 Prof. Guilherme Neves 60

28 e) R$ ,00 RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB 020. (AFRF 2002/ESAF) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Abaixo encontram-se valores de uma tabela de fator de valor presente de séries uniformes de pagamento, na qual n é o número de prestações mensais e i a taxa de juros. Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e uniformes, no valor de R$ 500 cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, formando uma série uniforme de pagamentos antecipada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da geladeira é a) R$ 2.000,00 b) R$ 1.858,55 c) R$ 1.895,43 d) R$ 1.914,30 e) R$ 1.654, (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: Prof. Guilherme Neves 61

29 a) R$ 525,68. b) R$ 545,34. c) R$ 568,24. d) R$ 576,19. e) R$ 605, (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um indivíduo recebeu como herança um título perpétuo que paga R$ por trimestre. Esse indivíduo quer vender o título. Sabendo que a taxa de juros semestral, juros compostos, é de 44%, o valor presente de venda desse título é a) R$ 2.880,00 b) R$ 4.545,45 c) R$ ,00 d) R$ ,85 e) R$50.000, (Auditor da Receita Estadual Amapá 2010/FGV) Antônio possui um investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de juros compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. A quantia que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (Pref. Municipal de Cantagalo 2010/CEPERJ) Em um país sem inflação, existe um investimento que rende 0,7% ao mês. Se uma pessoa decide dar ao seu filho uma renda mensal perpétua de $350 (trezentos e cinqüenta unidades monetárias), o valor que ela deve investir para que esta renda seja eterna é: A) $42000 B) $50000 C) $56000 D) $ (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um indivíduo possui um título que paga mensalmente de R$ 500,00, perpetuamente. O indivíduo quer vender esse título, sabendo que a taxa de desconto é de 1% ao mês. O preço justo desse título é: a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ , (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo comprou um título perpétuo que paga R$ 500,00 por semestre. Sabendo que a taxa de juros anual, juros compostos, é de 21%, o valor presente desse título é: a) R$ 4.761,90. b) R$ 5.000,00. Prof. Guilherme Neves 62

30 c) R$ 6.857,25. d) R$ 7.500,00. e) R$ ,00. RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB 028. (STN 2005/ESAF) No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ ,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqüentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (Prefeitura Municipal de Fortaleza 2003/ESAF) Um financiamento no valor de R$ ,00 é obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano para ser amortizado em doze prestações semestrais iguais vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros semestrais devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Desprezando os centavos, calcule a prestação semestral do financiamento. a) R$ 1.614,00 b) R$ 2.540,00 c) R$ 3.210,00 d) R$ 3.176,00 e) R$ 3.827, (AFRF /ESAF) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1, cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1, b) US$ c) US$ d) US$ e) US$ Prof. Guilherme Neves 63

31 031. (AFRF 2003/ESAF) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000,00 e de cada cupom US$ Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc. a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8% 032. (CVM 2010/ESAF) Um certo número de bônus de valor de face de USD, e constituído por 12 cupons semestrais no valor de 50 USD cada um, é lançado por uma empresa no mercado internacional com o objetivo de levantar um empréstimo. A empresa se compromete a pagar o valor de cada cupom no fim de cada semestre e o valor de face do bônus ao fim de seis anos juntamente com o valor do último cupom. Caso cada bônus seja vendido hoje por 841,15 USD, já descontadas as despesas de lançamento, qual o valor mais próximo da taxa de juros paga pela empresa lançadora do bônus? a) 4% ao semestre. b) 5% ao semestre. c) 7% ao semestre. d) 6% ao semestre. e) 8% ao semestre. Prof. Guilherme Neves 64

32 Gabaritos 01. A 02. C 03. D 04. B 05. D 06. C 07. E 08. C 09. A 10. D 11. A 12. D 13. C 14. D 15. C 16. E 17. A 18. B 19. D 20. D 21. D 22. D 23. C 24. E 25. B 26. C 27. B 28. A 29. B 30. D 31. D 32. C Prof. Guilherme Neves 65

33 Tabelas Financeiras RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Prof. Guilherme Neves 66